2024年中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷（山東濟(jì)南卷）（全解全析）

年中考第一次模擬考試（山東濟(jì)南卷）數(shù)學(xué)·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．圖1所示的正五棱柱，其俯視圖是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意看見的棱用實(shí)線表示．【詳解】解：從上面看，是一個(gè)矩形，矩形的中間有一條縱向的實(shí)線，兩條縱向的虛線．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．2．2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行．國家主席習(xí)近平在主旨演講中聲明：“本屆高峰論壇期間舉行的企業(yè)家大會達(dá)成了972億美元的項(xiàng)目合作協(xié)議．”將972億美元用科學(xué)記數(shù)法表示成元，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)絕對值大于等于10的數(shù)表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)）；n的值為小數(shù)點(diǎn)向左移動的位數(shù)．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義，即可求解．【詳解】解：972億，故選：C．3．如圖，直線，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，連接，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，結(jié)合已知條件即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．4．下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的減法、完全平方公式、同底數(shù)冪的除法、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及冪的乘方的運(yùn)算法則逐一分析即可．【詳解】解：∵，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵，∴選項(xiàng)C符合題意；∵，∴選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的減法、完全平方公式、同底數(shù)冪的除法、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及冪的乘方，掌握以上法則是解題的關(guān)鍵．5．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別．根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義判斷即可．如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，本選項(xiàng)符合題意；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．6．三張圖片除畫面不同外無其他差別，將它們從中間剪斷得到三張上部圖片和三張下部圖片，把三張上部圖片放入一個(gè)布袋，把三張下部圖片放入另一個(gè)布袋，再分別從兩個(gè)布袋中各隨機(jī)摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將上部三張圖片分別記作、、，下部三張圖片記作、、，列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：將上部三張圖片分別記作、、，下部三張圖片記作、、，列表如下：由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的有3種結(jié)果，所以這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．若點(diǎn)都在反比例函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象上，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征．由可知，此函數(shù)圖象在第一、三象限，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判定．【詳解】解：∵，∴反比函數(shù)圖象在一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∴在第三象限內(nèi)，在第一象限內(nèi)，∵，∴，∴，故選：C．8．《九章算術(shù)注》中用不同顏色的算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)（白色為正，黑色為負(fù)），如圖1表示的是的計(jì)算過程，則圖2表示的過程是在計(jì)算（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算．由白色算籌表示正數(shù)，黑色算籌表示負(fù)數(shù)，即可列式計(jì)算．【詳解】解：由題意得白色算籌表示正數(shù)，黑色算籌表示負(fù)數(shù)，∴圖中表示的計(jì)算過程為．故選：A．9．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，垂直交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，下面結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①若是邊上的中線，則；②若平分，則；③若，則；④的最小值為．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形面積公式求出，得，據(jù)此判斷符合題意；過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)題意推出是的中位線，則，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)推出，，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，結(jié)合題意及直角三角形的性質(zhì)利用推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)，判斷，進(jìn)而推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷不符合題意；根據(jù)當(dāng)最短時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求解即可判斷符合題意；【詳解】解：是邊上的中線，，，，，，，，，，，，故正確，符合題意；如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，

，，是等腰直角三角形，，，，，平分，，，，，，，故正確，符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，

，，垂直，，，又，，，，，，，，，故正確，符合題意；，點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)最短時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，的最小值為，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了勾股定理、三角形面積公式、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．10．直線和拋物線（a，b是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)．下列結(jié)論：①拋物線的對稱軸是直線②拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)③關(guān)于x的方程有兩個(gè)根，④若，當(dāng)或時(shí)，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④【答案】B【分析】①可得，從而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判斷拋物線也過，從而可得方程的一個(gè)根為，可求拋物線的對稱軸為直線，從而可得拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，即可求解；④當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，即可求解．【詳解】解：①直線經(jīng)過點(diǎn)，，，拋物線的對稱軸為直線，故①正確；②，由①得，，，，拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，故②正確；③當(dāng)時(shí)，，拋物線也過，由得方程，方程的一個(gè)根為，拋物線，，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，，解得：，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，關(guān)于x的方程有兩個(gè)根，，故③正確；④當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，故④錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)，二次函數(shù)與不等式等，理解性質(zhì)，掌握解法是解題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．因式分解：．【答案】【分析】本題考查因式分解．先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可．【詳解】解：，，．故答案為：．12．一個(gè)不透明的布袋里裝有2個(gè)白球，1個(gè)黑球和若干個(gè)紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個(gè)球，是白球的概率為．則布袋里紅球有個(gè).【答案】1【分析】設(shè)布袋里紅球有x個(gè)，根據(jù)白球的概率列方程求解可得．【詳解】解：設(shè)布袋里紅球有x個(gè)，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．∴布袋里紅球有1個(gè)，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)概率求球的個(gè)數(shù)，認(rèn)真讀懂題意是關(guān)鍵．13．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，以及方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，判別式大于等于0，列出不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，解得：且，故答案為：且．14．如圖，在半徑為，圓心角等于的扇形內(nèi)部作一個(gè)正方形，使點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則陰影部分的面積為．

【答案】【分析】連接，由勾股定理可計(jì)算得正方形的邊長為，則正方形的面積為，等腰直角三角形的面積為，扇形的面積為，所以陰影部分的面積為．【詳解】解：連接，則,∵,∴.∴.∴.∴.中，,∴，解得∴∴．故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，勾股定理，正方形的性質(zhì)；構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在菱形中，邊長為，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，若將沿著折疊，使得點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)處，，折痕為，則的長為．【答案】2【分析】過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)G，先求出，再證明，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，解方程求出，則．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)G，則，∵，∴，由折疊的性質(zhì)得，，∵四邊形是菱形，，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴或（舍去），∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿軸向上移動，同時(shí)過點(diǎn)的直線也隨之上下平移，且直線與直線平行，如果點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，如果點(diǎn)的移動時(shí)間為秒，那么的值為

【答案】或/3或2【分析】過點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)、為點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，由直線與直線平行可得，即可證明與均為等腰直角三角形，進(jìn)而可求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出和的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入可求出值，即可得點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)、為點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的對稱點(diǎn)．

直線與直線平行，設(shè)直線解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，直線的解析式為，，，與均為等腰直角三角形，，，，，，．，，，，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，．直線過點(diǎn)，，，解得：，點(diǎn)坐標(biāo)為，，．，，，，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，．直線過點(diǎn)，，，解得：，點(diǎn)坐標(biāo)為，，．點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，落在軸上，當(dāng)時(shí)，落在軸上．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與幾何變換．注意在軸、軸上均有點(diǎn)的對稱點(diǎn)，不要漏解；其次注意點(diǎn)、坐標(biāo)以及線段中點(diǎn)坐標(biāo)的求法．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．計(jì)算：．【答案】3【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．先化簡各式，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．18．解不等式組：在數(shù)軸上表示出它的解集，并求出它的正整數(shù)解．【答案】；數(shù)軸見解析；正整數(shù)解為：1，2，3，4，5【分析】先分別求出一元一次不等式的解集，再將其解集在數(shù)軸上表示出來，取其正整數(shù)即可求解．【詳解】解：，解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式組的解集為，其解集在數(shù)軸上表示如下：，∴該不等式組的正整數(shù)解為：1，2，3，4，5．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組并在數(shù)軸上表示解集，熟練掌握一元一次不等式的解法及解集在數(shù)軸上表示的方法是解題的關(guān)鍵．19．如圖，平行四邊形中，的平分線交于E，的平分線交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見詳解．(2)13【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)知識，（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)可得，．即可得到，．即可求證結(jié)論．（2）過點(diǎn)A作，垂足為H，利用，可計(jì)算出的長度，結(jié)合（1）即可求出長度．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形．∴，，．∴，．∵是的平分線，是的平分線．∴，．∴，．∴，．∴．∴．∴．（2）過點(diǎn)A作，垂足為H，如圖：由（1）知，且，，∴，．∵，∴，∴，．∴．∵．∴．∴．∴．20．某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖1所示的遮陽棚，其側(cè)面如圖2所示，遮陽棚展開長度，遮陽棚前端自然下垂邊的長度，遮陽棚固定點(diǎn)A距離地面高度，遮陽棚與墻面的夾角．

(1)如圖2，求遮陽棚前端B到墻面的距離；(2)如圖3，某一時(shí)刻，太陽光線與地面夾角，求遮陽棚在地面上的遮擋寬度的長（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)遮陽棚前端B到墻面的距離約為(2)遮陽棚在地面上的遮擋寬度的長約為【分析】（1）作于E，在中，根據(jù)列式計(jì)算即可；（2）作于E，于H，延長交于K，則，可得四邊形，四邊形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后中，解直角三角形求出，進(jìn)而可得的長．【詳解】（1）解：如圖3，作于E，在中，，即，∴，答：遮陽棚前端B到墻面的距離約為；（2）解：如圖3，作于E，于H，延長交于K，則，

∴四邊形，四邊形是矩形，由（1）得，∴，在中，，即，∴，由題意得：，∴，∴，在中，，即，∴，∴，答：遮陽棚在地面上的遮擋寬度的長約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．近年來，網(wǎng)約車給人們的出行帶來了便利，林林和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對“美團(tuán)”和“滴滴”兩家網(wǎng)約車公司司機(jī)月收入進(jìn)行了一項(xiàng)抽樣調(diào)查，收集了兩家公司各10名司機(jī)月收入情況（單位：千元）：滴滴司機(jī)：45910455549美團(tuán)司機(jī)：4578676566整理數(shù)據(jù)：畫出統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示：“滴滴”網(wǎng)約車司機(jī)收入頻數(shù)分布表：月收入4千元5千元9千元10千元人數(shù)（個(gè)）3421根據(jù)以上信息，分析數(shù)據(jù)如表：平均月收入/千元中位數(shù)眾數(shù)方差“滴滴”6b56.2“美團(tuán)”a.661.2(1)請求出a的值；(2)b＝；m＝；圓心角n＝°；(3)林林的叔叔決定從兩家公司中選擇一家做網(wǎng)約車司機(jī)，如果你是林林，請從平均數(shù)、中位數(shù)，眾數(shù)，方差這幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量中選擇兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析，并建議他的叔叔選擇哪家公司？【答案】(1)6(2)5，40，72(3)選“美團(tuán)”，見解析【分析】本題考查了統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)定義與有關(guān)的計(jì)算公式．（1）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式可得a的值，根據(jù)中位數(shù)的定義可得b的值，用乘平均月收入7千元所占比例可得圓心角n的度數(shù)；（2）根據(jù)平均數(shù)一樣，中位數(shù)及眾數(shù)的大小和方差的大小進(jìn)行選擇即可．【詳解】（1）解：“美團(tuán)”的平均月收入，故答案為:6；（2）“滴滴”網(wǎng)約車司機(jī)收入的中位數(shù)，“美團(tuán)”網(wǎng)約車公司司機(jī)月收入中，“6千元”對應(yīng)的百分比為，圓心角n的度數(shù)為：．故答案為：5，40，72；（3）選“美團(tuán)”，理由如下：因?yàn)槠骄鶖?shù)一樣，“美團(tuán)”的中位數(shù)、眾數(shù)大于“滴滴”的，且“美團(tuán)”的方差小，更穩(wěn)定．22．如圖，是的直徑，是上的兩點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，．(1)求證：是的切線；(2)若，．①求的長；②求的半徑．【答案】(1)見解析；(2)①5；②．【分析】本題主要考查了圓的切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形．（1）利用圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；（2）①利用等腰三角形的三線合一和直角三角形的性質(zhì)求出，，在中，利用余弦的定義進(jìn)行計(jì)算即可；②在中，利用余弦的定義求出，即可得到答案．【詳解】（1）證明：，，，，．為的直徑，，，．，，是圓的半徑，是的切線；（2）解：①由（1）得：，是的直徑，，，，，在中，，；②在中，，在中，，，的半徑為．23．某文具店準(zhǔn)備購甲、乙兩種水筆進(jìn)行銷售，每支進(jìn)價(jià)和利潤如下表：甲水筆乙水筆每支進(jìn)價(jià)（元）a每支利潤（元）23已知花費(fèi)400元購進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費(fèi)800元購進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等．(1)求甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價(jià)分別為多少元．(2)若該文具店準(zhǔn)備拿出2000元全部用來購進(jìn)這兩種水筆，考慮顧客需求，要求購進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過乙種水筆數(shù)量的4倍，問該文具店如何進(jìn)貨能使利潤最大，最大利潤是多少元．(3)文具店為了吸引客源．準(zhǔn)備下次再購進(jìn)一種進(jìn)價(jià)為12（元/支）的丙水筆，預(yù)算用1500元購進(jìn)這三種水筆若干支（三種筆都需購買），其中甲水筆與乙水筆的數(shù)量之比為1∶2，則該文具店至多可以購進(jìn)這三種水筆共多少支．【答案】(1)甲、乙兩種水筆每支進(jìn)價(jià)分別為5元、10元(2)購進(jìn)甲種水筆266支，乙種水筆67支時(shí)，能使利潤最大，最大利潤是733元(3)169支【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程，函數(shù)關(guān)系式，以及不等式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“花費(fèi)400元購進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費(fèi)800元購進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等”列出方程求解即可；（2）設(shè)利潤為w元，甲種水筆購進(jìn)x支，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出一次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可解答；（3）設(shè)購進(jìn)甲種水筆m支，則購進(jìn)乙種水筆支，一共購進(jìn)n支水筆，列出方程化簡，得，根據(jù)，推出，再結(jié)合m、n均為正整數(shù)，得出當(dāng)時(shí)，n取得最大值，此時(shí)，即可解答．【詳解】（1）解：由題意可得，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，∴，答：甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價(jià)分別為5元、10元；（2）解：設(shè)利潤為w元，甲種水筆購進(jìn)x支，，∵，∴w隨x的增大而增大，∵購進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過乙種水筆數(shù)量的4倍，∴，解得，∵x為整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，w取得最大值，此時(shí)，，答：該文具店購進(jìn)甲種水筆266支，乙種水筆67支時(shí)，能使利潤最大，最大利潤是733元；（3）解：設(shè)購進(jìn)甲種水筆m支，則購進(jìn)乙種水筆支，一共購進(jìn)n支水筆，，化簡，得，∵，∴，∴，∵m、n均為正整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，n取得最大值，此時(shí)，即該文具店至多可以購進(jìn)這三種水筆共169支．24．閱讀材料：“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題．今天人們已經(jīng)知道，僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的．在研究這個(gè)問題的過程中，數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法，如圖1，步驟如下：①建立直角坐標(biāo)系，將已知銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，角的一邊與x軸正方向重合；②在直角坐標(biāo)系中，繪制函數(shù)的圖象，圖象與已知角的另一邊交于點(diǎn)P；③以P為圓心、以為半徑作弧，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)R；④分別過點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，分別交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q；⑤連接，得到．則．思考問題：(1)設(shè)，，求直線的函數(shù)解析式（用含a，b的代數(shù)式表示），并說明Q點(diǎn)在直線上；(2)證明：．(3)如圖2，若直線與反比例函數(shù)交于點(diǎn)C，D為反比例函數(shù)第一象限上的一個(gè)動點(diǎn)，使得．求用材料中的方法求出滿足條件D點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)，證明見解析(2)見解析(3)或【分析】（1）由軸，軸，，，即可得出M點(diǎn)的坐標(biāo)，即可，再將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入解析式即可判斷點(diǎn)Q是否在直線上；（2）連接，交于點(diǎn)S，由矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）先求出點(diǎn)，可得，然后分兩種情況討論：當(dāng)D點(diǎn)在下方時(shí)，當(dāng)D點(diǎn)在上方時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，由題意得：，∴四邊形為矩形，∵，，∴，，把點(diǎn)代入得：，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，∵的坐標(biāo)滿足，∴點(diǎn)Q在直線上；（2）解：連接，交于點(diǎn)S，

由題意得四邊形是矩形，∴，，，∴，∴，∴∵，∴．∴，∵軸，∴，∴，即．（3）解：∵直線與反比例函數(shù)交于點(diǎn)C，∴，解得：或（舍去），∴，∴，當(dāng)D點(diǎn)在下方時(shí)，如圖，以C為圓心，為半徑畫弧，交反比例函數(shù)于點(diǎn)E，作軸，作軸，連接并延長交反比例與點(diǎn)F，作，連接，與交于點(diǎn)H，，，，作于I，則，，，，則，，即，同理，當(dāng)D點(diǎn)在上方時(shí)，有．

【點(diǎn)睛】此題在考查三等分角的作法時(shí)，綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、矩形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)．25．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象的頂點(diǎn)為M．矩形的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

(1)求c的值及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，(2)如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個(gè)單位得到對應(yīng)的矩形．已知邊，分別與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，Q，連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G．①當(dāng)時(shí)，求的長；②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)Q不重合時(shí)，是否存在這樣的t，使得的面積為1？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2)①1；②存在，或【分析】（1）把代入拋物線的解析式即可求出c，把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①先判斷當(dāng)時(shí)，，的坐標(biāo)分別是，，再求出，時(shí)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求解；②先求出，易得P，Q的坐標(biāo)分別是，，然后分點(diǎn)G在點(diǎn)Q的上方與點(diǎn)G在點(diǎn)Q的下方兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，

∴，∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是．（2）①∵A在x軸上，B的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是．當(dāng)時(shí)，，的坐標(biāo)分別是，．當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是2，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1．∵，∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是1，