2023年湖北省鄂州市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考真題(含答案帶解析)

2023年湖北省鄂州市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考真題(含答案帶解析)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(30題)

1.設(shè)函數(shù)z=x?+3y2-4x+6y-l,則駐點(diǎn)坐標(biāo)為()。

A.(2,-1)B.(2,l)C.(-2,-l)D.(-2,1)

2.方程/+2,7-2=0在［-3,2］內(nèi)

A.A.有1個(gè)實(shí)根B.有2個(gè)實(shí)根C.至少有1個(gè)實(shí)根D.無實(shí)根

3.下列反常積分發(fā)散的是【】

exdx

e-Jdx

D.J

設(shè)lim呷⑵2絲）=],則a=

4.'

A.A.-lB.-2C.1D,2

根據(jù)〃丁）的導(dǎo)函數(shù)，（丁）的圖像如圖，判斷卜列結(jié)論正確的是（）

A.在（一8,1）內(nèi)人才）是單調(diào)下降的＞；

K在（3.2）內(nèi)八外是單調(diào)下降的

C"l）為極大值月?，兇

為極小值人，＜

raretanx

A.A.arctanx+C

2

六-(arctanx)+C

B.2

——(arcsinx)2+C

C.2

--(arctanx)2+C

D.2

7.

函數(shù)y=Lln(z+2)的定義域是

X

A?zKO且zX—2B.x>0

C.x>—2D.x>—2且xXO

-------x0

設(shè)函數(shù)/(#)=.*''在x=O處連續(xù)，則a=().

x=0A.-lB.lC.2D.3

設(shè)函數(shù)”工)在區(qū)間匚0,1］上可導(dǎo)，/(H)VO,并且f(0)>0,f(l)V0,則f(I)

在［0,1］內(nèi)

A.至少有兩個(gè)零點(diǎn)

B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

C.沒有零點(diǎn)

D.零點(diǎn)個(gè)數(shù)不能確定

10.設(shè)'=/+/"則看=()A.2x+cosyB.-sinyC.2D.O

11.」知/(x)=lnarccolx,則/'(1)=()。

2

A.R

2

B.K

已知f(x)是可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù),則J：f'(3x)dx=

A.A.八3廳⑴

B/(9)^(3)

初3)力1)]

-f/(9)-/(3)]

D.3

若f(x)的一個(gè)原函數(shù)為arctanx.則下列等式iE確的是

A.jarctanxdx=/(x)+CB.j/(x)dx=arctanx+C

C.jarctanxdx=/(x)D.J/(x)dr=arctanx

15.

已知/(*)=x+ln?,<(x)=e■，則4/［式力等于().

A.1+斗B.l+e*C.e*+—D.e*--

ee*e*

16.設(shè)a)cos；,則.(})()

A.A."

B.T

C.O

D.l

<設(shè)存在，則/(x)在R處

17.i%

、，一丁一、，有定義且/(xo)=lim/(x)-o、，

a.一定有定義b.一定無定義c.fd.可以有定義,

也可以無定義

設(shè)“(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且u(x)M,則[lnu2(x)]'=

lo?()o

u

A.u

f

u

R/

15.

D.2U/

19.設(shè)華&吟小于＜

A.2(x-y)B.2(x+y)C.4D.2

設(shè)z=In上.則空等于

20.Idx[]A.x/yB.l/xC.-l/xD.-y/x2

21.

一松拋擲二枚骰子（每枚骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6）,則向上的數(shù)

字之和為6的概率等于（）

A.1/6

B.1/12

C.5/18

D.5/36

”設(shè)函數(shù)：=/+3九則善=().

22.

A.2x+3y

B.2x

C.2x+3

-3a

D.7+4

23.

下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是

A.y=|%|B

x31VO,

C.、=2y[xD?y=

n3O

24.

已知八工）在工=1處可導(dǎo)，且/（D=3,則lim/（1+.一\]）等于

ion

A.0

B.1

C.3

D-6

25.

設(shè)八力■/二，則/[/（-1）]=

1—X

A.2B.-1C.1D.oo

|（cos才+l）dr等于

A.sinx+x+C

B.-sinx+r+C

C-cosi+i+C

26.D?—cosi+i+C

27.下列廣義積分收斂的是()o

-1

di

?+oo

D.Ji

28.下列命題正確的是()。

A.函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，一定不是f(x)的極值點(diǎn)

B.若xO為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)，則xO必為f(x)的極值點(diǎn)

C.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO處有極值，且F(xO)存在，則必有f，(xO)=O

D.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)XO處連續(xù)，則((xO)一定存在

29.

下面命題中正確的是

A.無窮小量是個(gè)絕對(duì)值很小很小的數(shù)

B.無窮大量是個(gè)絕對(duì)值很大很大的數(shù)

C.無窮小量的倒數(shù)是無窮大量

D.無窮大量的倒數(shù)是無窮小量

30.函數(shù)y=x3+12x+l在定義域內(nèi)

A.A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.圖形為凸D.圖形為凹

二、填空題(30題)

—「/sint2dt-_______________.

31.dxJ°

設(shè)丁=e2arcco&r，則y=.

32.1=°

33.

(典工>0

設(shè)函數(shù)人工〉=4工'，則H=0是/'(工)的第類間斷點(diǎn).

2,N40

〈?a,xWO.,

c在X=O處連續(xù),則a=_______

_｛2.x>0

:如『號(hào)=dr+*媼12「的極值點(diǎn)JMa??

35.

36.

設(shè)1/(x)dx=:ylnx-^-+C,則f(x)=.

37.

函數(shù)/(;,.)=Ig("+I—J)在(-8,+8)是

A.奇西效B.佰函數(shù)C.非奇非大函數(shù)D.既奇又偶函敕

38.

設(shè)/(x)=2jr,g(x)=x2,W/(g'(z))=.

39.

若2=111(1：+寸)，則異仔~=.

dxdy------

40.設(shè)y=3sinx,貝|Jy'。

41.

設(shè)z=arctan，則等=

XJCdx

42.

43.

設(shè)y=x3+e%,貝(Jy(5)=

44.

Jx-yll+x2dx.

/設(shè)/(")=e".則￥1=______.

45.oYI<o.o)

46jncosxdx=

，一jmy-z'+i+Zr與1軸所圖成的圖形的面根A=

47.

48.

1

Jz2+12。N+1u5"=

49.

/（J,=a-n）?「tr）其中哪可導(dǎo).則,（八）

A°B.職/。）c./a。）

.設(shè)/(i)=?r+1)*0,則J/(j-)dr=______.

。U?

51.

設(shè)/(/)在(0,+=)上連續(xù)?且J/(z)dr-x,ffl/(2)=

A.5B.3C.1D.y

52帆4+而一而）

53.

設(shè)函數(shù)/(J).Insinx.則dy?

A.-4-cLrB.—coixd-r

SiHX

C?cotxdxD.tarudx

54.

下列極限結(jié)論錯(cuò)誤的是

2(1—cos/)

A.lim=0B.lim2

，—一Xx-*0(e^-l)

C.lim.=kD?-----Y=1

iRX—1

/a+Ax)/(x)

設(shè)/(x)=ln4,則lim

Ax-M)Ax

設(shè)/（工；4）=^^（［大一1）,則八］）=

56.工/

58.

不定積分鬻&=---------

59收■!!/（,）=片.胃■我的X?點(diǎn)_?

60.

曲線y=ln（l+幻的鉛直漸近線是.

三、計(jì)算題（30題）

61若已知y'i'=Asin2工,求9”'匕

計(jì)算二次積分「dy1-±r.

62.JoLT

63.已知曲線C為y=2x?及直線L為y=4x.

①求由曲線C與直線L所圍成的平面圖形的面積S；

②求曲線C的平行于直線L的切線方程.

求不定積分

64.

65已知/??=/<0)=-l./(2)=/(2)=I,求心””(工)<1工.

66.求二元函數(shù)f(x,y)=x2+y2+xy在條件x+2y=4下的極值.

設(shè)3介/(0,其中/⑷可導(dǎo)?求工靠+項(xiàng)

/Q計(jì)算定積分ln(x+l)dx.

OO.

求極限阿為志-1-1)cos1J.

70.求函數(shù)z=arctanCx*^)的全微分.

71計(jì)算定根分￡工/41.

.求微分方程工皿力+(>-濡足的特解.

721lnx)dx=0yL-e=1

求曲線r4'在點(diǎn)《1?一2.1)處的切線方程和法平面方程.

73.13JT+2、+1-0

74設(shè)尸叮⑴由方程八#+"℃8詢)所確定，求條

求極限lim（1+；）er.

75.

改變枳分fcbf/Q~)dy+J：山J：7(工")內(nèi)的積分次序.

求極限l1Ti~*m0

78.求函數(shù)f(x,y)=x2+y2在條件2x+3y=l下的極值.

求極限lim

79.

80.已知x=-l是函數(shù)f(x)=ax3+bx?的駐點(diǎn)，且曲線y=f(x)過點(diǎn)(1,5),

求a,b的值.

81.求微分方程e''后+3-'-工的通解.

82,求］*

83求微分方程一si"-1)山<+co5.r<lv—0的通解.

（14-x1?“VO.0

設(shè)函數(shù)Hx）-J求/（x-2）dr.

84.1-

j^sin—.1XO.

求函數(shù)fG）=4]的導(dǎo)數(shù).

85.I°-n=°

86.求函數(shù)/（*）=/-9"的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

設(shè)函數(shù)y=,求

87.工'+41+3

1+4產(chǎn)工>°'什

設(shè)函數(shù)/（x）=.求定積分

.■?xV0?

88."c

計(jì)算二重物分J^jdxd>,其中。是由直級(jí)*=2.y4

上與雙曲線_ry=>1所用成

89,的K域

90.求徵分方程>'<?<',14ady-0的通解.

四、綜合題（10題）

證明：方程「rJd，=J在（0.1）內(nèi)恰有一實(shí)根.

91'

平面圖形由拋物線=2z.與該曲線在點(diǎn)（十.1）處的法線所圍成.試求，

（1）該平面圖形的面積?

92.（2）該平面圖形繞工軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

93.

設(shè)拋物線y=u'+&r+c過原點(diǎn)，當(dāng)04工41時(shí)0。0,又已知該拋物線與工軸及

r=1所圍圖形的面積為《，試確定a.6.r，使此圖形繞了軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體枳最小.

Q4求由曲線N=r+4與/所國成的平面圖形的面枳.

95.證明方程廣一3］一I=0在1與2之間至少有一個(gè)實(shí)根?

96.

過曲線y-上"了>0）上一點(diǎn)M（1.1）作切線/.平面圖形D由曲線V=",切線/及

J軸圍成.

求：（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D繞才軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

97.

設(shè)函數(shù)f（jr）在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù).在開區(qū)間（0,1）內(nèi)可導(dǎo)且/（0）=/（I）=0,

/（1）=1,證明:存在sw（0.1）使r?）-1.

98.

設(shè)函數(shù)Fix）=，叱二—（工>0）,其中/（公在區(qū)間［a,+8）上連續(xù)（工）在

<?*?+°°）內(nèi)存在且大于零.求證:FU）在（a.+8）內(nèi)單調(diào)遞增.

若/（x）在［a.4］上連續(xù).存在E.M兩個(gè)常數(shù).且稠足證明，恒興

99.m（x：-x,）<（x,）-/<x,><M（JT,-x,）.

“cc求函數(shù)y二［（，-1）〃一2尸d，的單詞區(qū)間及極值.

100.-1

五、解答題（10題）

101.求函數(shù)y=x3-2x2的單調(diào)區(qū)間、極值及此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間和拐

點(diǎn)。

102.

（本題滿分10分）求曲線『=*及直線*=O.y=l圍成的平面圖形的面積S及此平面

圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積I..

計(jì)算等2?.

103.COSH

104.

1—COSX,求「/(x)dx的值.

已知函數(shù)八/連續(xù)=

105.求函數(shù)y-x3-3x2-l的單調(diào)區(qū)間，極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。

106.

求曲線丫=五與直線y=x-2,y=0所圍成圖形的面積A及該圖

形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積匕.

107.①求曲線y=ex及直線x=l,x=0,y=0所圍成的圖形D的面積S：

②求平面圖形D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積Vx.

、

108.r計(jì)M算aJrcsinxdLr.

109.某班有黨員10人，其中女黨員有6人，現(xiàn)選3人組成黨支部。設(shè)

事件A=｛黨支部中至少有1名男黨員)，求P(A)。

110.在曲線y=x2(xK))上某點(diǎn)A處作一切線，使之與曲線以及x軸所圍

圖形的面積為1/12,試求：

⑴切點(diǎn)A的坐標(biāo)。

⑵過切點(diǎn)A的切線方程.

x

⑶由上述所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積Vo

六、單選題(0題)

設(shè)函數(shù)z=/(u),u=』+y2且/(")二階可導(dǎo)，則色?=()

111.axdv

A.4?"(u)B.4xf?"(u)C.4y"(u)D.4xy?"(u)

參考答案

1.A

令莊=0與包=(),可得x=2.y=-1.故選A.

dxay

2.C

設(shè)f(x)=d+2x2-x-2,xe［-3,2］

因?yàn)?(x)在區(qū)間［-3,2］上連續(xù)

且/(-3)=-8<0,/(2)=12>0

由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，至少存在一點(diǎn)fe(-3,2),使/(勇=0

所以方程在［-3,2］上至少有1個(gè)實(shí)根.

3.D

對(duì)于選+必—十L比較分敢做㈤于選友忐必一十|,"i^'

此枳分收斂，時(shí)于選項(xiàng)C：J^dj=e*=1.比積分收斂,對(duì)■于逸e-,d-r=—c*|=—1+

limeMii極極不存在.故此賴分發(fā)散.

4.A

..sin(2x2-ax)等價(jià)代換2x2-ar由川.

km----------------=^=癡---------=-a=l所以a=-I.

x*-?#x

5.C

6.B

2

rarctanxdr=18rct3n3rct3nx=-l(arctanx)+C.

Jl+x2」2

7.D

根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)x=0處連續(xù)的定義：lim/(x)=/(O),則有

lim/(x)=lini=3=/(0)=a.

o.Ui…。*

9.B

10.D此題暫無解析

ll.B

因?yàn)?x)=—!—(__L_\所以八D=_L(_r|=-2.

arccotxll+x2；2)n

4

12.2/3

13.D

因?yàn)镴：廣(3x)dx=1J：八3x)d(3x)=；/(3刈；=/〃9)-〃3)]

［解析］根據(jù)不定積分的定義，可知B正確.

14.B

15.B

答應(yīng)選B.

分析本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的概念及其求導(dǎo)計(jì)算?

本題的關(guān)鍵是正確寫出復(fù)合函數(shù)/［式幻］的表達(dá)式后再對(duì)工求身?

根據(jù)函數(shù)瓶念可知：

/［<(*)］=g(?)+ln<(?)=?'+Ine*=e*+x,

號(hào)=e'+l,所以選B.

<LX

16.C

17.D

lim/(x)的存在與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義無關(guān).

18.C

(Inu2)z=(2Inu)z=—

u

19B【解析】因?yàn)橐鞫?喙2=2工+2人故選B.

因之=In上?，于是生二三

Tdxy

20.C

21.D

22.B此題暫無解析

23.B

24.C

25.A

26.A

27.B

28.C

根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)xo處取極值的必要條件的定理,可知選項(xiàng)C是正確的。

29.D

30.A

函數(shù)的定義域?yàn)?-8,+00)o

因?yàn)閥t=3x2+12>0,

所以y單調(diào)增加，x￡(-oo,+oo)0

又y"=6x,

當(dāng)x>0時(shí)，y">0,曲線為凹；當(dāng)xVO時(shí)，"<0,曲線為凸。

故選Ao

xsinx2

［解析］運(yùn)用變限積分導(dǎo)數(shù)公式，得

—f,rsin/2d/=xsinx2

31.的

由，=e2”3?2—二1,故v'

V1—j-2

32.-2C7171x

33.一

34.2

35.22

36.x2lnxx2lnx解析

因?yàn)?(.^)=lj/U)dx]

/332

而[J/(x)dx]=(—Inx--+C)'=x2lnx+-......；=x?]iu

所以/(x)=x2lnx

37.A

38.

4xln2

39.(工十/1),(z+/)2

40.3sinxln3*cosx

41.

r

2(x+y)J

&_]

次一]+上?2盧.(★)2(X+>)VT-

X

42.

7=3,一2e-2x

/=6x+22e-2x

y"=6-23e-2x

(4)4-2x

y=2oe

y⑸=_25e-2”

43.-25e-2x-25e-2x解析■

44.

2

Jx>/14-xdx=gJ-^l4-x2d(l+x2)

￡

=-(l+jt:2)T+C

8

45.0

46.sin1

47.37/12

48.

1+1,

—arctan--------卜C

乙乙

f1.f1if1,1^x+1r

J/+2z+5J/+2z+l+4J(x+l)z+422

49.B

50.

田工+1產(chǎn)-小工+球+仁

51.C

52.1/2

53.C

54.C

55.0

因?yàn)閖im￡紅土空2r出是函數(shù)f（x）在*點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)解析式，而函數(shù)

Ai。AX

〃x）=ln4是常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,故填0.

56.

1

(2-x)?

57.

58.1n|x+cosx|+C

59.應(yīng)填0.

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在一點(diǎn)間斷的概念.

因?yàn)閘im/(s)3lim-——

所以*=0為此列間斷&.

6O.x=-l

由y""=e'sin2.,得

V=La*+2e飛os2x=e'(sin2i+2cos2z)■

=eJ(sin2x+2cos2x)4-eJ(2COS2JT-4sin2x)

=eJ(4cos2x-3sin2x).

由y""=e，sin2jr?得

/，=sin2x+2eJcos2x=er(sin2x+2COS2T)?

y*H>=eJ(sin2x+2cos2x)+eJ(2cos2x-4sin2x)

=e'(4cos2i-3sin2x).

應(yīng)交換積分次序.

62原積分=「"J答dy=「cos-rdu-箝皿|"二；?

應(yīng)交換積分次序.

原積分=/必[答dy=['cosxdr=sinuj=y.

63.畫出平面圖形如圖陰影所示

①s=￡（4X-2/）dx=（2?-*

②設(shè)過點(diǎn)（％?九）的切線平行于片44?則/（々）=4%=4,所以q=1,y*2,過此點(diǎn)的切線

方程為

y-2=4(x-l).即4x-v-2=0.

xarcsiru,dj=-Jarcsinj-d-x1

-x2arcsiru*+

一-“2arcsirtr+JcLr

64.x-V1-arcsinx+C.

fxarcsiar

—arcsin-rdvI-x1

-x*arcxinx+

一八一farcsinz+Jd?r

x->/\-arcsinx+C.

Jxf(T)d.rxd/^Cx)=，(《r)cLr

00o

=2/(2)-［八叫：=2-2=0.

65.

Jx/*(x)cLr2/'(?r)cLr

=2/(2)-［八］)］：=2-2=0.

66.解設(shè)F((x,y,k)=f(x,y)+k(x+2y-4)=x2+y2+xy+k(x+2y-4),

2x+y+A=0.

①

令②

由①與②消去人.得”0,代人③得y=2,所以/(0.2)=4為極優(yōu)

z=?令u=}=jryf(u).

空u+*>/，(“)身

OXOJC

=>/(?>+”''(“)?(-')=w(“)—

空=x/(l4)+13/‘(腦學(xué)

dydy

r

=X/(M)-Fxy/*(tt)?--=xf(u)+y/(M).

因此/生+*y孰=xyf(u)-y/^(M)+xyf(.u)+f(u)

dJ-dy

=2xyf(u)=

67.

z=xyf(.2)■令u==jryf(u).

空u”(〃)+xyf，(u)=

OJCox

二yf(u)+xyf'(u)?(-力='/(“—，/《)?

空=jrf(u)jryf'(u)孕

dydy

=j/(l4>+?y=x/(K)+”'(“)?

因此上翌+y空=xyf(u)^y:f，(u)+xyf(,u)+yx//(”)

o-Toy

=2xyf(.u)=2xyf(j).

原式=Jln(x+DcLr=x?ln(x+1)|—|x?j-^-ydx

=ln2—f(l------r)<Lr

JoX+1

=ln2-(x-ln(1+x))|

68.=ln2-(1—In2)=2ln2一］.

原式=Jln(x+1)clr=x?ln(x+1)|-Jx?--^-ydx

=ln2-f(l------7—r)dx

JoX+1

=ln2一(工-ln(1-f-x))|

=In2-(l-ln2)=21n2-I.

e-1)?cos1]

7n31-o8sm3x

e"一S一e

lim.._—lim(e/師&3J—lim(e*-1)?cos-

,”osin3xL0L。

-e='-e

limx?lim-

24/：一。241

中-。*-。

69.亍

Nl+r/'盯M1+不產(chǎn)

心十小『力.

70.

7”I：-卜叼

T…叱-獷門

=e，(e，-1)

T[~l]+1).

71.q

xe24dx=yjjden

7卜?貝_卜叼

=知?貝-步門

=7[e，~l<e，-1)]4-<e2+1).

4

原微分方程可化為y'+/T?

于電，方程的通解中=[J業(yè)+c].e必

?.?x+c]?亡

=(yln^+CJ.jA-

將初始條件1=1代人.有C=5,故滿足條件的特解為,

72.

原微分方程可化為、'+*=j

于是.方程的通解中=[J》B<Lr+C]?e-

Inxdj*+C

"'工+。)?之

將初始條件"=1代人.有C=5,故滿足條件的特解為,

亡7(—+亡卜

73.

曲線方程可化為

在(1,一2,1)點(diǎn)處曲線切線的方向向量為

s={/⑴H(I),/(1))=M?—y'2

因此.曲線在點(diǎn)(1.-2?D處的切線方程為

工一?=Z±-?=g~2.

I_22

法平面方程為

(x—1)--1-(y+2)+2(t—1)=0.

即

2n-3y+4之-12=0.

曲線方程可化為

在（1,一2,1）點(diǎn)處曲線切線的方向向量為

因此.曲線在點(diǎn)（1.-2.D處的切線方程為

工一1=X±2=2二-

1_22?

法平面方程為

<-r—l>~-1-(y+2)+2(t—1).0.

即

2x—3y4-4r-12=0.

74.

設(shè)F(?,y)=y3-x-arcco8(jry),

則

dF

宣___d?__I-，yi_y

所以J

dx'必為

ay

］廣.-tt.1+

lim/Id----\ef=limc“7**=

4"2\1)—i

令，=上.則原式

x

76.

由所給累次積分畫出原二重積分的枳分區(qū)域D的示意圖?如圖所示.據(jù)此將D

視作丫型區(qū)域.即

D=|O4y&l4工42-.

因此

jcLrJf(x^y)dy+Jdx|/(?r?y)dy

由所給累次枳分畫出原二重積分的枳分區(qū)域D的示意圖?如圖所示.據(jù)此將D

視作丫型區(qū)域.即

D=(<x?y),64工42-y).

因此

jdrjf(x9y)dy+Jctrj/(jr9yidy/(x?^)cLr.

5inj

i-tanjrcosjr..sinx?1?

hm------=lim------=lim------?h(m-------1X1=1.

77.J7X，3XLQJTCOST

sinx

rtaiurcosxsiru,1,1,?

!im------=vhm------=rlim-------rItm------=1X1=L

t?<?XN-TCOSX

78.解設(shè)F(x,y,Z)=X2+y2+Z(2x+3y-l),

F：=2X+2A、=0,

令

F；S2>+3A=O,

F；=2x+3y-l-0

消去A.解得“看,y=5.則怎曷q為極值.

2

8O.f(x)=3ax2+2bx,F(-l)=3a-2b=0,再由f(l)=5得a+b=5,聯(lián)立解得

根據(jù)求導(dǎo)經(jīng)驗(yàn),直觀看出原方程可寫為

兩端積分有

/y=yx*+C

所以原方程的通解為

81.

根據(jù)求導(dǎo)經(jīng)驗(yàn),直觀看出原方程可寫為

（eJ，y）r=H.

兩端積分有

所以原方程的通解為

被積函數(shù)分子分砥同乘(1一4皿),得

xinxd-sinx)^=f普￡業(yè)_卜an-d_r

1-sinxJcosXJ

n—f如2”—f(sec2JT-1)dLr

Jcos\rJ

=--——Isec2xdjr+|dr

82.COSXJJ

被積函數(shù)分子分砥同乘（1-sini）.得

xinxd-sinx)^=f普￡業(yè)_卜anydi

1-sinxJcosxJ

―—fd-Ddx

COSXJ

+Jdr

----------Isec2x(Lr

cosxJ=l/cosx-tanx+x+C

方程可化為？+?aor=2+tmr這是一階線性微分方程,利用通解公式

dr

y-e['—[Jlsej+tanx)efu"u4jdx+C]

rfjiecx+tanx.,2

工co5-------------------ar-b(

Pcosx

=COSJ/tartr+---+C\

\cosur/

83.=sinx+Ccosur+1.

方程可化為華+?皿=wr+tanr這是一階線性微分方程,利用通解公式

（U*

(seer+lanxJef^dr+C]

y

rfsear+tanx」,r.n

co^r-------------------ar-rC

[JCOJU*

COSJ/tanx4---------+(

\cosur

sinx+CCORT+I.

f(x—2)dLr=/(r)dr

/(t)dz+[7(r)dz

-iJo

pfl,71

(1+，,><!，+e出.丁一:?人

84.令x-2=t那么:'令，x-2=t,

/(x—2)dLr=1/(1)dz

=T/(t)dr4j7(r)d4

=J(1+1*)d/4-[e*d/—y

那么：

85.

當(dāng)“聲0時(shí)?/(/)=八由十是初等函數(shù),可直接求導(dǎo),即

/(工)=(x2sin—)"

x

=2xsin—+x2cos—(----)

XXx1

一=Zxsin-1-----cos—1?

XX

當(dāng)z=0時(shí)，

/(0)=lim￡紅匕.。)=lim—nJ=lim.rsin上=0.

i-。JTr-0X」一。X

當(dāng)工聲0時(shí)?/(.)=*'in｝是初等函數(shù),可直接求導(dǎo).即

f(工)=(x2sin—)z

x

=2xsin—+x1cos—(―工)

XNI?

一=Zxsin-1-----cos—1?

“x

當(dāng)z=0時(shí)，

2?1

一r-/<0)J7.1

J<0)=hm1----------2-----=lim-----------=hm.rsin—=0.

?一。JTx-?ox*-?(?x

86.f(x)的定義域?yàn)?-8,0),(0,+oo),且

/*(X)=2X+4JW(X)=2-4.

XX

令，'(工)=0.得x=-l:令「(x)=0.得*=匯

列表如下：

X(-?.-1)-1(-1.0)(0,⑶(蘇)

/,（X）-0

r（＜）??-0

段小值3拐點(diǎn)（蘇,0）/

由上表可知,函數(shù)/（工）的單調(diào)減少區(qū)間為（-8「1）,削網(wǎng)增加區(qū)間為（-1,0）和（0,+8）;

/（-1）=3為極小值；

函數(shù)的凹區(qū)間為（-8.0）和（蘇，+8）,凸區(qū)間為（0,?）；

拐點(diǎn)坐標(biāo)為（蘇.0）.

=]=______L_\

'J"'+41+32(工+1x4-3)

y=l)(x+1)z—(-1)(工+3廣勺.

￡t

y=2)(x4-1)7—(-2)(1+3)7]

Ct

=:(一1)(一2)[(1+1)7―(工+3)4.

y-y(-l)(-2)[(-3)(x+l)4一(-3)Gr+3)T]

=y(-l)(-2)(-3)C(x-|-l)-4-(J-+3)-'],

w

*

*

故y*=J(-l)"n![(x+l)-^0-(工+3)””].

=]=J_/^L______1_\

y一尸十。+3—~2(z+1工+3)

y=一l)(x+1)z—(一DQ+3廣勺.

￡t

y=2)(x+l)-,-(-2)(x+3)s]

=](一1)(一2)[(1+1廠一(]+3)3],

Z=y(-l)(-2)[(-3)(x+l)4-(-3)(x4-3)-1]

=-1-(-D(-2)(-3)[(x4-l)-4-(j-4-3)-1],

Ct

*

■

故y)=9(一l)”！[(z+1廠3”一(l+3廠1“].

88.

「/(j：)dx=f(z)cLz+/(x)dx

J0

=ln(1+er)

In2-Ind+e*)+-J-「,-.d<2x)

ZJo1+4JT*

In2-ln(1+e')+~arctan2j

ln2-ln(l+e')-F^-.

o

/(x)dx=f(z)cLz+?/(x)dx

Jo

=ln(1+er)4-

In2-ln(l+e,)+y￡-q^pd(2x)

In2—ln(1-He1)+-^-arct