云南省大理州祥云縣部分高中（云·上聯(lián)盟五校協(xié)作體）2024屆高三下學(xué)期復(fù)習(xí)摸底診斷聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省大理州祥云縣部分高中（云·上聯(lián)盟五校協(xié)作體）2024屆高三下學(xué)期復(fù)習(xí)摸底診斷聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.樣本中共有個(gè)個(gè)體，其值分別為、、、、，若該樣本的中位數(shù)為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、，中位數(shù)為，不合乎題意；若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、，中位數(shù)為，不合乎題意；若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、，中位數(shù)為；若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、，中位數(shù)為；若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、，中位數(shù)為.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.2.已知，則的最小值為（）A.6 B.5 C.4 D.3〖答案〗D〖解析〗由于，所以，由,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），可得的最小值為3，故選：D．3.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，且為邊上的高，為邊上的中線，則的值為（）A.2 B.－2 C.6 D.－6〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，又BE為邊AC上的高，所以，且在中，，所以.故選：D.4.歐拉公式（是自然對數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，.故選：A.5.第33屆夏季奧運(yùn)會預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會將新增2個(gè)競賽項(xiàng)目和3個(gè)表演項(xiàng)目．現(xiàn)有三個(gè)場地A，B，C分別承擔(dān)這5個(gè)新增項(xiàng)目的比賽，且每個(gè)場地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（）A.150種 B.300種 C.720種 D.1008種〖答案〗A〖解析〗若三個(gè)場地分別承擔(dān)個(gè)項(xiàng)目，則有種安排，若三個(gè)場地分別承擔(dān)個(gè)項(xiàng)目，則有種安排，綜上，不同的安排方法有種.故選：A6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，成等差數(shù)列.若數(shù)列中存在兩項(xiàng)，使得為它們的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A.3 B.4 C.6 D.9〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由已知條件求出等比數(shù)列公比，得到，利用基本不等式求的最小值.【詳析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，由，，成等差數(shù)列，有，即，得，由，解得，若數(shù)列中存在兩項(xiàng)，，使得為它們的等比中項(xiàng)，則，即，得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為3.故選：A7.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)雙曲線焦距為，則、，不妨設(shè)漸近線的方程為，如圖：因?yàn)橹本€與直線垂直，則直線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，又，故，所以，，整理可得，所以，又，所以，故該雙曲線的漸近線方程為.故選：D.8.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，即，，即，因?yàn)?，所以，即，且，則，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題9.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由為奇函數(shù)可得，即，，即，即，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，由是偶函數(shù)可得為奇函數(shù)，，即，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱；將代入，得，將代入，得，B選項(xiàng)正確；將代入得，得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)正確；將代入，得，故，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10.我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出一條原理：“冪勢既同，則積不容異”，即兩個(gè)等高幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．利用該原理可以證明：一個(gè)底面半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的半球的體積相等．現(xiàn)有一個(gè)半徑為R的球，被一個(gè)距離球心為d（）的平面截成兩部分，記兩部分的體積分別為，則（）A. B.C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，〖答案〗ACD〖解析〗（同底等高），，A對．，B錯(cuò)．對于C，，，C對．對于D，時(shí)，，，在，，D對．故選：ACD.11.如圖，在長方體中，，，是棱上的一點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，，四點(diǎn)共面，則B.存在點(diǎn)，使得平面C.若，，，四點(diǎn)共面，則四棱錐的體積為定值D.若為的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積是〖答案〗BCD〖解析〗對A，由四點(diǎn)共面，得，則，若不是棱的中點(diǎn)，則，故A錯(cuò)誤.對B，當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則.因平面平面，所以平面，則B正確.根據(jù)長方體性質(zhì)知，且平面，平面，所以平面，同理可得平面，則點(diǎn)，到平面的距離為定值，又因?yàn)榈拿娣e為定值，所以三棱錐和三棱錐的體積都為定值，則四棱錐的體積為定值，故C正確.取棱中點(diǎn)，由題中數(shù)據(jù)可得，則，所以為等腰直角三角形，所以是外接圓的圓心，外接圓半徑.設(shè)三棱錐的外按球的球心為，半徑為，設(shè)，則，即，解得，則，此時(shí)點(diǎn)位于中點(diǎn)，從而三棱錐的外接球的表面積是，故D正確.故選：BCD.三、填空題12.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）．〖答案〗80〖解析〗對，有，令，則，有.故〖答案〗為：.13.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，若，可得；若，，函數(shù)的值域不可能為；②當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，若函數(shù)的值域?yàn)?，只需，可得．由上知，?shí)數(shù)a的取值范圍為．故〖答案〗為：14.如圖，在中，，在直角梯形中，，，記二面角的大小為，若，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為______．〖答案〗〖解析〗如圖，以和過點(diǎn)垂直于平面的直線建立空間直角坐標(biāo)系，則由，，可知為二面角的平面角，又，，設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，其中，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值,則的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)和的值；（2）求在上的最大值（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．解：（1）因?yàn)椋?，由題意可得，，解得:，.（2）由（1）可得，所以，且，易得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，，且，即最大值為：.16.三月的祥云，隨著氣溫回暖，忙碌的農(nóng)田里也春意漸濃.祥云縣堅(jiān)持鼓勵(lì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，進(jìn)一步保障糧食安全，守好人民的“糧袋子”.已知某種業(yè)公司根據(jù)當(dāng)?shù)貧夂驐l件和土壤狀況培育了新品種的軟籽石榴，從收獲的果實(shí)中隨機(jī)抽取了50個(gè)軟籽石榴，按質(zhì)量（單位：g）將它們分成5組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖.（1）用樣本估計(jì)總體，求該品種石榴的平均質(zhì)量；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）按分層隨機(jī)抽樣，在樣本中，從質(zhì)量在區(qū)間，，內(nèi)的石榴中抽取7個(gè)石榴進(jìn)行檢測，再從中抽取3個(gè)石榴作進(jìn)一步檢測.記這3個(gè)石榴中質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）該品種石榴的平均質(zhì)量為，所以該品種石榴的平均質(zhì)量為416g；（2）質(zhì)量在區(qū)間，，內(nèi)的頻率比為，所以分層抽樣抽取時(shí)，質(zhì)量在區(qū)間，，內(nèi)的石榴個(gè)數(shù)分別為2，2，3.由題意X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P.17.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，，高為，O，E分別為底面的中心和的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．（1）證明：連接、，∵O，E分別為的中點(diǎn)和的中點(diǎn)，∴∥，∵∥，∴∥，∴四點(diǎn)、、、共面，∵，，且，、平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，（2）解：分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，∴，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，，∴，∴，∴.18.已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，其右準(zhǔn)線為，點(diǎn)到直線的距離為，過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，證明：直線過定點(diǎn)．（1）解：由題意，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線，當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，所以，直線的方程為：，所以的方程為，由對稱性可知過的定點(diǎn)一定在軸上，令，又，所以，所以直線過定點(diǎn).19.十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0