2023年河南省三門峽市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考真題(含答案)

2023年河南省三門峽市成考專升本高等數(shù)

學(xué)二自考真題(含答案)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

、單選題(30題)

1設(shè)〃，冽吟尸+吟尹等于().A.2(x-y)B.2(x+y)C,4D,2

設(shè)］汕"包1竺2=i,則皿

2.XT。X

A.A.-lB.-2C.1D,2

3.

設(shè)心)=的，則［"(x)dx］'=

X

COSXB.皿膽+C

A.----C.—+CD.

xXxX

4.3個(gè)男同學(xué)與2個(gè)女同學(xué)排成一列，設(shè)事件A=｛男女必須間隔排

列｝,則P(A)=

A.A.3/10B.1/10C,3/5D.2/5

5.

設(shè)函數(shù)z=(In,尸，則需等于

A.1,(1”尸tB.Qny尸Inlny

C.3(lny尸InlnyD.xdnj)^Inln^

下面命題中正確的是

A.無(wú)窮小量是個(gè)絕對(duì)值很小很小的數(shù)

B.無(wú)窮大量是個(gè)絕對(duì)值很大很大的數(shù)

C.無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量

D.無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量

lime1'=

7.i

A.A.OB.lC.+ooD.不存在且不是+oo

8.設(shè)u=u(x),v=v(x)是可微的函數(shù)，則有d(uv)=

A.A.udu+vdvB.u'dv+v'duC.udv+vduD.udv-vdu

。設(shè)函數(shù)2=命(即J,則右等于().

y."

A.y4cos(xy2)

B.—y4cos(xy2)

C.y4sin(xy2)

D.—y4sin(xy2)

)

A.0C1

10.

11.

若x=-l和x=2都是函數(shù)/(x)=(a+x)標(biāo)的極值點(diǎn)，則a,方分別為

A.A.2,-1B.2,1C.-2,-lD,-2,l

12.J(sinx+近)dx=()o

A-8SX+-X、+C

A.4

casx+—x3+C

B.4

I」

COSX+-X3+C

C.3

?4「

cosx—x'+C

D.3

13.

設(shè)/Cr)是可導(dǎo)函數(shù)，且lim—+22一/(迎2=i,則/，(工。)=

ioh

[]

A.lB.OC.2D.1/2

14.

設(shè)函數(shù)z=z(x?>)由方程xy=en—Z所確定,則鑒=_________.

OJC

設(shè)/(1)=/sinx,則/蜴)=()

A"B,C窿,

1524Onx-29

16.已知事件A和B的P(AB)=O.4,P(A)=O.8,貝1JP(BIA)=

A.A.O.5B.O.6C.O.65D.O.7

,_設(shè)C-/L?則~

17.aray

已知f(r)=3T-e*.則r(O)

A.1

B.2

C.3

18.D-4

19.

設(shè)函數(shù)/(")=/(，-l)d，,則/(x)有().

A.極大值/B.極大值-/C.微小值!D.極小值

20.有兩箱同種零件，第一箱內(nèi)裝50件，其中一等品10件;第二箱內(nèi)裝

30件，其中一等品18件：現(xiàn)隨機(jī)地從兩箱中挑出一箱，再?gòu)倪@箱中隨

機(jī)地取出一件零件，則取出的零件是一等品的概率為【】

sin2(;r—1)

x一1

設(shè)函數(shù)/（工）=<則岬/（了）等于

21

N?一1、r>1.

A.0

B.1

C.2

21.D.不存在

已知/(x)的一個(gè)原函數(shù)為『+sinx,則J/'(x)dr=

22.

▲.F+sinx4c

A.A.

x3

--cosx+C

B.3

C.2x+cosx+C

n2xCOSX4-C

設(shè)函數(shù)"2幻=，+e*,貝ij廣（x）=

乙3?

—+e2

B.4

C.2x+2e2x

4x+2e2x

設(shè)〃，v都是可導(dǎo)函數(shù)，且VWO,則(%)'=八

24.v()o

U/

A./

八一〃/

B.v2

八+uv/

C./

uv^-uv

-72-

D.1

、■|2x+lx<0…，、

設(shè)/(x)=I,,則/[lim/(x)]=

25.U-x>0J()o

A.OB.-lC.-3D.-5

26.

已知八幻在工=1處可導(dǎo)，且/(D=3,則lim八】十"二/⑴等于

ion

A.0

B.1

C.3

D.6

27.下列廣義積分收斂的是()o

Inxdx

A.J1

?4-00

e^dx

D.J1

28.

廣義積分?「"警曝等于(),

Ji1+X

A5LRcn3i

16B.32，C.我D.r

29.d

已z3)】=L則［&)=

lxx2

A.一B.-1C.2D.-4

五

30.設(shè)100件產(chǎn)品中有次品4件,從中任取5件的不可能事件是

()O

A.“5件都是正品”B."5件都是次品”C.“至少有1件是次品”D.“至少有

1件是正品“

二、填空題（30題）

31.設(shè)函山“廣則言=

Inn

32J7廣sinZr

33.由曲線y=x和y=x2圍成的平面圖形的面積S=

34.

S-1023

設(shè)隨機(jī)變量&的分布列為,a3a2aa3a,則。二.

10ToIo10To

..Jl+x-1

lim-------------

*-*0r

35.

36.設(shè)函數(shù)/（x）=*'+i,則/（口的極小值為

37.

設(shè)函數(shù)y=/+2”，則y?(l)=.

r4<0

設(shè)函數(shù)/(x)=L'(在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則常數(shù)A=

Jo.I1+COSX.X'0

39.

設(shè)J：/a）”=,’則『十/（五）的=

40.

鼠序也

/(x+Ax)-/(x)

設(shè)f(x)=ln4,貝ijlim

Ax-?0

41.Ax

|im<n+l)(n4-2)(Wt3)

42.fn

43.

設(shè)2=3?：5指⑶)，則2^=

axdy

44.

設(shè)函數(shù)z=/(")存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)去品則&=

45.

4i-x

=dx=

7x/l-x.2

46.

設(shè)y=f(a~x),且/可導(dǎo)，則/=

47.

設(shè)/(1)=1,則lin/巴二/⑴=____.

x-*lN1

設(shè)/(x)=j：Inrdr(則//(x)=

48.

_f,(1.

5A0.-1

51.

已知P(A)=().6,P(B)=().4,P(B|A)=().5.則P(A+B)=

52.

/《/）=（*-）?中（1》其中舊《1）可導(dǎo),則//（Xu）=

A?0B.xo)C.fp*(x0)D.oo

53.

卜』+2"=.

54.若廣占匕=：,則。=-------

，l+2x

dx=

2

55.Vx+x

設(shè)函數(shù)y=3C則其單蠲遞增區(qū)間為______.

sin(ox_2)一2,則°=

hm-------:---------------------------------

57?—I

UQ曲線y=2+i的水平漸近線是^--------

bo.「

設(shè)/(x)=arctanx2.則lim』(一~/(2)=

59.

60.

,X-1(X<1.

設(shè)函數(shù)八外二產(chǎn)，工=1?則lim/Cr)=

.Z-I

A.1B.0C.2D.不存在

三、計(jì)算題(30題)

61求函數(shù)?=areum(x*y)的全微分.

62.

求!(二+/)匕.其中D為y=].y=#+a.y=a和y=3a(a>0)為邊的平行四

邊形.

設(shè)函數(shù)z=/仔具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求甚,如.

63."'dxdxdy

64.求二元函數(shù)f(x,y)=x2+y2+xy在條件x+2y=4下的極值.

65.求函數(shù)f(x)=(x2-l)3+3的單調(diào)區(qū)間和極值.

66求不定枳分[[e十ln(I-r)Id,.

G設(shè)Z=z(x,y)是由方程』+y2_e，=o所確定的隱函數(shù)求自

67.而

設(shè)之=產(chǎn))?其中/(?>可導(dǎo),求工孰+y察.

68.於3y

設(shè)人工)為可徵函數(shù)且稠足方程，

(x>0).

69.求函數(shù)/(x).

d，dy.其中D是由直線y=_r.y=1及3軸圍成的區(qū)域.

70.

71.求微分方程3x*+Sx—5y'=0的通解.

72計(jì)算不定枳分［工＞/2x+Idr.

73計(jì)算,其中。為圜環(huán)區(qū)域44.

計(jì)算二重物分;耳＜,其中是由直線與雙曲線”

Lrd,Dr-2,,-xi所圖成

74,的區(qū)域.

求極限limxM,w.

__.一Ct

已知曲線試求：

(1)曲級(jí)在點(diǎn)(1.11處的切蚊方程與法線方程；

76.'2＞曲線上舞一點(diǎn)處的切蚊與直線》=4工-1平行？

77設(shè)［=/(2)是由方程3)+/所確定，求今

求不定積分f—隼=＞

78.J1+

79求函數(shù)vrarctanj-In4?/的導(dǎo)數(shù)

8。.計(jì)咪壯

求極限limz-z?ln/l+

81.

82.慢函數(shù)z=y'+"（￡??）?其中/（，,＞）為可It函數(shù).求dz.

fl+x?.0.

設(shè)函數(shù)r(x)-J求2)dx.

83.”j>0.12

84.求uuntxye）的全微分.

(X=r-In(l+H

巳知函數(shù)工■x(y)由參數(shù)方程J確定,求齡.

85.\y=arctan/

86求總分方程＜v,v'=1一l’的通解.

87.設(shè)曲線y=4-x2（xK））與x軸，y軸及直線x=4所圍成的平面圖形為

D（如

圖中陰影部分所示）.

①求D的面積S；

②求圖中x軸上方的陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy.

設(shè)八外是連續(xù)函數(shù)，且「⑺山=八求八7).

88.J

89.①求曲線y=x2(x>0),y=l與x=0所圍成的平面圖形的面積S：

②求①中的平面圖形繞Y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy.

90.求函數(shù)9?的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

四、綜合題(10題)

91.

過(guò)曲線.V=上某點(diǎn)A作切線.若過(guò)點(diǎn)人作的切線?曲線y，，及J軸圍成

的圖形面積為之.求該圖形繞」軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積V.

設(shè)成數(shù)/（x）?■1-2arct*nj^?

（I）求函數(shù)〃了》的單,區(qū)間和極值，

92.K曲“八」）的凹凸M間和拐點(diǎn).

93.

設(shè)拋物線y=ar'+&r+，過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)04工41時(shí).y20,又已知該拋物線與1軸及

x=1所圖圖形的面積為4?.試確定a.6,r,使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體枳最小.

巳知曲線》=aG（a>0）與曲線In6在點(diǎn)（工。~。）處有公切線,試求?

（1）常數(shù)a和切點(diǎn)（工。?山）：

94.（2）兩曲線與，軸圍成的平面圖形的面積S.

Q4求函數(shù)y=）6—一函的服調(diào)區(qū)間和極值.

求函數(shù)人］）=1一。++4的單曲區(qū)間和極值.

96.

97.

設(shè)函數(shù)》=ar'—ear?+6在［-1.2］上的最大值為3.最小值為-29.又u>0,求a,b.

98.

設(shè)函數(shù)人工）在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù).在開區(qū)間（0,1）內(nèi)可導(dǎo)且/（0）=/（I）=0,

/（7）=】.證明:存在￡W（0.1）使/（￡）=I.

求由曲線N=r,4與y=所Bl成的平面圖形的面枳.

?oo?-

100.求由曲線y：=（x-1）'和直線1=2所圉成的圖形舞/軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.

五、解答題（10題）

設(shè)f(x)=xln2x,且/求/(4).

102.

做一個(gè)如卜圖所示的角鐵架子，其底為等腰三角形的底邊，底

邊長(zhǎng)為6m、架f總高為5m,試求所用角鐵為最少時(shí)，三根用鐵的長(zhǎng)度各為多少?

103.

求證：當(dāng)x>l時(shí)?e<>ex.

104.設(shè)函數(shù)y=JCQSI，求Ay.

105.

討論「"廿、*(a22)的斂散性.

JaT(Inj)

106.

107.求函數(shù)/（外=工3-舐+1的單調(diào)區(qū)間和極值.

108.

求由曲線與x=2,y=0所圍成圖形分別繞工軸,‘軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的

旋轉(zhuǎn)體體積.

109.(本題滿分10分)

110.

設(shè)"X=1Z求石，石dz.

六、單選題(0題)

設(shè)/(])=/sinx,M//(1)=()

UI.*C岑D.”2

參考答案

1n【解析】因?yàn)榛鹕?登p=2“2人故選B.

1.Bady

2.A

sin(2』-ox)等價(jià)代換2x2-ax.

lim----------------------------lim------------=-a=l所以a=T

XTOxxtOx

3.B解析：由不定積分的性質(zhì)可得?

4.B

5.C

6.D

7.D

因?yàn)楫?dāng)工一1一時(shí)，—而當(dāng)X-1?時(shí)，—1—

X—1X-1

II

所以當(dāng)時(shí)，ei-0,而當(dāng)時(shí)，ei—+co

I

貝ijlimez不存在且不是go,故選D.

XTl

8.C

由乘積導(dǎo)數(shù)公式妁叱=“卬+”/,

dx

有d(MV)=v(u*dx)4-w(v*dx).即d(uv)=udv+vdu.

9.D

z對(duì)X求偏導(dǎo)時(shí)應(yīng)將y視為常數(shù)，則有

2

^1=cos(xy2)-y=-y2sin(xy2)°丁=一八皿(4),所以選口.

10.B

ll.B

因?yàn)?V)=e—^(a+x)e—^(-4h)=e~^-~~bx一—ub

xX

由于x=-l,x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。

l+b-ab=O

所以

4-2b-ab=O

解得a=2tb=i

12.A

13.D

stfd/=sinti2)2，(，)'=2isinz1.

1y-ze

15.C

16.A

生”="=0.5.所以選A.

P(⑷0.8

17(2i+，y)e'?(2_r+.r：y)e”

18.D

19.D

答應(yīng)選D.

分析茶題主要考查極限的充分條件.

:罡叮以先積分,求出/(x),然后再求其極值?最簡(jiǎn)捷的方法是利用變上限定積分先求出

:=1>0.所以〃有極小值/⑴=，(-1)山=卜-1)[,=一9,所以

設(shè)A,=保出的是第述｝上=1,24=(取出的是一等品｝.由題意知/(4)=D(4)=),

in1ioo

P(BA])=7=y,P(BIA2)=-=y,由全柢率公式知:P(B)=P(Ai),P(B|4)+

P(Ai)P(BIA2)=[xq+4x~^=g.

Z3Z33

21.D

22.C

根據(jù)原函數(shù)的定義可知f(x)=(x2+sinx)'=2x+cosx。

因?yàn)樽o(hù)(x)dx=f(x)+C,

所以護(hù)(x)dx=2x+cosx+C。

先用換元法求出小）.+凡

1—

所以/'(0=5+3標(biāo)

24.B

25.C

因?yàn)閘ira/(x)=lira(X2-3)=-2,

Ix-*|

所以/[Um/(x)]=/(-2)=(2x+l)|“2=-3.

26.C

27.B

28.B

答應(yīng)選B.

提示本題考查的知識(shí)點(diǎn)是廣義積分在換元時(shí)，其積分限也應(yīng)一起換?

設(shè)u=arctanx.貝I]x=1時(shí),u=孑;wt+8時(shí)，u—.所以

arctan=rarc(an(arctanx)=arctanx)

29.B解析

因?yàn)?；?（4））=八」）（，）=-^八1）=,所以廣（4）=一十

drxxxxxxx2

取x=a有/&）=-+=-i

22,-72

30.B

不可能事件是指在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件。由于只有4件次

品，一次取出5件都是次品是根本不可能的，所以選B。

31.6x2y

32.1

33應(yīng)填1/6

畫出平面圖形如圖2-3—2陰影部分所示，則

1

34保析J因?yàn)榉嚼溴P數(shù)意所以a=1.

1_

2

［解析］使用“共擾”方法，分子、分母同乘VTTT+1.

..J1+X-1(V1+X_1)(V1+x+1)

hm-----------=lim--------------------------

…x…xM+x+1)

..x..11

=hm----7-----=hm------——=—

x(Vl+x+1)fJl+x+12

36.應(yīng)填1.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)?(x)的極值概念及求法.

因?yàn)閒'(x)=2x,令f'(x)=O,得z=0.又因?yàn)閒〃(x)|x=0=2>0,所以

f(O)=l為極小值.

37.

〃！

先求出函數(shù)了=父+2"的〃階導(dǎo)數(shù)，再將/=1代入，注意：2"是常數(shù)

因?yàn)閥'=w"T

<=帥-1)產(chǎn)？

y,")=n(n—l)(n-2)--1-n!

所以/**(!)=?!

38.

函數(shù)在點(diǎn)工=0處連續(xù)，則/<o-o)=/(o+o)=/(o),其中

/(0-0)=lim/(x)=limAe"=*,

/(0+0)=lim/(x)=lim(1+cosx)=2,

f(0)=(1+C08X)I..fl=2,

所以k=2.

39.

…利用變上限積分的定義，當(dāng)上限取某一定值時(shí)，其值就唯一確定.

因?yàn)棰興r=]所以當(dāng)x取8或2時(shí)有⑴dr=^,⑷dr=弓

設(shè)y/x=t,則X=f2,dx=2fdf

xI1I4

~ti2

于是J：十/(4)dx=2j"(6)d(4)=2⑴d/=2.餐=16

40.

sinx

eM7!

41.

o

[解析]因?yàn)閘im/口+八2二/⑴是函數(shù)f(x)在x點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)解析式，而函數(shù)

ADAX

/(x)=ln4是常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,故填0.

42.

dz_y

?J]-#2y2

1__________]￥z_8]y1

43.J(l—，y2)3而丁丹解析：dxdy~dy"―沙~/l-x2y2)3

44.

dz,dz、

—ax+—ay.

dxdy

解析：

解題指導(dǎo)本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二元函數(shù)全微分的定理.

根據(jù)二元函數(shù)全微分的定理可知dz=?而+半町.

dxby

45.Tr/3n/3解析

因?yàn)閇田

2—==dx(根據(jù)奇、偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分性質(zhì))

07r7

=2arcsinx|^=2x^=^

46.

-a~x\na-f\a'x)

-Lina-)

力丁一)(尸)'

=f\a~I)\na-a~z(-xY

解析：=-LEaf<a7)

47.1/2

48.1nx

49.X3+X.

5O.n/2

因?yàn)镻(A+W)=P(A)+P(B)-P(AS)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B\A)

51.0.70.7解析:=0.6+04-0,6x0,5=0.7

52.B

sW+cW+c

53.44

54.利用反常積分計(jì)算，再確定a值。

因?yàn)镴_id,=arclan*|

TT,IT

二2一arctana=—,

24

即arctana二;，則有a=1.

4

55.

24+x，+C

22

[解析]JLt3L.dx=\-r--vd(x+x)=2>/x+x+C.

vx+x2vx+x2

56(-8,0](-2C.0]

57.2

58.應(yīng)填y=l.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是曲線水平漸近線的概念及其求法.

因?yàn)?lim"F型達(dá)--lim與=I,故曲線有水平漸近線y=I.

59.x=-1

［解析）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是x>-l,

而limln（l+x）=-o<>.

I-4-1*

所以x=-l是曲線的鉛宜漸近線.

60.D

2

=]+//'‘'=i+x,y*

^ttr+r+x,?dy-

首先畫出積分區(qū)域D.把它看做y型.則

jj(x2+y2)da=JdjJ(x2+y2)cLr

D",3

dy=14a2.

62.二1(*+九)y*?*

首先畫出積分區(qū)域D.把它看做y型.則

(x2+y2)cLr

D

dy=14az.

*

需=//+//4

揖+/『（一句"+八（一同

Ai辦,

手八一**

63.

he

drdy

64.解設(shè)F((x,y,k)=f(x,y)+Z(x+2y-4)=x2+y2+xy+k(x+2y-4),

①

令^=2y+x+2AxO

t②

普=x+2y-4=0,③

,0A

由①與②消去A.得工=0,代人③得y=2,所以/(0.2)=4為極值.

65.函數(shù)的定義域?yàn)?-8,+oo),且

F(X)=6X(X2-1)2

令r(x尸o,得

Xl=0,X2="l,X3=l,

列表如下：

X(?-!)-1(-1.0)0(0.1)1(1)

/,(?)-0-00

■,

?

/lx){0)=2為極小(ft

由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,0),單調(diào)增區(qū)間為(0,

+◎；f(0)=2為極小值.

+ln(l+z)]d<r=-1-e2zd(2x)4-jln(l+才)業(yè)

=4-e2j4-jln(1-|-x)—[———dr

4JI十jr

=9e"+zln(l+/)—J[1—d/di

=于仃'+-rlnC1+x)—x+ln(1+x)+C.

J[e.'+ln(l+x)]dr=yjend(2x)+Jln(l十”)clr

=J++“l(fā)n(1+x)—[T-y--cLr

/J1+JT

=+zln(1+?r)-j[l-Jdx

=+-rln(1+x)—1+ln(1+x)4-C.

67.設(shè)F(x,y,z)=x2+y2-ez,

則必出，更…

dx'dz

dzdx2x

所以—=一~=—.

dxdFe,

z=jryf)?令〃=衛(wèi)?z="/(〃)?

dz=W(“)4-xy/<u)嘉

=y/《〃)+*y/'(M)?(一j)—>/(u)—?

Bz=jrf(u)+?ry/'(“)言

ay

=.r/(w)+?ry/'(〃)?:=xf(u)+

因此喑+嚙2八")一〃(“)+”/⑴+此外

=2xyfiu)=2xyf().

68.

z=1”(二)?令u==jryf(u>.

dz>/(?)+xy/(u)du

aTdx

=yf(u)+*'/'(“),(一力=yfiu)

a;x/(w)+?ryf'(u)du

dy4y

?r/(“)+?ry/'(u)?一=x/(?)+y/'(M)?

因此電+嚙=Q/⑴-〃⑺+x"B+”⑷

=2xyf(u)=Zxyf().

v/(x)為可微函數(shù).方程式兩端而工求導(dǎo)得

兩端再對(duì)上求導(dǎo)得

(1—x)/(J-)=2x/(x)-￥■x1f(x).

即=(l-3x)/(x),

上式是可分離變量的微分方程.通解為

69./(x)=Q"he為任意常數(shù)).

??,/(r)為可微函數(shù),方程式兩端對(duì)J■求導(dǎo)得

j(l-r)/(/)df=〃(工)，

兩端再對(duì)上求導(dǎo)得

(1—Jr)f(j-)=2x/(x)x1f(x).

即=(1-3x)/(x),

上式是可分離變故的微分方程.通解為

/(X)=Cr%+(C為任意常數(shù)).

70.

積分區(qū)域D如圖所示,由于被枳函數(shù)八#沙)=eJ,因?yàn)榇嗽摱罔追诌m用

于化為“先對(duì)x積分.后對(duì)y積分”的二次枳分進(jìn)行計(jì)算.

[04y&l.

又區(qū)域D可我示為:

積分區(qū)域D如圖所示,由于被積函數(shù)八N.Wner,因?yàn)榇嗽摱罔追诌m用

于化為“先對(duì)X枳分.后對(duì)》積分”的二次積分進(jìn)行計(jì)K.

[04y4l.

又區(qū)域。可表示為:

e/dxdy=|d>Jc'dx

于是，

=Jy?E，dy

一*'l:

11

7-2e

原方程變形為

5翌=3,+5].

dr

分離變量得

5dy=(3/+5*)dx.

積分得

5>=x1++C|,

故通解為

y="+#+C.

71.

蟆方程變形為

5半=3,+5x，

dr

分離變量得

5dy—(3x*+5j)dr.

積分得

5y=x*4--|-x*+C(,

故通解為

令02x+1=".即1=：(!?—l)?dj=?|?“二d〃,于是

Jxy/2x+Idr=J--(KJ-DM?

-yf^a*“，)d”=/1i?+c

理急2”+lV-白⑵+i)++c

72.4010

令加耳I=“?即.=l),dr=”?于是

JxJ2x+Idr=J-(uJ-1)u?--tt'dw

.ttJ)dw=~uT—+C

一4(2z+AY⑵+1H+C.

60Ib

73.

積分區(qū)域D如圖所示.D的邊界/+/=1-'+V

=4用極坐標(biāo)表示分別為r=1.r=2,故積分區(qū)域/）在極坐標(biāo)

系下為

{(r,0)|04夕&2<，1<2},

故

iQzd/dy=|d。1r2cos2^>dr

i)

cos2Odd\r3dr

cos2060

=?j2cos2Odd

=竽J(1+cos20)dd

s2

=/in2。)*=15K

。4

積分區(qū)域D如圖所示的邊界1+V=1、/+V

=4用極坐標(biāo)表示分別為廠=l,r=2,故積分區(qū)域D在極坐標(biāo)

系下為

{(r,0)|0&夕42*,W2}，

故

jjz*dxdy=j此1r2cos'a"

I)

=Jcos7，dr

r找c

=與］cos2Odd

2cos2Odd

15產(chǎn)

￥jo(1+cos20)d0

=孰+畀如:=竽

(1&za2.

先沿y方向積分,區(qū)域D可表示成J11則

一&y&八

不】，j+調(diào)1工T\)LI?-2647'

74.

J&za2.

先沿沖向積分,區(qū)域D可表示成力《一則

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線y=J2在點(diǎn)（1.D處切線的斜率為

，L.,=2.

曲線,=/在點(diǎn)（1.D處法線的斜率為

2,

所以切線方程為y-l=2（x-l）,

即

2x-y-1=0.

則法線方程為y-1=--1-（x-l）,

即

*+2y—3=0|

<2）設(shè)所求的點(diǎn)為M,（工。.％）.曲線y=笳在點(diǎn)（了.~。）處切線的斜率為

yI=2x|=21ro.

II

切線與直線y=4i-l平行時(shí),它們的斜率相等，即=4,所以々=2,此時(shí)M=4.故在

點(diǎn)M/2.4）處的切線與直線y=41一】平行.

（1）根據(jù)導(dǎo)致的幾何意義.曲線y4在點(diǎn)（1，D處切線的斜率為

y'L=2.

曲線y=z’在點(diǎn)（1?D處法線的斜率為

k=>—L

2'

所以切線方程為y-1=2（x-l）,

即

2x—y-1=0.

則法線方程為>-1

即

x+2>—3=0>

（2）設(shè)所求的點(diǎn)為曲線y=/在點(diǎn)（工。~。）處切線的斜率為

yI=2x|=2XB.

切線與直線，=4*7平行時(shí),它們的斜率相等,即乜=.1.所以》=2,此時(shí)加=4.故在

點(diǎn)MJ2.4）處的切線與直線y=4/一1平行.

77.解法1直接求導(dǎo)法.

在用直接求導(dǎo)法時(shí)一定要注意：等式兩邊對(duì)“或y）求導(dǎo)時(shí).應(yīng)將y（或工）看成常數(shù)，而式中

的：應(yīng)視為x與y的二元函數(shù)，最后再解出或即可.

等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

於*dzgmdx

戒，解得瓦=工J，

解法2公式法.

設(shè)輔助函數(shù)F（x,y,x）=xz-y-c.等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)時(shí)，式中的y與工均視為常數(shù),用一元函

數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算.對(duì)y或1求導(dǎo)時(shí),另外兩個(gè)變也均視為常數(shù)，即

a，外，rtti

a*F：彳m

所以—s—■—s----c----.

dxF\x-e*e*-x

解法3求全微分法.

直接對(duì)等式兩邊求微分.求出去的表達(dá)式.由于於=豹工+加?.所以dx（或dy）前面的表達(dá)

式就是票或制

因?yàn)閐(xx)=dy+d(<5’)，

即zdx*xdz=dy+c'(k,

d;=2-dx；—dy,

則

e-xe-x

dx2

所以

設(shè)，=/3-7,則彳=3

f<tr

1+，3-JT

T曾也

_21［（］一出）

=-2(/-In|14-f|)-FC

再將，斤二代入,整理后得

[712(y/3-x—InI14-,3-才|)+C.

78.J1+V3一x

設(shè)f=，3-X,則i=3

-2

;f(1-TT7)d/

=-2(r-In|14-f|)4-C

再將i=代入，整理后得

J二<%——=-2(，3-H-InI1-F，3—才|)+C.

J1十y3一x

y=(j-)/arctanx+x?(arctan/〉’—(Inv1+x2)/

=arclartr+；~~<------1?(，1+7Y

i+y/n?