2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題（含答案）

2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題

一、單選題

1.已知集合”={-2,—1,0,1,2},N=[x\x2—%—6>0},則MnN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

1-i

2.已知z=—,貝收-5=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

3.已知向量a=(l,l),6=(l,-l),若(。+幼)，(0+〃〃)，則()

A.a+〃=iB.a+〃=—1

c.=iD.=-1

4.設(shè)函數(shù)〃x)=2小旬在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，貝心的取值范圍是()

A.-8,—2B.-2,0)

C.0,2D.2,+oo)

22

5.設(shè)橢圓G：與+)1=1(。>DC:土+>2=1的離心率分別為e1?.若e2=&q,則a=()

a4

A.竽B.V2C.73D.V6

6.過點(diǎn)(0,—2)與圓/+/-?-1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=()

A.1B.逗C.包D.漁

444

7.記％為數(shù)列{%J的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：似九}為等差數(shù)列；乙：{手}為等差數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.已知5桁(1一分)=’,8505m/?=’，則cos(2a+2￡)=().

二、多選題

9.有一組樣本數(shù)據(jù)%1，%2,…，%6，其中％1是最小值，%6是最大值，則()

x

A.X2lX3tX4>%的平均數(shù)等于%2,…,6的平均數(shù)

B.%2*3，%4，%5的中位數(shù)等于…，％6的中位數(shù)

C.久2，%3，%4，%5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于%1，%2,…，久6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.%2，%3，%4，%5的極差不大于…，％6的極差

10.噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級4=20xlg且，其中常數(shù)為（見>0）是聽覺下

限閾值，。是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10巾處測得實(shí)際聲壓分別為Pi，P2，P3,則（）.

A.pj>p2B.p2>10p3

C.P3=lOOpoD.P\<100p2

11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,/(xy)=r/(x)+x7(y).則＜).

A.y（o）=0B./(I)=0

c.Cx）是偶函數(shù)D.乂=0為/0)的極小值點(diǎn)

12.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2巾，高為0.01m的圓柱體

三、填空題

13.某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選

修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

14.在正四棱臺48以）一力遇傳1。1中，A3=2,人g=1,M=啦，則該棱臺的體積為.

15.已知函數(shù)/（x）=cos<yx-l（3>0）在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個零點(diǎn)，則3的取值范圍是.

16.已知雙曲線l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為居,F2.點(diǎn)4在C上，點(diǎn)B在y軸上，瓦久瓦瓦帝=-|凡瓦

則C的離心率為.

四、解答題

17.己知在△4BC中，A+8=3C,2sin（A-C）=sin8.

⑴求sM；

(2)設(shè)ZB=5,求AB邊上的高.

18.如圖，在正四棱柱4BCC-&B1QD1中，AB=2,AA1=4.點(diǎn)4，口2,C2,。2分別在棱4&，BB1,CC1,上,

AA=1,BB?=DD2=2,CC2=3.

c.g,

z/

DA

⑴證明：B2C2//A2D2.

(2)點(diǎn)P在棱B用上，當(dāng)二面角P-4C2-&為150。時，求B2P.

19.己知函數(shù)/(x)=a(e*+a)-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

3

⑵證明：當(dāng)a>0時，f(x)>2lna+~.

n2+〃

20.設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,且d>l.令b,=——，記S”7；分別為數(shù)列｛〃｝,｛%｝的前n項(xiàng)和.

⑴若3%=3q+%，&+(=21,求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)若｛%｝為等差數(shù)列，且S緲-。>=99,求d.

21.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃

情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是

甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第i次投籃的人是甲的概率；

(3)已知:若隨機(jī)變量無服從兩點(diǎn)分布,且P(X,=1)=1—P(X,?=0)=毋=1,2,…則以￡%所)=￡z生.記前n次(即從

第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為匕求E(Y).

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)(0,；)的距離，記動點(diǎn)P的軌跡為

(1)求皿的方程；

(2)已知矩形4BCD有三個頂點(diǎn)在W上，證明：矩形4BCD的周長大于3b.

參考答案:結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.

1.C【詳解】方法一：因?yàn)槿?丫2-4》-1=0,即(x-2)2+y2=5,可得

【分析1方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集圓心C(2,0),半徑r=后，

的運(yùn)算解出.過點(diǎn)P(0,-2)作圓C的切線，切點(diǎn)為4B,

方法二：將集合M中的元素逐個代入不等式驗(yàn)證，即可解出.因?yàn)閨PC|=02+(_2/=2V2.則|P4|=y/\PC\2-r2=V3，

【詳解】方法一：因?yàn)镹={X|X2-X-6N0}=-8,-2U3,+8),而

可得sin^APC=坐:=衛(wèi)^,cosN4PC=,

M={-2,-1,0,1,2).2V242V24

所以McN={-2}.則

故選：C.sinZAPB=sin2NAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x叵*顯=@

方法二：因?yàn)镸={-2,-101,2},將-2,-1,0,1,2代入不等式/-X-44z

6>0,只有-2使不等式成立，所以McN={—2}.

故選：C.

2.AcosZAPB=cos2NAPC=cos2AAPC-sin2ZAPC=閨

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z,再由共軌復(fù)數(shù)的概念得到W從而

解出.

即4P8為鈍角，

【詳解】因?yàn)閦=裊=T=-夕，所以2=?，即z-5=

所以sina=sin(兀一NAPB)=sinZ.APB=;

故選：A.法二：圓/+'2-41一1=()的圓心以2,0),半徑丁=遙，

3.D過點(diǎn)P(0,-2)作圓C的切線，切點(diǎn)為48,連接43,

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出五+入九江+訪再根據(jù)向量垂直的可得|PC|=V22+(-2)2=2V2，則|PA|=\PB\=,j\PC\2-r2=V3>

坐標(biāo)表示即可求出.因?yàn)閨PA『+\PB\2-2\PA\?\PB\cosNAPB=\CA\2+\CB\2-2\CA\-

\CB\cosZACB

【詳解】因?yàn)?=(1,1)/=(1,-1),所以五+4方=(1+41一；I),a+

Q.Z.ACB=n—匕APB,則3+3—6cosNAPB=5+5—10cosfjt—

lib=(1+〃,1一〃)，ZAPB\

即3-C0SZ4P8=5+5cosZ-APB,解得cos4PB=--<0,

由_!_(〃+jLihj可得,(54-Ab)-(a+獨(dú))=0,4

即ZJ1PB為鈍角,貝ijcosa=cos(n-4P8)=-cosNAPB=%

即(i+a)(i+〃)+(i-a)(i—〃)=o,整理得：A/z=-i.

且a為銳角，所以si九a=V1-cos2a=^

故選：D.4

4.D方法三：圓/+丁-以-1=0的圓心C(2,0),半徑r=遍，

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.若切線斜率不存在，則切線方程為y=0,則圓心到切點(diǎn)的距離d=2>r,

不合題意；

【詳解】函數(shù)y=2"在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/(x)=2代")在區(qū)間

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為y=kx-2,Wfcx-y-2=0,

(0,1)上單調(diào)遞減，則弊^=V5,整理得1+8k+1=0,且4=64-4=60>0

vkz+l

設(shè)兩切線斜率分別為々］水2，則七+七=-8,自6=1，

則有函數(shù)y=x(x-a)=(x-?2一%區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此

可得|自—k2\=+&)2-4k也=2V15?

^>1,解得aw2,

所以Uma=整容=即陋=可得cosa=^^,

所以a的取值范圍是2,+8).l+k述2cosaV15

故選：D

222

Msina+cosa=sina+」=1,

5.A

【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.

且aW(0弓)，則sina>0,解得s勿

【詳解】由02=由6,得以=3詔，因此午=3x槳，而a>l,所

故選：B.

以。=里

3

故選：A

6.B

【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；

方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：

根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得/+8k+l=0,利用韋達(dá)定理

，，因此sinacos/7=g,

2

則sin(?+/?)=sinacos/?+cosasin/?=-,

所以cos(2a+2/?)=cos2(a+/?)=1-2sin2(a4-/?)=1-2x

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法

(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但

7.C非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系.解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)

【分析】利用充分條件、必耍條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).

列前?項(xiàng)和與第"項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)

【詳解】方法1,甲：｛即｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為四，公差為d,值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系.

則(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求

角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得

?,S?n-1,ddS,1+.S“d

S=na.+———-^,-^=6(,+——d=-n+a,--——』一

"12n2212n+1n2角，有時要壓縮角的取值范圍.

9.BD

因此｛金｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分

反之，乙：｛｝｝為等差數(shù)列，即析判斷.

S..S.nS....-(n+1)S..na,-S【詳解】對于選項(xiàng)A:設(shè)》2，萬3，%,%的平均數(shù)為m，巧,小,…,心的平均

—H++1I-------2_t———f!±!__i--------L_IL=——?n++?-----2n.為常數(shù)設(shè)為3

鹿+1n〃(〃+1)〃(〃+1)’數(shù)為n，

即崇親=''則S"=叫一小+D,有Sz=3一1)冊T-|.|!|___-1+-2+*3+-4+%+%6_戈2+-3+%4+%5_2(%1+%6)-(&+4+均+%)

、」-一64-12—

n(n—1),71>2,因?yàn)闆]有確定2(/+%6),%5+、2+%3+%4的大小關(guān)系，所以無法判斷

m,n的大小，

兩式相減得：0n=nan+1-(n-l)an-2tn,即an+｝-an=2t,對n=1

例如：1,2,3,456,可得m=n=3.5；

也成立，例如1,1,1,1,1,7,可得m=l,九=2；

因此｛斯｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，例如L2,2,2,2,2,可得zn=2,九=?；故A錯誤；

所以甲是乙的充要條件，C正確.對于選項(xiàng)B:不妨設(shè)與W打4％34工44句4》6，

方法2,ER：｛冊｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛冊｝的首項(xiàng)的,公差為d,即S〃=可知%2，%3，%4，%5的中位數(shù)等于％1，K2,…,％6的中位數(shù)均為包券故B正確；

.n(n-l),對于選項(xiàng)C：因?yàn)榕c是最小值，分是最大值，

嗎+—^―d，

則久2,X3,X4,出的波動性不大于%1，%2,…，%6的波動性，即%2,％3,無4,0的標(biāo)

則&==+因此｛手｝為等差數(shù)列，即甲是乙準(zhǔn)差不大于右,％2L，%6的標(biāo)準(zhǔn)差，

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)n=；(2+4+6+8+10+12)=7,

0

的充分條件；標(biāo)準(zhǔn)差S1=

0CC

反之，乙：隹｝為等差數(shù)列，即3--^=2J=E+(〃-l)O,R[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12-7)2]=

nn+\nn

即S“=nSf+n(n-1)￡),S,,.,=(w-l)^+(n-l)(n-2)D,

3，

4,6,8,10,則平均數(shù)m=3(4+6+8+10)=7,

當(dāng)Ti2:2時，上兩式相減得：Sn-Sn_i=Si+2(n-l)D,當(dāng)n=l時，

上式成立，標(biāo)準(zhǔn)差S2=J；[(4-7)z+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2]=V5,

于是a”=q+2("—V)D,又a“+i—a”=+2nD-[a1+2(n—

顯然等>5,即S1>S2；故c錯誤；

1)D]=2D為常數(shù)，

因此｛a/為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，對于選項(xiàng)D:不妨設(shè)4工2S工3工工44工5K工6，

所以甲是乙的充要條件.則％6->%5-%2，當(dāng)且僅當(dāng)％1=X2,X5=打時，等號成立，故D正

故選：C確；

8.B故選：BD.

【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+0),10.ACD

再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【分析】根據(jù)題意可知Lp】W[60,90],乙出e[50,60],LP3=40,結(jié)合對數(shù)

[詳解】因?yàn)閟in(a—13)=sinacosfi—cosasin/?=|,而cosasinR=運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】由題意可知：LPie[60,90],%W[50,60],5=的，

得到學(xué)q+s,

對于選項(xiàng)A：可得L*_4,=20xlgA_20xlg-^-=20xlgA；

PoPoPixy尸y

因?yàn)镠N*則4一〃=20xlg且NO,即"合之0,故可以設(shè)警=如出(x*0),則/(%)=x2ln\x\,x豐0

0,x=0

所以合N1且Pi，P2>0,可得pi“2,故A正確；當(dāng)x>0肘，f(x)=x2InX,則/''(x)=2xlnx+x2-^=x(2Znx+1),

對于選項(xiàng)B：可得A%-乙八=20xlg&_2OxlgB=2OxlgH,令/(x)<0,得0<x<e3；令((x)>0,得x>e《;

P<>PaPi故/'(x)在(0,eT)上單調(diào)遞減，在(e*,+8)上單調(diào)遞增,

因?yàn)長pz-Lp3=Lp2-40N10,貝lJ20x/g￡wi0,即仞裝2%

因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在(-e《,0)上單調(diào)遞增，在(-8"，上單

所以"N正且P2，P3>0，可得222倔3，

當(dāng)且僅當(dāng)心如=50時，等號成立，故B錯誤；

對于選項(xiàng)C：因?yàn)?,=20x1g以=40,即lgB=2,

P(>Po

可得星=100,即03=100”),故C正確；

Po

對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：LP<-Lp,=20xlgA,

Pl

且Ln-Lp：<90-50=40，則20xZ5J<40,

顯然，此時x=0是f(x)的極大值，故D錯誤.

即段V2,可得短<100,且pi]?>0,所以pt<100p2,故D正確；

故選：ABC

故選：ACD.12.ABD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.

11.ABC【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?.99m<1加，即球體的直徑小于正方體的棱

【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項(xiàng)長，

ABC,舉反例/(x)=0即可排除選項(xiàng)D.所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對于D,可構(gòu)造特殊函數(shù)/(%)=對于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對角線長為且位>1.4，

儼2ln\x\,x^。進(jìn)行判斷即可.所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對角線長為遮m，且再<1.8,

【詳解】方法一：所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；

因?yàn)閒(xy)=y2f(x)+Mf。)，對于選項(xiàng)D：因?yàn)檎襟w的體對角線長為6m，且百>1.2,

對于A,令工=y=o,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故4正確.設(shè)正方體48CD-41B1GD1的中心為0,以4cl為軸對稱放置圓柱，設(shè)圓

對于B,令X=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),則f(1)=0,故B正確.柱的底面圓心01到正方體的表面的最近的距離為?m,

對于C,令x=y=-1,/(1)=/(-I)+/(-I)=2/(-1),則/'(-1)=0.

如圖，結(jié)合對稱性可知：OC1=\cxA=與,GO1=OG-00,=與-0.6,

令y=-lj(-x)=f(x)+x2/(-l)=f(x),

又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以/'(x)為偶函數(shù)，故C正確，貝臉=錯，即"等,解得口=?詈>。.34

對于D,不妨令/(x)=(),顯然符合題設(shè)條件，此時f(x)無極值，故。錯

誤.所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；

方法二：

因?yàn)?(孫)=y2f(x)+x2f(y),

對于A,令x=y=0,/(0)=Of(0)+0/(0)=0,故4正確.

對于B,令x=y=l,/(l)=1/(1)+1/(1),則“1)=0,故B正確.

對于C,令x=y=-1,/(1)=/(-l)+/(-I)=2/(-1),=0,

令y=-i,/(-x)=f(x)+x2/(-i)=/W>

又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,當(dāng)X0時，對/'(xy)=y2f(x')+//(y)兩邊同時除以/必，

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于C、D：以正方體的體對角線為圓柱的軸，結(jié)

合正方體以及圓柱的性質(zhì)分析判斷.

13.64m,進(jìn)而利用余弦定理得到a,c的齊次方程，從而得解.

【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得xo=?c,yo=

的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.t2=4c2,將點(diǎn)4代入雙曲線。得到關(guān)于a,b,c的齊次方程，從而得

【詳解】(1)當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有弓屐=16解：

種；【詳解】方法一：

(2)當(dāng)從8門課中選修3門,依題意，設(shè)I/IF2I=2m,則I8F2I=3m=|8FJ|AFi|=2Q+2m,

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有盤番=24種；在Rt△力BFi中，9m2+(2a+2m)2=25m2,則(a+3m)(a-ni)=0,

②若體育類選修課2|,J,則不同的選課方案共有廢屐=24種；故Q=m或Q=-3m(舍去)，

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.所以|A鼻I=4a,|4眠|=2a,\BF2\=\BFy\=3a,則|/B|=5Q,

故答案為：64.

故cos"'傷=等=

14.42n

66

所以在△?1居F2中，cos匕F〔AF2=”；夏：之=3整理得5c2=9Q2,

【分析】結(jié)合圖像，依次求得為01，40,4M,從而利用棱臺的體積公式

即可得解.

故e=￡=隨

a5

【詳解】如圖，過4作±4C,垂足為M,易知AM為四棱臺4BCD-

“iBiGDi的iHj,

方法二：

依題意,得FT(-C,0),F2(C,0),令4(Xo，y()),B(0,t),

因?yàn)?8==1,441=V2.因?yàn)閹?-三混,所以(配-c,y。)=-|(-c,t),則%)=gc,y()=-|t,

則為。1=g&G=1x舊道\=—,A0=^AC=1xV2AB=V2.又不1用,所以而?用=(c,t)=|c2-1t2=0,則t2=

4c2,

故AM=：(4C-AG)=y,則41M=y/A^-AM2=J2v=亭

又點(diǎn)4在C上，則鬢一建=1，整理得穹-空=1，則寫一筆=1，

x22

a2629a29b29a9b

所以所求體積為1/=3x(4+1+x9=嚕

所以25c2b2—16c2a2=9a2b2,HP25c2(c2—a2)—16a2c2=

9a2(c2—a2),

故答案為：平.

整理得25c4-50c2+9Q4=0,則(5c2-9a2)(5c2-Q2)=0,解得

15.[2,3)5c2=9Q2或5c2=a2,

【分析】令A(yù)x)=0,得cossx=l有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖

又e>l,所以e=苧或e=*舍去)，故6=竽.

像性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)?<%<2TT,所以0<a)x<2a)n

f故答案為：越.

令/(x)=cos5-l=。，則coscox=1有3個根，5

令t=3X,則cost=1有3個根，其中tE[0,23初，【點(diǎn)睹】關(guān)鍵點(diǎn)睹：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲

結(jié)合余弦函數(shù)y=cost的圖像性質(zhì)可得47r<2a)n<6zr,故2<o)<3,線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于a,4c的齊次方程，從而得

解.

17.(1)^

(2)6

【分析】(D根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；

16.手/1V5

(2)利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求SMB,再

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到由正弦定理求出b,根據(jù)等面積法求解即可.

\AF21,IBF21,I4F11關(guān)于a,m的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得a=【詳解】(1)?；4+B=3C,

7T—C=3C,即。=f,設(shè)平面42c2。2的法向量沆=(Q,b,C),

4

又2sin(A—C)=sinB=sin(A+C),

則(沅-A2C2=-2a—2b+2c=0

Iin-DC'=-2a+c=0

???2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,22

???sinAcosC=3cosAsinC，令Q=1,得b=1,c=2,

???sinA=3cosA,in=(1,1,2),

即tan4=3,所以0＜4＜］，

|COS伍，沆>1=磊=風(fēng)，4+(/產(chǎn)+(3-明|cos150°|=

..33-/10

sinA=-j===——?

Vioio化簡可得，"-42+3=0,

解得4=1或/1=3,

(2)由(1)知，cosA—~Y==—?

Vioio???P(0,2,l)或P(0,2,3),

???B2P=1.

由si九B=sin(A+C)=s勿AcosC+cosAsin=~+詈)=

19.(1)答案見解析

(2)

2V5證明見解析

1111,

5

由正弦定理，=可得6=孥=2舊，【分析】(1)先求導(dǎo)，再分類討論aW0與a>0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與

sinCsinB之

2函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；

.---ABh=-ABAC-sinA(2)方法一：結(jié)合(1)中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為a2-：-》a>0的恒成

22f

立問題，構(gòu)造函數(shù)g(a)=a2-T—hia(a>0),利用導(dǎo)數(shù)證得g(a)>0

?-h=b-sinA=2-/10x—6.

即可.

18.(1)證明見解析:方法二：構(gòu)造函數(shù)h(x)=蜻-丫-1,證得e、2x+l，從而得到f(x)N

(2)1x+Ina+1+a2—x,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為a?-Ina>。的恒成立問

題，由此得證.

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；

【詳解】(1)因?yàn)?(》)=。佇+。)-X,定義域?yàn)镽,所以f'(x)=ae、-

(2)設(shè)P(0,2,a)(0W/lW4),利用向量法求二面角，建立方程求出;I即

可得解.1,

【詳解】(1)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x,y,z軸建立空間當(dāng)a<0時，由于e，>0,則ae，<0,故/'(%)=aex-1<0恒成立，

直角坐標(biāo)系，如圖，所以/(￡)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)Q>0時，令,(x)=ae"-1=0,解得工=一mQ,

當(dāng)工v-ma時，f'(x)V0,則/(x)在(fo,-lna)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>-機(jī)a時，f'M>0,則f(x)在(-Ina,+oo)上單調(diào)遞增;

綜上：當(dāng)a40時，/(x)在R上單調(diào)遞減；