2020-2021學年廣東省廣州市廣附高一年級上冊期末數(shù)學試卷(含解析)

2020-2021學年廣東省廣州市廣附高一上學期期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.扇形的半徑是6cm,圓心角為15。，則扇形面積是（）

A.^cm2B.3ncm2C.ncm2D.ycm2

2.A=｛（x,y）|y<V4—x2,y>0｝>B=｛（x,y）|x+y>2],則4nB所對應區(qū)域面積為（）

A.2nB.7r—2C.JiD.7r+2

3.在AABC中，若s譏4>s譏8,則4與8的大小關(guān)系為（）

A.A、B的大小關(guān)系不確定B.A=B

C.A<BD.A>B

4.函數(shù)y=2siri3尤（3>0）的部分圖象如圖所示，點4、B是最高點，點C是最低點.若△ABC是直

角三角形（C為直角），則3的值為（）

A.B.C.D.71

423

5.已知定義域為R的函數(shù)不是奇函數(shù)，給定下列4個命題：

①函數(shù)g(x)=/(-x)-f(x)是奇函數(shù)；

(2)VxGR,/(-x)-/(%);

(3)VxeR,/(-%)=/(x)；

(4)3x0GR,/(-x0)-/(x0).

其中為真命題的命題是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

6.等比數(shù)列｛廝｝中，=1。，q=-2,則(ho=()

A.4B.40C.80D.-80

7.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且而=(a+c,b),n=｛b,a-c),沅〃元，則

△ABC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能判定

8,若0VQ<1,在上滿足sinx之Q的》的范圍是()

A.[0,arcsind]B.[arcsina,n-arcsina]

C.[TT-arcsina,n]D.[arcsina,+arcsina]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.已知函數(shù)f(x)=2%+X,若OVmVlVn,則下列不等式一定成立的有()

A.7(I—m)</(n—1)B.f^yjmn)<f(m+n)

n

C./(logmn)</(lognm)D./(m)<f(酒)

10.將函數(shù)y=cos2%的圖象上所有點向左平移今個單位長度，再向下平移1個單位長度,得到函數(shù)y=

/(%)的圖象，則()

A.f(x)的圖象的對稱軸方程為x=—B+f(keZ)

B.〃x)的圖象的對稱中心坐標為華+2,0)(k￡Z)

C./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[―?+k兀，—g+")(卜6Z)

D./Q)的單調(diào)遞減區(qū)間為岑+kn,^+kn](k6Z)

63

11.在長方體ABCD-AiBiQDi中，AB=AD=1,44】=2,P是線段BG上的一動點，則下列說法

正確的是()

A.&P〃平面力。傳

B.aP與平面BCGBi所成角的正切值的最大值是警

C.ArP+PC的最小值為等

D.以4為球心，應為半徑的球面與側(cè)面DCG5的交線長是W

12.若函數(shù)/(久)對Va,b6R,同時滿足：①當a+b=0時，有/(a)+f(b)=0；②當a+b>0時，

有/(a)+f(b)>0,則稱/(x)為。函數(shù).下列函數(shù)中是0函數(shù)的有()

A./(%)=ex+e~xB./(%)=ex—e~x

(0,x=0

C.f(x)=X-sinxD./(x)==o

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.設a6(0,兀)，且aH(當4xOy=a時，定義坐標系xOy為a-仿射坐標(如/

圖)，在a-仿射坐標系中，任意一點P的坐標這樣定義“瓦，行分別是與x/'一

軸，y軸方向同向的單位向量，若向量而=x^+y￡，則記而=(x,y)，

下列結(jié)論正確的是(寫上所有正確結(jié)論的序號)

①設向量及=(m,n),b=(s,t)>若云=石,則有m=m,s=t；

②設向量五=(m,n),則同=yjm2+n2-,

③設向量4=(m,n)7=(s,t),若左〃石,則有znt-ns=0；

④設向量左=(m,n)石=(s,t)，若B1E，則有mt+ns=0；

⑤設向量丘=(1,2)3=(2,1)，若下與方的夾角為:,則有。=手

14.下列命題：①y=cos(史產(chǎn)+x)是偶函數(shù)；

@y=tan(x+》的一個對稱中心是(50)；

③若a,￡是第一象限角，且a<口，則tana<tan。；

④cosl<sinl<tanl.

其中所有正確命題的序號是.

15.下列命題中，真命題的有。(只填寫真命題的序號)

①若魏息號，圖卷則“函j展產(chǎn)”是“磁混凝”成立的充分不必要條件；

②當事您《鼠&時，函數(shù)群=?曲案.中—的最小值為2；

4城》般

③若命題“一源”與命題“串或簪”都是真命題，則命題顰一定是真命題；

④若命題浸：3s；?:鼠/普M?書口<畫，則一謬：瞬:電鼠”/*,￡：普工亙朗.

16.(4組)已知定義在R上的偶函數(shù)滿足:/(x+4)=/(%)+/(2),且當xG［0,2］時，y=/'(x)單調(diào)

遞減，若方程/(x)=?11在|-6,-2］上的兩根為x2,則％+%2=-

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.(1)已知集合4={x|3<x<7},B={x\2<x<10},求AuB,AQB,CRA

(2)計算下列各式

①21。。525+10愴6+1ne(i-6)+(V2-1)°

211115

②(2a3b2)(-6a2b3)+(-3aM6)

18.在AABC中，A,B為銳角，且cos24=占sinB=—，求角C的大小.

510

19.已知向量五=(6,k),b=(3,2).

(1)若丘〃石，求五%;

(2)若五13，求|五

20.已知/(x)=|x+3|—|ax+a|,ae.R.

(1)若a=1,求不等式/(x)>1的解集；

(2)若不等式/(x)>%-5對VxG［一2,4］恒成立，求a的取值范圍.

21.已知函數(shù)/'(x)=nix?+%+m(meR).

(1)若mxeR,/(x)=0,求實數(shù)小的取值范圍；

(2)當m=［時，解關(guān)于x的不等式/⑶>0.

22.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且xWO時,/'(x)=1ogK-x+l).

3

⑴求/0),。2)；

(2)求函數(shù)/(x)的解析式.

參考答案及解析

1.答案：D

解析：解：???扇形的半徑為6on,圓心角為60。,

「157rx623n

???S=-----------=—cm.

3602

故選：D.

根據(jù)扇形的面積公式s=S解答該題.

360

本題考查了扇形面積的計算.此題屬于基礎題,只要熟記扇形面積公式即可解題.

2.答案：B

解析：解：由力={(x,y)|yWV4—/,y1

B={(.x,y)\x+y>2},則AnB所對應區(qū)域面

積為如圖陰影部分的面積，

11

貝IJ為乙兀X4--X2X2=7T-2,

42

故選：B

由題意作出圖象，然根據(jù)面積公式計算即可得

答案.

本題考查了二元一次不等式表示的平面區(qū)域，

體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題

3.答案：D

解析：解：法一：sinA—sinB=2cos-^-sin-^-＞0,

+.?.()〈笠＜三.??8S等＞。，Qin等＞0,

<0<4<兀，0<8<兀，.?.一］<等<又出等>0.???等.?.4>艮

法二：在△ABC中，^sinA>sinB,由正弦定理可得：a>b,可得A>B.

故選：D.

法一：通過三角函數(shù)的和差化積、三角形的內(nèi)角和定理、三角函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出答案.

法二：利用正弦定理及大邊對大角原理可得答案.

熟練掌握三角函數(shù)的和差化積、三角形的內(nèi)角和定理、三角函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

4.答案:A

解析：解：由題意可知，點C到邊4B的距離為4,

即△4BC的48邊上的高為4,

是以NC為直角的等腰三角形，

[4B=2x4=8.

即函數(shù)y=2sintox的周期T=8.

2717T

：■3=—8=—4.

故選：A.

由圖象得到等腰直角三角形斜邊4B上的高，則斜邊AB可求，即函數(shù)y=2sin3X的周期可求，由周

期公式求得3的值.

本題考查了由y=Asinia)x+的部分圖象求函數(shù)解析式，解答的關(guān)鍵是明確等腰直角三角形斜邊

上的高等于斜邊的一半，是基礎題.

5.答案：D

解析：

①1??g(T)=f(x)_/(-%)=-[/(-X)-/(x)]=-g(x)，

則g(x)是奇函數(shù)；故①正確.

②函數(shù)/(x)=x,-1<%<2,不是奇函數(shù)，但/(-I)=一/(1),

故/(-x)*-/(x),錯誤，故②錯誤；

③函數(shù)/(x)=x,-1<x<2,不是奇函數(shù)，但/(一1)=一/(1),

故VxeR,/(-x)=f(x)錯誤，故③錯誤；

④函數(shù)/(x)=|x|,-1<x<2,不是奇函數(shù)，但/'(-1)=f(l),

故比0eR,/(-x0)*—f(Xo)正確，故④正確，

故選：D.

分別根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)進行判斷即可.

本題主要考查命題的真假判斷，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

6.答案：D

解析：解：；q=-2,

cij=a1q6=64a]，.乂a7=10,

?1-64al=10.即%=2，

則由0=%q9=,X(-2/=-80.

故選。

利用等比數(shù)列的通項公式表示出。7,將公比q及。7的值代入，求出首項內(nèi)的值，然后再利用等比數(shù)列

的通項公式表示出的0,將首項的及公比q的值代入，即可求出的0的值.

此題考查了等比數(shù)列的通項公式，熟練掌握通項公式是解本題的關(guān)鍵.

7.答案：B

解析：解：因為記=(a+c,b),元=(瓦a-c),m//n,

所以(a+c)(a-c)=b2,

整理得a?—c2=b2,即a?=b2+c2,

所以△ABC為直角三角形.

故選：B.

根據(jù)沅〃元，可得。2=川+?2,從而判斷出三角形的形狀.

本題考查向量的坐標運算，三角形的形狀的判定，考查運算能力，屬于基礎題.

8.答案：B

解析：解：由題可知，如圖示，當sbixNa時，arcsina<x<n-arcsina

故選艮.

在同一坐標系中畫出y=sin%、y=a,根據(jù)sbixNa即可得到答案.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象問題.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考熱點問題，要給予重視.

9.答案：BD

解析：解：函數(shù)"%)=2%+%在/?上單調(diào)遞增，

對于4取=jn=^,則f(l—m)<-1)不成立，故A錯誤；

對于B：由于OVmVlVn,則有Vm+幾,

則f(2gnn)<f(m4-n),故8正確；

對于C：當ma九=2時，logm九=lognm=一1，

則有f(log”)=/(lognm),故C錯誤;

對于。：若0Vm<1V幾，則n1n<1,nm>1,

故？n"<nm,

則有/(相九)</(nm),故D正確.

故選：BD.

函數(shù)/Q)=2%+%在R上單調(diào)遞增，結(jié)合自變量的大小，逐個判斷，即可得出答案.

本題考查函數(shù)單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.

10.答案：AC

解析：解：將函數(shù)y=cos2x的圖象上所有點向左平移，個單位長度，可得，=85（2》+§的圖象；

再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)y=/（X）=cos（2x+）-1的圖象，

令2x+g=kTT,求得久=9—g可得/（%）的圖象的對稱軸方程為％=-！+與（卜€(wěn)2）,故A正確;

令2》+：時+看求得x=,+9

可得f（x）的圖象的圖象的對稱中心為嚀+5T），卜一，故8錯誤.

令2/CTT-7T<2%+^<2kn,求得k兀——<x<kn

336

可得fQ）的單調(diào)遞增區(qū)間為［也一個,而一勺，fcGZ,故C正確；

DO

令2kli<2x4--<2kn+TT,求得/CTI--<x<kn+-

363f

可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為阿V，k兀+Jkez,故。錯誤，

故選：AC.

由題意利用函數(shù)y=Zcos（3x+0）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)y=4雨§（3乂+0）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題.

11.答案：AC

解析：解：對于4由于平面&BC1〃平面4。修，

所以4P〃平面AD1C,所以A正確；

對于B：當&P1BG時，&P與平面BCC/1所成的角的正切值最大，最大值為蜉，所以8正確;

對于C：將△&C1B沿BC1翻折與ABCCi在同一個平面，且點C在直線BG的異側(cè),

此時cos乙4傳道=一奈此時&C=胃,

所以&P+PC的最小值為竿，所以C正確；

對于D：由于4D_L平面CCCiA，所以交線為以。為圓心，半徑為1的四分之一圓周,

所以交線長為與，所以。正確.

故選：AC.

利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征，通過平面與平面平行，推出直線與平面平行，即可判斷4是否正確；利用直線

與平面所成角即可判斷B是否正確；判斷4P+PC的最小值，即可判斷C是否正確；通過交線的軌跡，

即可判斷。是否正確.

本題考查命題的真假的判斷與應用，空間直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系的應用，屬于中檔題.

12.答案：BC

解析：

本題是新定義問題，意在考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，屬于基礎題.

根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性進行判斷.

解：由條件①可知，對VaeR,都有f(a)+f(—a)=O,故是奇函數(shù)，

由條件②可知，當。>一2時,/(a)>-/(b)=/(-b),故fQ)是增函數(shù),

對于4f(x)=ex-e-x,顯然當x<0時,f'(x)<0,f(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減,不符合條件②;

對于氏/(-%)=er-ex=-/(x),故f(x)是奇函數(shù),滿足條件①,

f'(x)=ex+e-x>0,故/(x)是增函數(shù)，滿足條件②；

對于C,/(-x)=-x-sin(-x)=sinx-x=-/(x),故f(久)是奇函數(shù)，滿足條件①，

/'(%)=1-cosx>0,故/(%)是增函數(shù)，滿足條件②；

對于D,當x<0時，/(x)>0,而當x>0時，/(%)<0,故f(x)在定義域上不是增函數(shù)，不滿足條

件②，

故選：BC.

13.答案：③⑤

解析：解：威?瓦=cosa.

①設向量m=(m,n),b-(s,t),若日=3，則有m=s,n=t,因此不正確；

②設向量五=(jn,n),則|引=Vm2+n24-2cosaHVm2+n2,因此不正確；

③設向量江=(m,n),b=(s,t)，若左〃另，則有mt-ns=0,因此正確；

④設向量不=(m,n),b=(s,t).若M13，則有ms+nt=0,因此不正確；

⑤設向量不=(1,2),b-(2,1)，及與方的夾角為a則同=+4+4cosa=V5+4cosa,|6|=

V4+1+4cosa=V5+4cosa>

a-b=(e^+2e^)-^2e^+e^)=2+2+5e^-e^=4+5cosa.???cos；=：=高木=黛翳，化為

cosa=則a=g正確.

綜上可得：正確的結(jié)論為：③⑤.

故答案為：③⑤.

瓦?瓦=cosa,

①利用向量相等可得，m=s,n=t,即可判斷出正誤；

②利用向量是數(shù)量積運算性質(zhì)即可判斷出正誤；

③利用向量共線定理即可判斷出；

④利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可判斷出正誤；

⑤利用向量數(shù)量積運算及其向量夾角公式即可判斷出.

本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量相等，考查了推理能

力與計算能力，屬于中檔題.

14.答案：②④

解析：

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是基礎題目.

①根據(jù)誘導公式化簡函數(shù)y=cos（等+x）,判斷函數(shù)的奇偶性；②求出正切函數(shù)的對稱中心，即

可判斷命題正確；③舉反例說明命題錯誤；④利用正弦、余弦和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷命

題正確.

解：對于①，y=cos（^+x）=-smx,是定義域R上的奇函數(shù)，原命題錯誤；

對于②，令％+￡=攵兀或x+￡=k/r+g,kWZ,

442

解得x=河x="+%kez，

當k=0時，x=±p

??.函數(shù)y=tan（%+》圖象的一個對稱中心是（不0）,命題正確；

對于③，Q=45。，夕二390。時，a、夕是第一象限角，且a<夕，但tcma>ta九0,原命題錯誤；

對于⑷,;<l<p

：,cosl<sinl<tanl,命題正確.

綜上，以上正確的命題序號是②④.

故答案為②④.

15.答案：①③④

解析：試題分析：：①充分不必要條件.當c-0時，a>b#ac2>be2；當ac?>be2時，說明c*0,

有c2>0,得ac?>be?na>b.故uac2>be2"是“a>b”成立的充分不必要條件正確.

②：那=贏獷帶」^-22,由于其等號成立的條件是sinx=1,而當窠您覦⑸時，此式不成立，

豳i笳4'

故②錯；

③若命題“一攀”與命題“孽或穹”都是真命題，則命題翼一定是真命題；根據(jù)復合命題的真值可

知成立。

④若命題攀：.則一孽：就淮磷送？^緊;資工超,艇，結(jié)合特稱命題的否定可知滿

足，正確，故填寫①③④

考點：命題和不等式

點評：本題考查不等式的性質(zhì)和充要條件的判斷，考查四種命題，考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，

考查利用數(shù)形結(jié)合進行求解，是一道好題，本題是基本概念題

16.答案：—8

解析:解：由定義在R上的偶函數(shù)滿足：/(x+4)=/(x)+/(2),

得/(-2+4)=/(-2)+/(2)，

解得f(2)=0,

即/(x+4)=/(x),

即f(x)的周期為4,

由當x€［0,2］時，y=單調(diào)遞減且/(x)為周期為4的偶函數(shù)，

可得y=f(x)在［一6,-4］為增函數(shù)，在［-4,—2］為減函數(shù)，且圖象關(guān)于直線％=-4對稱，

又方程f(x)=m在］-6,-2］上的兩根為％,X2,

則空=_41

即％1+%2=-8，

故答案為：—8.

由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及對稱性可得：y=/(%)在［-6,-4］為增函數(shù)，在［-4,-2］為減函數(shù)且圖象

關(guān)于直線x=-4對稱，又方程/(x)=m在［-6,-2］上的兩根為小，*2,則空=-4,即/+x2=-8,

得解.

本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及對稱性，屬綜合性較強的題型.

17.答案：解(1)：A={x［3<x<7］,B={x|2<x<10},

??A\JB={x\2<x<10},AC\B=(x\3<x<7］,CRA={x\x<3或%>7}

(2)①2bgs25+10亞6+)e。-6)+(V2-l)0=2x2+V3+(l-V3)+l=4+V3+l-V3+

1=6,

21111S211115

②(2a訪5)(—6成反)+(―3?6/?6)=2X(—6)+(―—訪尹§一2=4ab0=4a-

解析：(1)根據(jù)集合的交并補的定義計算即可，

(2)①根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可，

②根據(jù)基的運算性質(zhì)計算即可.

本題考查了集合的交并補的運算，對數(shù)和累的運算性質(zhì)，屬于基礎題.

18.答案：解：在AABC中，:4為銳角，cos271=

:.cos2A=1-2sin2A=

???sinA=—>cosA=V1—sin2>4=—?

55

又B為銳角，sinB=旦，

10

???cosB=V1-sin2F=

io

2V53>/10Vsy/16V2

???cos(i4+8)=cosAcosB-sinAsinB-----XX------=一

5-------105-------10-------2

0<A+B<TC,

?iA+B——4—,

??C—n—(A+B)—

解析：根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的余弦公式即可求出.

本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的余弦公式，考查了學生的運算能力，屬于基礎題

19.答案：解：(1)向量方=(6,k),b=(3,2).

若方〃石，可得6x2-3k=0,解得k=4,

所以五?石=6x3+4x2=26;

(2)向量方=(6,￡),b=(3,2).

若N_L石,可得6X3+2k=0,解得k=-9,

所以|初=J62+(-9)2=3V13.

解析：(1)通過向量共線求出k,然后求解向量的數(shù)量積即可.

(2)利用向量垂直列出方程求解k,然后求解向量的模.

本題考查向量共線以及向量的垂直體積的應用，數(shù)量積的求法，向量的模的求法，是基本知識的考

查.

(-2,x<-3

20.答案：解：(1)當a=l時，/(%)=|x+3|-|x+l|=2x+4,-3<x<-1,

[2,x>—1

1,二仁昌或￡其箕、或后、

???X>

???不等式的解集為{x|x>-|}.

(2)當％W[-2,4]時,不等式/(%)>x-5,即4-3|-|ax4-a