導(dǎo)數(shù)和微分的概念產(chǎn)生的歷史

關(guān)于導(dǎo)數(shù)和微分的概念產(chǎn)生的歷史從微積分成為一門學(xué)科來(lái)說，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來(lái)說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國(guó)的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無(wú)所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。

第2頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來(lái)，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。第3頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無(wú)窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》，這本書直到1736年才，出版它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無(wú)策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。前面已經(jīng)提到，一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī)，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。第4頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天

不幸的事，由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉功效之余，在提出誰(shuí)是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場(chǎng)悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立。英國(guó)數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國(guó)，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長(zhǎng)處，也都各有短處。那時(shí)候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們?cè)跓o(wú)窮和無(wú)窮小量這個(gè)問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無(wú)窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。直到19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來(lái)又經(jīng)過德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來(lái)。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績(jī)。

第5頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天①公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。②到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家等為解決這些問題提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。③十七世紀(jì)下半葉，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。④19世紀(jì)初，以柯西為首的法國(guó)科學(xué)家們，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了研究，建立了極限理論，后又經(jīng)過數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。促使微積分進(jìn)一步發(fā)展。歸結(jié)導(dǎo)數(shù)和微分概念產(chǎn)生歷史背景返回第6頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天導(dǎo)數(shù)定義為：當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分?？蓪?dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)另一個(gè)定義：當(dāng)x=x0時(shí)，f‘(x0)是一個(gè)確定的數(shù)。這樣，當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱他為f(x)的導(dǎo)函數(shù)（derivativefunction）（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）。

y=f(x)的導(dǎo)數(shù)有時(shí)也記作y'，即f'(x)=y'=limΔx→0[f(x+Δx)-f(x)]/Δx物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)表示。如，導(dǎo)數(shù)可以表示運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度和加速度、可以表示曲線在一點(diǎn)的斜率、還可以表示經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和彈性。以上說的經(jīng)典導(dǎo)數(shù)定義可以認(rèn)為是反映局部歐氏空間的函數(shù)變化。為了研究更一般的流形上的向量叢截面（比如切向量場(chǎng)）的變化，導(dǎo)數(shù)的概念被推廣為所謂的“聯(lián)絡(luò)”。有了聯(lián)絡(luò)，人們就可以研究大范圍的幾何問題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎(chǔ)概念之一。什么是導(dǎo)數(shù)第7頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天導(dǎo)數(shù)是針對(duì)連續(xù)且可導(dǎo)的函數(shù)而言的，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)說白了就是函數(shù)值在該點(diǎn)的變化率，說形象了就是函數(shù)在該點(diǎn)的切線的斜率，切線斜率的大小反映了該點(diǎn)的函數(shù)值變化的快慢。你要從極限的角度去理解導(dǎo)數(shù)，就是想象在某一點(diǎn)有一個(gè)無(wú)窮小的區(qū)間包含了該點(diǎn)，然后函數(shù)自變量增加或減小一個(gè)無(wú)窮小的值，相應(yīng)的函數(shù)值也會(huì)發(fā)生一定量（看成無(wú)窮小）的改變，在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就反映出函數(shù)值隨自變量的改變而改變的快慢能力。第8頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天我們組員認(rèn)為導(dǎo)數(shù)說白了它其實(shí)就是斜率總之：返回第9頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天在記憶中我們覺得高中求導(dǎo)基本有兩種方法：一·利用limΔ(f(x0+x)-f(x))/Δx二·初等函數(shù)的求導(dǎo)法則在記憶中我們覺得高中求導(dǎo)基本有兩種方法：一·利用limΔ(f(x0+x)-f(x))/Δx二·初等函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)基本公式

(tanx)‘=sec^2x (cotx)‘=-csc^2x (sec)’=secxtanx (cscx)’=-cscxcotx (arcsinx)=’1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)=’-[1/(1-x^2)^1/2]; (arctanx)’=1/(1+x^2) (arcotx)=’-[1/(1+x^2)] (x^1/2)’=1/(2x^1/2); [f(x)^1/2]=f(x)/[2f(x)^1/2]

C'=0(C為常數(shù))；

(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q)；

(sinx)'=cosx；

(cosx)'=-sinx；

(e^x)'=e^x；

(a^x)'=a^xIna（ln為自然對(duì)數(shù)）

(Inx)'=1/x（ln為自然對(duì)數(shù))第10頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天現(xiàn)在新增的求導(dǎo)法則我們小組認(rèn)為基本和高中是一致的（僅代表本小組意見），新增加了隱函數(shù)求導(dǎo)和高階求導(dǎo)在大學(xué)期間我們所學(xué)的求導(dǎo)方法1·四則運(yùn)算2·復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)3·反函數(shù)的求導(dǎo)4·隱函數(shù)的求導(dǎo)5·商階導(dǎo)數(shù)由一個(gè)方程F（x，y）所確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)法就是將方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，在求出dx/dy即可常用的基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式有：（x^n）^(n)=n!(e^x)^(n)=e^x(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)返回第11頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天微分的思想是什么？第12頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天基本思想是:

把一樣?xùn)|西無(wú)限分割，然后在累加起來(lái)

注：在微分學(xué)中有兩個(gè)基本問題：變化率問題和增量問題。函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示該函數(shù)在點(diǎn)處的變化率，它是描述函數(shù)變化性態(tài)的一個(gè)局部概念。

有時(shí)我們需要計(jì)算函數(shù)，當(dāng)自變量在處有一個(gè)微小改變量時(shí)，函數(shù)改變量的大小。

往往是的一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)，要精確計(jì)算它是困難的，甚至是不可能的；并且我們?cè)诶碚撗芯亢蛯?shí)際應(yīng)用中，往往只需要了解的近似值就可以了。因而計(jì)算函數(shù)改變量的近似值就顯得特別重要。

人們把解決上述問題的出路放在將線性化，用的線性函數(shù)來(lái)近似代替它，這就是引入微分的基本想法。

第13頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天①它是自變量增量的線性函數(shù)，

②它與函數(shù)增量之差：是比更高階的無(wú)窮小。

根據(jù)上述兩個(gè)特點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，就可以用微分來(lái)近似表示增量，即，當(dāng)越小，其近似程度就越好。這一近似等式是應(yīng)用微分思想解決近似計(jì)算和誤差估計(jì)等實(shí)際問題的基礎(chǔ)。微分的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)的微分等于曲線在點(diǎn)處的切線縱坐標(biāo)的增量。微分思想的應(yīng)用第14頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分第15頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天兩者都是建立在函數(shù)極限概念基礎(chǔ)上。

導(dǎo)數(shù)刻劃了函數(shù)的瞬時(shí)變化率,而微分則表示了函數(shù)的瞬時(shí)變化量導(dǎo)數(shù)和微分的定義不同，概念不同，二者有差別，但也有聯(lián)系。(2)導(dǎo)數(shù)的定義是函數(shù)f(x)的函數(shù)增量△y=△f(x+△x)-f(x)與自變量增量△x的比，當(dāng)自變量增量△x趨于零時(shí)的極限，它的幾何意義是曲線y=f(x)的切線的斜率，導(dǎo)數(shù)的表示法有dy/dx，也表示為f'(x)。微分的定義是函數(shù)f(x)的函數(shù)增量△y=△f(x+△x)-f(x)中的一部分，指主要線性部分，微分的表示法就是dy。（3）二者的聯(lián)系式是，微分dy=（導(dǎo)數(shù)）f'(x)*(自變量的增量△x也就是自變量的微分)dx，這個(gè)式子變形一下，就是dy/dx=f'(x)，所以導(dǎo)數(shù)也是、也叫微商即微分之商，這就是你說的“導(dǎo)數(shù)的這種表示方法，與微分的關(guān)聯(lián)”。（4）如果是在自學(xué)，能提出問題就好。以上只是簡(jiǎn)答，還有很豐富的內(nèi)容，努力吧。返回第16頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天牛頓在數(shù)學(xué)上最卓越的成就是創(chuàng)建微積分。他超越前人的功績(jī)?cè)陟叮麑⒐畔ＥD以來(lái)求解無(wú)限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法－－微分和積分，并確立了這兩類運(yùn)算的互逆關(guān)系，如：面積計(jì)算可以看作求切線的逆過程。那時(shí)萊布尼茲剛好亦提出微積分研究報(bào)告，更因此引發(fā)了一埸微積分發(fā)明專利權(quán)的爭(zhēng)論，直到萊氏去世才停熄。而後世己認(rèn)定微積是他們同時(shí)發(fā)明的。微積分方法上，牛頓所作出的極端重要的貢獻(xiàn)是，他不但清楚地看到，而且大贍地運(yùn)用了代數(shù)所提供的大大優(yōu)越於幾何的方法論。他以代數(shù)方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數(shù)化。從此，數(shù)學(xué)逐漸從感覺的學(xué)科轉(zhuǎn)向思維的學(xué)科。微積產(chǎn)生的初期，由於還沒有建立起鞏固的理論基礎(chǔ)，被有受別有用心者鉆空子。更因此而引發(fā)了著名的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。這個(gè)問題直到十九世紀(jì)極限理論建立，才得到解返回第17頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天德國(guó)有一位被世人譽(yù)為“萬(wàn)能大師”的通才，他就是萊布尼茨，他在數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、文學(xué)、史學(xué)和法學(xué)等方面都很有建樹。萊布尼茨生于萊比錫，6歲時(shí)喪父，但作為大學(xué)倫理學(xué)教授的父親給他留下了豐富的藏書，引起了他廣泛的學(xué)習(xí)興趣。他11歲時(shí)自學(xué)了拉丁語(yǔ)和希臘語(yǔ)；15歲時(shí)因不滿足對(duì)古典文學(xué)和史學(xué)的研究，進(jìn)入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時(shí)對(duì)邏輯學(xué)和哲學(xué)很感興趣。萊布尼茨思想活躍，不盲從，有主見，在20歲時(shí)就寫出了《論組合的技巧》的論文，創(chuàng)立了關(guān)于“普遍特征”的“通用代數(shù)”，即數(shù)理邏輯的新思想。萊布尼茨還與英國(guó)數(shù)學(xué)家、大物理學(xué)家牛頓分別獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分學(xué)。萊布尼茨是從哲學(xué)的角度來(lái)研究數(shù)學(xué)的，他終生奮斗的主要目標(biāo)是尋求一種可以獲得知識(shí)和創(chuàng)造發(fā)明的普遍方法，他的許多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是在這種目的的驅(qū)使下獲得的。牛頓建立微積分學(xué)主要是從物理學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，而萊布尼茨則從哲學(xué)、幾何學(xué)的角度去考慮。今天的積分號(hào)∫(拉長(zhǎng)的字母S)、微分號(hào)d都是萊布尼茨首先使用的。值得一提的是，他發(fā)明了能做乘法、除法的機(jī)械式計(jì)算機(jī)(十進(jìn)制)，并首先系統(tǒng)研究了二進(jìn)制記數(shù)方法，這對(duì)于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的發(fā)明至關(guān)重要。1716年11月14日，萊布尼茨卒于漢諾威。返回第18頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天劉徽（生于公元250年左右），是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是我國(guó)最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．

《九章算術(shù)》約成書于東漢之初，共有246個(gè)問題的解法．在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對(duì)此均作了補(bǔ)充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)．他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示無(wú)理數(shù)的立方根．在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了"割圓術(shù)"，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長(zhǎng)的方法．他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.14的結(jié)果．劉徽在割圓術(shù)中提出的"割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣"，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作．

《海島算經(jīng)》一書中，劉徽精心選編了九個(gè)測(cè)量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性，都在當(dāng)時(shí)為西方所矚目．劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的人．劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富．返回第19頁(yè),共24頁(yè)，2024年2月25日，星期天高中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用切線的斜率函