【級數(shù)斂散性判別法探究6600字（論文）】

級數(shù)斂散性判別法探究TOC\o"1-2"\h\u摘要 摘要：本文主要介紹比較判別法、比式判別法、根式判別法和萊布尼茨判別法等常用的判別級數(shù)收斂性和發(fā)散性的方法.并分析了各個判別法的特點以及這些判別法在實際解題中的應(yīng)用，以增強讀者對方法的認識和理解.本文還對做此種題時容易犯的錯誤進行了探究、歸納.最后，給出了判別級數(shù)收斂還是發(fā)散的一般思想.關(guān)鍵詞：級數(shù)；收斂；發(fā)散；判別法引言在數(shù)學(xué)分析中，級數(shù)無疑是基礎(chǔ)內(nèi)容之一，而從數(shù)學(xué)分析理論來看，級數(shù)斂散性如何判別又是其中一個基本問題，它不僅僅是重點內(nèi)容，還是難點內(nèi)容.近年來，一些數(shù)學(xué)方面的工作者對級數(shù)斂散性的判別法進行了深入透徹地研究，對某些特殊的級數(shù)的收斂性進行了討論，也提出了多種判別方法，從級數(shù)斂散性判別法這個方面來看，目前取得的研究成果還是較為豐富的.如今，現(xiàn)代級數(shù)理論已形成較為健全的理論體系，而且由于各行各業(yè)均取得了快速發(fā)展，所以針對級數(shù)理論所作的探究也處在持續(xù)發(fā)展當中.文獻[2]主要探討用比較判別法來判別正項級數(shù)的收斂性和發(fā)散性；文獻[3]-[5]主要對一些判別正項級數(shù)級數(shù)斂散性的常見方法進行了總結(jié)并給出例題具體應(yīng)用以說明方法是有效的；文獻[6]主要探究了交錯級數(shù)的斂散性判別法；文獻[7]-[9]主要研究了常用的數(shù)項級數(shù)斂散性判別法的一些特點和使用條件等；文獻[10]主要分析了判別級數(shù)斂散性時，容易犯的一些錯誤；文獻[11]-[13]主要介紹了判別級數(shù)斂散性的有效判定規(guī)律、流程等.本文首先引入了級數(shù)及其正項級數(shù)和一般項級數(shù)的概念.其次，總結(jié)了判別級數(shù)收斂性和發(fā)散性的常用方法，如：定義法、比較判別法、比式判別法、根式判別法、萊布尼茨判別法等.以及針對每一種方法結(jié)合一個實例進行運用.最后通過例題的形式列出判別級數(shù)斂散性易犯的錯誤，并進行錯誤分析，給出正確解法.已有的研究體系比較分散，且內(nèi)容較為深入，有助于初學(xué)者熟練理解應(yīng)用的文章較少，因此本文為初學(xué)者能夠系統(tǒng)熟練地掌握判別級數(shù)斂散性的基本方法提供一定的幫助.

1.準備知識定義1REF_Ref22181\r\h[1]給定一個數(shù)列，對它的各項依次用“+”號連接起來的表達式 （1）稱為常數(shù)項無窮級數(shù)或數(shù)項級數(shù)（也常簡稱級數(shù)），其中稱為數(shù)項級數(shù)（1）的通項或一般項.定義2REF_Ref22181\r\h[1]若數(shù)項級數(shù)（1）的部分和數(shù)列收斂于（即），則稱數(shù)項級數(shù)（1）收斂，稱為數(shù)項級數(shù)（1）的和，記作或若是發(fā)散數(shù)列，則稱數(shù)項級數(shù)（1）發(fā)散.定義3REF_Ref22181\r\h[1]若數(shù)項級數(shù)各項符號都相同，則稱它為同號級數(shù).對于同號級數(shù)，只需研究各項都是由正數(shù)組成的級數(shù)——稱為正項級數(shù).定義4REF_Ref22181\r\h[1]若級數(shù)的各項符號正負相間，即，（2）則稱（2）為交錯級數(shù).定義5REF_Ref22181\r\h[1]正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).2.幾種常用的級數(shù)斂散性判別法2.1利用定義法判別級數(shù)的斂散性利用定義證明通常是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基礎(chǔ)、最直接的方法.通過定義法對級數(shù)是否收斂進行判定實際上就是對該級數(shù)的部分和的極限存不存在進行探討，因而對于一個級數(shù)來說，收斂性問題可以看作是極限問題中的特殊形式.在微積分學(xué)中，極限是一個基礎(chǔ)概念，學(xué)生對此也會較為熟悉，所以在對級數(shù)具有的斂散性展開探究時，如果能夠轉(zhuǎn)化成極限概念，學(xué)生理解起來也會更加容易.利用定義法求級數(shù)斂散性時一般有以下步驟：（1）找出；（2）計算出的部分和；（3）計算；（4）若的極限存在且為常數(shù)，則級數(shù)收斂且等于這個常數(shù)；若的極限不等于一個常數(shù)，即為無窮大或者不存在時，級數(shù)發(fā)散.例1判斷級數(shù)的斂散性.解設(shè)，則，由，可得，即級數(shù)收斂.在例1中，首先根據(jù)題目，可設(shè)，計算出的前項和，經(jīng)過化簡可得；然后計算的極限，即，由此可得，也就是說級數(shù)收斂.例2判斷級數(shù)的斂散性.解設(shè)，則，由于不存在，故級數(shù)發(fā)散.在例2中，首先根據(jù)題目，可設(shè)，計算出的前項和，經(jīng)過化簡可得；然后計算的極限，由于不存在，因此級數(shù)發(fā)散.2.2利用比較判別法判別正項級數(shù)的斂散性定理1REF_Ref22181\r\h[1]（比較原則）設(shè)和是兩個正項級數(shù)，如果存在某正數(shù)，對一切都有，則若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散.相對于定義法，比較判別法較簡單，但也有一定的局限性，我們需要一個已知斂散性的級數(shù)和我們所要判別的級數(shù)進行比較。常用的級數(shù)有：（1）等比級數(shù)：；（2）調(diào)和級數(shù)：發(fā)散；（3）-級數(shù)：.對于上述斂散性已經(jīng)確定了的多種級數(shù)，我們應(yīng)當牢牢掌握，遇到斂散性問題時，比較判別法才可以被更靈活地運用.此處需注意，根據(jù)小的收斂是無法直接得出大的也一定收斂的結(jié)論的，根據(jù)大的發(fā)散也無法直接得出小的也一定發(fā)散的結(jié)論.比較判別法通常按照下述步驟進行：（1）先是從級數(shù)的通項猜想其斂散性；（2）通過猜測找出收斂性和發(fā)散性已知的級數(shù)；（3）由比較判別法得出結(jié)論.我們已經(jīng)知道，對于比較級數(shù)來說，最常用的是等比級數(shù)和-級數(shù).那么，什么時候用等比級數(shù)，什么時候用-級數(shù)呢？事實上，我們可以根據(jù)正項級數(shù)的通項中所在的位置：當在指數(shù)時，一般用等比級數(shù)；當在底數(shù)時，一般用-級數(shù)。級數(shù)選定后，對于某一給定級數(shù)，對和的取值進行確定即可.例3判別級數(shù)的斂散性.解因為，又因為級數(shù)是收斂的，可得出級數(shù)也是收斂的.在例3中首先運用放縮法可以得到，根據(jù)-級數(shù)的斂散性，該題中，所以級數(shù)收斂.由比較判別法，對，若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂.可得級數(shù)也收斂.（比較判別法的極限形式）設(shè)和是兩個正項級數(shù)，若，則（1）當時，級數(shù)、同時收斂或同時發(fā)散；（2）當且級數(shù)收斂時，級數(shù)也收斂；（3）當且級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)也發(fā)散.比較判別法用于對正項級數(shù)具有的斂散性進行判定時，最為常見的做法是根據(jù)不等式具有的性質(zhì)對通項進行縮放處理，找出較為恰當?shù)牟坏汝P(guān)系予以辨別并作出判定.假使針對正項級數(shù)具有的斂散性已經(jīng)作出了初步估計，但是通項很難進行放縮的，極限形式也能夠作為一種很好的方法，這樣難于縮放通項的問題得到了規(guī)避，運算也會更加簡便.例4判別級數(shù)的斂散性.解記，，因為，可得，我們可以由比較判別法的極限形式得出，由于發(fā)散，故也發(fā)散.在例4中，首先我們觀察一下這個級數(shù)，再結(jié)合相關(guān)的知識，我們會發(fā)現(xiàn)可用已知斂散性的級數(shù)，利用比較判別法的極限形式，與之作比求極限，即，而的極限是我們所熟知的，由，根據(jù)當時，級數(shù)、同時收斂或同時發(fā)散可得，因為級數(shù)發(fā)散，故也發(fā)散.該題運用極限形式可以快速而又方便的判定出斂散性.2.3利用比式判別法或根式判別法判別正項級數(shù)的斂散性定理2REF_Ref22181\r\h[1]（達朗貝爾判別法，或稱比式判別法）設(shè)為正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)及正常數(shù).若對一切，成立不等式，則級數(shù)收斂.若對一切，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散.從比式判別法來看，先是求出級數(shù)前后項的比值的極限，再根據(jù)極限值對斂散性作出判定.當正項級數(shù)的一般項中含有、、或(為常數(shù)）等因子時，用比式判別法比較簡單.理由是可以省去次冪以及階乘符號的運算，而且和通常可以通過兩個重要極限求解得出極限.另外，一般項如果采取的是分式形式，在判定斂散性時比式判別法也是一種較為常用的方法.比式判別法并不是適用所有情況的，具體為：在的情況下，比式判別法不可以使用，這時級數(shù)不只有一種情況，存在發(fā)散的可能，還存在收斂的可能.例如：級數(shù)是發(fā)散級數(shù)，此時；級數(shù)是收斂級數(shù)，此時.根據(jù)比式判別法，級數(shù)和級數(shù)的值均為1，但前者是發(fā)散的，后者是收斂的，此時比式判別法失效，需要用其他方法來判別.例5判斷級數(shù)的斂散性.解根據(jù)比式判別法因為，所以級數(shù)收斂.在例5中我們首先根據(jù)：寫出：的形式，將二者作比得出：，化簡后為，對其求極限可以得，根據(jù)比式判別法將與1進行比較，由可判斷出級數(shù)收斂.定理3REF_Ref22181\r\h[1]（柯西判別法，或稱根式判別法）設(shè)為正項級數(shù)，且存在某正數(shù)及正常數(shù)，（1）若對一切，成立不等式，則級數(shù)收斂；（2）若對一切，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散.根式判別法的特點是利用級數(shù)的次方根的極限判別其收斂性.如果一般項內(nèi)存在次冪、的階乘或者是指數(shù)上出現(xiàn)了次，那么根式判別法就可以作為一種常用方法來對斂散性作出判定.判別時常用到下述極限：（為常數(shù)）；；.根式判別法本質(zhì)上還是比式判別法，所以在使用根式判別法時，我們需要注意的是：當時，根式判別法同樣不可以使用，這時級數(shù)也是不只有一種情況，存在發(fā)散的可能，還存在收斂的可能.例如：級數(shù)是發(fā)散級數(shù)，此時；級數(shù)是收斂級數(shù)，此時.根據(jù)根式判別法，級數(shù)和級數(shù)的值均為1，但前者是發(fā)散的，后者是收斂的，此時根式判別法失效，還需要用其他方法來進行判別.例6判斷級數(shù)的斂散性.解根據(jù)根式判別法，因為，所以級數(shù)收斂.在例6中我們首先根據(jù)：，寫出的次方根：，對進行化簡為，對其求極限可以得到，根據(jù)根式判別法將與1進行比較，由可判斷出級數(shù)收斂.為了運用比較判別法，需要找出一個收斂性能夠判斷出來的級數(shù)來進行比較判別.通常而言，要想找到該級數(shù)并不是一件容易的事，這樣解題就會遇到很大的麻煩REF_Ref11034\r\h[2].那可不可以基于級數(shù)本身找出可對其斂散性作出判定的方法？此時就出現(xiàn)了兩種判別方法，一種是比式判別法，另一種是根式判別法.通常而言，在對級數(shù)具有的斂散性進行判定時，如果可以利用比式判別法，那么根式判別法同樣能夠適用REF_Ref12319\r\h[3]-REF_Ref18262\r\h[5].但是反之并不成立，如果可以利用根式判別法，那么比式判別法有可能不能適用.也就是說，根式判別法適用面更廣一些.在對級數(shù)具有的斂散性作出判定時，盡管根式判別法更加精細，但是還是需要從具體情況出發(fā)進行分析，從形式與特點出發(fā)，選出恰當?shù)呐袆e法作出判定.2.4利用萊布尼茨判別法判別交錯級數(shù)的斂散性定理4REF_Ref22181\r\h[1]（萊布尼茨判別法）若交錯級數(shù)滿足下述兩個條件數(shù)列單調(diào)遞減；，則級數(shù)收斂.如果運用的是萊布尼茨判別法，那么就需對交錯級數(shù)是不是全部符合條件作出判定REF_Ref18262\r\h[6]-REF_Ref18474\r\h[7].一個是數(shù)列單調(diào)遞減，另一個是，在這些條件全部滿足的情況下才能得到級數(shù)收斂的結(jié)論.這里需要注意的是，如果交錯級數(shù)不滿足條件（2），則可以判斷出該交錯級數(shù)是發(fā)散的；如果交錯級數(shù)只是不滿足條件（1），并不能判斷出該交錯級數(shù)是發(fā)散的.還需要注意中的.例7判斷級數(shù)的斂散性.解因為，，通過萊布尼茨判別法我們不難得出，是收斂的.在例7中，需要判斷數(shù)列是否是單調(diào)遞減的，將=和進行比較，結(jié)果為，可得數(shù)列單調(diào)遞減，滿足條件（1）；再判斷是否為0，本題中，滿足條件（2）；由萊布尼茨判別法可得收斂.2.5利用絕對收斂定理判別任意項級數(shù)的斂散性定理5REF_Ref22181\r\h[1](絕對收斂定理)給定任意項級數(shù)，如果級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；如果級數(shù)收斂，而發(fā)散，則稱級數(shù)條件收斂.對于任意項級數(shù)，我們首先判斷其是否絕對收斂，即級數(shù)是否收斂，如果級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；若不是絕對收斂，則可利用根式判別法或者定義法等判斷其是否條件收斂，進行進一步判別.例8判斷級數(shù)是否收斂，如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂？解因為，而收斂，所以級數(shù)收斂，故級數(shù)絕對收斂.在例8中首先可利用比較判別法，對進行放縮后可以得到，根據(jù)-級數(shù)的斂散性，此時，級數(shù)收斂.因此級數(shù)收斂。根據(jù)絕對收斂定理如果級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂可得級數(shù)絕對收斂.判別級數(shù)斂散性易犯錯誤分析3.1利用級數(shù)收斂的必要條件來判斷級數(shù)收斂級數(shù)收斂的必要條件：.即如果級數(shù)收斂，則一定有成立；但是，如果，則級數(shù)未必收斂.例如，調(diào)和級數(shù)顯然是發(fā)散的，但卻有成立.部分學(xué)生極易將必要條件當作充分條件，據(jù)此對級數(shù)斂散性作出判定.例9判斷級數(shù)的斂散性.錯解因為，所以級數(shù)收斂.在本例題中，利用極限值趨向于零判斷級數(shù)收斂是錯誤的，當一般項時，不能得出該級數(shù)收斂的結(jié)論，顯然得到的結(jié)果不正確.正解因為，由級數(shù)發(fā)散，可得級數(shù)發(fā)散.由于這一個級數(shù)為正項級數(shù)，這時比較判別法的極限形式就可以適用，基于級數(shù)是發(fā)散的可以得出級數(shù)是發(fā)散的結(jié)論，這樣就能夠得到正解REF_Ref19421\r\h[8]-REF_Ref13072\r\h[10].3.2錯用性質(zhì)判斷級數(shù)斂散性定理6REF_Ref22181\r\h[1]若級數(shù)與都收斂，則對任意常數(shù)，，級數(shù)亦收斂.若這兩個級數(shù)一個收斂一個發(fā)散，則級數(shù)必發(fā)散；若兩個級數(shù)都發(fā)散，則級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.例10判斷級數(shù)的斂散性.錯解級數(shù)和都發(fā)散，根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)：若級數(shù)與都發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散，可得級數(shù)發(fā)散.本例題中“若級數(shù)與都發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散”這一性質(zhì)是錯誤的.級數(shù)與都發(fā)散，則級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.一些學(xué)生因為對性質(zhì)掌握不牢，沒有真正弄明白定理、性質(zhì)，機械記憶，就容易導(dǎo)致使用錯誤的性質(zhì)解題.所以在學(xué)習(xí)時，我們要打牢基礎(chǔ).準確記憶性質(zhì)、定理是我們解題的前提.錯誤的性質(zhì)的使用必然導(dǎo)致解題的錯誤.正解由對，都有，可得級數(shù)為正項級數(shù).由于級數(shù)為正項級數(shù)，我們可以利用比較判別法的極限形式，因為，可得.又因為級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂.3.3錯用比較判別法的極限形式例11已知級數(shù)收斂，且，試判斷級數(shù)的斂散性.錯解因為，且級數(shù)收斂，根據(jù)比較判別法的極限形式我們不難發(fā)現(xiàn)，是收斂的.無論是比較判別法，還是比較判別法的極限形式，都只可以在正項級數(shù)中使用，只可以用于對正項級數(shù)具有的斂散性進行判別，無法適用于任意項級數(shù).在例11中，題目中并沒有說明也無法判定出是正項級數(shù)，所以無法應(yīng)用比較判別法的極限形式解題，上述解法錯誤.正解對于級數(shù)而言，斂散性本身是無法確定的，有可能是發(fā)散的，也有可能是收斂的.假定與均為正項級數(shù)，那么根據(jù)比較判別法的極限形式能夠推知，級數(shù)收斂REF_Ref19669\r\h[11].但是，如果取，，顯然有，且級數(shù)為交錯級數(shù)，由萊布尼茨定理可得該級數(shù)是收斂的，但是由定理6可知，級數(shù)卻是發(fā)散的.因此，級數(shù)的斂散性無法確定.小結(jié)判別級數(shù)斂散性的方法多種多樣，我們在面對題目時應(yīng)如何選擇呢？現(xiàn)給出判別級數(shù)斂散性的一般思路：（1）首先判斷級數(shù)的通項極限是否成立.若不成立，則級數(shù)發(fā)散；若成立，則進入（2）.（2）對通項進行絕對值處理，將其變成正項級數(shù)，對其是不是絕對收斂作出判定.仔細觀察通項，看其中有沒有階乘、存不存在包括在內(nèi)的冪或者指數(shù)；如果絕對收斂，那么根式判別法或者是比式判別法就是最優(yōu)選擇.如果通項只包括的指數(shù)或者是冪，那么比較判別法較為適用，該法提供了兩種形式，其中極限形式應(yīng)當優(yōu)先考慮.如果判別不是絕對收斂，則進入（3）.（3）若是交錯級數(shù)，則可用萊布尼茨判別法驗證.滿足條件，則級數(shù)收斂；如果第二個條件不能滿足，那么就無法對級數(shù)為發(fā)散級數(shù)作出判定，這時再進入（4）.（4）試著通過級數(shù)斂散定義來判別.

結(jié)束語由上可知，在學(xué)習(xí)級數(shù)，面對斂散性問題時，通過一些判別方法或者是技巧的應(yīng)用可讓解題的方向更加明確，避免出現(xiàn)走彎路的情況.判別級數(shù)斂散性的方法很多，應(yīng)深刻領(lǐng)會各個定義、性質(zhì)、定理的條件和結(jié)論.不管是哪一種判別法，有優(yōu)勢的同時也是有劣勢的，并不存在萬能的方法，應(yīng)對適用范圍加以注意，靈活而又準確地使用各大定理.對于一種判別法，它可能在處理這個問題時好用，而在處理另一個問題時卻失效.所以，在對級數(shù)具有的斂散性進行判定時，可以試著運用多種方法，這種方法不行就換另外一種方法REF_Ref12368\r\h[12]-REF_Ref14068\r\h[13].多用一種方法解題就會有多一種解題的思路.但是對于初學(xué)者而言，首先需要基于基本方法展開訓(xùn)練，只有達到舉一反三的程度才可以起到事半功倍的效果.針對容易出現(xiàn)的錯誤，實際上在對級數(shù)的定義以及性質(zhì)形成充分理解，對判別法在哪些條件下成立并且在哪些范圍內(nèi)比較適用做到