2014年高考理科數(shù)學(xué)(全國二卷)真題

第第頁2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（全國卷Ⅱ）6月7日15：00-17：00注意事項：姓名______________________準考證號__________________________________1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ姓名______________________準考證號__________________________________2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）設(shè)集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，則M∩N＝（）（A）{1} （B）{2} （C）{0,1} （D）{1,2}（2）設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝（）（A）-5 （B）5 （C）-4＋i （D）-4-i（3）設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝EQ\R(,10)，|a-b|＝EQ\R(,6)，則a·b＝（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）5（4）鈍角三角形ABC的面積是EQ\f(1,2)，AB＝1，BC＝EQ\R(,2)，則AC＝（）（A）5 （B）EQ\R(,5) （C）2 （D）1（5）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）（A）0.8 （B）0.75 （C）0.6 （D）0.45（6）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）（A）EQ\f(17,27) （B）EQ\f(5,9)（C）EQ\f(10,27) （D）EQ\f(1,3)（7）執(zhí)行右圖程序框圖，如果輸入的x，t均為2，則輸出的S＝開始輸入x開始輸入x,tM＝1,S＝3k＝1k≤tM＝EQ\f(M,k)xS＝M＋Sk＝k＋1結(jié)束輸出S是否（B）5 （C）6 （D）7（8）設(shè)曲線y＝ax-ln(x＋1)在點（0，0）處的切線方程為y＝2x，則a＝（）（A）0 （B）1（C）2（D）3（9）設(shè)x，y滿足約束條件，則z＝2x－y的最大值為（）（A）10 （B）8 （C）3 （D）2（10）設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（）（A）EQ\f(3\R(,3),4) （B）EQ\f(9\R(,3),8) （C）EQ\f(63,32) （D）EQ\f(9,4)（11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為（）（A）EQ\f(1,10) （B）EQ\f(2,5) （C）EQ\f(\R(,30),10) （D）EQ\f(\R(,2),2)（12）設(shè)函數(shù)f(x)＝EQ\R(,3)sinEQ\f(πx,m)．若存在f(x)的極值點x0滿足x02＋[f(x0)]2＜m2，則m的取值范圍是（）（A）(－∞，－6)∪(6，＋∞) （B）(－∞，－4)∪(4，＋∞)（C）(－∞，－2)∪(2，＋∞) （D）(－∞，－1)∪(1，＋∞)第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題～第21題為必考題，每個試題考生必須做答。第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）(x＋a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a＝_________．（用數(shù)字填寫答案）（14）函數(shù)f(x)＝sin(x＋2φ)-2sinφcos(x＋φ)的最大值為_________．（15）已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0．若f(x-1)＞0，則x的取值范圍是_________．（16）設(shè)點M（x0，1），若在圓O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是_________．三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1．（Ⅰ）證明{an＋EQ\f(1,2)}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；（Ⅱ）證明：EQ\f(1,a1)＋EQ\f(1,a2)＋…＋EQ\f(1,an)＜EQ\f(3,2)．（18）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP＝1，AD＝EQ\R(,3)，求三棱錐E-ACD的體積．EEDCBPA（19）（本小題滿分12分）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，．（20）（本小題滿分12分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：EQ\f(x2,a2)＋EQ\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）的左右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N．（Ⅰ）若直線MN的斜率為EQ\f(3,4)，求C的離心率；（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝ex-e-x-2x．（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)g(x)＝f(2x)-4bf(x)，當x＞0時，g(x)＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜EQ\R(,2)＜1.4143，估計ln2的近似值（精確到0.001）．請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分。做答時請寫清題號。（22）（本小題滿分10）選修4—1：幾何證明選講如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC＝2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E．證明：EBPAEBPACDO（Ⅱ）AD·DE＝2PB2．（23）（本小題滿分10）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ＝2cosθ，θ∈[0，EQ\f(π,2)]．（Ⅰ）求C的參數(shù)方程；（Ⅱ）設(shè)點D在C上，C在D處的切線與直線l：y＝EQ\R(,3)x＋2垂直，根據(jù)（Ⅰ）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標．（24）（本小題滿分10）選修4—5：不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋EQ\f(1,a)|＋|x-a|（a＞0）．（Ⅰ）證明：f(x)≥2；（Ⅱ）若f(3)＜5，求a的取值范圍．2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷II）理科數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題（1）D∵N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，∴M∩N＝{1，2}，故選：D．（2）A z1＝2＋i對應(yīng)的點的坐標為（2，1），∵復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，∴（2，1）關(guān)于虛軸對稱的點的坐標為（－2，1），則對應(yīng)的復(fù)數(shù)，z2＝－2＋i，則z1z2＝（2＋i）（－2＋i）＝i2－4＝－1－4＝－5，故選：A．（3）A ∵|a＋b|＝10，|a－b|＝6，∴分別平方得a2＋2a?b＋b2＝10，a2－2a?b＋b2＝6，兩式相減得4a?b＝10－6＝4，即a?b＝1，故選：A．（4）B ∵鈍角三角形ABC的面積是EQ\f(1,2)，AB＝c＝1，BC＝a＝EQ\R(,2)，∴S＝EQ\f(1,2)acsinB＝EQ\f(1,2)，即sinB＝EQ\f(\R(,2),2)，①當B為鈍角時，cosB＝－EQ\R(,1－sin2B)＝－EQ\f(\R(,2),2)，利用余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB?BC?cosB＝1＋2＋2＝5，即AC＝EQ\R(,5)，②當B為銳角時，cosB＝－EQ\R(,1－sin2B)＝EQ\f(\R(,2),2)，利用余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB?BC?cosB＝1＋2－2＝1，即AC＝1，此時AB2＋AC2＝BC2，即△ABC為直角三角形，不合題意，舍去，則AC＝EQ\R(,5)．故選：B．（5）A 設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為P，則有題意可得0.75×P＝0.6，解得P＝0.8，故選：A．（6）C 幾何體是由兩個圓柱組成，一個是底面半徑為3高為2，一個是底面半徑為2，高為4，組合體體積是：32π?2＋22π?4＝34π．底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯的體積為：32π×6＝54π．切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為：＝．故選：C．（7）D 若x＝t＝2，則第一次循環(huán)，1≤2成立，則M＝×2＝2，S＝2＋3＝5，k＝2，第二次循環(huán)，2≤2成立，則M＝×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝3，此時3≤2不成立，輸出S＝7，故選：D．（8）D y′＝a?，∴y′(0)＝a－1＝2，∴a＝3．故答案選D．（9）B 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如陰影部分ABC．由z＝2x－y得y＝2x－z，平移直線y＝2x－z，由圖象可知當直線y＝2x－z經(jīng)過點C時，直線y＝2x－z的截距最小，此時z最大．由，解得，即C（5，2），代入目標函數(shù)z＝2x－y，得z＝2×5－2＝8．故選：B．（10）D ∵直線AB：y=(x)，代入拋物線方程可得4y2－12y－9＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則所求三角形面積S＝××=，故選：D．（11）C 以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸建立空間向量坐標系，則設(shè)CA＝CB＝1，則B（0，1，0），M（，，1），A（1，0，0），N（，0，1），∴=（，－，1），=（－，0，1），∴，故選：C．（12）C ∵的極值為，∴，∵，∴，∴即，∴，即3，而已知，∴3，故，解得或，故選：C．二、選擇題（13） （14）1 （15）（－1，3） （16）[－1，1]三、填空題（17）（Ⅰ）由＝3＋1得＋＝3(＋)。又，所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列。，因此的通項公式為。（Ⅱ）由（Ⅰ）知因為當時，，所以。于是()＜。所以＋＋…＋＜。（18）（Ⅰ）連接BD交AC于點O，連結(jié)EO。因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點。又E為PD的中點，所以EO∥PB。EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC。（Ⅱ）因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB、AD、AP兩兩垂直。如圖，以A為坐標原點，的方向為x軸的正方向，為單位長，建立空間直角坐標系，則D（0，，0），E（0，，），＝（0，，）。設(shè)B（m，0，0）（m＞0），則C（m，，0），＝（m，，0）。EDCBPAOyzx設(shè)＝（x，y，z）為平面ACE的法向量，則，即，可?。剑?，－1EDCBPAOyzx又＝（1，0，0）為平面DAE的法向量，由題設(shè)，即，解得。因為E為PD的中點，所以三棱錐的高為。三菱錐的體積V＝。（19）（Ⅰ）由所給數(shù)據(jù)計算得(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28＝(3)×(1.4)＋(2)×(1)＋(1)×(0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，，。所求回歸方程為。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b＝0.5＞0，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。將2015年的年份代號t＝9帶入（I）中的回歸方程，得，故預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元。（20）（Ⅰ）根據(jù)及題設(shè)知M（c，），。將代入，解得，（舍去）。故C的離心率為。（Ⅱ）由題意，原點為的中點，∥軸，所以直線與軸的交點D（0，2）是線段的中點，故，即①由得。設(shè)N（，），由題意知＜0，則，即代入C的方程，得。將①及代入②得，解得，，故，。（21）（Ⅰ）＝，等號僅當時成立。所以在（－∞，＋