北師大版（2019）高中數(shù)學選擇性必修1第2章1.1橢圓及其標準方程

2023年5月17日10時49分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭，成功發(fā)射第五十六顆北斗導航衛(wèi)星。該衛(wèi)星屬地球靜止軌道衛(wèi)星，是我國北斗三號工程的首顆備份衛(wèi)星。橢圓2.1.1橢圓及其標準方程高中數(shù)學北師大版選擇性必修一探究一：橢圓的定義圓：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長（大于0）的點的軌跡是圓。把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點F1和F2，套上鉛筆，移動筆尖,畫出的軌跡是什么曲線？橢圓平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|）的點的集合（或軌跡）叫橢圓。

定義這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點。兩個焦點之間的距離|F1F2|叫做焦距。

橢圓是否具有對稱性？橢圓的對稱軸？F2F1設點P為橢圓上任意一點，P根據(jù)橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a

(a為＞0的常數(shù)）設點P1為點P關于直線F1F2的對稱點，此時可以發(fā)現(xiàn)|P1F1|+|P1F2|=2a，這說明P1也在橢圓上，P1直線F1F2是橢圓的對稱軸。線段F1F2的垂直平分線MN也是橢圓的對稱軸。線段F1F2的中點O是橢圓的對稱中心。橢圓是軸對稱圖形，直線F1F2及線段F1F2的垂直平分線都是它的對稱軸；01橢圓也是中心對稱圖形，線段F1F2的中點是它的對稱中心。02實戰(zhàn)應用例1：已知△ABC的周長為10，且|BC|=4，則△ABC的定點A的軌跡是什么？并說明理由。解：因為△ABC的周長為10，且|BC|=4，01所以|AB|+|AC|=6，且|AB|+|AC|>|BC|02根據(jù)橢圓的定義可知，△ABC的定點A的軌跡是以B，C為焦點，焦距長為4的橢圓03

“蛋殼屋”是一群坐落在江西某森林中的橢圓形度假小屋二：橢圓的標準方程設點坐標化簡求曲線方程建立直角坐標系列出等式橢圓與直線F1F2相交于點A1,A2的，與線段F1F2的垂直平分線相交于B1,B2根據(jù)橢圓的定義和橢圓的對稱性，得

②兩邊平方，整理得

所以：

①化簡①，移項后，得

②

③

③兩邊再平方，整理得④

⑤

PF2F1xyO

xyx思考：焦點在y軸上，你能否建立其標準方程？

(0,-c)(0,c)OF1F2Pxy橢圓的標準方程實戰(zhàn)應用F2xyF1P

解：由于橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為

因此所求橢圓的標準方程為：

解：因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為待定系數(shù)法（方法二）①

從而②所以

因為橢圓的焦點坐標是

所以

由①②解得

所以橢圓的標準方程為

求橢圓的標準方程的步驟：首先要判斷焦點位置，設出標準方程根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求

課堂小結說一說本節(jié)課你學到了哪些呢？課堂小結定義

圖形標準方程焦點坐標a、b、c的關系

焦點位置的判斷哪個分母大，焦點就在哪個軸上xyF1