《數(shù)學(xué)（上 一冊）（第二版）》 課件 第4章 數(shù)列

數(shù)列第4章226目錄4.1數(shù)列的基本知識4.2等差數(shù)列4.3等比數(shù)列227教學(xué)要求：1.能通過生活實(shí)例，理解數(shù)列的含義，了解數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)、前n項(xiàng)和的概念。2.能通過日常生活中的實(shí)例，掌握等差數(shù)列的概念，探索并會運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式。3.能通過日常生活中的實(shí)例，掌握等比數(shù)列的概念，探索并會運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式。4.能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差或等比的關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。2284.1數(shù)列的基本知識229數(shù)列的定義在數(shù)學(xué)里，有些數(shù)可以按一定順序排成一列，例如：大于2且小于10的自然數(shù)從小到大排成一列數(shù)：

3，4，5，6，7，8，9。

⑤1，2，3，4，5，6，7的倒數(shù)排成一列數(shù)：

⑥-1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，……排成一列數(shù)：

-1，1，-1，1，…。

⑦無窮多個(gè)2排成一列數(shù)：

2，2，2，2，…。

⑧230像這樣，按照一定次序排成的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都稱為這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)，又稱為首項(xiàng)，排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第二項(xiàng)……排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…。其中，an是上述數(shù)列的第n項(xiàng)，n就是an的序號，表示項(xiàng)數(shù)。上述數(shù)列可以簡記為{an}。項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列稱為有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列稱為無窮數(shù)列。上面的例子中，數(shù)列①②③④⑤⑥是有窮數(shù)列，數(shù)列⑦⑧是無窮數(shù)列。231數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式就稱為這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如，數(shù)列⑥的通項(xiàng)公式是數(shù)列⑦-1，1，-1，1，…的通項(xiàng)公式是an=（-1）n，n∈N*。232數(shù)列⑧2，2，2，2，…的通項(xiàng)公式是an=2，n∈N*。像數(shù)列⑧這樣各項(xiàng)都相等的數(shù)列通常稱為常數(shù)列。如果知道了數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，那么只要依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)。從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是定義在N*（或它的子集{1，2，…，n}）上的函數(shù)的表達(dá)式。233換個(gè)角度觀察圖中的4個(gè)圖形。可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)圖形中的著色三角形都在下一個(gè)圖形中分裂為3個(gè)著色小三角形和1個(gè)無色小三角形。于是從第2個(gè)圖形開始，每個(gè)圖形中著色三角形的個(gè)數(shù)都是前一個(gè)圖形中著色三角形個(gè)數(shù)的3倍。像an=3an-1（n≥2）這樣，如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子稱為這個(gè)數(shù)列的遞推公式。知道了首項(xiàng)或前幾項(xiàng)，以及遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項(xiàng)了。234例如，已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是1，以后各項(xiàng)都由公式an=

給出，那么這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)分別為上例表明由數(shù)列的第1項(xiàng)及an與an-1的關(guān)系式，可以寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，an=1+

為遞推公式。235數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…前n項(xiàng)相加的和，稱為數(shù)列的前n項(xiàng)和，常用Sn表示。即Sn=a1+a2+…+an。有時(shí)為了書寫簡便，常把數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和記為

，即Sn=

，其中符號“∑”稱為連加號，ai表示加數(shù)的一般項(xiàng)。如果數(shù)列有通項(xiàng)公式，一般項(xiàng)ai

可以寫成通項(xiàng)公式的形式。i稱為求和指標(biāo)，連加號的上下標(biāo)表示求和指標(biāo)i的取值依自然數(shù)的順序由1取到n。236數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn=a1+a2+a3+…+an。數(shù)列的前n-1項(xiàng)和：Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1。可以得到，數(shù)列{an}的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系為2374.2等差數(shù)列238在現(xiàn)實(shí)生活中，我們有時(shí)會碰到一些特殊數(shù)列。你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點(diǎn)嗎?女裝尺碼S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上衣對應(yīng)的尺碼依次排成的數(shù)列：

38，40，42，44，46，48。

①北京天壇如圖所示，北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形天心石，圍成天心石的是9圈扇形的石板，從內(nèi)到外各圈的扇形石板數(shù)依次排成的數(shù)列：

9，18，27，36，45，54，63，72，91。

②239偶數(shù)比5小的偶數(shù)從大到小排成的數(shù)列：

4，2，0，-2，-4，…。

③常數(shù)由無窮多個(gè)常數(shù)a組成的常數(shù)列：

a，a，a，a，a，…。

④240等差數(shù)列基本知識對于上面的數(shù)列，我們可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)列①從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于2。數(shù)列②從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于9。數(shù)列③從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于-2。數(shù)列④從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于0。也就是說，這些數(shù)列有一個(gè)共同特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)。241上面的四個(gè)數(shù)列都是等差數(shù)列，它們的公差依次是

，

，

，

。242容易看出，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。下面我們來討論等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)是a1，公差是d。根據(jù)等差數(shù)列的定義，可以得到a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…

an-an-1=d。243

把上述n-1個(gè)式子的兩邊分別相加，就能得到an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d。當(dāng)n=1時(shí)，上面的等式也成立。由此得到，等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式244等差數(shù)列的前n項(xiàng)和我們來看下面的問題：1+2+3+…+100=?德國著名數(shù)學(xué)家高斯少年時(shí)曾很快得出它的結(jié)果。你知道應(yīng)該如何計(jì)算嗎?高斯的算法是1+100=101（首項(xiàng)與末項(xiàng)的和），2+99=101（第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和），3+98=101（第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和），……50+51=101（第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和）。245于是所求的和是1，2，3，…，100是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，它的前100項(xiàng)和表示為

S100=1+2+3+…+98+99+100。

①①又可表示為

S100=100+99+98+…+3+2+1。

②246將①②兩式的兩邊分別相加，得2S100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），即下面，我們將這種方法推廣到求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。對于首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}，有

Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an，

③

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1。

④247將③④兩式的兩邊分別相加，得由此得到，等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式因?yàn)閍n=a1+（n-1）d，所以上面的公式又可寫成2484.3等比數(shù)列249在現(xiàn)實(shí)生活中，我們還會碰到一些特殊的數(shù)列，它們的項(xiàng)的變化也是有規(guī)律的，但不是等差數(shù)列。汽車價(jià)值一輛汽車購買時(shí)價(jià)值20萬元，每年的折舊率是10%，那么這輛汽車從購買當(dāng)年算起，8年之內(nèi)，每年的價(jià)值（萬元）組成的數(shù)列：

20，20×0.9，20×0.92，…，20×0.97。

①250一條短信某人收到一條短信，用3min將這條短信發(fā)給3個(gè)人，這3個(gè)人又用3min各將這條短信發(fā)給未收到的3個(gè)人。如此繼續(xù)下去，1h內(nèi)收到此短信的人，按收到短信的次序排成的數(shù)列：

1，3，32，33，…，320。

②倍數(shù)從5開始，每次乘以5，可以得到數(shù)列：

5，52，53，54，55，…。

③常數(shù)由無窮多個(gè)常數(shù)a（a≠0）組成的常數(shù)列：

a，a，a，a，a，…。

④251等比數(shù)列基本知識對于上面的數(shù)列，我們可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)列①從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于0.9。數(shù)列②從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于3。數(shù)列③從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于5。數(shù)列④從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于1。也就是說，這些數(shù)列有一個(gè)共同特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)。252上面的四個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，它們的公比依次是

，

，

，

。容易看出，在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)。

253下面我們來討論等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。在等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)是a1，公比是q。根據(jù)等比數(shù)列的定義，可以得到254把上述n-1個(gè)式子的兩邊分別相乘，就能得到即當(dāng)n=1時(shí)，上面的等式也成立，由此得到，等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式255等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有這樣一個(gè)傳說，古印度國王舍罕王要重賞國際象棋的發(fā)明者，面對國王的嘉獎(jiǎng)，發(fā)明者的要求好像并不高：在棋盤的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，在第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，在第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，在第4個(gè)格子里放上8顆麥粒……按這樣的規(guī)律放滿棋盤的64格。那么，這位國王能滿足發(fā)明者的要求嗎?這位發(fā)明者要求的麥?？偭?shù)是1+2+22+23+24+…+263。這實(shí)際是求首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列前64項(xiàng)和，即

Sn=1+2+22+23+24+…+263。

①256把上式兩邊分別乘以公比2，得到

2Sn=2+22+23+24+25…+264。

②將①②兩式的兩邊分別相減，得-Sn=1-2