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文檔簡介
2024屆山東省淄博第五中學高考沖刺模擬數(shù)學試題注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線的左、右焦點分別為,,P是雙曲線E上的一點,且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點M,且M為的中點,則雙曲線E的漸近線方程為()A. B. C. D.2.直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.3.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.4.函數(shù),,則“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.年某省將實行“”的新高考模式,即語文、數(shù)學、英語三科必選,物理、歷史二選一,化學、生物、政治、地理四選二,若甲同學選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為A. B. C. D.6.如圖,平面四邊形中,,,,,現(xiàn)將沿翻折,使點移動至點,且,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.7.已知函數(shù),若方程恰有兩個不同實根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.8.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.9.設,為非零向量,則“存在正數(shù),使得”是“”的()A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.充分不必要條件10.已知各項都為正的等差數(shù)列中,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.11.設集合,,則().A. B.C. D.12.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個不重合的平面,則下列命題中錯誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù)x,y滿足,則的最大值為____________.14.在的展開式中,各項系數(shù)之和為,則展開式中的常數(shù)項為__________________.15.定義,已知,,若恰好有3個零點,則實數(shù)的取值范圍是________.16.已知的展開式中含有的項的系數(shù)是,則展開式中各項系數(shù)和為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:過點,過坐標原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于,兩點.(1)證明:當取得最小值時,橢圓的離心率為.(2)若橢圓的焦距為2,是否存在定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請說明理由.18.(12分)已知函數(shù)(1)已知直線:,:.若直線與關于對稱,又函數(shù)在處的切線與垂直,求實數(shù)的值;(2)若函數(shù),則當,時,求證:①;②.19.(12分)我們稱n()元有序實數(shù)組(,,…,)為n維向量,為該向量的范數(shù).已知n維向量,其中,,2,…,n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個數(shù)為,這個向量的范數(shù)之和為.(1)求和的值;(2)當n為偶數(shù)時,求,(用n表示).20.(12分)在直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求圓的極坐標方程;(2)直線的極坐標方程是,射線與圓的交點為、,與直線的交點為,求線段的長.21.(12分)設函數(shù).(1)若恒成立,求整數(shù)的最大值;(2)求證:.22.(10分)如圖所示,在四棱錐中,底面為正方形,,,,,為的中點,為棱上的一點.(1)證明:面面;(2)當為中點時,求二面角余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由雙曲線定義得,,OM是的中位線,可得,在中,利用余弦定理即可建立關系,從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據(jù)題意,點P一定在左支上.由及,得,,再結合M為的中點,得,又因為OM是的中位線,又,且,從而直線與雙曲線的左支只有一個交點.在中.——①由,得.——②由①②,解得,即,則漸近線方程為.故選:C.【點睛】本題考查求雙曲線漸近線方程,涉及到雙曲線的定義、焦點三角形等知識,是一道中檔題.2、A【解析】
由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F,得到左焦點為再由FC=2CA,求得A3【詳解】由題意,直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓的左焦點F,令所以c=3,即橢圓的左焦點為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1),所以,OF=因為FC=2CA,所以FA=3又由點A在橢圓上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質——離心率的求解,其中求橢圓的離心率(或范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據(jù)一個條件得到關于a,b,c的齊次式,轉化為a,c的齊次式,然后轉化為關于e的方程,即可得3、C【解析】
利用的前項和求出數(shù)列的通項公式,可計算出,然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當時,;當時,由,可得,兩式相減,可得,故,因為也適合上式,所以.依題意,,故.故選:C.【點睛】本題考查利用求,同時也考查了裂項求和法,考查計算能力,屬于中等題.4、B【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質,結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】設,若函數(shù)是上的奇函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關于軸對稱.所以,“是奇函數(shù)”“的圖象關于軸對稱”;若函數(shù)是上的偶函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關于軸對稱.所以,“的圖象關于軸對稱”“是奇函數(shù)”.因此,“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結合函數(shù)奇偶性的性質判斷是解決本題的關鍵,考查推理能力,屬于中等題.5、B【解析】
甲同學所有的選擇方案共有種,甲同學同時選擇歷史和化學后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計算公式,可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率,故選B.6、C【解析】
由題意可得面,可知,因為,則面,于是.由此推出三棱錐外接球球心是的中點,進而算出,外接球半徑為1,得出結果.【詳解】解:由,翻折后得到,又,則面,可知.又因為,則面,于是,因此三棱錐外接球球心是的中點.計算可知,則外接球半徑為1,從而外接球表面積為.故選:C.【點睛】本題主要考查簡單的幾何體、球的表面積等基礎知識;考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力及創(chuàng)新意識,屬于中檔題.7、D【解析】
當時,函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個不同實根,即函數(shù)和有圖像兩個交點,計算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當時,,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個交點.,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關鍵.8、A【解析】
設圓的標準方程,利用待定系數(shù)法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設圓的標準方程為,由題意得圓心為,的中點,根據(jù)中點坐標公式可得,,又,所以圓的標準方程為:,化簡整理得,所以本題答案為A.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程,解題的關鍵是假設圓的標準方程,建立方程組,屬于基礎題.9、D【解析】
充分性中,由向量數(shù)乘的幾何意義得,再由數(shù)量積運算即可說明成立;必要性中,由數(shù)量積運算可得,不一定有正數(shù),使得,所以不成立,即可得答案.【詳解】充分性:若存在正數(shù),使得,則,,得證;必要性:若,則,不一定有正數(shù),使得,故不成立;所以是充分不必要條件故選:D【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算,向量數(shù)乘的幾何意義,還考查了充分必要條件的判定,屬于簡單題.10、A【解析】試題分析:設公差為或(舍),故選A.考點:等差數(shù)列及其性質.11、D【解析】
根據(jù)題意,求出集合A,進而求出集合和,分析選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D【點睛】此題考查集合的交并集運算,屬于簡單題目,12、D【解析】
根據(jù)線面平行和面面平行的性質,可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【詳解】選項A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質,有或,故A正確;選項B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【點睛】本題考查了空間中的平行垂直關系判斷,考查了學生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
直接用表示出,然后由不等式性質得出結論.【詳解】由題意,又,∴,即,∴的最大值為1.故答案為:1.【點睛】本題考查不等式的性質,掌握不等式的性質是解題關鍵.14、【解析】
利用展開式各項系數(shù)之和求得的值,由此寫出展開式的通項,令指數(shù)為零求得參數(shù)的值,代入通項計算即可得解.【詳解】的展開式各項系數(shù)和為,得,所以,的展開式通項為,令,得,因此,展開式中的常數(shù)項為.故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的計算,涉及二項展開式中各項系數(shù)和的計算,考查計算能力,屬于基礎題.15、【解析】
根據(jù)題意,分類討論求解,當時,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質無零點,不合題意;當時,令,得,令,得或,再分當,兩種情況討論求解.【詳解】由題意得:當時,在軸上方,且為增函數(shù),無零點,至多有兩個零點,不合題意;當時,令,得,令,得或,如圖所示:當時,即時,要有3個零點,則,解得;當時,即時,要有3個零點,則,令,,所以在是減函數(shù),又,要使,則須,所以.綜上:實數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點睛】本題主要考查二次函數(shù),指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點問題,還考查了分類討論的思想和運算求解的能力,利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,屬于中檔題.16、1【解析】
由二項式定理及展開式通項公式得:,解得,令得:展開式中各項系數(shù)和,得解.【詳解】解:由的展開式的通項,令,得含有的項的系數(shù)是,解得,令得:展開式中各項系數(shù)和為,故答案為:1.【點睛】本題考查了二項式定理及展開式通項公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)存在,【解析】
(1)將點代入橢圓方程得到,結合基本不等式,求得取得最小值時,進而證得橢圓的離心率為.(2)當直線的斜率不存在時,根據(jù)橢圓的對稱性,求得到直線的距離.當直線的斜率存在時,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,利用,則列方程,求得的關系式,進而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在,進而求得定圓的方程.【詳解】(1)證明:∵橢圓經(jīng)過點,∴,∴,當且僅當,即時,等號成立,此時橢圓的離心率.(2)解:∵橢圓的焦距為2,∴,又,∴,.當直線的斜率不存在時,由對稱性,設,.∵,在橢圓上,∴,∴,∴到直線的距離.當直線的斜率存在時,設的方程為.由,得,.設,,則,.∵,∴,∴,∴,即,∴到直線的距離.綜上,到直線的距離為定值,且定值為,故存在定圓:,使得圓與直線總相切.【點睛】本小題主要考查點和橢圓的位置關系,考查基本不等式求最值,考查直線和橢圓的位置關系,考查點到直線的距離公式,考查分類討論的數(shù)學思想方法,考查運算求解能力,屬于中檔題.18、(1)(2)①證明見解析②證明見解析【解析】
(1)首先根據(jù)直線關于直線對稱的直線的求法,求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線與垂直列方程,解方程求得的值.(2)①構造函數(shù),利用的導函數(shù)證得當時,,由此證得.②由①知成立,整理得成立.利用構造函數(shù)法證得,由此得到,即,化簡后得到.【詳解】(1)由解得必過與的交點.在上取點,易得點關于對稱的點為,即為直線,所以的方程為,即,其斜率為.又因為,所以,,由題意,解得.(2)因為,所以.①令,則,則,且,,時,,單調(diào)遞減;時,,單調(diào)遞增.因為,所以,因為,所以存在,使時,,單調(diào)遞增;時,,單調(diào)遞減;時,,單調(diào)遞增.又,所以時,,即,所以,即成立.②由①知成立,即有成立.令,即.所以時,,單調(diào)遞增;時,,單調(diào)遞減,所以,即,因為,所以,所以時,,即時,.【點睛】本小題考查函數(shù)圖象的對稱性,利用導數(shù)求切線的斜率,利用導數(shù)證明不等式等基礎知識;考查學生分析問題,解決問題的能力,推理與運算求解能力,轉化與化歸思想,數(shù)形結合思想和應用意識.19、(1),.(2),【解析】
(1)利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序實數(shù)對都寫出來,再做和;(2)用組合數(shù)表示和,再由公式或將組合數(shù)進行化簡,得出最終結果.【詳解】解:(1)范數(shù)為奇數(shù)的二元有序實數(shù)對有:,,,,它們的范數(shù)依次為1,1,1,1,故,.(2)當n為偶數(shù)時,在向量的n個坐標中,要使得范數(shù)為奇數(shù),則0的個數(shù)一定是奇數(shù),所以可按照含0個數(shù)為:1,3,…,進行討論:的n個坐標中含1個0,其余坐標為1或,共有個,每個的范數(shù)為;的n個坐標中含3個0,其余坐標為1或,共有個,每個的范數(shù)為;的n個坐標中含個0,其余坐標為1或,共有個,每個的范數(shù)為1;所以,.因為,①,②得,,所以.解法1:因為,所以..解法2:得,.又因為,所以.【點睛】本題考查了數(shù)列和組合,是一道較難的綜合題.20、(1)(2)【解析】
(1)首先將參數(shù)方程轉化為普通方程再根據(jù)公式化為極坐標方程即可;(2)設,,由,即可求出,則計算可得;【詳解】解:(1)圓的參數(shù)方程(為參數(shù))可化為,∴,即圓的極坐標方程為.(2)設,由,解得.設,由,解得.∵
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