5.1.1 矩形的性質(zhì) 浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)素養(yǎng)提升練習(xí)(含解析)

第5章特殊平行四邊形單元大概念素養(yǎng)目標(biāo)單元大概念素養(yǎng)目標(biāo)對(duì)應(yīng)新課標(biāo)內(nèi)容理解矩形、菱形的概念,能運(yùn)用矩形、菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)問(wèn)題探索并證明矩形、菱形的性質(zhì)定理【P66】能運(yùn)用矩形、菱形的判定定理解決相關(guān)問(wèn)題探索并證明矩形、菱形的判定定理【P66】理解正方形的概念,知道正方形既是矩形,又是菱形,能用正方形的判定解決相關(guān)問(wèn)題正方形既是矩形,又是菱形【P66】理解正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì)理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系【P66】5.1矩形第1課時(shí)矩形的性質(zhì)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1矩形的定義1.【新獨(dú)家原創(chuàng)】在四邊形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,若AO=OC,BO=DO,∠ABC=65°,要使四邊形ABCD是矩形,AB至少要繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)()A.15°B.20°C.25°D.35°知識(shí)點(diǎn)2矩形的性質(zhì)2.【一題多變·利用矩形的性質(zhì)求邊長(zhǎng)】如圖,矩形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)O.若∠AOB=60°,BD=6,則AB的長(zhǎng)為()A.4B.43C.3D.5[變式1·利用矩形的性質(zhì)求度數(shù)]如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)O.若∠AOB=60°,則∠OCB的度數(shù)為()A.30°B.35°C.40°D.45°[變式2·矩形的性質(zhì)與勾股定理相結(jié)合]如圖,已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,∠AOD=120°,AB=4cm,求BC的長(zhǎng).3.如圖,O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn),M是AD的中點(diǎn).若AB=5,AC=13,則四邊形ABOM的周長(zhǎng)為.

4.如圖,矩形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O.若點(diǎn)E為BC上一點(diǎn),連結(jié)EO并延長(zhǎng),交AD于點(diǎn)F,則圖中全等三角形共有對(duì).

能力提升全練5.(2023浙江杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中,8,★★☆)如圖,矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E,若AB=6,BC=8,則AE的長(zhǎng)為()A.253B.6C.2546.【一題多變·矩形中心在原點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo)】如圖,矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O,以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,AC所在直線(xiàn)為y軸,AB=2,∠ABD=60°,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

[變式·矩形中心不在原點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo)]如圖,矩形ABCD在平面直角坐標(biāo)系上,點(diǎn)E(1,0)和點(diǎn)F(0,1)在A(yíng)B邊上,AE=EF,DF∥x軸,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

7.(2023貴州中考,16,★★☆)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E為矩形內(nèi)一點(diǎn),且AB=1,AD=3,∠BAE=75°,∠BCE=60°,則四邊形ABCE的面積是.

8.【一題多解】如圖,已知矩形ABCD中,F是BC上一點(diǎn),且AF=BC,DE⊥AF,垂足是E,連結(jié)DF.(1)求證:△ABF≌△DEA;(2)求證:DF平分∠EDC.素養(yǎng)探究全練9.【推理能力】如圖,P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn),連結(jié)PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,設(shè)它們的面積分別是S1、S2、S3、S4,給出如下結(jié)論:①S1+S2=S3+S4;②S2+S4=S1+S3;③若S3=2S1,則S4=2S2;④若S1=S2,則P點(diǎn)在矩形的對(duì)角線(xiàn)上.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是.

第5章特殊平行四邊形5.1矩形第1課時(shí)矩形的性質(zhì)答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.C∵在四邊形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,AO=OC,BO=DO,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠BAD+∠ABC=180°,要使平行四邊形ABCD是矩形,只需∠BAD=90°,∵∠BAD=180°-65°=115°,∴AB至少要繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)115°-90°=25°.2.C∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=12AC,OB=1∵∠AOB=60°,∴△AOB是等邊三角形,∴AB=OB=3.[變式1]A∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,∵∠AOB=∠OBC+∠OCB=60°,∴∠OCB=30°.[變式2]解析∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=12AC,OB=12BD,AC=BD.∴OA=OB=∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°,∴△AOB是等邊三角形,∴OA=AB=4cm,∴AC=2OA=2×4=8(cm).在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理得,BC=AC2-AB23.答案20解析∵在矩形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,CD=AB=5,∴AD=AC2-C∵O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn),M是AD的中點(diǎn),∴OM=12CD=12AB=2.5,AM=∵O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn),∴BO=12AC=6.5,∴四邊形ABOM的周長(zhǎng)為4.答案10解析∵四邊形ABCD為矩形,∴AB=CD,AD=BC,AO=CO,BO=DO,AC=BD,∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°,AD∥BC,∴OA=OB=OC=OD,在△ABC和△DCB中,AB=DC,∴△ABC≌△DCB(SAS),同理:△ABC≌△CDA(SAS),△ABC≌△BAD(SAS),∴△ABC≌△DCB≌△CDA≌△BAD,兩兩全等,共有6對(duì);在△DOC和△AOB中,OD=OA,∴△DOC≌△AOB(SAS),同理:△DOA≌△COB(SAS),共2對(duì);∵AD∥BC,∴∠OAF=∠OCE,在△AOF和△COE中,∠OAF=∠OCE,∴△AOF≌△COE(ASA),同理:△DOF≌△BOE(ASA),共2對(duì).綜上所述,題圖中全等三角形共有10對(duì),故答案為10.能力提升全練5.C如圖,連結(jié)CE,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC=8,CD=AB=6,∠ADC=90°,∵O為矩形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),∴O為AC的中點(diǎn),又∵OE⊥AC,∴OE垂直平分AC,∴AE=CE,設(shè)AE=x,則CE=x,DE=8-x,在Rt△DEC中,∵CE2=DE2+CD2,∴x2=(8-x)2+62,解得x=254,即AE=254,6.答案(0,-2)解析∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵∠ABD=60°,∴△OAB是等邊三角形,∴OA=OB=AB=OC=2,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2).[變式]答案(4,1)解析如圖,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H,設(shè)AD交x軸于點(diǎn)G,∵DF∥x軸,∴∠HOF=∠OFD=∠DHO=90°,∴四邊形OFDH是矩形,∴DF=OH,DH=OF,∵E(1,0),F(0,1),∴OE=OF=1,∴∠OEF=45°,AE=EF=2,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∵∠AEG=∠OEF=45°,∴AG=AE=2,∴EG=2,∵DH=OF=1,∠DHG=90°,∠DGH=∠AGE=45°,∴GH=DH=1,∴DF=OH=OE+EG+GH=1+2+1=4,∴D(4,1).7.答案3-1解析如圖,連結(jié)AC,在矩形ABCD中,∠B=90°,AB=1,AD=BC=3,∴AC=AB2+BC2=2,∴AB=12AC,∴∠ACB=30°,∴∠BAC=60°,∵∠BAE=75°,∴∠CAE=15°,過(guò)E作EF⊥AC于H,交BC于F,連結(jié)AF,∵∠BCE=60°,∴∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°=∠ACB,∴∠CEF=60°,∴△CEF是等邊三角形,∴EH=FH,易知∴△ABF是等腰直角三角形,∴BF=AB=1,∵BC=3,∴CF=EF=3-1,∴EH=12EF=3-12,∴四邊形ABCE的面積=S△ABC+S△AEC=12×3×1+12×2×38.證明(1)∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD=BC,AD∥BC.∴∠DAE=∠AFB,∵DE⊥AF,∴∠DEA=90°=∠B.∵AF=BC,∴AF=AD.∴△ABF≌△DEA.(2)證法一:由(1)知△ABF≌△DEA,∴DE=AB.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠C=90°,DC=AB.∴DC=DE.∵DE⊥AF,∴∠DEF=90°=∠C.∵DF=DF,∴Rt△DCF≌Rt△DEF,∴∠CDF=∠EDF.∴DF平分∠EDC.證法二:由(1)知△ABF≌△DEA,∴BF=EA.∵AF=BC,∴EF=CF.易知DC⊥CF,∵DE⊥AF,∴DF平分∠EDC.素養(yǎng)探究全練9.答案②④解析過(guò)點(diǎn)P分別作△PAB、△PBC、△PCD、△PAD的高,分別記做h1、h2、h3、h4,如圖1,由矩形的性質(zhì)知AB=CD,AD=BC,所以S1+S2=12AB·h1+12BC·h2,S3+S4=12CD·h3+12AD·h4,S1+S3=12AB·h1+12CD·h3=12AB(h1+h3)=1S2+S4=12BC·h2+12AD·h4=12BC(h2+h4)=12BC·AB,因?yàn)锳B=DC,所以當(dāng)S3=2S1時(shí),h3=2h1,因?yàn)辄c(diǎn)P到直線(xiàn)AD的距離與點(diǎn)P到直線(xiàn)BC的距離不確定,即h4與h2的長(zhǎng)度不確定,所以S4與S2的關(guān)系不確定,故③不一定成立;連結(jié)BD,過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD于M,