課前預(yù)習(xí)練：5.3.2 命題、定理、證明（解析版）

5.3.2命題、定理、證明訓(xùn)練解析1．下列命題中是真命題的是（）A．對頂角相等 B．兩點之間，直線最短C．同位角相等 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)【答案】A【分析】根據(jù)對頂角相等，兩點之間，線段最短，兩直線平行，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)進(jìn)行判斷求解即可．【詳解】解：A、對頂角相等，是真命題，符合題意；B、兩點之間，直線最短，是假命題，應(yīng)該是兩點之間，線段最短，不符合題意；C、同位角相等，是假命題，應(yīng)該是兩直線平行，同位角相等，不符合題意；D、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是假命題，應(yīng)該是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，不符合題意；故選A．【點睛】本題主要考查了判斷命題真假，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知相關(guān)定義和定理．2．命題“等角的余角相等”中的余角是（）A．結(jié)論的一部分B．題設(shè)的一部分C．既不屬于結(jié)論也不屬于題設(shè)D．同屬于題設(shè)和結(jié)論部分【答案】B【分析】根據(jù)命題題設(shè)與結(jié)論的定義：題設(shè)是已知事項，結(jié)論是已知事項推出的事項，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：“等角的余角相等”中題設(shè)是：兩個等角的余角，結(jié)論是：相等，故選B．【點睛】本題主要考查了命題的題設(shè)與結(jié)論，熟知定義是解題的關(guān)鍵．3．命題“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命題是（）A．如果a＜0，b＜o(jì)，那么ab＜0 B．如果ab＞0，那么a＜0，b＜0C．如果a＞0，b＞0，那么a＜0 D．如果ab＜0，那么a＞0，b＞0【答案】B【分析】根據(jù)互逆命題概念解答即可．【詳解】解：命題“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命題是“如果ab＞0，那么a＜0，b＜0”，故選：B．【點睛】本題考查的是互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．4．可以用來說明“若，則．”是假命題的反例是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】若，則包括或，由此分析即可．【詳解】解：∵，∴或，∴反例可為，故選：C．【點睛】本題考查命題的判斷，以及等式的性質(zhì)，掌握舉例證明命題真假的方法以及等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．下列說法正確的是（）A．命題是定理，但定理未必是命題 B．公理和定理都是真命題C．定理和命題一樣，有真有假 D．“取線段AB的中點C”是一個真命題【答案】B【分析】命題是判斷一件事情的句子，可分為真命題和假命題；公認(rèn)的真命題稱之為公理，經(jīng)過證明的真命題稱之為定理；命題的結(jié)構(gòu)必須有條件和結(jié)論，由此進(jìn)行分析判斷即可得到答案．【詳解】解：A、說法錯誤，定理是經(jīng)過證明的真命題，但是命題不一定是定理；B、說法正確，公理和定理都是真命題；C、說法錯誤，定理是經(jīng)過證明的真命題，命題有真假之分；D、說法錯誤，取線段AB的中點C是描述性語言，不是命題，更不是真命題．故選：B【點睛】本題考查命題的定義、公理和定理的概念等相關(guān)知識點，牢記定義內(nèi)容是解此類題的關(guān)鍵．6．將命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”改寫成“如果…那么…”的形式_________．【答案】如果一個三角形是直角三角形，那么它斜邊上的中線等于斜邊的一半【分析】由題意將命題的條件改成如果的內(nèi)容，將命題的結(jié)論改為那么的內(nèi)容進(jìn)行分析即可．【詳解】解：將命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”改寫成“如果…那么…”的形式為：如果一個三角形是直角三角形，那么它斜邊上的中線等于斜邊的一半．故答案為：如果一個三角形是直角三角形，那么它斜邊上的中線等于斜邊的一半．【點睛】本題主要考查命題與定理，理解“如果…那么…”的意義并找到命題的條件和結(jié)論是解題的關(guān)鍵．7．把“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”改寫成“如果…那么…”的形式__________________．【答案】如果兩條直線被第三條直線所截，截得的內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行【分析】先分清命題“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”的題設(shè)與結(jié)論，然后把題設(shè)寫在如果的后面，結(jié)論部分寫在那么的后面．【詳解】解：“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”改寫成“如果…那么…”的形式為如果兩條直線被第三條直線所截，截得的內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．故答案為：如果兩條直線被第三條直線所截，截得的內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．【點睛】本題考查了命題：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題；解題的關(guān)鍵是掌握命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成．8．將命題“對頂角相等”改為“如果…那么…”的形式為：______．【答案】如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等【分析】先找到命題的題設(shè)和結(jié)論，再寫成“如果…，那么…”的形式．【詳解】解：原命題的條件是：“兩個角是對頂角”，結(jié)論是：“這兩個角相等”，命題“對頂角相等”寫成“如果…，那么…”的形式為：“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”．故答案為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．【點睛】本題主要考查了將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論，比較簡單．9．閱讀下列語句：①對頂角不相等；②明天可能會下雨；③同位角相等；④畫的平分線；⑤這個角等于嗎？在這些語句是，屬于命題的是________（填寫序號），真命題個數(shù)是________．【答案】①③0【分析】由題意根據(jù)命題的定義即對一件事情做出判斷的語句叫命題以及正確的命題叫真命題進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：①對頂角不相等，是假命題；②明天可能會下雨，沒有明確做出判斷不是命題；③同位角相等，是假命題；④畫∠AOB的平分線OC，沒有明確做出判斷不是命題；⑤這個角等于30°嗎？沒有明確做出判斷不是命題.故答案為：①③；0.【點睛】本題考查的是命題的定義以及命題的真假判斷，注意對一件事情做出判斷的語句才叫命題以及判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．10．命題通常寫成“如果……，那么……”的形式，這時，“如果”后接的部分是________，“那么”后接的部分是________．所謂真命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論就________的命題，相反，所謂假命題就是：如果題設(shè)成立，不能保證結(jié)論________的命題．【答案】題設(shè)結(jié)論成立一定成立【分析】根據(jù)命題的概念解答即可．【詳解】命題通常寫成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)；“那么”后接的部分是結(jié)論；所謂真命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論就成立的命題；所謂假命題就是：如果題設(shè)成立，不能保證結(jié)論一定成立的命題，故答案為：題設(shè)，結(jié)論，成立，一定成立．【點睛】本題主要考查命題的概念，屬于基礎(chǔ)題，只要掌握命題的概念即可．11．給出下列語句，先判斷是否為命題，如果是命題請指明其題設(shè)和結(jié)論．（1）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；（2）直角都相等；（3）畫直線AB；（4）凡內(nèi)錯角都相等．【答案】（3）不是命題，（1）、（2）、（4）是命題，題設(shè)和結(jié)論見解析．【分析】根據(jù)命題的定義：一般地，在數(shù)學(xué)中把用語言，符號或式子表示的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中已知的事項叫做題設(shè)，由已知事項推出的事項叫做結(jié)論，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）是命題，題設(shè)：兩直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，結(jié)論：這兩條直線平行；（2）是命題：題設(shè)：兩個角都是直角，結(jié)論：這兩個角相等；（3）不是命題；（4）是命題，題設(shè)：兩個角都是內(nèi)錯角，結(jié)論：這兩個角相等；【點睛】本題主要考查了命題，以及命題的題設(shè)與結(jié)論，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知命題的定義．12．把下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式．（1）兩直線平行，同位角相等；（2）對頂角相等；（3）同角的余角相等．【答案】（1）如果兩直線平行，那么同位角相等；（2）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；（3）如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．【分析】（1）找出命題的條件和結(jié)論，兩直線平行為題設(shè)，同位角相等是結(jié)論即可得出答案．（2）找出命題的條件和結(jié)論題設(shè)是兩個角是對頂角，結(jié)論是這兩個角相等即可得出答案．（3）找出命題的條件和結(jié)論題設(shè)是兩個角是同角的余角，結(jié)論是這兩個角相等即可得出答案．【詳解】（1）兩直線平行，同位角相等中兩直線平行為題設(shè)，同位角相等是結(jié)論，改寫為如果兩直線平行，那么同位角相等；（2）對頂角相等中題設(shè)是兩個角是對頂角，結(jié)論是這兩個角相等，改寫為如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；（3）同角的余角相等中題設(shè)是兩個角是同角的余角，結(jié)論是這兩個角相等，改寫為如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等．【點睛】本題主要考查了將命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論，比較簡單．13．判斷下列語句是不是命題，如果是命題，是正確的?還是錯誤的?①畫直線AB；②兩條直線相交，有幾個交點；③若a∥b，b∥c，則a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果兩個角不相等，那么這兩個角不是對頂角．【答案】①②不是命題；③④⑤⑥是命題；③④⑥是正確的命題；⑤是錯誤的命題【分析】根據(jù)命題的定義對各個選項進(jìn)行分析判斷即可【詳解】解：①畫直線AB，不是判斷真假的語句，故不是命題；②兩線直線相交有幾個交點？不是判斷真假的語句，故不是命題；③若a∥b，b∥c，則a∥c，是判斷真假的語句，是命題，是真命題；④直角都相等，是判斷真假的語句，是命題，是真命題；⑤相等的角都是直角，是判斷真假的語句，是命題，是假命題；⑥如果兩個角不相等，那么這兩個角不是對頂角，是判斷真假的語句，是命題，是真命題；所以①②不是命題；在③④⑤⑥四個命題中，③④⑥是真命題，⑤是假命題．【點睛】本題考查了命題的定義：一般的，在數(shù)學(xué)中我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，要求對命題的定義有很好的掌握．14．圖形的世界豐富且充滿變化，用數(shù)學(xué)的眼光觀察它們，奇妙無比．（1）如圖，EFCD，數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)們根據(jù)圖形特征添加一個關(guān)于角的條件，使得∠BEF＝∠CDG，并給出證明過程．小麗添加的條件：∠B+∠BDG＝180°．請你幫小麗將下面的證明過程補(bǔ)充完整．證明：∵EFCD（已知）∴∠BEF＝（）∵∠B+∠BDG＝180°（已知）∴BC（）∴∠CDG＝（）∴∠BEF＝∠CDG（等量代換）（2）拓展：如圖，請你從三個選項①DGBC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任選出兩個作為條件，另一個作為結(jié)論，組成一個真命題，并加以證明．①條件：，結(jié)論：（填序號）．②證明：．【答案】（1）∠BCD；兩直線平行，同位角相等；DG；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；∠BCD；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）①DG∥BC，∠B＝∠BCD，DG平分∠ADC，②證明見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理和性質(zhì)定理解答；

（2）根據(jù)真命題的概念寫出命題的條件和結(jié)論，根據(jù)平行線的判定定理和性質(zhì)定理、角平分線的定義解答．【詳解】（1）證明：∵EF∥CD（已知），∴∠BEF＝∠BCD（兩直線平行，同位角相等），∵∠B+∠BDG＝180°（已知），∴BC∥DG（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∴∠CDG＝∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠BEF＝∠CDG（等量代換）；（2）①條件：DG∥BC，∠B＝∠BCD，結(jié)論：DG平分∠ADC，②證明：∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，∵∠B＝∠BCD，∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．故答案為：（1）∠BCD；兩直線平行，同位角相等；DG；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；∠BCD；兩直線平行，內(nèi)錯角相