《總體離散程度的估計》教學設計、導學案、同步練習

《9.2.4總體離散程度的估計》教學設計

【教材分析】

本節(jié)《普通高中課程標準數(shù)學教科書-必修二（人教A版）第九章《9.2.4總體離散程

度的估計》，本節(jié)課通過對反映樣本數(shù)據(jù)離散程度的估計量；極差、方差與標準差的回顧，

進一步研究和學習用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征以及初步應用，有利于進一步完善

對統(tǒng),計學認識的系統(tǒng)性，加深對統(tǒng)計學思想方法的理解。從而發(fā)展學生的直觀想象、邏輯

推理、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

【教學目標與核心素養(yǎng)】

課程目標學科素養(yǎng)

A.會用樣本的極差、方差與標準差估計總1.數(shù)學建模：在具體情境中運用極差、方差與標準差

體22.邏輯推理：運用極差、方差與標準差進行推斷

B.通過用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)3.數(shù)學運算：極差、方差與標準差的計算

字特征的研究，滲透統(tǒng)計學的思想和方法。4.數(shù)據(jù)分析：運用極差、方差與標準差分析判斷

C.培養(yǎng)學生收集數(shù)據(jù)、分析數(shù).據(jù)、歸納和

整理數(shù)據(jù)，增強學習的積極性。

【教學重點】：方差、標準差的計算方法。

【教學難點】：如何利用樣本的方差、標準差對總體數(shù)據(jù)作出分析及判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。

【教學過程】

教學過程教學設計意圖

一、溫故知新

（1）眾數(shù)

皈義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻率分布最大值所對應的樣

本數(shù)據(jù)）稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

②特征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個,也可能沒有,反映了該組數(shù)據(jù)由回顧知識出發(fā)，提出問

的集中趨勢.題，讓學生感受到對反映

（2）中位數(shù)樣本數(shù)字離散程度的估

陵義:一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺懦梢淮鮑,處于最中間計量；極差、方差與標準

的一個數(shù)據(jù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時）或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當數(shù)據(jù)差學習的重要性。發(fā)展學

個數(shù)是偶數(shù)時）稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).生數(shù)學抽象、直觀想象和

②特征:一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.在邏輯推理的核心素養(yǎng)。

頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.

（3）平均數(shù)

四義:一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商.數(shù)據(jù)x,x,…,x的平均數(shù)

12n

為=…+…+0

nn

②恃征:平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的平均水平，任

何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化,這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有

的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關于樣

本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大,使平均數(shù)在估

計總體時的可靠性降低.

1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標。

2、利用頻率分布直方圖（頻率分布表），求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾

數(shù)的近似估計，進而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

2、在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于

或等于中位數(shù)，

因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相

等，由此可以

估計中位數(shù)的值。

3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點.頻率直方圖

中每個小長

方形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。

三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點

名稱優(yōu)點缺點

現(xiàn);只能表達樣本數(shù)據(jù)中很

①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最

眾數(shù)少的一部分信息;至死法客觀

大集中點；彝易得到

地反映總體特征

①不受少數(shù)幾個極端數(shù)

據(jù)，即排序靠前或靠后

中位數(shù)的幾個數(shù)據(jù)的影響;②對極端值不敏感

容易得到，便于利用中

間數(shù)據(jù)的信息

任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引

能反映出更多關于樣本

平均數(shù)起平均數(shù)的改變,數(shù)據(jù)越“離

數(shù)據(jù)全體的信息

群”，對平均數(shù)的影響越大

二、情境與問題

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中

眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本

數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)

據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差

通過具體問題，讓學生感

時.，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實際情況

受反映樣本數(shù)字離散程

產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實際狀況，很多時候還不能使我

度的估計量；極差、方差

們做出有效決策.因此，我們需要一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散

與標準差學學習解決實

程度.

際問題中的運用，發(fā)展學

方差、標準差

生數(shù)學抽象、邏輯推理的

1.思考

核心素養(yǎng)。

(1)平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是,平均數(shù)有時也會使

我們作出對總體的片面判斷,因為這個平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況,而

這些極端情況顯然是不能忽視的.因此,只用平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)

的實際狀態(tài).

例如:有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)

如下：

甲：78795491074

乙:9578768677

如果你是教練，你應當如何對這次射擊作出評價？

如果你是教練，你應當如何對這次射擊作出評價？

①甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)?他們的平均成績一樣

嗎？

提示：經(jīng)計算得元甲=卷(7+8+7%當+4/+10+7⑷=7,

同理可得元？=7.他們的平均成績一樣.

孰道這兩個人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻

率分布條形圖來說明其水平差異在哪里嗎？

提示頻率分布條形圖如下：

從圖上可以直觀地看出，他們的水平還是有差異的，甲成績比較分散，乙

成績相對集中.

(2)現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的，總體的平均數(shù)與標準差

是不知道的.

如何求得總體的平均數(shù)和標準差呢？

提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標

通過實例分析，讓學生掌

準差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要

握反映樣本數(shù)字離散程

樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.

度的估計量；極差、方差

(3)考慮一個容量為2的樣本:為3,其樣本的標準差為公產(chǎn),如果記

與標準差的計算方法，并

那么在數(shù)軸上和a有什么幾何意義？由此說明標準差的大小對熟悉的應用，提升推理論

數(shù)據(jù)的離散程度有何影響？證能力，提高學生的數(shù)學

提示元和a的幾何意義如圖所示.顯然,標準差越大,則a越大,數(shù)據(jù)的離散抽象、數(shù)學建模及邏輯推

程度越大,數(shù)據(jù)較分散;標準差越小，則a越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,數(shù)據(jù)理的核心素養(yǎng)。

較集中在平均數(shù)元的周圍.

a

Xif_處+必x2x

2

2.填空

(1)假設一組數(shù)據(jù)是兇,松…,x”,用土表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),我們用每個

數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值作為“距離”,即/心與/(/=1,2,…,加作為X、

到元的“距離”.可以得到這組數(shù)據(jù)x“法,…,心到土的“平均距離”為

1ExHl.為了避免式中含有絕對值,通常改用平方來代替，即

ni=i

1￡(X,3)2,我們稱為這組數(shù)據(jù)的方差.有時為了計算方差的方便,我們還

ni=i

1no

把方差寫成工E猶一元2

ni=i1

由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方,與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二

2

者單位一致,我們對方差開平方,取它的算術平方根,即1-￡(xrx),我

Nni=i

們稱為這組數(shù)據(jù)的標準差.

(2)如果總體中所有個體的變量值分別為匕場，…，K,總體平均數(shù)為則

N

稱E(匕孑)2為總體方差,佞為總體標準差.與總體均值類似，總

體方差也可以寫成加權的形式.如果總體的N個變量值中,不同的值共有

女UW心個，不妨記為K,五…，匕，其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)為￡(?=1,2,…,4),

則總體方差為￡￡(匕彳)2.

Ni=l

(3)如果一個樣本中個體的變量值分別為幾助…,場樣本平均數(shù)為其則

n

稱52jE(匕5)2為樣本方差,sRF為樣本標準差.

ni=i

對標準差和方差的理解

(I)樣本標準差反映了各樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度,標準差

越小,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;反之,標準差越大,表

明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越分散.

(2)若樣本數(shù)據(jù)都相等，則s=Q.

(3)當樣本的平均數(shù)相等或相差無幾時,就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來估

計總體的數(shù)字特征,而樣本數(shù)據(jù)的離散程度,就由標準差來衡量.

(4)數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標準差來描述.極差反映了一

組數(shù)據(jù)變化的最大幅度，它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感;方差則反映

了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的

波動幅度,通常用標準差一一樣本方差的算術平方根來描述.

(5)標準差的大小不會越過極差.

(6)方差、標準差、極差的取值范圍為［0,+8).當標準差、方差為0時，

樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.

(7)因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度，

所以雖然方差和標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解

決實際問題時,一般采用標準差.

(8)在實際問題中，總體平均數(shù)和總體標準差都是未知的.就像用樣本平

均數(shù)估計總體平均數(shù)一樣，通常我們也用樣本標準差去估計總體標準差.

在隨機抽樣中，樣本標準差依賴于樣本的選取,具有隨機性.

做一做

1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“J”，錯誤的打

“X”.

①標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大;標準差、方差越小，數(shù)據(jù)

的離散程度越小.()

屐兩組數(shù)據(jù)的方差一樣大，則說明這兩組數(shù)據(jù)都是相同的.()

答案:①，②X

2.對劃艇運動員甲、乙在相同的條件下進行了6次測試,測得他們每次的

最大速度(單位:m/s)如下：

甲：27,38,30,37,35,31

乙：33,29,38,34,28,36

根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰更優(yōu)秀.

解：元甲=*X(27+38+30+37+35+31)=33,

S2=

3甲

工X［(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2］上X93

66

15.7,

x=-X(33+29+38+34+28+36)-33,

乙76

S2=

工X[(33-33)，(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2*28-33)2+(36-33)2]2X76-

66

12.7.

所以X甲=x乙，s甲＞s乙.

這說明甲、乙兩運動員的最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩(wěn)定，故乙

比甲更優(yōu)秀.

有關平均數(shù)、方差的重要結論

1.思考

若x,x,…，x的方差是s,則ax,ax,1??,ax的方差是多少？

12n12n

22

提示：由方差的定義知ax,ax,…，ax的方差是as.

12n

2.填空

⑴若x,x,…，x的平均數(shù)是，則nix+a,mx+a,???,mx+a的平均數(shù)是

12n12n

uix+a

(2)數(shù)據(jù)x,x,…，x與數(shù)據(jù)x+a,x+a,…x+a的方差相等.

12n12n

222

⑶若x,x,…，x的方差為s,則ax,ax,…、ax的方差為as.

12n12n

⑷方差的簡化公式:s'WKx/+七2-府2],或寫成S24(好+

詔i?依附即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.

2

2.己知樣本數(shù)據(jù)x,x的平均數(shù)元=5,s2,則樣本數(shù)據(jù)

12n

2%+1,2x+\,2x+X的平均數(shù)為_________,方差為___________.

12n

答案：118

解析:因為樣本數(shù)據(jù)x,x,x的平均數(shù)土=5,所以樣本數(shù)據(jù)

12n

2x+l,2x+l,…，2x+l的平均數(shù)為25+1-2X5+1=11.方差為

!2n

22

2Xs-4X2-8.

例1在對樹人中學高一年級學生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配

的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平

均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分

別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年

級全體學生的身高方差作出估計嗎？

-J

解：把男生樣本記為X,X,…，X,其平均數(shù)記為尤，方差記為力;

1223

把女生樣本記為y,y,...y,其平均數(shù)記為，方差記為sy;把

1227

總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為.一

2

25

根據(jù)方差的定義，總樣本方差為

12327

S”=6電（七一彳）2+石（為一刃2]

/=I；=1

23.+27歹

z=---------------=1OJ.2

23+27

12327

S2電（為-刃2+￡（力-彳A]

i=ij=]

i2327

??=]7=i

2323

???Z（七一亍+于一z）2=Zl（x,_元）2+2（西一x）（x-z）+（x-z）2]

i=li=l

2323

由Z（毛-君=Zxi~23元=0,可得

i=li=l

2323

E2（七一-z）=2（亍-z）S（X，一方=°

i=li=l

27

同理可得￡2（刀-歹竹-刃=0

j=l

12327

52一切2+之（y廣刃2]

3Ui=iJ=I

i2327

=[；[2（玉_亍+亍_彳）2+$（匕一y+'一刃2]

i=ij=\

12327

因此『=右｛皂K%_元＞+（元一刃2]+皂[（匕一歹）2+（》一刃2]

3Ui=1j=i

1「23232727

4￡；(“元)2+1(元—寸+。(刀一?+一(》一為2

3Ui=iz=ij=i;=i

男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,

女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62

z=165.2

把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得

?=51.4862=*{23厭+(x-z)2]+27[s；+(y-z)2]}

分層隨機抽樣的方差

設樣本容量為n,平均數(shù)為三，其中兩層的個體數(shù)量分別為m,ri?,兩層

的平均數(shù)分別為I1，T2,方差分別為S*st則這個樣本的方差為

S2=—[s?+(X|—X)2]+坦[s；+(X2—X)"]

nn

跟蹤訓練1.在一個文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成

一個評判小組，給參賽選手打分.在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分

的平均數(shù)和標準差分別為47.4和3.7,觀眾代表打分的平均數(shù)和標準差

為56.2和11.8,試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算這名選手得分的平均數(shù)和方差.

解桅杷專業(yè)人士打分樣本記為小斯順好均崎,方差id為小出現(xiàn)儲愫打分樣

本記為物力…，加其平均數(shù)為?，方差記為“出總保席的平均費記為5,方差記為上

_O

則總樣本平均數(shù)為：Z=彳X47.4+而X56.2=52.68(分)，

/UNU

18-12-

總樣本方差為：，=而[2(X,—z)2]+Z；(V,—z)2]

XV.<.”

1-1J=1

=點{8[屋+(*—z)2]+12[s}+(y—z)2]}

=^{8[3.72+(47.4-52.68)2]+12[11.82+(56.2-52.68)2]}=107.6

所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6

計算分層隨機抽樣的方差#的步驟

(1)確定X1,X2,北,金,

(2)確定:；

(3)應用公式s=—[^+(xi—AT)2]+—[si+(x2—AT)2].計算s.

nn

假設通過簡單隨機抽樣，獲得了100戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)(單位：0

9.013.614.95.94.07.16.45.4

19.42.02.28.613.85.410.24.9

6.814.02.010.52.15.75.116.8

6.011.11.311.27.74.92.310.0

16.712.012.47.85.213.62.422.4

3.67.18.825.63.218.35.12.0

3.012.022.210.85.52.024.39.9

3.65.64.47.95.124.56.47.5

4.720.55.515.72.65.75.56.0

16.02.49.53.717.03.84.12.3

5.37.88.14.313.36.81.37.0

4.91.87.128.0:10.213.817.910.15.5

4.63.221.6

計算出樣本平均數(shù)X=8.79,樣本標準差$七6.20

J-5=2.59,

x+5=14.99,

x—2s=—3.61,

X4-25=21.19.

如圖所示，可以發(fā)現(xiàn),這100個數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間1無-S,元+S]內(nèi)，

在區(qū)間[x-2s,x+2s]外的只有7個.也就是說，絕大部分數(shù)據(jù)

落在[x-2s,x+2s]內(nèi).「一2s,5+2s]

樣本標準差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動的浮動大小，平均數(shù)和標準差一起

能反映數(shù)據(jù)取值的信息.

三、達標檢測

1.為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了〃塊地作試驗田.這〃塊地的畝產(chǎn)通過練習鞏固本節(jié)所學

量（單位:kg）分別是X,X,X,下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)知識，通過學生解決問

12n

題，發(fā)展學生的數(shù)學抽

作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）

象、邏輯推理、數(shù)學運算、

A.x,x,x的平均值

12n

數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

B.X,X,…，X的標準差

12n

C.x,x,…，x的最大值

12n

D.x,x,…，x的中位數(shù)

12n

答案:B

解析:在A中,平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量,它是反映數(shù)據(jù)集中趨

勢的一項指標,故A不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在B

中，標準差能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度,故B可以用來評估這種農(nóng)作物畝

產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在C中,最大值是一組數(shù)據(jù)中最大的量,故C不可以用來

評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在D中，中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成前半部分

和后半部分，用來代表一組數(shù)據(jù)的''中等水平”，故D不可以用來評估這

種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度,故選B.

2.樣本中共有五個個體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1,

則樣本的方差為（）

A.pB.7C.V2D.2

y55

解析：由平均值為1可得”生產(chǎn)=1,

解得a=-l,所以樣本方差「*2-】產(chǎn)+（8〉,故選D.

答案:D

3.（多選）甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計

圖如圖所示，則以下選項判斷不正確的有（）

A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)

B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)

C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

[頻數(shù)J頻數(shù)

33|-|

2-2

1人，nnnnn...1一

0345678910環(huán)數(shù)。345678910環(huán);

甲乙

解析：由題意可知，甲的成績?yōu)?,5,6,7,8,乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以

甲、乙的成績的平均數(shù)均為6,A錯；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6,5,B

錯；甲、乙的成績的方差分別為

1x[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]|X[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+

(6-6)2X9-6)2]專,C對；甲、乙的成績的極差均為4,D錯.

答案：ABD

4.甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和

方差如下表所示：

若要從這四人中選擇一人去參加該運動會射擊項目比賽,最佳人選

是.(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一個)

甲乙丙丁

平均環(huán)數(shù)又8.38.88.88.7

方差￥3.53.62.25.4

答案:丙

解析:分析表格數(shù)據(jù)可知，乙與丙的平均環(huán)數(shù)最多，又丙的方差比乙小,說

明丙成績發(fā)揮得較為穩(wěn)定,所以最佳人選為丙.

5.計算數(shù)據(jù)54,55,53,56,57,58的方差.

分析可以根據(jù)簡化公式進行計算，也可以把每個數(shù)據(jù)減去一個數(shù),用找齊

法計算.

解：(解法一)元2=542+552+53斗562+572+58￡3Q83.17,X-55.5,故5=3

083.17-55.524.92.

（解法二）每個數(shù)據(jù)減去55得到新的數(shù)據(jù)組-1,0,-2,1,2,3,該組數(shù)據(jù)的方

差與原數(shù)據(jù)組的方差相等,且元2=1+。+4：1+4+9月3.17）7=

O

-1+02+1+2+3^5,故S?=3.17-0.52=2.92.

6

6.在一次科技知識競賽中，某學校的兩組學生的成績?nèi)缦卤恚赫埜鶕?jù)你

所學過的統(tǒng)計知識，判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣，并說

明理由.

解⑴甲組成績的眾數(shù)為90,乙組成績的眾數(shù)為70,從成績的眾數(shù)比較

看，甲組成績好些.

一1

(2)x單=u—(50X2+60X5+70X10+80X13+

2十b十1。十13十14十b

90X14+100X6)=白義4000=80,

—1

X乙=/_I_3-IC_LS(50X4+60X4+70X16+80X2+90X12+

4+4+16+2+12+12

100X12)=777X4000=80.

bU

x(50-80)2+5X(60-80)2+10X(70-

2十5十1。十13十14十b

80)2+13X(80-80)2+14X(90-80)2+6X(100-80)2]=172,

或二(50-80)2+4X(60-80)2+16X(70-

4十4十]。十Z十1,Z十1/

80)2+2X(80-80)2+12X(90-80)2+12X(100-80)2]=256.

???7單=7乙，s微s".?.甲組成績較乙組成績穩(wěn)定，故甲組好些.

（3）甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分.其中，甲組成績在80

分以上（包括80分）的有33人，乙組成績在80分以上（包括80分）的有

26人.從這一角度看，甲組的成績較好.

（4）從成績統(tǒng)計表看，甲組成績大于等于90分的有20人，乙組成績大于

等于90分的有24人，所以乙組成績集中在高分段的人數(shù)多.同時，乙

組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人.從這一角度看，乙組的成

績較好.

四、小結

1.極差的定義及特征：通過總結，讓學生進一步

2.方差、標準差的定義及特征鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高

總體方差、總體標準差的定義概括能力。

樣本方差、樣本標準差的定義

3.會求方差、標準差，并做出決策

4.方差的運算性質(zhì)：

5.會求分層抽樣的方差

五、課時練

【教學反思】

本節(jié)課通過對反映樣本數(shù)據(jù)離散程度的估計量；極差、方差與標準差的回顧，進一步研

究和學習用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征以及初步應用，有利于進一步完善對統(tǒng)計

學認識的系統(tǒng)性，加深對統(tǒng)計學思想方法的理解。教學中要注重學生的主體地位，調(diào)動學生

積極性，使數(shù)學教學成為數(shù)學活動的教學。從而發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模

的核心素養(yǎng)。

《9.2.4總體離散程度的估計》導學案

【學習目標】

1.會用樣本的極差、方差與標準差估計總體,。

2.通過用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征的研究，滲透統(tǒng)計學的思想和方法。

3.培養(yǎng)學生收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)，據(jù)、歸納和整理數(shù)據(jù)，增強學習的積極性。

【學習重點】：方差、標準差的計算方法。

【學習難點】:如何利用樣本的方差、標準差對總體數(shù)據(jù)作出分析及判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。

【知識梳理】

一、溫故知新

（1）眾數(shù)

歐義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻率分布最大值所對應的樣本數(shù)據(jù)）稱為這

組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

②恃征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個,也可能沒有,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

（2）中位數(shù)

⑦定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺懦梢涣?處于最中間的一個數(shù)據(jù)（當

數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時）或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時）稱為這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù).

②特征:一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.在頻率分布直方圖

中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.

（3）平均數(shù)

①定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商.數(shù)據(jù)x,x,…，x的平均數(shù)為后.=

12n

41+%2+…+%n

n

②恃征:平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的平均水平，任何一個數(shù)據(jù)的改

變都會引起平均數(shù)的變化,這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來,

平均數(shù)可以反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，

使平均數(shù)在估計總體時的可靠性降低.

1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標。

2、利用頻率分布直方圖（頻率分布表），求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，

進而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

2、在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個體大于或等于中位數(shù)，

因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可

以

估計中位數(shù)的值。

3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點.頻率直方圖中每個小長

方形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。

三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點

名稱優(yōu)點缺點

①它只能表達樣本數(shù)據(jù)中很少的

⑦體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點；②容易

眾數(shù)一部分信息;②無法客觀地反映總

得到

體特征

①不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)，即排序靠前或

中位數(shù)靠后的幾個數(shù)據(jù)的影響；②容易得到，便于對極端值不敏感

利用中間數(shù)據(jù)的信息

任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平

平均數(shù)能反映出更多關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息均數(shù)的改變，數(shù)據(jù)越“離群”，對

平均數(shù)的影響越大

【學習過程】

一、情境與問題

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容

易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)

據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當樣本

數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實際情況產(chǎn)生

較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實際狀況，很多時候還不能使我們做出有效決策.因此,

我們需要一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.

方差、標準差

1.思考

(1)平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,平均數(shù)有時也會使我們作出對總體

的片面判斷,因為這個平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況,而這些極端情況顯然是不能忽視的.因

此,只用平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài).

例如:有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：78795491074

乙：9578768677

如果你是教練,你應當如何對這次射擊作出評價？

如果你是教練,你應當如何對這次射擊作出評價？

①甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)?他們的平均成績一樣嗎?

提示：經(jīng)計算得元印=2(7用+7月巧尚理+10+7弘)A

T10

同理可得元乙守.他們的平均成績一樣.

至灘道這兩個人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻率分布條形圖來

說明其水平差異在哪里嗎？

提示頻率分布條形圖如下：

從圖上可以直觀地看出，他們的水平還是有差異的，甲成績比較分散，乙成績相對集中.

(2)現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的，總體的平均數(shù)與標準差是不知道的.

如何求得總體的平均數(shù)和標準差呢？

提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差.這與前面

用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理

的，也是可以接受的.

(3)考慮一個容量為2的樣本:為〈先,其樣本的標準差為竽,如果記a言那么在數(shù)軸

上萬和a有什么幾何意義？由此說明標準差的大小對數(shù)據(jù)的離散程度有何影響？

提示元和a的幾何意義如圖所示.顯然,標準差越大,則a越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,數(shù)

據(jù)較分散;標準差越小,則a越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)元的周圍.

a

XiXj+X2X2X

2

2.填空

(1)假設一組數(shù)據(jù)是小,檢…,x?用元表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).我們用每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)

的差的絕對值作為“距離”，即/必子/(/=1,2,…作為必到元的“距離”.可以得到這組數(shù)

n

據(jù)小,也,…,為到元的“平均距離”為工1E/修三/.為了避免式中含有絕對值,通常改用平方來

nj=i

代替，g|J-￡(先與)；我們稱為這組數(shù)據(jù)的方差.有時為了計算方差的方便,我們還把方差寫

ni=i

n

成一1ixf-Xn.

ni=i1

由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方,與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致,我

2

們對方差開平方,取它的算術平方根,Upj-￡(xrx),我們稱為這組數(shù)據(jù)的標隹差.

(2)如果總體中所有個體的變量值分別為K,%…，K,總體平均數(shù)為G,則稱

N

￡(K-n2為總體方差,s八序為總體標準差.與總體均值類似，總體方差也可以寫成加

權的形式.如果總體的川個變量值中，不同的值共有AJW.AJ個,不妨記為九%…，匕,其中K

出現(xiàn)的頻數(shù)為￡31,2,…,4)，則總體方差為6乏EEH-".

Ni=l

(3)如果一個樣本中個體的變量值分別為幾用…,％樣本平均數(shù)為歹，則稱

a￡(%3),為樣本方差,s7乒為樣本標準差.

ni=l

對標準差和方差的理解

(1)樣本標準差反映了各樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度，標準差越小，表明各個

樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;反之,標準差越大，表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍

越分散.

(2)若樣本數(shù)據(jù)都相等，則s=0.

(3)當樣本的平均數(shù)相等或相差無幾時,就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來估計總體的數(shù)字

特征，而樣本數(shù)據(jù)的離散程度,就由標準差來衡量.

(4)數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標準差來描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最

大幅度，它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感;方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.

為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度,通常用標準差一一樣本方差的算術平方根來描

述.

(5)標準差的大小不會越過極差.

(6)方差、標準差、極差的取值范圍為［0,+8).當標準差、方差為。時，樣本各數(shù)據(jù)全相

等,表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.

(7)因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差和

標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時,一般采用標準差.

(8)在實際問題中，總體平均數(shù)和總體標準差都是未知的,就像用樣本平均數(shù)估計總體平

均數(shù)一樣,通常我們也用樣本標準差去估計總體標準差.在隨機抽樣中,樣本標準差依賴于樣

本的選取,具有隨機性.

做一做

1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“J”，錯誤的打“X”.

&標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大;標準差、方差越小，數(shù)據(jù)

的離散程度越小.()

②若兩組數(shù)據(jù)的方差一樣大，則說明這兩組數(shù)據(jù)都是相同的.()

2.對劃艇運動員甲、乙在相同的條件下進行了6次測試,測得他們每次的最大速度(單

位:m/s)如下：

甲：27,38,30,37,35,31

乙：33,29,38,34,28,36

根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰更優(yōu)秀.

有關平均數(shù)、方差的重要結論

1.思考

2

若x,x,…，x的方差是sy則ax,ax,ax的方差是多少?

12〃12n

22

提示：由方差的定義知ax,ax,…，ax的方差是as.

12n

2.填空

⑴若x,x,…，x的平均數(shù)是，則mx+a,mx???,mx+a的平均數(shù)是應+a

I2n12n

(2)數(shù)據(jù)x,x,…,x與數(shù)據(jù)xx七,?,?x+a的方差相等.

12n12n

222

(3)若x,x,…，x的方差為s,則ax,ax,ax的方差為as.

12ni2n

⑷方差的簡化公式:丁+(%12+―224??恤2)一反2],或寫成$2,⑸十一“..煽)-%2,

即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.

跟蹤訓練2.已知樣本數(shù)據(jù)x,x,…,x的平均數(shù)元=5,s2，則樣本數(shù)據(jù)

12n

2x+\,2x+1,…,2x+1的平均數(shù)為,方差為.

12n

例1在對樹人中學高一年級學生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽

樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,

抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的

方差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？

分層隨機抽樣的方差

設樣本容量為n,平均數(shù)為其中兩層的個體數(shù)量分別為m,%兩層的平均數(shù)分別

為與I,方差分別為si,si,則這個樣本的方差為

S2=—[s?+(X1—X)■']+-[S2+(X2—x)2]

nn

1.在一個文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評判小組，給參賽選

手打分.在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標準差分別為47.4和3.7,觀眾

代表打分的平均數(shù)和標準差為56.2和11.8,試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算這名選手得分的平均數(shù)和

方差.

靳把專業(yè)人士打分樣本記為小物…，即其平均施為工方就為親出觀眾代表打分樣

本記加，加…,J12)斛懶為j，方差記為由撼體轆的聘翅癡,方就W.

_Q

則總樣本平均數(shù)為：％=^X47.4+6X56.2=52.68(分)，

Xv/U

18—12—

總樣本方差為：,=對2(Xj—Z)2]+S(Vy—Z)2]

卻i-ly-1

=點{8層+(x-Z)21+12[^+(J-z)2]}

=^{8[3.72+(47.4-52.68)2]+12[11.82+(56.2-52.68)2]}=107.6

所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6

計算分層隨機抽樣的方差9的步驟

(1)確定X”X2,S1,送,

(2)確定x；

(3)應用公式S2=—[51+(X1—X)2]+—[&+(X2—X)2].計算S2.

nn

假設通過簡單隨機抽樣，獲得了100戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)(單位：力

9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.0

2.28.613.85.410.24.96.814.02.010.5

2.15.75.116.86.011.11.311.27.74.9

2.310.016.712.012.47.85.213.62.422.4

3.67.18.825.63.218.35.12.03.012.0

22.210.85.52.024.39.93.65.64.47.9

5.124.56.47.54.720.55.515.72.65.7

5.56.016.02.49.53.717.03.84.12.3

5.37.88.14.313.36.81.37.04.91.8

7.128.010.213.817.910.1I5.54.63.221.6

計算出樣本平均數(shù)x=8.79,樣本標準差5-6.20

1-5=2.59,

x+5=14.99,

x—2s——3.61,

X+2A=21.19.

如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間1無-S,元+s]內(nèi)，在區(qū)間

外的只有族個2也就原說，絕大部分數(shù)據(jù)落在內(nèi).1x-2s,x+2s]

樣本標準差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動的浮動大小，平均數(shù)和標準差一起能反映數(shù)據(jù)取

值的信息.

【達標檢測】

1.為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了〃塊地作試驗田.這〃塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分

別是X,X,…,X,下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()

A.x、x,…，x的平均值B.x,x,…，x的標準差

12nI2n

C.X,X,…，X的最大值