華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本(6年級(jí)下冊(cè))第10講 從算術(shù)到代數(shù)(二)

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第十講從算術(shù)到代數(shù)〔二〕

在上一講中我們著重講了在很多問題中算術(shù)方法是不可缺少的；在這一講中，我們將通過一些例子看到代數(shù)方法不可取代的巨大優(yōu)越性和強(qiáng)大威力，同時(shí)說明一元一次方程，多元一次方程組，不定方程的一般解法.例1一個(gè)同學(xué)做25道數(shù)學(xué)題，對(duì)一題得4分，不答不給分，答錯(cuò)一題倒扣1分.他有3道題未做，得了73分.問他共答對(duì)了幾道題？解：設(shè)對(duì)了*道題，那么答錯(cuò)25-3-*道題.

依題意列方程：

4*-〔25-3-*〕=73

4*-22+*=73

5*＝95

*＝19.

答：這個(gè)同學(xué)答對(duì)了19道題.

例2某水池裝有甲、乙兩個(gè)注水管，單放甲管需12小時(shí)注滿，單放乙管需24小時(shí)注滿.現(xiàn)在要求10小時(shí)注滿水池，并且甲、乙兩管合開的時(shí)間盡可能少，那么甲、乙兩管最少需要合放多少小時(shí)？

解：分析一下，由于要求甲、乙兩管合放的時(shí)間盡可能少，所以需要讓注水快的甲管在10個(gè)小時(shí)中全開著.其余的由乙管補(bǔ)足.

設(shè)甲、乙兩管最少需合放*小時(shí)，那么：

答：甲、乙兩管最少需要合放4小時(shí).

例3甲、乙兩隊(duì)同學(xué)參與郊區(qū)夏令營(yíng)，但只有一輛車接送，坐不下.甲隊(duì)同學(xué)坐車從學(xué)校出發(fā)的同時(shí)，乙隊(duì)同學(xué)開始步行.車到途中某處讓甲隊(duì)同學(xué)下車步行，車馬上返回接乙班同學(xué)并直開到夏令營(yíng)，兩班同學(xué)正好

從算術(shù)到代數(shù)(二)

同時(shí)到達(dá).已知同學(xué)步行速度為4千米/小時(shí)，汽車載同學(xué)時(shí)速度為40千米/小時(shí)，空車時(shí)速度為50千米/小時(shí)，問甲班同學(xué)應(yīng)步行全程的幾分之幾？

解：如圖：

設(shè)全程為*千米，甲、乙兩隊(duì)分別步行a、b千米.要使兩隊(duì)同學(xué)同時(shí)到達(dá)夏令營(yíng)，只有他們兩隊(duì)步行的路程相等才行，故a=b.

等量關(guān)系是：乙隊(duì)走a千米路程的時(shí)間正好等于汽車送完甲隊(duì)又原路返回時(shí)遇到乙隊(duì)的時(shí)間，即：

去分母，兩端同乘200，得

5*-5a+4*-8a=50a

9*＝63a

例4一個(gè)矩形長(zhǎng)33厘米，寬32厘米，用正方形如下列圖分割，已知最小正方形邊長(zhǎng)為1厘米，第二個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為4厘米，請(qǐng)?jiān)趫D中填出其余正方形的邊長(zhǎng).

解：設(shè)如圖中第③個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為*，那么其余每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都可以用*的代數(shù)式表達(dá)出來，如下圖.

從算術(shù)到代數(shù)(二)

再由大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為33厘米可得關(guān)系式：

2*＋1+*+11=33

3*=21

*=7〔厘米〕.

于是圖中全部正方形的邊長(zhǎng)均可將*＝7代入，得如圖所填的值.還可以用大正方形的寬為32厘米來驗(yàn)證所求值的正確性：2*+1+*+1+*+2=15+8+9=32〔厘米〕.

例5小明每天定時(shí)從家到學(xué)校，假設(shè)小明每分鐘走30米，那么遲到3分鐘；假設(shè)小明每分鐘走40米，那么早到5分鐘.求小明家到學(xué)校的距離.解：設(shè)小明家到學(xué)校的距離為S米，那么

去分母，方程兩端同乘以120：

4S-360=3S＋600

S=960.

答：小明家離學(xué)校960米.

有的問題需要用兩個(gè)或更多的未知數(shù)才能列出方程，而且方程的個(gè)數(shù)也往往不只一個(gè)，我們稱含有兩個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)所在項(xiàng)的次數(shù)都是1次的這種方程為二元一次方程.

例如*+y=5.

適合這個(gè)二元一次方程的每一對(duì)未知數(shù)的值叫做二元一次方程的一個(gè)解.如：方程*+y=5的正整數(shù)解有：

從算術(shù)到代數(shù)(二)

*=1，y=4；*=2，y=3；*＝3，y=2，*=4，y=1這四個(gè)解.

假如一個(gè)問題的兩個(gè)未知數(shù)需要滿意兩個(gè)二元一次方程，這兩個(gè)方程聯(lián)立在一起就叫做二元一次方程組.同時(shí)適合這兩個(gè)二元一次方程的每一對(duì)未知數(shù)的值叫做這個(gè)二元一次方程組的一個(gè)解.

多個(gè)未知數(shù)的方程組也可以類似地定義，解法也類似，在這里舉兩個(gè)最簡(jiǎn)約的例子來介紹二元一次方程組的解法.常用的有代入消元法和加減消元法.總之都是先設(shè)法消去一個(gè)未知數(shù).

①代入消元法：

例6解二元一次方程組

把〔2〕中的y用〔1〕中的3*代替，就可以消去一個(gè)未知數(shù)y，得：*＋3*=8

4*=8

*=2.

再把*=2的值代入〔1〕或〔2〕，得：y=6.

∴這個(gè)方程組的解為

②加減消元法：

例7解方程組

〔2〕-〔1〕得：6*=54

*＝9.

從算術(shù)到代數(shù)(二)

∴原方程組的解為

再看幾個(gè)二元一次方程組的例子.

例8一條路從甲地到乙地是下坡，從乙地到丙地是平路，一人騎車以每小時(shí)12千米的速度下坡，而以每小時(shí)9千米的速度通過平路到達(dá)丙地，共用了55分鐘；回來時(shí)以每小時(shí)8千米的速度行至乙地，又以每小時(shí)4千米的速度行到甲地，共用了1.5小時(shí).問從甲地到丙地共有多少千米？

解：設(shè)從甲地到乙地為*千米，從乙地到丙地為y千米，依題意可得以下方程組：

去分母，

〔1〕兩端同乘以36得：

3*+4y=33.

〔2〕兩端同乘以8得：

y+2*=12.

∴原方程組與下面方程組同解.

由〔4〕得y=12-2*，代入〔3〕消去y得：

3*+4〔12-2*〕=33

從算術(shù)到代數(shù)(二)

3*+48-8*＝33

5*=15

*=3.

將*=3代入〔4〕得：

y＝12-23

y＝6.

∴原方程組的解為

*+y=9.

答：從甲地到丙地共9千米.

例9有甲、乙兩個(gè)桶，甲桶里裝了一些水，乙桶里裝了一種純農(nóng)藥，按下面方法來調(diào)配農(nóng)藥溶液：第一次甲桶倒進(jìn)乙桶里的水的數(shù)量與原來乙桶中農(nóng)藥數(shù)量相同，調(diào)勻；第二次把乙桶里的農(nóng)藥溶液倒進(jìn)甲桶里，倒回的數(shù)量與甲桶里剩的水的數(shù)量相同，調(diào)勻；第三次再把甲桶中的農(nóng)藥溶液倒回乙桶，數(shù)量與此時(shí)乙桶中的溶液數(shù)量相同，這時(shí)兩個(gè)桶中的農(nóng)藥溶液數(shù)量相同.請(qǐng)你算一算：

①開始時(shí)水與純農(nóng)藥的比.

②最末在甲桶里的水與純農(nóng)藥的比.

③最末在乙桶里的水與純農(nóng)藥的比.

解：設(shè)甲桶里原有*千克水，乙桶里有y千克純農(nóng)藥.

每次倒動(dòng)后甲、乙兩桶中溶液的總量改變?nèi)缦拢?/p>

第一次甲桶剩*-y〔千克〕

乙桶有：2y〔千克〕

第二次甲桶有2〔*-y〕〔千克〕

乙桶剩2y-〔*-y〕=3y-*〔千克〕

從算術(shù)到代數(shù)(二)

第三次甲桶剩2〔*-y〕-〔3y-*〕=3*-5y〔千克〕

乙桶有2〔3y-*〕〔千克〕.

①∵第三次倒完后兩桶中液體重量相同

∴3*-5y＝2〔3y-*〕

3*-5y=6y-2*

5*＝11y

∴*∶y=11∶5.

②∵在第一次操作后甲桶中的*-y千克都為水.由乙桶倒入的*-y千克溶液中有一半是水，另一半是純農(nóng)藥，故甲桶中最末水與純農(nóng)藥的比為3∶1.

純農(nóng)藥的比為：

答：開始時(shí)水與純農(nóng)藥的比為11∶5.

最末甲桶溶液中水與純農(nóng)藥的比為3∶1.

而乙桶溶液中水與純農(nóng)藥的比為5∶3.

習(xí)題十

1.解以下方程組：

從算術(shù)到代數(shù)(二)

2.有甲、乙兩個(gè)瓶子，甲瓶里裝了200毫升清水，乙瓶里裝了200毫升純酒精，第一次把20毫升的純酒精由乙瓶倒入甲瓶；第二次把甲瓶中的溶液又倒20毫升回乙瓶.問此時(shí)甲瓶里含純酒精多，還是乙瓶里含的水多？

3.鐘面上從5點(diǎn)到6點(diǎn)分針與時(shí)針什么時(shí)間重合？什么時(shí)間成一貫線但不重合？什么時(shí)間成一貫角？

4.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)共有45元錢.假如甲的錢增加2元，乙減削2元，丙增至2倍，丁減削為一半，那么這四人的錢數(shù)相同.問四人各有多少錢？

5.小明、小勇與兩位小同學(xué)小英、小娟去給軍屬運(yùn)蜂窩煤，每人運(yùn)的塊數(shù)不同，但每人每次運(yùn)的塊數(shù)與他自己運(yùn)的次數(shù)正好相等，小明比小勇多運(yùn)15塊，小英比小娟也多運(yùn)15塊，問共搬了多少塊蜂窩煤？

6.某汽車制造廠工人共86人，已知每個(gè)工人平均可加工甲種零件15個(gè)，或乙種零件12個(gè)，或丙種零件9個(gè).問應(yīng)安排加工甲種零件、乙種零件、丙種零件各多少人才能使加工后的3個(gè)甲種零件、2個(gè)乙種零件和1個(gè)丙種零件恰好配套？

DAAN

習(xí)題十解答

1.答案

從算術(shù)到代數(shù)(二)

2.解法1：甲瓶的酒精與乙瓶的水含量一樣多.由于開始各200毫升，相互折倒完后仍舊每瓶各200毫升，因而乙瓶倒入甲瓶中的酒精量正是甲瓶倒入乙瓶中的水量.

解法2：設(shè)倒完后甲瓶含有*毫升酒精，乙瓶含有y毫升水，那么200-*+y=200-y+*

2y=2*

y=*.

答：倒完后甲瓶中酒精含量與乙瓶中水含量相等.

后分針與時(shí)針重合，依題意列方程：

②設(shè)從5點(diǎn)起分針走y分鐘與時(shí)針成一貫線，那么

從算術(shù)到代數(shù)(二)

y=60.

∴6點(diǎn)整時(shí)分針與時(shí)針成一貫線但不重合.

③設(shè)從5點(diǎn)起分針走z分鐘與時(shí)針成一貫角，那么

4.解：設(shè)甲、乙、丙、丁原有錢數(shù)分別為*元、y元、z元、t元，那么

解之，甲原有8元，乙原有12元，丙原有5元，丁原有20元.

5.解：設(shè)小明每次搬*塊，那么*次搬*2塊.小勇每次搬y塊，那么y次搬y2塊.小英每次搬u塊，那么u次搬u2塊，小娟每次搬v塊，那么v次搬v2塊.

∴*2-y2=15，u2-v2=15.

∴〔*＋y〕〔*-y〕＝15，〔u+v〕〔u-v〕=15.

但15只有兩種表示成兩個(gè)自然數(shù)乘積的形式：15=115=35，而四人搬的塊數(shù)各不相同，所以

在這兩種情形解出后都有：

*2+y2+u2+v2=82+72+42+12＝130.

從算術(shù)到代數(shù)(二)

答：共搬煤130塊.

6.解：設(shè)安排加工甲、乙、丙三種零件的人數(shù)分別為*人，y人，z人，依題意列方程：

答：安排36人生產(chǎn)甲種零件，30人生產(chǎn)乙種零件，20人生產(chǎn)丙種零件.

從算術(shù)到代數(shù)(二)

第十講從算術(shù)到代數(shù)〔二〕

在上一講中我們著重講了在很多問題中算術(shù)方法是不可缺少的；在這一講中，我們將通過一些例子看到代數(shù)方法不可取代的巨大優(yōu)越性和強(qiáng)大威力，同時(shí)說明一元一次方程，多元一次方程組，不定方程的一般解法.例1一個(gè)同學(xué)做25道數(shù)學(xué)題，對(duì)一題得4分，不答不給分，答錯(cuò)一題倒扣1分.他有3道題未做，得了73分.問他共答對(duì)了幾道題？解：設(shè)對(duì)了*道題，那么答錯(cuò)25-3-*道題.

依題意列方程：

4*-〔25-3-*〕=73

4*-22+*=73

5*＝95

*＝19.

答：這個(gè)同學(xué)答對(duì)了19道題.

例2某水池裝有甲、乙兩個(gè)注水管，單放甲管需12小時(shí)注滿，單放乙管需24小時(shí)注滿.現(xiàn)在要求10小時(shí)注滿水池，并且甲、乙