2015山東高考數(shù)學(xué)試卷分析（含試卷及答案） (一)

2015年山東高考數(shù)學(xué)試卷分析

2015年高考山東卷數(shù)學(xué)試題嚴(yán)格遵循考試說明，以能力立意，在考

查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)一，注重考查考生的數(shù)學(xué)思想方法及學(xué)科

能力，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值。試題具備基礎(chǔ)性和綜合性,

對(duì)知識(shí)和能力實(shí)現(xiàn)了多角度、多層次地考查，達(dá)到了全面考查數(shù)學(xué)素

養(yǎng)的考試要求。

一、立足學(xué)科基礎(chǔ)，突出主干知識(shí)

試卷依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和考試說明，強(qiáng)調(diào)回歸基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的

重要性，如文科第1—9題，理科第1—7題，文、理科第11—13題

等著眼于考查概念和公式的理解和應(yīng)用，著眼于考查考生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)

的理解。文科第9題和理科第7題不僅考查旋轉(zhuǎn)體體積公式的應(yīng)用，

而且考查了考生對(duì)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)和生成過程的理解。試卷中有的試題

直接源自于課本中的例題和習(xí)題，通過適度的改編、整合而成，給人

“似曾相識(shí)”的感覺，如理科第3,5,9題，文科第4,5,12題及

20題第（III）問等，充分體現(xiàn)出“源于教材，高于教材”的理念，

對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有良好的導(dǎo)向作用。

試卷對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)全面考查的同時(shí)一，突出考查中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科體

系的核心內(nèi)容，并達(dá)到了必要的深度，三角函數(shù)、立體幾何、概率統(tǒng)

計(jì)、數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、解析幾何等主干知識(shí)在整份試卷中得到充分

考查。如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容文科有第3,7,8,10,20題等，理科第

10,14,21題等。立體幾何的考查重點(diǎn)放在圖形中線線關(guān)系、線面

關(guān)系以及面面關(guān)系的識(shí)別、想象和推理上。解析幾何的考查重點(diǎn)放在

圓錐曲線的幾何意義與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合和運(yùn)動(dòng)變換上。題目設(shè)計(jì)以重

點(diǎn)知識(shí)為核心，將知識(shí)和能力結(jié)合，數(shù)學(xué)味濃，力求從學(xué)科整體的高

度在幾個(gè)知識(shí)層面的交匯處設(shè)計(jì)試題，以檢驗(yàn)考生是否具備一個(gè)有序

的網(wǎng)絡(luò)化知識(shí)體系，并能從中提取有關(guān)信息，靈活地解決問題。

二、注重思想方法，深化能力立意

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象與概括，它蘊(yùn)含在

數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是由知識(shí)向能力轉(zhuǎn)化的重要橋

梁。中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)與方程思想，分類整合思想,

數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想等，在今年數(shù)學(xué)試卷的考查中體現(xiàn)得

淋漓盡致。如文科第7,13,20題，理科第4,5,8,9,15,17,

21題等考查了數(shù)形結(jié)合思想；文科第10,15題，理科第10,14,21

題等考查了分類整合思想；文科第19,20,21題，理科第10,12,

20,21題等考查了函數(shù)與方程思想；文科第20,21題，理科第17,

19,20,21題等考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想。多數(shù)試題的設(shè)計(jì)門檻低、

入口寬，運(yùn)用的思想方法有層次、有梯度，從而有效地區(qū)分不同層次

考生的能力水平。這樣的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了以知識(shí)為載體，以方法為依托,

以考查能力為目的的考查要求，提高了試題的區(qū)分度，有利于高校選

拔人才。

文理兩份試卷注重了對(duì)空間想象能力、抽象概括能力、推理論證

能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)的考查。試卷以抽象

概括能力和推理論證能力為核心，考查考生的探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力,

檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能。如文科第6題以甲、乙兩地氣溫狀況為背景，

以莖葉圖這一基本形式為載體設(shè)計(jì)相關(guān)統(tǒng)計(jì)問題，考查了“概率統(tǒng)計(jì)?”

知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，試題貼近生活，背景公平，考查了考生數(shù)

據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)。又如理科第11題以二項(xiàng)展開式為背景，以

指數(shù)幕運(yùn)算與組合數(shù)運(yùn)算為知識(shí)載體，考查考生的歸納推理的數(shù)學(xué)思

維和能力。

三、重視理性思維，凸顯選拔功能

試題的設(shè)計(jì)知識(shí)交匯、方法交織、能力交叉。試題精巧別致，涵

蓋豐富，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理性思維的特點(diǎn)，從思維的層次性、深刻性、創(chuàng)

新性等方面進(jìn)行全面考查，凸顯了高考試題的選拔功能。

試題注重通性通法，同時(shí)又給思維層次較高的考生留足了思維馳

騁的空間，充分關(guān)注了考生思維層次的差異。如文科第21題，理科

第20題，考生可以直接求的面積，也可以根據(jù)上一問提示的比例關(guān)

系，轉(zhuǎn)化為求的面積，簡化了運(yùn)算，思維層次分明。試題綜合性強(qiáng)，

注重對(duì)思維深刻性地考查，如理科第19題以計(jì)數(shù)原理為載體，以數(shù)

學(xué)應(yīng)用為背景，考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、抽象思維能力、數(shù)學(xué)建模能

力、分析問題和解決問題的能力。若考生沒有形成對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用

能力，思維深度達(dá)不到本題的考查要求，則很難完整解答此題。

四、難度設(shè)計(jì)合理，體現(xiàn)人文關(guān)懷

試題難度設(shè)計(jì)合理，由易到難，層次分明，符合考生的認(rèn)知規(guī)律

和學(xué)習(xí)特點(diǎn)。理科第20題和文科第20、21題均設(shè)置了三小問，梯度

分明，逐層遞進(jìn)，有利于考生消除緊張情緒，正常發(fā)揮。第（1）問

思維起點(diǎn)低，考生上手容易，讓更多的考生有得分機(jī)會(huì)，第（2）問

和第（3）問思維起點(diǎn)逐步升高，需要考生有較強(qiáng)的探索能力、創(chuàng)造

性解決問題的能力。

試題的表述簡潔、準(zhǔn)確，情境交融，知能并重，符合數(shù)學(xué)規(guī)律，

思維量和運(yùn)算量比例恰當(dāng)，體現(xiàn)了對(duì)考生的人文關(guān)懷。試題充分考慮

了文、理科考生思維的不同特點(diǎn)，符合文、理科考生各自的認(rèn)知要求。

文、理試卷中完全相同的題目僅有2道，姊妹題有4道，相同知識(shí)點(diǎn)

的考查以不同方式呈現(xiàn)，體現(xiàn)了對(duì)文科考生的人文關(guān)懷。如理科第

17題和文科第18題題干完全相同，第（I）問都是線面平行的證明，

第（II）問文科是面面垂直的證明，而理科是在證明線線垂直的基礎(chǔ)

上求二面角。又如文科第21題和理科第20題考查主體相同，而文科

第（I）問考查了考生熟悉的待定系數(shù)法求橢圓方程，理科第（I）

問則考查了考生在幾何背景下探索橢圓的生成過程和圖形特征，數(shù)形

結(jié)合，強(qiáng)化推理。在保證有效區(qū)分的前提下，文、理科試題的難度設(shè)

計(jì)合理，彰顯了“以人為本”的新課程理念。

總之，2015年高考山東卷數(shù)學(xué)試題思路清晰，表述簡潔，內(nèi)涵

豐富，穩(wěn)中有變，變中求新，導(dǎo)向準(zhǔn)確，利于選拔，在充分考查學(xué)科

思想和方法的同時(shí)，關(guān)注人文，體現(xiàn)了山東特色，很好地落實(shí)了新課

程理念。

2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）

數(shù)學(xué)（文科）

第I卷（共50分）

本試卷分第I卷和第II卷兩部分，共4頁.滿分150分.考試

用時(shí)120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分,在每小

題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

(1)已矢口集合A={x[2<x<4},B={x[(x-l)(x—3)<0},貝I」AB=

(A)(1,3)(B)(l,4)(0(2,3)(D)

(2,4)

(2)若復(fù)數(shù)z滿足Z=i,其中i為虛數(shù)單位，則2=

1-z

(A)1-z(B)1+Z(C)-1-/(D)

-1+z

(3)-^a=0.6°'6,Z>=0.6l'5,c=1.5°-6,則a,dc的大小關(guān)系是

(A)a<b<c(B)a<c<b(C)b<a<c(D)

h<c<a

(4)要得到函數(shù)y=sin(4x-?)的圖象，只需將函數(shù)尸sin4x的圖

象

(A)向左平移二個(gè)單位(B)向右平移土

1212

個(gè)單位

(C)向左平移七個(gè)單位(D)向右平移工

33

個(gè)單位

(5)設(shè)weR,命題“若加>0,則方程￡+x-機(jī)=0有實(shí)根”的

逆否命題是

(A)若方程f+x-加=0有實(shí)根,則〃2>0

(B)若方程￡+XT〃=O有實(shí)根，貝

(O若方程V+%一機(jī)=0沒有實(shí)根，貝!］加＞0

(D)若方程f+x_m=0沒有實(shí)根，則屋0

(6)為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫狀況，隨機(jī)選取該月中

的5天，將這5天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位:℃)制成如圖所示的

莖葉圖?？紤]以下結(jié)論：

①甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該甲乙

月14時(shí)的平均氣溫；986289

113012

②甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該

月14時(shí)的平均氣溫；

③甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)

準(zhǔn)差；

④甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)

準(zhǔn)差.

其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號(hào)為

(A)①③(B)①④(C)②③

(D)②④

(7)在區(qū)間［0,2］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,則事件

“-141。久卜+；卜1”發(fā)生的概率為

(A)-(B)-(C)-

433

(D)-

4

(8)若函數(shù)〃司=超是奇函數(shù)，則使〃x)>3成立的x的取值

范圍為

(A)y,-l)(B)(-1,0)(C)(0,1)

(D)(l,+oo)

(9)已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其

斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積

為

(A)(B)(C)2母兀

33

(D)m兀

(10)設(shè)函數(shù)瓦"L若dH印=4,則此

[2,,x>\,I\6JJ

(A)1(B)-(C)-

84

(D)-

2

第II卷（共100分）

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。

（11）執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸入的x

（開始）

的值為1,則輸出的〉的值[

是./輸/

（12）若滿足約束條件13,則r——----------1

3位士

z=x+3y的最大值為___________.II/輸出二/

（13）過點(diǎn)P（l,6）作圓/+寸=1的兩條

切線，切點(diǎn)分別為A,B,則P4P3=.

2_2

（14）定義運(yùn)算"g":x?y=————（x.ye7?,xy^0）x>0,y>0時(shí),

xy

%（8）y+（2y）（8）%的最小值為.

22

（15）過雙曲線C:=-二?=l（a>0力>0）的右焦點(diǎn)作一條與其漸近

ab"

線平行的直線，交C于點(diǎn)P,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a則C的離心

率為?

三、解答題：本大題共6小題，共75分

（16）（本小題滿分12分）某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參

加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的請(qǐng)況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）

參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)

參加演講社團(tuán)85

未參加演講社團(tuán)230

(I)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社

團(tuán)的概率；

(II)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5

名男同學(xué)A，4,3名女同學(xué)用,當(dāng),打，現(xiàn)從這5名男同學(xué)

和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求久被選中且當(dāng)未被選中的概率。

(17)(本小題滿分12分)

AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosB=也，

3

sin(A+B)=ac2出,求sinA和c的值.

(18)(本小題滿分12分)

如圖，三棱臺(tái)DEF-ABC中，

AB=2DEG,分另IJ為AC,BC的

中點(diǎn)，

(I)求證：B。//平面PG”;

(II)若CCBC8C,求證:

平面38,平面FGH.

(19)(本小題滿分12分)

已知數(shù)列u｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)歹U｛十｝的前〃項(xiàng)和

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)b“=(4+1)2”，求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和T”.

(20)(本小題滿分13分)

2

設(shè)函數(shù)/(x)=(x+a)lnx,g(x)=—，已知曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的

e

切線與直線2x-y=0平行。

(I)求〃的值；

(II)是否存在自然數(shù)左，使的方程.f(x)=g(x)在/,％+1)內(nèi)存在唯

一的根？如果存在，求出人如果不存在，請(qǐng)說明理由；

(III)設(shè)函數(shù)m(x)=min｛/(x),g(x)｝(min｛p,q｝表示中的較小值)，求

(x)的最大值.

(21)(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓

C：=+二=l(a>〃>0)的離心率為g,且點(diǎn)(Q」)在橢圓C上，

a2b222

(I)求橢圓。的方程；

22

(II)設(shè)橢圓E：三+三=1,P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直

4a4b

線丁=點(diǎn)+機(jī)交橢圓E于兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)。。

(i)求嗎的值；

(ii)求AA8Q面積的最大值。

文科數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題

(1)C(2)A(3)C(4)B(5)

D

(6)B(7)A(8)C(9)B(10)

D

二、填空題

(11)13(12)7(13)-(14)V2(15)2+石

2

三、解答題

(16)

解：⑴由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30

人，

故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45-30=15人，

所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)

的概率為

從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的

結(jié)果組成的基本事件有；

{4,4},{4也}，{4也},{4出},{4也},

{4,4},{&,4},{人3,與},{仆與},{4,4},

{A《,與},{4,層},{4,4},{4,與},{&,用},

共15個(gè).

根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

事件“4被選中且與未被選中”所包含的基本事件有：

{4，6},{4，四}，共2個(gè).

7

因此A被選中且均未被選中的概率為〃=1.

(17)

解：在AA6C中，由cos8=3■，得sin3="^,

33

因?yàn)锳+3+C=TT,

所以sinC=sin(A+B)=仔.

因?yàn)閟inCvsinB,所以C<8,可知。為銳角，

所以cosC=三?.

因此sinA=sin(B+C)

=sin3cosCH-cosfisinC

而5百百卡20

=-------X------------1---------X--------=-----------

39393

由一^=上，

sinAsinC

2V2

-c

csinA

可得〃=3=2yf3c,

sinC

9

又ac=2^3,所以c=1.

(18)

(I)證法一：

連接。G,CD設(shè)8GF=M,連接M/7.

在三棱臺(tái)。EV-ABC中，

AB=2DE,G為AC的中點(diǎn)，

可得DF//GC,DF=GC,

所以四邊形DFCG為平行四邊形.

則M為CD的中點(diǎn)，又H為BC的中點(diǎn)，

所以HM//BD,

又HMu平面FGH,BD(Z平面FGH,

所以BD〃平面FGH.

證法二：

在三棱臺(tái)DEF-ABC中，

由BC=2EF,H為BC的中點(diǎn)，

可得BH//EF,BH=EF,

所以四邊形HBEF為平行四邊形，

可得BE//HF.

在AABC中，G為AC的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn),

所以GH//AB.

又GHHF=H,

所以平面FGH〃平面ABED,

因?yàn)锽Du平面ABED,

所以平面BD〃平面FGH.

(II)證明：連接HE.

因?yàn)镚,H分別AC,BC的中點(diǎn)，

所以GH//AB.

由AB1BC,得GH1BC.

又H為BC的中點(diǎn)，

所以EF//HC,EF=HC,

因此四邊形EFCH是平行四邊形，

所以CF〃HE,

又CF1BC,所以HEIBCo

又HE,GHu平面EGH,HEGH=H,

所以BCJ_平面EGHo

又BCu平面BCD.

所以平面BCD，平面EGH.

(19)

解：(I)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為".

令〃=1,—=—>

4a23

所以。口2=3.

令〃=2,得―!—?——=—,

a}a2a-,a35

所以4a3=15.

解得q=l,d=2,

所以勺=2〃-1.

(II)由(I)知a=2〃-22"T=〃4,

所以7；=1.4i+2?42++〃.4",

所以4<=1.4+-2U〃?%,

兩式相減，得-37；=4+4+4〃-"4

4d一4")_〃,代

1-4

1-3〃X4〃+i4

93

4+(32“

所以7；

999

(20)

解：(D由題意知，曲線y=/(x)在點(diǎn)(1"⑴)處的切線斜率為2,

所以/⑴=2,

又/(x)=lzu+—+1,

X

所以"1.

(II)&=1時(shí),方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根.

Y2

設(shè)/?(%)=/(%)一g(x)=(x+1)Inx--

e

當(dāng)XG(0,1］時(shí),h(x)<0.

44

又/z(2)=31n2--=ln8--->1-1=0,

e7e"

所以存在x°ea,2),使力(%)=0.

因?yàn)橥?x)=1依+,+1+.*-2),

xex

所以當(dāng)xe(1,2)時(shí)，/iv(x)>l-->0,

e

當(dāng)xe(2,+oo)時(shí)，h\x)>0,

所以當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，〃(x)單調(diào)遞增.

所以攵=1時(shí)，方程/(x)=g(x)在(k,k+i)內(nèi)存在唯一的根.

(III)由(II)知方程/(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根與,

且xe(0,x())時(shí)，/(x)<g(x),

xe(Xo，+oo)時(shí)，f(x)>g(%),

(x+1)In(O,xo]

2

得到m(x)=<x

—,xe(x0,+oo)

當(dāng)工￡(0,工0)時(shí)，若X￡(O,1]3%(X)KO;

若x￡(l,x0),由m(x)=lnx+—+1>0,

x

可知0<〃z(%)<m(x0).

故機(jī)(x)〈機(jī)(%)?

當(dāng)x￡(%,+00)時(shí)“m\x)="21'),

e

可得xw(%,2)時(shí)，機(jī)'(％)>0,根(幻單調(diào)遞增；

工￡(2,+8)時(shí)，m\x)<0,m(x)單調(diào)遞減;

4

可知加(x)<m(2)=—7,且m(x0)<m(2).

e

4

綜上可得函數(shù)根(x)的最大值為二.

e~

(21)

31

解：(D由題意知7+五=1,

又耳[邛，解得儲(chǔ)=4,從"

所以橢圓C的方程為小,』.

"V"

(II)由(I)知橢圓E的方程為一+2-=1.

164

設(shè)「(/，為)，丘河=4

由題意知0(-Ay0).

因?yàn)?j+%2=].

v（一幾天）2+_1

乂I—1

164

所以4=2,即R^=2.

\0P\

（ii,）設(shè)，4%2）,3（工2，%），

將丁="+機(jī)代入橢圓E的方程，

可得（1+4攵2）x2+8kmX+4m2-16=0,

由△>（）,可得加2<4+16公...............①

8km4m2-16

則有玉+/=帝記'*々=1+4/

4A/16公+4-m2

所以|無］一尤21=

1+4攵2

因?yàn)橹本€y=區(qū)+/〃與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,，〃），

所以A046的面積

1,?,2|帆|J16r+4-療2/16-+4-〃力加2

-w%,-x.=----------------=---------：------

2121+4/1+4公

m2m2

=2J(4—1+4/)i+4公

設(shè)

1+4公

將丁=辰+m代入橢圓C的方程，

可得（1+4左2）%2+Skmx+4m2-4=0,

2

由ANO,可得旭2<l+4Zr.............②

由①②可知o<t4l,

因此S=2j（4T）f=2V-/2+4/

故S42"

當(dāng)且僅當(dāng)f=l,即加=1+4公時(shí)取得最大值2G.

由⑴知，AA&Q的面積為3S,

所以A4GQ面積的最大值為6瓜

絕密★啟用前

2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）

理科數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷和第n卷兩部分，共4頁。滿分150分?？荚囉?/p>

時(shí)120分鐘。考試結(jié)束后，將將本試卷和答題卡一并交回。

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必用0?5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、

考生號(hào)、縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上。

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答

案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答

案寫在試卷上無效。

3.第n卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡

各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動(dòng)，先劃掉

原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正

帶。不按以上要求作答的答案無效。

4.填空題直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

參考公式：

如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).

第I卷(共50分)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題

給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的

(1)已知集合A={X|X2-4X+3<0},B={X[2<X<4},則AB=

(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)

(2)若復(fù)數(shù)Z滿足Z=j,其中i為虛數(shù)單位，則2=

1-z

(A)1-i(B)1+i(C)-1-i(D)-1+i

(3)要得到函數(shù)y=sin(4x-p的圖像，只需要將函數(shù)y=sin4x的

圖像()

(A)向左平移二個(gè)單位(B)向右平移二個(gè)單位

1212

(C)向左平移三個(gè)單位(D)向右平移工個(gè)單位

33

(4)已知菱形ABCD的邊長為a,ZABC=60°,則BDCD=

(A)--a2(B)--a2(C)-a2(D)-a2

2442

(5)不等式|x-1|-1x-51<2的解集是

(A)(-co,4)(B)(-s,1)(C)(1,4)(D)(1,5)

x-y>0

x+y<2

(6)已知x,y滿足約束條件(y之。，若z=ax+y的最大值為4,則

a=

(A)3(B)2(C)-2(D)-3

(7)在梯形ABCD中，ZABC=",AD//BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD

繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為

(A)—(B)—(C)—(D)2TT

333

(8)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,

32),從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為

(附：若隨機(jī)變量&服從正態(tài)分布N(P,。2),貝ljP(口-。<]<

N+。)=68.26%,P(U-2o<C<U+2o)=95.44%.)

(A)4.56%(B)13.59%(C)27.18%(D)31.74%

(9)一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓

(x+3)2+(、，-2>=1相切，則反射光線所在直線的斜率為()

(A)或一(B)或-二

(C)一三或一：(D)

(10)設(shè)函數(shù)嶺)=廣：11廣：1,則滿足f(f(a))=2,㈤的a的取值范圍是

I/fX>X

()

(A)[|,1](B)[0,1]

(C)g,+8)(D)[1,+S)

第II卷(共100分)

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)觀察下列各式：

Ci°=4°

C?+Ci=4*；

C?4-Cl+C^=43

C?+CJ+C?4-C?=4S；

照此規(guī)律，當(dāng)neN時(shí)，

C°2n-1+C'n-l+C22n-1+…+C\n-l=

(⑵若“Wxw[O,句,tanxwm”是真命題，則

4

實(shí)數(shù)m的最小值為

(13)執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的T的值

為____________

(14)已知函數(shù)f(x)=a'+Ha>O,"l：的定義域

和值域都是,則“+〃=

(15)平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線G：

22

^-4=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2：

ab~

X2=2py(p>0)交于0,若aOAB的垂心為C?的焦點(diǎn)，則G的離心率為

三、解答題：本答題共6小題，共75分。

(16)(本小題滿分12分)

設(shè)f(x)-sinxcosx-cos2(x+—).

4

(I)求f(X)的單調(diào)區(qū)間;

(n)在銳角4ABC中，角A,B,C,的對(duì)邊分別為a,b,c,若f(g)=0,a=l,

求4ABC面積的最大值。

(17)(本小題滿分12分)

如圖，在三棱臺(tái)DEF-ABC中,

B

AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn)。

(I)求證：BC〃平面FGH；

(II)若CF_L平面ABC,AB±BC,CF=DE,NBAC=45。，求平面FGH與

平面ACFD所成的角(銳角)的大小.

(18)(本小題滿分12分)

設(shè)數(shù)列｛可,｝的前n項(xiàng)和為S「已知2S〃=3"+3.

(I)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛勺｝滿足,求也J的前n項(xiàng)和

(19)(本小題滿分12分)

若〃是一個(gè)三位正整數(shù)，且〃的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，

十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱〃為“三位遞增數(shù)”(如

137,359,567等).

在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞

增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：

若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加

者得。分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能

被10整除，得1分.

(I)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；

(II)若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.

(20)(本小題滿分13分)

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:5+《=l(a>b>0)的離

心率為自，左、右焦點(diǎn)分別是尸1、以心為圓心以3為半徑的

圓與以心為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求橢圓。的方程；

(II)設(shè)橢圓E：E+與=1,P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直

4a*4b.

線y=kx+m交橢圓E于兒B兩點(diǎn)，射線P。交橢圓E

于點(diǎn)Q.

(i)求器的值；

(ii)求△ABQ面積的最大值.

(21)(本小題滿分14分)

設(shè)函數(shù)f(x)=/n(x+l)+磯/-x),其中awR。

(I)討論函數(shù)/'(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由;

(II)若七＞0,成立，求a的取值范圍。

2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）

理科數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題

(1)c(2)A(3)C(4)D(5)A

(6)B(7)C(8)B(9)D(io)c

二、填空題

(11)(12)1(13)—(14)--(15)-

622

三、解答題

(16)

?l+cos(2x+—)

解：(I)由題意/(x)=：sin2x------------——二

=-1si?nc2x----1--F-1smc2x

222

.-1

=sin2%—

2

JIJI

由----F2k7r?2xW—F2k,7TZwZ

22

jrjr

可得----\rk7l<X<——\-k7TkeZ

44

TTSTF

由一+2k7V<2x<-----F2k7T左￡Z

22

得工+女乃WxW3+左開keZ

44

nn

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[—2+br,々+七r](keZ)

44

單調(diào)遞減區(qū)間是[石+%萬,四+七r](左eZ)

44

A11

(II)/(y)=sinA--=0sinA=—

由題意A是銳角，所以cosA=—

2

由余弦定理：a2=Z?24-c2-2bccosA

可得1+\[?)bc=b2+c2>2bc

：.bc<——=2+V3,且當(dāng)Z?=c,時(shí)成立

2-V3

besinA?-----

4

AABC面積最大值為

4

(17)

(I)證法一：

連接。G,CD,設(shè)CDCIG尸=0,連接

在三棱臺(tái)。Eb-ABC中，

AB=2DE,G為4c的中點(diǎn)，

司得DFHGC,DF=GC,

所以四邊形CG為平行四邊形，

則。為C。的中點(diǎn)，

又”為的中點(diǎn)，

所以O(shè)H〃BD,

又OHu平面FGH6。(Z平面FGH,

所以平面尸G”

證法二：

在三棱臺(tái)。Eb-ABC中，

由3C=2EE,”為的中點(diǎn)，

可得BHHEF,BH=EF,

所以四邊形35萬為平行四邊形，

可得BEUHF,

在A48c中，G為AC的中點(diǎn)，”為BC的中點(diǎn),

所以GH//AB,

又G”Cl"E=〃,所以平面FGHH平面ABED,

因?yàn)?Du平面ABED

所以BD〃平面FGH。

（II）解法一：

設(shè)A5=2,則C/=1,

在三棱臺(tái)。Eb—ABC中，

G為AC的中點(diǎn)，

由。/=,AC=GC,

2

可得四邊形。GC戶為平行四邊形,

因此。G〃尸C,

又FC_L平面ABC,

所以。6_1_平面48。，

在AA8C中，由AB_LBC,NBAC=45°,G是AC中點(diǎn),

所以AB=BC,GBLGC,

因此G3,GC,G。兩兩垂直，

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-肛z,

所以G(0,0,0),B(V2,0,0),C(0，V2,0),0(0,0,1)

可得H(芋；,0),F(0,V2,0)

故曲=(等，交,0),GF(0,72,0),

設(shè)〃=（x,y,z）是平面FG"的一個(gè)法向量，則

"?GH=0rx+y=0

可得Wr~

n?GF-0[V2y+z=0

可得平面尸G”的一個(gè)法向量〃=（1,-1,四），

因?yàn)镚B是平面AC尸。的一個(gè)法向量，GB=（近,0,0）

GB?nV21

所以cos(G8,n)

\GB\?\n\~2-j2~2

所以平面與平面ACFO所成角（銳角）的大小為60,

解法二：

作“M_LAC與點(diǎn)M,作MN_LGR與點(diǎn)N,連接N”

由尸C_L平面ABC,得HM±FC,

又FCC\AC^C,

所以“M_L平面ACED,

因此GFLNH,

所以NMNH即為所求的角，

在ABGC中，MHIIBG,MH=-BG=—,

由/\GNM~kGCF,

從而MN=

由"ML平面ACF。，"Nu平面AC尸。，

得HM±MN,

因止匕tan/MNH="4=J5,

MN

所以ZMNH=60°,

所以平面FGH與平面AC/7。所成角（銳角）的大小為60°。

(18)

解：(I)因?yàn)?s“=3”+3,

所以2%=3+3,故4=3,

當(dāng)時(shí)，2S〃T=3〃T+3,

,,_,

此時(shí)2冊(cè)=2Sn-2sl=3"—3'i=2x3,即an=3T,

3,〃=1

所以""—［『Qi

(II)因?yàn)?。?1。832,所以4=g，

1

當(dāng)〃>1時(shí)，2=3"-2log23"-=(?-1)?3i,

所以7]=4=g；

7；=4+仇+%+…+2=g+(1X3T+2x3"+...+(〃—1)x32-"),

所以37；=1+(1x3°+2x3-i+…+(〃—1)x33-")

兩式相減，得

2

27；,=-+(3°+3一|+31+…+32-,!)

-(n-l)x32-"

_136n+3

~~6~2x3"

13671+3

所以1=五

4x3”

經(jīng)檢驗(yàn)，〃=1也適合,

136〃+3

綜上可得7；,=—

〃124x3"

(19)

解:(I)個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有

125,135,145,235,245,345；

(II)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為曰=84,

隨機(jī)變量X是取值為：0,-1,1.因此

C：2

p(X=0)=

^=3

P(X=-D(

14

尸(X=1)=1-上2_11

-

14342

所以X的分布列為

X0-11

2111

P

1442

則EX=0x-+(-l)—+lx—=—

3144221

(20)

解：(I)由題意知2。=4,則a=2,

又￡=&2_02=/,

a2

可得b=l

2

所以橢圓C的方程為r二+y2=i

4

22

（ID由（I）知橢圓￡的方程為二+匕=1

164

（i）設(shè)P（x0,%），僚j="由題意知Q（-4，一加0），

2

因?yàn)榉絶+y（）2=1

又（一溫f+（To'=],々W.+；）=1

16444°

所以2=2,即絲J=2

\OP\

（ii）設(shè)4為，必）,8*2，%），

將y=Ax+加代入橢圓E的方程，

可得（1+4左2）/+Sktm+4根2-16=0,

由△>(),可得m2<4+16A:2

8kmW-16

則有%+/=-]+軟2，"為2=

1+4公

4yl\6k2+4-m2

所以

1+4女2

因?yàn)橹?/p>