2023-2024學(xué)年東華中學(xué)高一數(shù)學(xué)（下）4月考試卷附答案解析

-2024學(xué)年東華中學(xué)高一數(shù)學(xué)（下）4月考試卷2024.4考試時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一項是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．下列說法正確的是（

）A．“”是“”的充分條件B．“”是“”的必要條件C．“的一個對稱中心是原點”是“”的充分不必要條件D．“”的充分不必要條件是“與的夾角為鈍角”4．已知平面向量，，若存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．5．小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b（a<b），其全程的平均時速為v，則（

）A． B． C． D．6．在中，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形7．已知方程與的根分別為，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．8．在等腰中，角A，B，C所對應(yīng)的邊為a，b，c，，，P是外接圓上一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，原點為，為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（

）A．若，則或B．若點的坐標(biāo)為，則對應(yīng)的點在第三象限C．若，則的模為D．若，則點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在單調(diào)遞減D．該圖象先向右平移個單位，再把圖象上所有的點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象11．如圖，中，，點E在線段AC上，AD與BE交于點F，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．12．中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，求其法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有滿足，且，則（

）A．外接圓的半徑為B．若的平分線與交于，則的長為C．若為的中點，則的長為D．若為的外心，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知，則．14．向量在向量上的投影向量為．15．在中，其內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為．16．設(shè)，，用表示，中較小者，記為，若方程恰有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為.四、解答題：本大題共70分.17．（1）已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）已知復(fù)數(shù)，且，試求復(fù)數(shù)．18．已知，.(1)若，求；(2)若與的夾角為，求；(3)若與垂直，求與的夾角．19．已知的內(nèi)角所對的邊分別是，．(1)求角；(2)若外接圓的周長為，求周長的取值范圍．20．為解決社區(qū)老年人“一餐熱飯”的問題，某社區(qū)與物業(yè)、第三方餐飲企業(yè)聯(lián)合打造了社區(qū)食堂，每天為居民提供品種豐富的飯菜，還可以提供送餐上門服務(wù)，既解決了老年人的用餐問題，又能減輕年輕人的壓力，受到群眾的一致好評.如圖，送餐人員小夏從處出發(fā)，前往，，三個地點送餐.已知，，，且，.(1)求的長度.(2)假設(shè)，，，均為平坦的直線型馬路，小夏騎著電動車在馬路上以的速度勻速行駛，每到一個地點，需要2分鐘的送餐時間，到第三個地點送完餐，小夏完成送餐任務(wù).若忽略電動車在馬路上損耗的其他時間（例如：等紅綠燈，電動車的啟動和停止…），求小夏完成送餐任務(wù)的最短時間.21．如圖，平面向量與是單位向量，夾角為，那么，向量、構(gòu)成平面的一個基.若，則將有序?qū)崝?shù)對稱為向量的在這個基下的斜坐標(biāo)，表示為.(1)記向量，，求向量在這個基下的斜坐標(biāo)；(2)設(shè)，，求；(3)試探究兩個向量在這個基下的垂直條件，要求寫出探究過程.22．如圖，在我校即將投入使用的新校門旁修建了一條專門用于跑步的紅色跑道，這條跑道一共由三個部分組成，其中第一部分為曲線段ABCD，該曲線段可近似看作函數(shù)，的圖象，圖象的最高點坐標(biāo)為.第二部分是長為1千米的直線段DE，軸.跑道的最后一部分是以O(shè)為圓心的一段圓弧.(1)若新校門位于圖中的B點，其離AF的距離為1千米，一學(xué)生準(zhǔn)備從新校門筆直前往位于O點的萬象樓，求該學(xué)生走過的路BO的長；(2)若點P在弧上，點M和點N分別在線段和線段上，若平行四邊形區(qū)域為學(xué)生的休息區(qū)域，記，請寫出學(xué)生的休息區(qū)域的面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)為何值時，取得最大值.1．A【分析】由，結(jié)合復(fù)數(shù)的化簡式和除法公式可直接求解.【詳解】由得，故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A2．D【分析】通過計算函數(shù)定義域求出集合，計算函數(shù)值域求出集合，最后通過交集運算即可求解.【詳解】由，有，即，所以；由令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)有，所以，又因為，所以，；所以.故選：D3．D【分析】A選項，舉出反例；B選項，求出的解集，得到“”是“”的充分不必要條件；C選項，求出的一個對稱中心是原點時滿足的條件，判斷出答案；D選項，由求出與的夾角，從而得到D正確.【詳解】對于A，當(dāng)時，滿足，此時可能有，A錯誤；對于B，等價于或，故“”是“”的充分不必要條件，B錯誤；對于C，“的一個對稱中心是原點”等價于，故“的一個對稱中心是原點”是“的必要不充分條件，C錯誤；對于D，等價于與的夾角，故“”的充分不必要條件是“與的夾角為鈍角”，D正確.故選：D.4．B【分析】利用平面向量運算的坐標(biāo)表示，結(jié)合平面向量共線的性質(zhì)進(jìn)行求解．【詳解】平面向量，，存在實數(shù)，使得，,,，，解得或（舍去），實數(shù)．故選：B．5．C【分析】求出平均速度可判斷AB；利用基本不等式可判斷CD.【詳解】設(shè)甲乙兩地相距s，則平均速度故A錯誤，B錯誤；又∵，∴，根據(jù)基本不等式及其取等號的條件可得：，∴，即，故C正確，D錯誤．故選：C．6．D【分析】利用余弦定理將化簡為，從而可求解.【詳解】由，得，化簡得，當(dāng)時，即，則為直角三角形；當(dāng)時，得，則為等腰三角形；綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.故選：D.7．D【分析】對于A，用函數(shù)圖象的對稱性來判斷；對于B，利用零點存在定理來判斷；對于C，直接計算可得答案；對于D，作差判斷大?。驹斀狻繉τ贏、C，方程與的根分別為，，即與的交點橫坐標(biāo)為，與的交點橫坐標(biāo)為，由題知，，與的圖象關(guān)于對稱，都與相交，可得點與點,關(guān)于對稱，所以，即，故A，C正確；設(shè)，顯然函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，對于B，由零點存在定理可知，根據(jù)對稱性可得，B正確；對于D，由B選項知，，，則，所以，D錯誤，故選：D．8．C【分析】根據(jù)正弦定理求出外接圓半徑，建立平面直角坐標(biāo)系，求出三角形頂點坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，求出的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意等腰中，，，故，設(shè)外接圓半徑為R，則；以的外接圓圓心為原點，以的垂直平分線為y軸，過點O作的平行線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，，則，，則，，故，因為，故，即的取值范圍是，故選：C9．BD【分析】由復(fù)數(shù)的模判斷AC；由復(fù)數(shù)的基本概念和幾何意義判斷BD．【詳解】對A,由，可得，且，故A錯誤；對B,若點的坐標(biāo)為，則故對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，在第三象限，故B正確；對C,若，則的模為，故C錯誤；對D,設(shè),若，則，則點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，故D正確．故選：BD．10．ABD【分析】由圖像可知：，周期，從而利用周期公式可求出的值，再將點坐標(biāo)代入解析式可求出的值，從而可得函數(shù)解析式，然后利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐個分析判斷即可【詳解】由圖像可知：，周期，∴；由解得：故函數(shù)對于A：，故A正確；對于B：故B正確；對于C：當(dāng)時，所以在上不單調(diào)．故C錯誤；對于D：向右平移個單位得到，再把橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，可得的圖象，故D正確．故選：ABD11．ACD【分析】由已知可得，進(jìn)而可得，判斷A；設(shè)，利用，，共線可求，進(jìn)而可判斷B；根據(jù)，利用三角形面積比可判斷D；根據(jù)向量的線性運算可判斷C．【詳解】對于A：根據(jù)，故，故A正確；對于B：設(shè)，則，又，，，三點共線，，且，，故，故B錯誤；對于D：由于，故，，故D正確；對于C，，，，故C正確．故選：ACD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的線性運算與基底法，從而得解.12．BD【分析】依題意由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式可求得，再由正弦定理可得A錯誤；根據(jù)等面積法可得角平分線的長為，即B正確；由可求得，即C錯誤；利用外接圓以及投影向量的幾何意義可得D正確.【詳解】根據(jù)題意由，利用正弦定理可得，不妨設(shè)，利用余弦定理可得，又，可得；又面積為，解得，所以，對于選項A，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，即A錯誤；對于B，分別作垂直于，垂足為，如下圖所示：

易知的面積為，可得，即B正確；對于C，若為的中點，易知，如下圖所示：

所以可得，可得，即C錯誤；對于D，延長交外接圓于點，連接；如下圖所示：

易知即為直徑，所以可知，；利用投影向量的幾何意義可得，即可得D正確.故選：BD．【點睛】方法點睛：在解三角形問題中遇到與角平分線或者中線相關(guān)的問題時，可根據(jù)題目信息采用等面積法求解角平分線長度，利用向量求解中線長度.13．##【分析】先用誘導(dǎo)公式將題目化簡，然后運用切換弦進(jìn)行化簡，代入數(shù)據(jù)可得.【詳解】∵∴故答案為：14．【分析】由投影向量的坐標(biāo)計算公式代入即可求解.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故答案為：.15．3【分析】根據(jù)，，，利用余弦定理求得，再利用三角形面積公式求解.【詳解】解：在中，，，，由余弦定理得：，，解得，所以，故答案為：316．【分析】作出分段函數(shù)的圖象，分解因式，再利用的圖象與之間的關(guān)系判斷即可．【詳解】由已知得，作出的圖象如下（圖象中的實線部分）又，則，即或，由圖易知有兩個解，故有3個解，故.故答案為：17．（1）；（2）．【分析】（1）由純虛數(shù)的概念列方程求解；（2）法一：設(shè)，代入方程利用復(fù)數(shù)相等列式求解；法二：利用求根公式直接求解.【詳解】（1）因為是純虛數(shù)，所以，解得（2）解法一：設(shè)．∵，∴

∴

解得．故．

解法二：∵，∴．故．18．(1)；(2)；(3).【分析】（1）由可得出的夾角為0或，再根據(jù),即可求出；（2）先求出,再利用模長公式求解；（3）根據(jù)與垂直，即可得出，從而可求出，進(jìn)而得出與的夾角．【詳解】（1）∵，∴與的夾角為或，∴=;（2）；（3），∴∴，

，∴19．(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理化簡已知等式可得，利用余弦定理可得，結(jié)合范圍，可求的值．（2）法一：由正弦定理可得，由余弦定理，基本不等式可求的范圍，進(jìn)而可求的周長的最大值；法二：利用正弦定理，將周長化為角A的函數(shù)求出范圍即可.【詳解】（1）由正弦定理可得，即．

由余弦定理得.又，所以．（2）方法一：因為△外接圓的周長為，所以△外接圓的直徑為．由正弦定理得，則．由余弦定理得．因為，所以，即，由三角形性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．所以，故△周長的取值范圍為．方法二：因為△外接圓的周長為，所以△外接圓的直徑為．由正弦定理得，則．

∵∴，∴故△周長的取值范圍為．20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解；（2）根據(jù)余弦定理求解，進(jìn)而得，由兩角和與差的余弦公式可得，進(jìn)而由余弦定理求解，根據(jù)三種不同的送餐路線，計算路程的大小，即可比較求解.【詳解】（1）因為，，所以，在中，由余弦定理，得.（2）在中，由余弦定理，得，所以，所以.在中，由余弦定理，得，解得.假設(shè)小夏先去地，走路線，路長，假設(shè)小夏先去地，因為，所以走路線，路長，假設(shè)小夏先去地，走路線，路長，由于，所以小夏走路線，且完成送餐任務(wù)的最短時間為.21．(1)；(2)1；(3)，過程見解析【分析】（1）由即可得出答案；（2）由，，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式得解；（3）利用向量垂直化簡求解即可．【詳解】（1），所以，向量；（2）由已知，有，，

；（3）設(shè)，，，，

，

∴的條件為.22．(1)千米(2)；【分析】（1）由圖可知，，利用求出，再代入點求出解析式，即可求出B點的坐標(biāo)，進(jìn)而可求BO的長；（2）由已知可求出E點坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓O的半徑OE的長和，利用正弦定理和三角形面積公式即可求出，進(jìn)而得到平行四邊形的面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值.【詳解】（1）解：由條件知，，又因為，則，所以.又因為當(dāng)時，有，且，所以.所以曲線段ABCD的解析式為，.由，即，或解得，又