工程水文：第四章 水文統(tǒng)計(jì)基本原理與方法

第四章水文統(tǒng)計(jì)基本原理與方法第一節(jié)概述

水文現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，一切自然現(xiàn)象都包含有必然性的一面，也包含著隨機(jī)性的一面。水文現(xiàn)象也是如此。必然性——成因法來(lái)研究確定性的水文現(xiàn)象?？蹞p例：P，————成因分析法凈雨————匯流Q—t（確定性水文現(xiàn)象）

河流中的流量Q每年不一樣，看上去好象沒(méi)有什么規(guī)律。因?yàn)橛绊懸蛩囟嗲义e(cuò)綜復(fù)雜，它具有隨機(jī)性。

擲硬幣，擲一兩次不會(huì)有什么規(guī)律，擲n次（n較大），規(guī)律就出來(lái)了。正反面出現(xiàn)的概率P=0.5。

隨機(jī)現(xiàn)象的這種規(guī)律需要從大量的隨機(jī)現(xiàn)象中統(tǒng)計(jì)出來(lái)——統(tǒng)計(jì)規(guī)律。從偶然現(xiàn)象中揭露事物的規(guī)律。統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)

水文現(xiàn)象具有一定的隨機(jī)性。所以數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來(lái)分析研究水文現(xiàn)象是符合實(shí)際的，也是合理的。第二節(jié)概率的基本概念

一、事件它是概率論中最基本的概念之一。事件是在一定條件組合下，隨機(jī)試驗(yàn)（對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀測(cè)）的結(jié)果。（定性、定量）定性：天氣晴、陰等定量：某河某水位站的數(shù)值等。事件大致分為三類(lèi)：必然事件

不可能事件隨機(jī)事件設(shè)某年，明年可能大于也可能小于

可能出現(xiàn)或不可能出現(xiàn)的可能性大小，可用一個(gè)數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量——事件的概率。二、概率它是比較隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)。簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率可用下式計(jì)算m:出現(xiàn)事件A的結(jié)果數(shù)。

n：試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)。

上述公式只適用于古典概型事件。即試驗(yàn)中的所有可能結(jié)果都是等可能的，而且試驗(yàn)的結(jié)果是有限的。

水文事件明顯不能歸結(jié)為古典型事件，不屬于等可能性。所以水文上采用頻率的概念。三、頻率設(shè)事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)了m次，則，為事件A在n次試驗(yàn)中的出現(xiàn)概率。

頻率與概率形式一樣，但含義不同。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n不大時(shí)，不穩(wěn)定，具有隨機(jī)性。例：擲硬幣n=10，一次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面2次，另一次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面8次

頻率是實(shí)件A出現(xiàn)可能性的實(shí)測(cè)值。當(dāng)，事件A的頻率具有穩(wěn)定性。

貝努利定理P（A）與之間的這種關(guān)系，給解決實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)了方便。

當(dāng)實(shí)際問(wèn)題不能歸結(jié)為古典概型時(shí)，可通過(guò)多次試驗(yàn)，把事件的頻率作為事件的概率的近似值。將這種估計(jì)而得的概率稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)概率。

第三節(jié)隨機(jī)變量的概率分布

一、隨機(jī)變量

隨試驗(yàn)結(jié)果而發(fā)生變化的變量X稱(chēng)為隨機(jī)變量。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)中將某種隨機(jī)變量所取數(shù)值的全體稱(chēng)為總體。從總體中任意抽取一部分稱(chēng)為樣本。

樣本中所包含的項(xiàng)數(shù)稱(chēng)為樣本容量。概率（或頻率）的基本特性1、為非負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)。

2、必然事件P（A）=1

不可能事件P（A）=0

隨機(jī)事件0<P(A)<11、離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量?jī)H取有限個(gè)或可列無(wú)窮多個(gè)離散數(shù)值。例：每年的次數(shù)。

隨機(jī)變量可以取所有可能值中的任何一個(gè)值，但取某一可能值的機(jī)會(huì)不同。有的機(jī)會(huì)大，有的機(jī)會(huì)小，隨機(jī)變量的取值與其概率有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。P（X=x1)=p1,P(X=x2)=p2,…….P(X=xn)=pnp1,p2,p3,…..pn分別表示隨機(jī)變量X取值x1,x2,…….xn

所對(duì)應(yīng)的概率。即離散型隨機(jī)變量的一個(gè)概率分布。

隨機(jī)變量可分為二大類(lèi)型。

水文上習(xí)慣研究隨機(jī)變量超過(guò)某值的概率。P（Xx）。數(shù)學(xué)上習(xí)慣研究隨機(jī)變量小于某值的概率。P（X<x）。

顯然，P（Xx）（即概率）是變量X取值x的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

除此之外還研究隨機(jī)變量的取值大于等于某一值的概率。

其可能取值為無(wú)限多個(gè)，而取個(gè)別值的概率趨近于零。所以無(wú)法研究個(gè)別值的概率，只能研究取值某個(gè)區(qū)間的概率。即以隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率來(lái)分析其概率分布規(guī)律。2、連續(xù)型隨機(jī)變量：可取一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)的任何值。

二、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布F（x)=P(Xx)F(x)代表隨機(jī)變量X大于等于某一取值x的概率。其幾何圖形如圖。當(dāng)，由分布曲線(xiàn)查得F（x）=P（X）=P，這說(shuō)明隨機(jī)變量大于的可能性是P%。令

隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間（x,x+)的概率與區(qū)間長(zhǎng)度之比值。表示落入?yún)^(qū)間（x,x+)的平均概率密度。

由概率加法定理，隨機(jī)變量X落在區(qū)間（x,x+)內(nèi)的概率，可用下式表示概率密度函數(shù)f(x)刻劃了密度的性質(zhì)，所以稱(chēng)之為概率密度函數(shù)。其幾何曲線(xiàn)為密度函數(shù)。通過(guò)f(x)可非常方便地求出隨機(jī)變量X落在區(qū)間dx上的概率，即為f(x)dx。

同樣，通過(guò)密度曲線(xiàn)可求出F（xp）F（xp)=P(Xxp)

由此可見(jiàn)分布函數(shù)與密度函數(shù)是微分和積分的關(guān)系。分布曲線(xiàn)的微分或一階導(dǎo)數(shù)為密度函數(shù)。密度曲線(xiàn)的積分就是分布曲線(xiàn)。三、隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

隨機(jī)變量的概率分布能比較完整地刻劃隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。然而在一些實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)變量的分布函數(shù)不易確定。有一些實(shí)際問(wèn)題也不一定需要完整的形式來(lái)說(shuō)明隨機(jī)變量，只要知道某些特征值，能說(shuō)明隨機(jī)變量的主要特性就行了。

例：某地年降水量是一個(gè)隨機(jī)變量，各年不同，有一定的概率分布曲線(xiàn)。但若只了解該地年降水量的概括情況，那么多年平均年降水量就是反映該地年降水量多少的一個(gè)重要指標(biāo)。這種以簡(jiǎn)便的形式顯示出隨機(jī)變量分布規(guī)律的某些特征數(shù)字，稱(chēng)為隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)（或統(tǒng)計(jì)特征值）。

統(tǒng)計(jì)參數(shù)不僅能反映水文系列的基本規(guī)律，用簡(jiǎn)明的數(shù)字來(lái)概括水文現(xiàn)象的基本特性，即具體又明確，又便于與鄰近地區(qū)比較，進(jìn)行地區(qū)綜合，對(duì)解決缺乏資料地區(qū)中小河流的水文計(jì)算問(wèn)題具有重要的實(shí)際意義。1、均值

樣本為x1,x2,…….xn,則其均值為

均值可代表系列的平均情況，說(shuō)明系列總水平的高低。稱(chēng)為模比系數(shù)

用模比系數(shù)k表示隨機(jī)變量，在其頻率曲線(xiàn)方程中，可減少這個(gè)參數(shù)。

均值是隨機(jī)變量最基本的位置特征，它的位置在概率密度曲線(xiàn)與X軸所包圍面積的形心處，為分布中心。2、均方差不能反映系列中各變量值集中或離散的程度。

研究系列離散程度是以均值為中心來(lái)考察的。例；有兩個(gè)系列：第一系列5，10，15，均值為10。變化范圍為5-15。第二系列1，10，19，均值為10。變化范圍為1-19。如果各變量取值xi距離較遠(yuǎn)，則大，表示變量分布較分散。例：甲河多年平均流量乙河多年平均流量哪一河水資源豐富？3、變差系數(shù)（離勢(shì)系數(shù)）

均方差雖然能說(shuō)明系列的離散程度，但對(duì)均值不相同的兩系列，用來(lái)比較其離散程度就不合適了。

例有兩個(gè)系列第一系列：5，10，15。第二系列：995，1000，1005=10=1000兩系列的都等于4.08，說(shuō)明這兩系列的絕對(duì)離散程度是相同，但因其均值不同，對(duì)均值的相對(duì)離散程度就不同了。

為克服以均方差衡量系列離散程度的缺點(diǎn)，用均方差與均值之比作為衡量系列相對(duì)離散程度的一個(gè)參數(shù)——變差系數(shù)。上例中=0.408,=0.00408。說(shuō)明第一系列的變化比第二系列大。反映了河川徑流在多年中的變化情況。<北方河流的年徑流的

南方河流水量充沛，豐水年、枯水年的年徑流量相對(duì)來(lái)說(shuō)變化較小。所以南方河流的年徑流大流域的年徑流<小流域的年徑流的。。4、偏態(tài)系數(shù)衡量系列在均值兩邊

變差系數(shù)只能反映系列的離散程度，不能反映系列在均值兩邊的對(duì)稱(chēng)程度。水文統(tǒng)計(jì)中采用偏態(tài)系數(shù)的對(duì)稱(chēng)程度。>0，系列正偏。表示大于

的變量出現(xiàn)機(jī)會(huì)比小于均值的變量出現(xiàn)機(jī)會(huì)少。<0,負(fù)偏，表示大于的變量出現(xiàn)的機(jī)會(huì)比小于均值的變量出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多。=0，表示大于均值的變量出現(xiàn)的機(jī)會(huì)與小于均值的變量出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等。四、不偏估計(jì)量

利用樣本資料所計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)都是樣本參數(shù)，它們與總體的相應(yīng)參數(shù)是不等的。

從總體中抽取許多個(gè)同容量的樣本，對(duì)每一樣本計(jì)算出其相應(yīng)的總體參數(shù)，對(duì)這些參數(shù)求平均值，若其平均值等于相應(yīng)的總體參數(shù)，則這樣的估值為不偏估值。否則為有偏估值。

可證由樣本資料計(jì)算的均值為不偏估值，而變差系數(shù)、均方差、偏態(tài)系數(shù)均為有偏估值。

為了得到不偏估值，須對(duì)樣本統(tǒng)計(jì)參數(shù)進(jìn)行修正，從而得到近似的不偏估值。

目前，由樣本估計(jì)總體參數(shù)的方法主要有矩法、三點(diǎn)法、權(quán)函數(shù)法等。

矩法是用樣本矩估計(jì)總體矩，并通過(guò)矩和參數(shù)之間的關(guān)系，來(lái)估計(jì)頻率曲線(xiàn)參數(shù)的一種方法。

前述，一階原點(diǎn)矩的計(jì)算公式就是均值

，均方差σ的計(jì)算式為二階中心矩開(kāi)方，偏態(tài)系數(shù)CS計(jì)算式中的分子則為三階中心矩。

我們希望由樣本系列計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)與總體更接近些，因此，需要將有偏公式加以修正，修正后的參數(shù)計(jì)算式為：無(wú)偏公式五、抽樣誤差

用一個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)參數(shù)來(lái)代替總體的統(tǒng)計(jì)參數(shù)是存在一定誤差的，這種誤差是由于從總體中隨機(jī)抽取的樣本與總體有差異而引起的，與計(jì)算誤差不同，稱(chēng)為抽樣誤差。

抽樣誤差的大小由均方誤來(lái)衡量。計(jì)算均方誤