2015-2021七年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編 04集合第四講（學生版+解析版）

2015-2021七年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編

專題04集合第四講

1.【2021年吉林預賽】平面直例坐標系內有10個不|同點Pi（*i，yi）,P2（X2，y2），…,Pio（*io，%o），若々=芍

或為=萬，則稱Pi與Pj為一個“同標點對''（不考慮Pi與Pj的次序）.若10個不同點滿足：與每個點構成“同

標點對”的點均不超過m個：無論何種棒況，都可以塔好將它們分成5個點對，錢個點對都不是“同標點對”.

求m的最大值.

2.[2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽A卷二試】求具有下述性質的最小正數(shù)c：對任意整數(shù)n>4,以及集合4U

{1,2,…，礫若⑷〉則存在函數(shù)t{1,一1},滿足|，弘/⑷-a|<1.

3.（2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽B卷二試】求最大的正整數(shù)n,使得存在8個整數(shù)小/2，冷/4和丫1/2〃3，%，

滿足乂0,1,…,n}c{|xi-x,||1<i<;<4]Udy；-yj\I1<i<j<4].

4.[2020高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第02試）】設集合4={1,2,…,19}.是否存在集合A的非空子集S1,S2,滿足

(1)SinS?=0,SiUS2=4;

(2)Si，S2都至少有4個元素；

(3)Si的所有元素的和等于52的所有元素的乘積?

證明你的結論.

5.(2020年四川預賽】設m是給定的正整數(shù).證明:對于任意給定的正整數(shù)n(n>2)，均存在集合4=

{的,￡12,…,a/UZ+,使得對于任意的正整數(shù)，均有融I(m+警)，其中,PQ4)表示集合/中

的元素之積.

6.【2019年全國】設丫是空間中2019個點構成的集合，其中任意四點不共面.某些點之間連有線段，記E

為這些線段構成的集合.試求最小的正整數(shù)〃，滿足條件：若E至少有〃個元素，則E一定含有908個二元

子集.其中每個二元子集中的兩條線段有公共端點，且任意兩個二元子集的交為空集.

7.【2019年浙江預賽】設X是有限集，t為正整數(shù)，F(xiàn)是包含t個子集的子集族:F={4,42,…MJ

如果產(chǎn)中的部分子集構成的集族S滿足:對S中任意兩個不相等的集合人B,4uB,Bu4均不成立，則稱S為反

鏈.設Si為包含集合最多的反鏈，S2是任意反鏈.證明存在52到Si的單射/,滿足01eS2J(4)UA或auf(4)

成立.

8.【2019年北京預賽】已知集合M={2,0,1,9}/是M的子集，且4中各元素之和為3的倍數(shù)，則滿足條件的子集

4的個數(shù)是

(A)8.(B)7.(C)6.(D)5.

9.12019高中數(shù)學聯(lián)賽A卷(第02試)】設丫是空間中2019個點構成的集合，其中任意四點不共面某

些點之間連有線段，記E為這些線段構成的集合.試求最小的正整數(shù)n,滿足條件:若E至少有n個元素，

則E一定含有908個二元子集，其中每個二元子集中的兩條線段有公共端點，且任意兩個二元子集的交為

空集.

10.【2018年福建預賽】設集合M={根|m《Z,且山52018},M的子集S滿足：對5中任意3個元素a,b,

c(不必不同)，都有a+Hq。求集合S的元素個數(shù)的最大值.

11.【2018年湖南預賽】已知集合4={x|-2<%<3],B={x|m<%<m+9}.

(1)若4UB=8,求實數(shù)m的取值范圍:

（2）若4ns力。，求實數(shù)m的取值范圍.

II.[2018年廣東預賽】已知正整數(shù)n都可以唯一表示為n=a0+ar-9+a2-+-+am-①的

形式,其中m為非負整數(shù),a,e{0,1,-,8}（j=0,0me{1,…,8}.試求①中的數(shù)列

劭,內,。2,…,am嚴格單調遞增或嚴格單調遞減的所有正整數(shù)n的和.

13.【2018年山東預賽】證明對所有的正整數(shù)nN4,存在一個集合S,滿足如下條件：

（1）S由都小于2“T的n個正整數(shù)組成；

（2）對S的任意兩個不同的非空子集4、B,集合4中所有元素之和不等于集合B中所有元素之和.

14.【2018年江西預賽】將前12個正整數(shù)構成的集合M={1,2，…,12}中的元素分成四個三元子集，使得

每個三元子集中的三數(shù)都滿足：其中一數(shù)等于另外兩數(shù)之和，試求不同的分法種數(shù).

15.【2018高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第02試）】設“、k、〃，是正整數(shù)，滿足后2,且九《小〈誓n.設A是

{1,2,〃?}的〃元子集.

證明:區(qū)間（0,合）中每個整數(shù)均可表示為。一"，其中a,a'CA

15.12018高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第02試）】設集合A={1,2,…X、丫均為A的非空子集（允許

X=K）.X中的最大元與丫中的最小元分別記為maxX、minK求滿足maxX>minY的有序集合對（X,K）的數(shù)目.

16.12017高中數(shù)學聯(lián)賽B卷（第02試）】給定正整數(shù)燒，證明:存在正整數(shù)％,使得可將正整數(shù)集N十分

拆為k個互不相交的子集41,42,…，4k，每個子集A,中均不存在4個數(shù)a、b、c、4（可以相同），滿足必一

cd=m.

18.【2017年河北預賽】已知集合4=口,2,3,4,…,101},集合BU4,且集合B中的最小元素是偶數(shù).

（1）若集合B中的最小元素是2,最大元素是13,求滿足條件的集合B的個數(shù)；

（2）求所有滿足條件的集合B中的最大元素之和.

19.（2017年山西預賽】求所有的正整數(shù)n,使得集合M={1,2,…,4n}可以分拆成九個四元子集:M=U^=1Mk,

對于每個子集Mk={耿，瓦,以,由3（卜=1,2,…,8）中的縱,瓦,%,九四個元素而言，其中的一個元素等于另外三

個元素的算術平均.

20.(2017年江西預賽】設P={/,22,32,…}是由全體正整數(shù)的平方所構成的集合；如果數(shù)n能夠表示為集

合P中若干個(至少一個)互異元素的代數(shù)和，則稱數(shù)71具有P結構.

證明：每個自然數(shù)71都具有P結構.

21.【2016年福建預賽】若將集合4={1,2,〃}任意劃分為63個兩兩不相交的子集(它們非空且并集為

A)A\,Ai,Aei，則總存在兩個正整數(shù)x、y屬于同一個子集4(13463),且x>y,31爛32y.求滿足條件的

最小正整數(shù)n.

22.【2016年山東預賽】已知集合A、B均是由正整數(shù)組成的集合，且|川=20,|8|=16.集合A滿足以下

條件：若a、b、m、nWA,且a+b=m+n,則{a,b}={m,n}.定義4+B={a+b|ae4beB}.試確定+B|

的最小值.

23.(2016年新疆預賽】設A是由n個正整數(shù)構成的集合，且A中所有元素之和小于2n-1.證明:集合A至

少有兩個沒有公共元素的非空子集，其元素之和相同.

24.【2016年浙江預賽】設集合4={xeZ+|x的十進制表示中數(shù)斫身2、0,1、6}。用>工表示集合

^^XEAX

4中所有元素的倒數(shù)之和。證明：\i<3o

^-^XEAX

25.[2016年新疆預賽】設4為一個含有ri個元素的集合，公,力2,…,(為集合/的互不相同的幾個子集.證明：

在集合4中存在一個元素Q,使得4-{研，4一{Q}，…，4n-{。}仍為互不相同的集合，其中，4一{研=

{xEAi\xa}.

26.【2016年湖北預賽】已知4={%|%2v%},8={x|%2vlog。％},且BuA.求實數(shù)a的取值范圍.

27.【2015年全國】設的、。2、。3、。4為四個有理數(shù)，使得{七0/|1勺<片4}={-24,-2,-|,一1,1,3}.求

ar+a2+a3+。4的值.

28.[2015年全國】設S=(AllA2,-,An](n>2),其中，A,/，…，"為幾個互不相同的有限集合，滿足對任

意4、AjES,^AiUA：6S.^k=minMJ>2(|X|表示有限集合X的元素個數(shù))，證明：存在xe5^4,

JJl<i^n

使得X屬于心醺…小中的至少汐集合.

29.【2015年安徽預賽】已知31名學生參加了某次考試，考試共有10道題，每名學生至少解出了6道題.

證明：存在兩名學生，他們解出的題目中至少有5道相同.

30.[2015年北京預賽】集合￡、S2為S={2,3,…。015}的一個等濃二分劃（即S】US?=S,S】nS2=0,且

IS/=|S2|=1007.記集合Si中所有數(shù)的積為a,集合S2中所有數(shù)的積為b,稱p=a+b為S的等濃二分劃的特

征數(shù).證明：

（1）集合S的等濃二分劃的特征數(shù)一定為合數(shù)；

（2）若等濃二分劃的特征數(shù)不為2的倍數(shù)，則該特征數(shù)為201533的倍數(shù).

注：有限集合M的元素個數(shù)簡記為|M|.

31.（2015年山西預賽】若集合M={1,2，…,200}的子集A中的每個元素均可表為兩個自然數(shù)（允許相同）

的平方和，求集合A中元素個數(shù)的最大值.

32.[2015年江西預賽】從集合M={1,2,…,36}中刪去n個數(shù)，使得剩下的元素中，任兩個數(shù)之和均不為2015

的因數(shù)。求n的最小值。

33.【2015年吉林預賽】已知AU{1,2,…,2014},設實數(shù)4、%、%、匕、x2>對滿足

(i)%、%、NC{-1,0,1}且不全為0;

(ii)X］、x2>x3EA；

(iii)若陽=Xj,則4內—1(1<i,j<3).

若所有形如匕犯與和心與+%外+%制的數(shù)均不為2014的倍數(shù)，則稱集合4為“好集”.求好集4所含元素個

數(shù)的最大值.

34.［2015年福建預賽】若對任意的正整數(shù)m,集合{m,7n+l,m++99}的任意n(n>3)元子集中,

總有三個元素兩兩互素.求九的最小值.

35.12015高中數(shù)學聯(lián)賽(第02試)］設5={41，4，“?，41}6》2),其中為〃個互不相同的

有限集合，滿足對任意A，4GS,均有兒UA)6S.若k=miniBslAl>2(|X|表示有限集合X的元素個

數(shù))，證明：存在-，使得x屬于人,/，…，乙中的至少於集合.

2015.2021七年高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編

專題04集合第四講

1.(2021年吉林預賽】平面直例坐標系內有10個不|同點

「1伊1，%)12(%2，%)，…，，若修=芍或%=乃，則稱匕與Pj

為一個“同標點對''(不考慮Pi與Pj的次序).若10個不同點滿足：與每個點構成“同標點對”的點均不超過

m個：無論何種棒況，都可以塔好將它們分成5個點對，錢個點對都不是“同標點對''.求m的最大值.

【答案】4

【解析】16.解：若已知的10個不同點為

P1(1,1),P2(1,2),P3(1,3),P4(1,4),P5(1,5),P6(1,6),P7(2,2),

P8(2,3),P9(2,4),Pio(2,5)，考慮到

P1(l,l),P2(l,2),P3(l,3),P4a4),P5(l,5),P6(l,6)兩兩構成“同標點對所以

不能將以上10個不同點恰好分成5個點對，每個點對都不是“同標點對''.所

以m<4

下面證明：若10個不同點滿足：與每個點構成“同標點對”的點均不超過4個，則無論何種情況，都可以恰

好將它們分成5個點對，每個點對都不是“同標點對”.

先將10個點隨意分為5對、設為｛Qi,RiNQz,&NQs,RsKQd,&MQs,Rs｝

若Qi與凡@=1,2,3,4,5)均不構成“同標點對”，只需按上述分法即可.

若存在某對的兩個點構成“同標點對“，如Qi，RI構成“同標點對“，考慮如下的調整方法：

方法1：將｛(?1，/?1｝,｛(?2，另2｝換為｛<?1?2｝，便1，。2｝，共余組不變:

方法2:將｛Q1，R1｝,｛Q2，R2｝換為｛Q1，&｝，｛々，Q2｝，其余組不變；

方法3:將｛Q1，R1MQ3I3｝換為｛QQQBMRLA｝，其余組不變；

方法4:將收1，/?1｝,收3，&｝換為｛<?1，。3｝，｛丁1，<?3｝，其余組不變;

方法5:將｛｛21m1｝,｛(24，*｝換為｛(?1，<?4｝，｛丁1，。4｝，其余組不變;

方法6:將處111｝,04，%｝換為｛Q1，*｝，｛%，QJ，其余組不變。

方法7:將｛Q1，R1MQ5I5｝換為｛Qi，Q5MR1I5｝，其余組不變；

（

方法8：將｛（?;1,/?1｝,｛（?5，下5｝換為｛<?1，方5｝，｛引1，25｝，其余組不變?

由于Q1，R1除了RQQ1外，至多各還有3個點與之構成“同標點對”，故上述8種方法中必存在一種

方法，使得調整后的兩個點對均不構成“同標點對”。按上述方法進行一次調整，這樣至少減少了一個構成“同

標點對”的點對。如果按上述方法進行一次調整后，還有構成“同標點對”的點對，再考慮類似的8種方法進

行調整。這樣隨著不斷調整，構成“同標點對”的點對必將逐漸減少。最終，經(jīng)過有限次調整，一定能分成5

個點對，每個點對都不是“同標點對

綜上,m的最大值為4.

2.[2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽A卷二試】求具有下述性質的最小正數(shù)C：對任意整數(shù)?I>4,以及集合

Ac｛1,2,…,n｝,若⑷>cn,則存在函數(shù)一口,一1｝,滿足|-a）-a|<1.

【答案】答案見解析

【解析】所求最小的c=1.

首先，當n=6,A=｛1,4,5,6｝時，不存在滿足要求的/（因為4的元素和為16,且4不能劃分為兩個元素和均為8的

子集的并）.此時|川=gn,故c<|不具有題述性質.

下面證明c=|符合要求，即當|川>|n時，存在滿足要求的f

引理:設修,犯，…，久m是正整數(shù)，總和為s,且s<2m,則對任意整數(shù)工€[0,s],存在指標集/U｛1,2,…,m｝,滿足

ZteiX；=x（對空指標集求和認為是零）.

引理的證明：對m歸納證明=1時，只能與=s=1,結論顯然成立.假設zn>1,且結論在zn-1時成立.不妨

設％1<%2…工&n，

則/+切+…+^m-14詈,（/+%2+…+%加）<詈?2巾=2（6一1）①

又由于與+%2+…+%m-l3加一1,

x

因此<m<1+%1+%2+,?,+m-l②

對任意整數(shù)％e[0,s],若％<x1+x2+-+x7n-1，由①及歸納假設知存在指標集/￡1},使得左日

Xi=x.若x>1+%1+x2HFXm_1，則對X-Xm用歸納假設（由②知X-xm>0）,存在指標集/Q{1,…,m-

1},使得左口々=x-此時指標集廠=IU{m}U{1,2,…,m}滿足=x.引理獲證.

回到原問題.注意到兀>4,分兩種情形討論.

（1）1川為偶數(shù)，設|川=2m.將4中元素從小到大依次記為％<b1<a2<b2<-<am<bm.

令xt=bi-ai>0,1<i<m,則s=￡￡xt=（bm-%）--bt）<n-1-（m-1）=n-

m<2m.

（這里利用了2m=|川>|n）.從而xvx2,-,xm滿足引理的條件.

取K=[|]G[0,s],利用引理可知存在/c{1,2,…,何,使得￡值看=間，令勺=陽,黑'口,2,-“,初\/，

則鵬&（瓦-W=殂々陽=用-卜一即=2同一s6{0,-1},

從而結論成立（只需令/（四）=一（仇）=邑,即可）.

⑵⑷為奇數(shù)，設⑷=2m+L則m>1.將力中元素從小到大依次記為。VQI<瓦V-<am<bm.

令陽=瓦一q>0,14i工m,同情形（1）可知s=/+%2+…+V2m,又顯然有s之m.由于2/n+1=

\A\>-n,fen<3m+1.從而a<n—2m<m+l<s+l.

因看,工2,…,滿足引理的條件，對Xl，％2,…，%m及％=[等]G[0,s]用引理，可知存在/￡{1,2,…,小},使得左曰

“L(-l,ie{L2j”,n}\r

則I-a+2曙=l-a+Sie/Xi-Xi*/Xtl=|-a+x-(s-x)|=|2第]—(a+s)|<L

從而結論成立(只需對i￡八令/(a。==1,對ie{1,2,…,n}\/,令/'(a。=1J(仇)=—1,并令

/(a)=-1即可).

3.[2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽B卷二試】求最大的正整數(shù)n,使得存在8個整數(shù)與用2/3/4和%，丫2，丫3，丫4,滿

足:{0,1,…,n}C{Ix.-xJIl<i<;<4}u[\yt-yj\11<i<;<4}.

【答案】9

【解析】設n符合要求，則整數(shù)%1，%2，工3，X4/1，丫2，、3，丫4滿足：0，1，"，，兀都屬于集合乂UY,

其中X={|xj-xy|Il<i<;<4},丫={|yi-y；|l<i<;<4}.

注意到0GXUy,不妨設0GX,則中必有兩個數(shù)相等,不妨設巧=x2.

于是X={0}U[\xi-Xj\\2<i<j<4},所以|X|<1+3=4.

又m<Cl=6,故n+1<|XUF|<|X|+|K|<10,得n<9.

另一方面，令(*1，*2,*3,*4)=(0,0,7,8)61，、2，丫3，丫4)=(0,4,6,9),

則X={04,7,8},K={2,3,4,5,6,9}

即0,1,…,9都屬于集合XUK

綜上,71的最大值為9.

4.12020高中數(shù)學聯(lián)賽B卷(第02試)】設集合4={1,2,???,19}.是否存在集合A的非空子集

Si,S?，滿足

(1)ClS2=0,S1U$2=4

(2)S1，$2都至少有4個元素；

(3)S1的所有元素的和等于$2的所有元素的乘積？

證明你的結論.

【答案】答案見解析

【解析】答案是肯定的.

設§2=1,23,疥19,則1,+2+…+19—1—2—x—y—*2.xy.

所以2xv+.r+>'=187,

故(2r+l)(2y+1)=375=15x25,

所以廣7,y=12是一組解.

故取S1=3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,18,19,S?=1,2,7,12,

則這樣的Si，S2滿足條件.

5.【2020年四川預賽】設m是給定的正整數(shù).證明:對于任意給定的正整數(shù)九(71>2)，均存在集合4=

{。1，。2,…，On}qZ+，使得對于任意的正整數(shù)九(14九471)，均有IOn+^^),

其中,P(4)表示集合4中的元素之積.

【答案】證明見解析

【解析】(1)證明：m=1時，結論成立.

對>2)進行歸納證明.

當?時，取，知結論成立.

1=2a1=l,a2=2

假設結論對兀成立,即存在={。，。，?“，。葭一，

-l(n>3)4n_i121}-Z+

對于任意的正整數(shù)々(1<k<n-1)，均有

為1(1+92).

令+L則

…’On}—

顯然,

PQ4rI)=P(4n-i)(P(4n-i)+D

故1+3

ak

=1?P(/T)(PG4nr)+l)

ak

=1+”二2+里”

akak

當14九《兀一1時,顯然，

從而41(1+箋期

當々=n時,1+=1+P(i4-i)=a,

annn

從而。/(1+箋2).

故結論對兀也成立.

由歸納原理，知對于任意給定的正整數(shù)，均存在集合

n(?i>2)4={?!，a2,???,an)QZ+

使得對于任意的正整數(shù)々(14k4n)，均有

/1(1+誓)?

因此，當?n=1時,原結論成立.

(2)證明：m>2時，結論成立.

當ri=2時，令a】=l,a2=m+l，易知結論成立.

當n》3時，由(I),知存在3=…，6一1}1Z+,

使得對于任意的正整數(shù)九(14k4九一1),均有。九|(1+筌).

取an=P(B)+m，則

A=…,每}UZ+

從而,P(4)=P(B)an.

故m+

=m|P(g)(P(g)+m)

ak

E1+竽+?⑻.

當14k4兀一1時,顯然，

⑻，.|(1+筌).

從而。卜I(m+甯.

當丸=n時,m+=m+P(B)=a,

ann

從而.anI(m+誓).

于是,結論對n>3也成立.

因此，當?n>2時,原結論成立.

綜上，對任意的正整數(shù)7n，結論都成立.

6.【2019年全國】設丫是空間中2019個點構成的集合，其中任意四點不共面.某些點之間連有線段，記￡

為這些線段構成的集合.試求最小的正整數(shù)〃，滿足條件：若E至少有"個元素，則E一定含有908個二元

子集.其中每個二元子集中的兩條線段有公共端點，且任意兩個二元子集的交為空集.

【答案】

【解析】我們來證明一個更為一般的引理：簡單連通圖“有"個頂點，，〃條邊，則一定可以將其邊集劃分

為［蜀個二元子集，二元子集之間不交且每個二元子集內的邊有公共端點。

證明：歸納對m=\f2,3,顯然成立.

設結論對〃?女成立，丘3,

則m=k+l時，考慮所有葉子頂點A1,42,…，Aq，若有兩片葉子AjAj連在同一頂點B上，則將AB與

A/分為二元子集，對其余怯2條邊由歸納假設，可分為［丐2］=［蜀一1個二元子集且兩兩不相交，結

論成立，

否則設41，42,…，分別接在頂點…，Bq匕若存在1<I<q,度為2,設8,與4，

C相連，將AjBj與5c取下，同理由歸納假設結論成立，

否則對任意1<i<>2,將41，42,…，去掉，得圖H'，則在H'中沒有葉子結點，

“‘連通，則為一個環(huán)，此時設囪在環(huán)上與C,力相連，在H中把4181與8c去掉，圖依然連通，

由歸納假設同理可證，引理證畢.故原命題成立.

7.【2019年浙江預賽】設X是有限集，t為正整數(shù)，尸是包含t個子集的子集族:F=

如果尸中的部分子集構成的集族S滿足:對S中任意兩個不相等的集合4、3,4uB,BU4均不成立,

則稱S為反鏈.設$1為包含集合最多的反鏈，$2是任意反鏈?證明存在52到$1的單射/，滿足V4E

$2，/(4)u4或4U/(4)成立.

【答案】證明見解析

【解析】記|S/=r,稱包含r個元素的反鏈為最大反鏈，最大反鏈可能不唯一.

稱產(chǎn)的子集P為鏈，如果uu4之一成立，我們證明結論：

戶可以拆分為r個鏈Pi(1<i<r)的并(即Dilworth定理).

對七進行歸納證明上=1顯然成立.

設命題對t-1成立，先假設存在一個最大反鏈S,使得產(chǎn)中既有集合真包含S中的某個集合，也有集合是

S中的某個集合的真子集.記前者的全體為尸1,后者的全體為尸2，

即尸包含中的某個集合},

1={4GF\AtS

尸2={4jW產(chǎn)l^i是S中的某個集合的子集},

則尸1U5,尸2US均是尸的真子集，從而由歸納假設可將尸1US,尸2US都可以拆成r個鏈的

并.FiUS中的鏈以S中的元素開始，尸2US中的鏈以S中的元素結束.將這些鏈“接”起來就將尸分成了

r條鏈.

現(xiàn)在假設不存在這樣的反鏈，從而每個最大反鏈要么滿足尸1=0,要么滿足尸2=0.前者意味著S中的

子集都是“極大”子集(不是另一個4的真子集)，后者意味著S中的子集都是“極小”子集(不真包含另一個

從而至多兩個最大反鏈.如果極大子集構成的反鏈和極小子集構成的反鏈均為最大反鏈，則任取極大子集4,

以及極小子集BuA,將4,8都去掉.用歸納假設將剩下的集合拆分成r-1條鏈，再加上鏈BuA

即可.如果其中之一不是最大反鏈，不妨設極大子集構成的反鏈是唯一的極大反鏈，任意去掉一個極大子集

歸納即可.結論證畢.

現(xiàn)在將F拆分成r條鏈，則每條鏈中恰有一個Si中的子集，目至多一個S2中的子集.將每個52中的子集對

應到所在鏈中Si的元素，就得到了從S2到Si滿足要求的映射.

8.[2019年北京預賽】已知集合M={2,0,1,9},4是M的子集，且4中各元素之和為3的倍數(shù)，則滿

足條件的子集4的個數(shù)是

(A)8.(B)7.(C)6.(D)5.

【答案】B

【解析】經(jīng)枚舉，各元素之和為3的倍數(shù)的子集有

{0},{9},{2,1},{0,9},{2,0,1},{2,1,9),{2,0,1,9}共7個.

9.12019高中數(shù)學聯(lián)賽A卷(第02試)】設丫是空間中2019個點構成的集合，其中任意四點不共面某些

點之間連有線段，記￡為這些線段構成的集合.試求最小的正整數(shù)〃，滿足條件:若E至少有〃個元素，則E

一定含有908個二元子集，其中每個二元子集中的兩條線段有公共端點，且任意兩個二元子集的交為空集.

【答案】2795

【解析】為了敘述方便，稱一個圖中的兩條相鄰的邊構成一個''角”先證明一個引理：

設G=(匕E)是一個簡單圖，且G是連通的，則G含有［粵］個兩兩無公共邊的角(這里⑷表示實數(shù)〃的整

數(shù)部分).

引理的證明:對E的元素個數(shù)因歸納證明.

當|E|=0,1,2,3時，結論顯然成立.

下面假設回為,并且結論在但|較小時均成立.

只需證明，在G中可以選取兩條邊“、人構成一個角，在G中刪去“、人這兩條邊后，剩下的圖含有一個

連通分支包含內一2條邊.對這個連通分支應用歸納假設即得結論成立.

考慮G中的最長路尸…％，其中…，17k是互不相同的頂點.因為G連通，故Q3.

情形i：deg(i?i)>2.由于p是最長路，3的鄰點均在中，設bibiGE,其中3勺必.

則｛171"2，"i「i｝是一個角，在E中刪去這兩條邊.

若0處還有第三條邊，則剩下的圖是連通的；若環(huán)處僅有被刪去的兩條邊，則VI成為孤立點，其余頂點

仍互相連通.總之在剩下的圖中有一個連通分支含有因一2條邊.

情形2：deg(i?i)=1,deg(v2)=2.則是一個角，在G中刪去這兩條邊后，

都成為孤立點，其余的點互相連通，因此有一個連通分支含有|E|一2條邊.

情形3：deg(i?i)=1,deg(v2)>3,且也與「務…，％中某個點相鄰.則

02^3》是一個角，在G中刪去這兩條邊后，也成為孤立點，其余點互相連通，因此有一個

連通分支含有|E|-2條邊.

情形4：deg(“i)=1,deg(v2)>3,且也與某個〃￡｛bi，b3,???，^^｝相鄰.由于產(chǎn)是最

長路，故，，的鄰點均在之中.因｛笠1「2，「2〃｝是一個角，在G中刪去這兩條邊，則的是孤立

點,

若處僅有邊“V2,則刪去所述邊后〃也是孤立點，而其余點互相連通.若"處還有其他邊“％,3<i<k,則刪

去所述邊后，除也外其余點互相連通.總之，剩下的圖中有一個連通分支含

有|E|一2條邊.

引理獲證.

回到原題，題中的丫和E可看作一個圖G=(匕E)

首先證明讓2795.

設卜={121，172，-1「2019}?在171，V2，??>^61中，首先兩兩連邊，再刪去其中15條邊(例如

v1v2,v1v3,--,v1v16),共連了C：1-15=1815條邊，則這61個點構成的圖是連通圖.再

將剩余的201—61=1958個點配成979對，每對兩點之間連一條邊，則圖G中一共連了1815+979=2794條

線段.由上述構造可見，G中的任何一個角必須使用相連的邊，因此至多有J等]=

907個兩兩無公共邊的角.故滿足要求的〃不小于2795.

另一方面，若|E|N2795,可任意刪去若干條邊，只考慮|E|=2795的情形.

設G有&個連通分支，分別有7nL???,個點，及e〉???，e上條邊.下面證明。1，???,。人中至多有

979個奇數(shù).

反證法，假設中有至少980個奇數(shù)由于+???+e/c=2795是奇數(shù)，故

中至少有981個奇數(shù)，Q981.不妨設01，。2,…，0981都是奇數(shù)，顯然帆1，力^,…，m981》2.

27

令則有

m=m981+???+mk>2,>ef(l<i<980),Cm>e981+???+

ek,

980

①

Zi=l

利用組合數(shù)的凸性，即對xNyN3,有C：+Cy4Cx+i+C；_「可知當mi，…，，〃98()，由980個

2以及一個59構成時，Cm+V取得最大值.

「980

于是c*+>Cm.<牖9+980點=2691<2795,

乙i=]

這與①矛盾.從而e〉,6九中至多有979個奇數(shù).

對每個連通分支應用引理，可知G中含有N個兩兩無公共邊的角，

其中N=V停>J勺-979)=?(2795-979)=908

<i=l12

綜上，所求最小的”是2795.

10.【2018年福建預賽】設集合M={闌且|加區(qū)2018},M的子集S滿足：對S中任意3個元素a,b,

C(不必不同)，都有4+以存0.求集合S的元素個數(shù)的最大值.

【答案】20

【解析】

集合S的元素個數(shù)的最大值為2018.

令S={s|lSW2018,sGZ},顯然集合S符合要求，且|5|=2018.

另一方面，設S是滿足題設條件的集合，顯然0CS(否則0+0+0=0).設S中的所有正整數(shù)構成集合A,S中

的所有負整數(shù)構成集合B.

若4=0,則|S|=|B|W2018；若8=0,則⑸=|川W2018.

卜面考慮A、B非空的情形.

對于集合X,匕i￡X+y={x+y|xeX,yeV},-X={-x|x6X}.

由題設可知，(A+B)n(-S)=0(否則，設xoG(A+B)n(-S),則存在一c?-S,使得a+%=xo，

-c=xo.于是，存在adS,bGS,使得a+b+c=0).且A+3d{小WZ,且國<2017}(事實上，A中元素$2018,B

中元素±-1,于是A+B中元素W2017；同理,A+B中元素?一1027.).

設集合A中元素為m，G,…，ak>集合8中元素為〃”bi,...?hi，且<…<?&，b\<b2<...<bi，

Va\-^b\<a^b\<a3^b\<...<a^bi<〃計匕2V...va^hi.

???A+3中至少有價/一1個元素，即H+B|?+/-1=|S|-1.

結合4+BQ{x|x￡Z,￡L\x\<2017}UM,-SQM,且(4+B)Cl(-5)=0,可得(4+B)U(-S)cM,

4037=|A/|>|A+B|+|-S|=|A+B|+|S|>jS|-l+|S|.

A|S|<2019.

若|S|=2019,則H+B|+|—S|=4037=|例

：.(A+B)U(-S)=M.

又由一2018任4+8,2018iA+B,知201865,-2018GS.

,對于仁1,2,3,1009,我與2018—/中至少有一個不屬于S,一k與一2018+Z中也至少有一個不屬

于S因此，|A|<1009,|B|<1009.

二2019=|S|=|A|+|5|<1009+1009=2018,矛盾.

因此,|S|<2018.

綜上可得，|S|<2018.

綜上所述，集合S的元素個數(shù)的最大值為2018.

11.【2018年湖南預賽】已知集合2={%[-2<x<3],B=[x\m<x<m+9].

⑴若AUB=B,求實數(shù)m的取值范圍：

(2)若4C8K0,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1〉[-6,-2]：(2)(-11,3)

【解析】

(1)'.?集合A={%|—2<x<3},B={x\m<x<m+9],AUB=B,

AACB,

/.f解得-6WmW-2,

二實數(shù)m的取值范圍是[-6,-2].

(2)，.,集合4—{x|-2<x<3},B={x\m<x<m+9},

二當ADB=0時,3<m或者m+9<-2,

解得*3或mW-H,

.?.ACB*。時，

實數(shù)m的取值范圍是(71,3).

12.【2018年廣東預賽】已知正整數(shù)n都可以唯一表示為n=ao+a「9+a2?92+“.+am-9m①的

形式，其中m為非負整數(shù)，aj6{0,1,-??,8)(y=0,07ne{1,…,8}.試求①中的數(shù)列

劭,％,。2,…,a機嚴格單調遞增或嚴格單調遞減的所有正整數(shù)n的和.

【答案】984374748

【解析】

設A和B分別表示①中數(shù)列嚴格單調遞增和遞減的所有正整數(shù)構成的集合.符號S(M)表示數(shù)集M中所

有數(shù)的和，并將滿足①式的正整數(shù)記為n=2nom-i…

把集合A分成如下兩個不交子集4O={n6A\a0=0}和4={neA\a0K0}.

我們有S(4)=S%)=S(4).

對任意令f(n)=9ne4o，則，是41到4。的雙射?

由此得S(a)=9s(4),從而S(4)=10S(%).

又對任意a=amani_i-a06B，令8=g(a)=(9-am)(9-am-i)-(9-a0)C

則g是B到公的雙射，其中a+b=9m+1+9m+-+9=^(9m+1-1).

o

因為8={amam_i-?-a0|l<am<<???<a0<8,m=0,1,…,7)

所以B中共有2；=0Cr+】個元素，因此S(B)+S(4)=I2]=oC『+】(9m+1-1)

號合一公晨瑞號(1。8-281

又令&表示A中最高位數(shù)am=8的正整數(shù)全體，A中其余的數(shù)和零所構成的集合記為4，

則S(4)=S(A2)+S(43).

對任意Q=amam_1--a0EB,令b=a(a)=(8-am)(8-am_1)---(8-a0)GA3

則。是B到4的雙射，其中Q+b=8?9加+8,9時1+…+8=9m+1-1.

所以S(B)+S(4)=2：=0。價+1(9巾+】-1)=2：=00(>一1)=108一28

e

最后對任意Q=8am…a0eA2-{8},令b-T(Q)=(8-。小)…(8-a0)B.

則T是A2-{8}到B的雙射，其中Q+b=8?9m+1+8?9巾+…+8=9m+2-1.

所以S(B)+S(&)=8+2二=0睹一1)

=8+A〉］制(9"1-1)=9,1。8-28-

于是，F(xiàn)⑻+#(4)=式1。=28)

I2S(B)+S(A)=109-29

解之得SQ4)=||X109+80=968750080,S(B)=15624704.

由于A和B中都含有1,2,...,8,因此所求正整數(shù)的和等于S(A)+5(8)-36=984374748.

13.【2018年山東預賽】證明對所有的正整數(shù)nN4,存在一個集合S,滿足如下條件：

(1)S由都小于2"i的n個正整數(shù)組成；

(2)對S的任意兩個不同的非空子集4、B,集合4中所有元素之和不等于集合B中所有元素之和.

【答案】見解析

【解析】

當n=4時，取5={3,5,6,7},則S滿足條件.

其次,當nN5時,令5={3,23,24,?“，2717,2吁1~3,271-1-2,271-1-1}.

卜面證明這樣的S滿足條件.

事實上，設4、B是S的兩個不同的非空子集，

令/(X)表示集合X的所有元素之和，要證明的目標是/(A)H/(B).

不妨設4nB=0,注意到，對任意m6N*均有1+2+4+???+2吁1=2m-l<2m.

所以，當a=2"T-3,h=2n-1-2,c=2nT-l都不屬于AuB時，均有/'(A)#/(B).

進一步,由于3+23+24+?“+2n-2=2>1-5,

所以當a、b、c中恰有一個屬于AUB時,例如aeA,將有/(4)>/(B),此時f(A)Wf(B)；

類似地討論a、b、c中有兩個或3個同時屬于4UBB寸，均可得出/(4)H/(B).

綜上所述，當ri>4時滿足條件的S都存在.

14.【2018年江西預賽】將前12個正整數(shù)構成的集合”={1,2,…,12}中的元素分成四個三元子集，使得每

個三元子集中的三數(shù)都滿足：其中一數(shù)等于另外兩數(shù)之和，試求不同的分法種數(shù).

【答案】8

【解析】

設四個子集為Mj=(七也Q),i=1,2,3.4,其中/=仇+叫,bi>Ci，i=1,2,3.4,

設<。4，則&4=12,=g(l+2H-----F12)=y=39,

所以％+。2+。3=27,故3a3>27,因此10W￡13W11.

若。3=10>則由%+a2=17,a2<10,2a2>%+a2=17,得a?=9，%=8>

即有(%,。2，&3，。4)=(8,9,10,12),

再由8=bi+c「9=b2+c2>10=83+03,12=/>4+c4>

必須久=11,c4=1,共得兩種情況：12=11+1,10=7+3,9=5+4,8=6+2；

以及12=11+1,10=6+4,9=7+2,8=5+3,對應于兩種分法：

(12,11,1),(10,7,3),(9,5,4),(8,6,2)；

(12,11,1),(10,6,4),(9,7,2),(8,5,3).

若。3=11，則的+。2=16,于是8<。2<11,分別得(曲,。2)=(6,10)，(7,9).

對于(aiggg)=(6,10,11,12),得到三種分法：

(12,8,4),(11,9,2),(10,7,3),(6,5,1)；

(12,9,3),(11,7,4),(10,8,2),(6,5,1)；

(12,7,5),(11,8,3),(10,9,1),(6,4,2).

對于(aiggg)=(7,9,11,12),也得三種分法:

(12,8,4),(11,10,1),(9,6,3),(7,5,2)；

(12,10,2),(11,6,5),(9,8,1),(7,4,3)；

(12,10,2),(11,8,3).(9,5,4),(7,6,1).

因此本題的分組方案共八種.

2k-l

15.12018高中數(shù)學聯(lián)賽A卷（第02試）】設“、底"?是正整數(shù)，滿足Q2,且114"I<——71

IV

設A是｛1,