高考理數(shù)一輪夯基作業(yè)本增分冊三考點縱橫5大?？伎键c之神思妙解

三、考點縱橫——5大?？伎键c之神思妙解?？键c1最值問題的5大解法方法1函數(shù)法(1)利用已知函數(shù)性質(zhì)求最值根據(jù)已知的函數(shù)解析式,直接利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性等)是函數(shù)法的主要類型之一.典例1函數(shù)y=cos2x+2cosx的最小值是.

答案32解析y=cos2x+2cosx=2cos2x+2cosx1=2cosx+12當且僅當cosx=12時,函數(shù)取得最小值3(2)構(gòu)建函數(shù)模型求最值很多最值問題需要先建立函數(shù)模型,然后利用函數(shù)性質(zhì)求解.建立函數(shù)模型的關(guān)鍵是找到一個變量,利用該變量表示求解目標,變量可以是實數(shù),也可以是角度(弧度制實際上也可以看作一個實數(shù)),還可以是變量不等式等,建立函數(shù)模型需要注意建立的函數(shù)模型的定義域.典例2在△ABC中,點D滿足BD=34BC,當點E在線段AD上移動時,若AE=λAB+μAC,則t=(λ1)2+μA.31010 B.824 C.答案C解析設(shè)AE=xAD(0≤x≤1),因為AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(ACAB)=14AB+34AC,所以AE=1又AE=λAB+μAC,且AB,AC不共線,所以λ=14x,μ=3所以t=(λ1)2+μ2=14x-12+34x2=點評已知E點在線段AD上移動,利用共線向量定理設(shè)出變量x,建立求解目標關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系后利用函數(shù)性質(zhì)求解.方法2不等式法(1)利用基本不等式求最值基本不等式是求最值的常用方法之一,使用基本不等式時要注意:①基本不等式的使用條件和等號是否能夠成立;②變換已知不等式使之符合使用基本不等式的條件.典例3已知圓O的半徑為1,HM,HN為該圓的兩條切線,M,N為兩切點,那么HM·HN的最小值為.

答案223解析連接OH,OM,ON,設(shè)∠OHM=∠OHN=θ,0<θ<π2,則|HM|=|HN|=1tan所以HM·HN=|HM|·|HN|·cos2θ=cos2θtan2=cos2=(1cos2θ)+21-cos2當且僅當1cos2θ=21-cos2(2)建立求解目標的不等式求最值把求解目標歸入一個不等式,通過解不等式得出目標的最值,是求最值的常用方法之一.典例4已知圓C1:x2+2cx+y2=0,圓C2:x22cx+y2=0,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),c>0,且c2=a2b2.若圓C答案12解析由題意得2c≤a,c2a2方法3導數(shù)法(1)直接使用導數(shù)求最值三次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)與其他函數(shù)綜合的函數(shù),求最值時要利用導數(shù)法.基本步驟:確定單調(diào)性和極值,結(jié)合已知區(qū)間和區(qū)間的端點值確定最值.典例5已知函數(shù)f(x)=x3+ax24在x=2處取得極值,若m,n∈[1,1],則f(m)+f'(n)的最小值是.

思路點撥分別求出f(m),f'(n)的最小值相加即可.答案13解析f'(x)=3x2+2ax,根據(jù)已知得f'(2)=0,得a=3,所以f'(x)=3x2+6x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,當x<0時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當0<x<2時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當x>2時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(m)在[1,1]上的最小值為f(0)=4,又f'(n)=3n2+6n在[1,1]上單調(diào)遞增,所以f'(n)的最小值為f'(1)=9.故[f(m)+f'(n)]min=f(m)min+f'(n)min=49=13.(2)構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)求最值不等式恒成立問題的一個基本處理方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,需要通過構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)最值,而求函數(shù)最值時導數(shù)方法是最有效的.注意使用導數(shù)求函數(shù)最值的基本步驟.典例6已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax3.若存在x∈1e解析由題意知2xlnx≥x2+ax3,x∈1e,e,即a≤2lnx+x+3x令h(x)=2lnx+x+3x,x∈1e,e,則h'(x)=2x+13當x∈(1,e]時,h'(x)>0,此時h(x)單調(diào)遞增.所以h(x)max=maxh1因為存在x∈1e所以a≤h(x)max,又h1e=2+1e+3e,h(e)=2+e+所以h1eh(e)=4+2e2故h1e>h(e),所以a≤1e即a的最大值為1e+3e點評2f(x)≥g(x)可變形為a≤2lnx+x+3x,由題意可知,a小于或等于h(x)=2lnx+x+3x的最大值,從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)=2lnx+x+3x,x∈1e方法4數(shù)形結(jié)合法(1)曲線上的點與直線上點的距離的最值求與直線不相交的曲線上的點與該直線上的點的距離的最值的最直觀方法就是“平行切線法”(數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)).典例7設(shè)點P在曲線y=x2+1(x≥0)上,點Q在曲線y=x-A.22 B.324 C.2 答案B解析在同一坐標系中分別畫出兩個函數(shù)的圖象(圖略),可知兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.考慮函數(shù)y=x2+1(x≥0)圖象上某點處斜率為1的切線的切點坐標,由y'=2x=1,得x=12,進而y=54,即函數(shù)y=x2(x≥0)圖象上在點12,54處的切線斜率等于1,該點到直線xy=0的距離為34(2)根據(jù)求解目標的幾何意義求最值把求解目標的代數(shù)表達式賦予幾何意義,就可以把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題、函數(shù)問題.常見的目標函數(shù)的幾何意義有:兩點連線的斜率、兩點間的距離等.典例8(1)(2016山東,4,5分)若變量x,y滿足x+y≤2,2A.4 B.9 C.10 D.12(2)已知實數(shù)a,b,c,d滿足a-2eab=1-cA.4 B.8 C.12 D.18思路點撥(1)點(x,y)為平面區(qū)域內(nèi)的動點,x2+y2的幾何意義是動點到坐標原點的距離的平方.(2)將(a,b),(c,d)看作點的坐標,則這兩個點各自在一條曲線與一條直線上,(ac)2+(bd)2的幾何意義是曲線上的點與直線上的點的距離的平方.答案(1)C(2)B解析(1)作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示(包括邊界),x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點與原點的距離的平方,由圖易知平面區(qū)域內(nèi)的點A(3,1)與原點的距離最大,所以x2+y2的最大值是10,故選C.(2)由a-2eab=1-cd-1=1,得b=a2ea,d=x+2上的點(c,d)的距離的平方.對y=x2ex求導,得y'=12ex,令12ex=1,解得x=0,故曲線y=x2ex在x=0處的切線的斜率等于1,此時切點坐標為(0,2),該點到直線y=x+2的距離即為曲線y=x2ex與直線y=x+2上點距離的最小值,此時的最小距離為42=22,故所求的最小值為(22)2方法5構(gòu)造法(1)構(gòu)造函數(shù)求最值對任意實數(shù)a,b,當b≠0時,一定存在實數(shù)λ,使得a=λb,用它可以把某些以比值形式出現(xiàn)的二元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式.典例9若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)對于一切正數(shù)x,y恒成立,則實數(shù)a的最小值為()A.2 B.2+12 C.32 思路點撥分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,對含變量x,y的表達式構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)最值.答案D解析不等式x2+2xy≤a(x2+y2)對于一切正數(shù)x,y恒成立等價于a≥x2+2xyx2+令y=tx,則x2+2xyx令m=1+2t(m>1),則t=m-則1+2t1+t2=4m4m+5m-故a≥1+52.故a的最小值為(2)構(gòu)造模型求最值根據(jù)求解目標的特點,通過聯(lián)想已知知識構(gòu)造恰當?shù)哪Ｐ?如正方形、正方體、函數(shù)、數(shù)列等)求解最值.典例10函數(shù)y=x2-2x+2+x思路點撥聯(lián)想兩點間的距離公式,構(gòu)造平面直角坐標系中的一個圖形模型,根據(jù)幾何意義求解.答案13解析將函數(shù)化為y=(x-1)將點A(1,1)關(guān)于x軸對稱,得A'(1,1),連接A'B交x軸于點P,則線段A'B的長就是所求的最小值,即|A'B|=(1-3)2+?？键c2范圍問題的6大解題妙招方法1構(gòu)建函數(shù)模型法選定一個變量建立求解目標的函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)的性質(zhì)得出其取值范圍,這是求范圍問題最為基本、應用最為廣泛的方法.典例1(1)已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點,且左、右焦點分別為F1,F2,兩條曲線在第一象限的交點記為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2,則e1e2的取值范圍是()A.0,15 B.15,(2)在銳角△ABC中,AC=6,B=2A,則BC的取值范圍是.

思路點撥(1)橢圓和雙曲線的公共元素為半焦距c,以其為變量建立求解目標的函數(shù)關(guān)系式,然后求解;(2)求出角A的取值范圍,以其為變量表示出BC,利用三角函數(shù)性質(zhì)得出其范圍.答案(1)C(2)(23,32)解析(1)根據(jù)已知可知|PF2|=2c,在橢圓中,根據(jù)定義知2c+10=2a1,所以a1=c+5,則離心率e1=cc+5,在雙曲線中,根據(jù)定義知102c=2a2,所以a2=5c,則離心率e2=c5-c.由于P,F1,F2三點構(gòu)成三角形,所以2c+2c>10,即c>52,根據(jù)102c=2a2所以e1e2=c225-c2(2)根據(jù)正弦定理,得ACsinB=所以6sin2A=BCsin由于△ABC為銳角三角形,所以B=2A<π2,即A<π又A+B=3A>π2,所以A>π6,所以π6所以22<cosA<32,所以233<所以23<3cosA<32,即BC的取值范圍為(23,3方法2分離參數(shù)法在方程有解、不等式恒成立等問題中求參數(shù)取值范圍時,如果參數(shù)能夠分離出來,即方程或不等式的一端為參數(shù),另一端為某個變量的代數(shù)式,則只要研究其相應函數(shù)的性質(zhì)即可根據(jù)問題的具體設(shè)問得出參數(shù)的取值范圍.典例2已知f(x)=(x2+x1)ex,g(x)=13x3+12x2+m,若y=f(x)與y=g(x)的思路點撥函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個不同的交點,即方程f(x)=g(x)有三個不同的實根,分離參數(shù)之后,即可將所求解的問題轉(zhuǎn)化為直線y=m與某函數(shù)圖象的交點問題,從而進行求解.解析函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有三個不同的交點等價于方程f(x)=g(x)有三個不同的實根,即m=(x2x+1)ex+13x3+12x2有三個不同的實根,亦即直線y=m與函數(shù)h(x)=(x2x+1)ex+13x3+12x對h(x)=(x2x+1)ex+13x3+12x2求導,得h'(x)=x(x+1)(ex+1),則函數(shù)h(x)在(∞,所以h(x)極大值=h(1)=3e+16,h(x)結(jié)合圖象知1<m<3e+16,解得3e故實數(shù)m的取值范圍為-3典例3已知函數(shù)f(x)=12x2+alnx(a∈R).當x>1時,f(x)>lnx恒成立思路點撥分離參數(shù)后,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.解析依題意知f(x)lnx>0,即12x2+alnxlnx>0,∴(a1)lnx>12x2,∵x>1,∴l(xiāng)nx>0,∴a1>-∴a1>-1令g(x)=-12x令g'(x)=0,解得x=e1當1<x<e12時,g'(x)>0,g(x)在(1,當x>e12時,g'(x)<0,g(x)在(∴g(x)max=g(e12∴a1>e,即a>1e,即a的取值范圍是(1e,+∞).方法3參數(shù)與變量整體處理法當參數(shù)與變量交織在一起,分離參數(shù)不方便時,把參數(shù)視為常數(shù),構(gòu)成一個含參數(shù)的函數(shù)、不等式、方程等,根據(jù)問題的實際情況從整體上得出參數(shù)滿足的條件,得出其取值范圍.典例4已知函數(shù)f(x)=x+3a2x思路點撥由題意知f'(x)≥0在(1,2)上恒成立,化為一元二次不等式在(1,2)上恒成立,結(jié)合函數(shù)圖象分類討論其成立時a的取值范圍.答案-1解析f'(x)=13a2x22函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)等價于f'(x)≥0在(1,2)上恒成立,即x22ax3a2≥0在(1,2)上恒成立.令g(x)=x22ax3a2.當a≤1時,g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,只要g(1)=12a3a2≥0,解得1≤a≤13當1<a<2時,只要g(a)=4a2≥0,無解;當a≥2時,g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,只要g(2)=44a3a2≥0,即3a2+4a4≤0,解得2≤a≤23綜上可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)時,a的取值范圍是-1方法4數(shù)形結(jié)合法(1)直接使用數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是廣泛使用的一種數(shù)學方法.在求參數(shù)范圍問題中,使用數(shù)形結(jié)合的思想就是通過圖形位置的變化找到滿足題意的參數(shù)所需要的條件,進而得出參數(shù)的取值范圍.典例5已知函數(shù)f(x)=x2+3,A.22,113 B.(22,+∞)C.思路點撥已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,主要考查數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想.本題先考慮x=0時的情形,再考慮x≠0時的情形:把函數(shù)有四個零點轉(zhuǎn)化為方程有四個實根,化簡,構(gòu)造兩個新函數(shù),它們的圖象有四個交點,畫圖得結(jié)論.答案C解析當x=0時,顯然有f(x)≠g(x),即x=0不是y=f(x)g(x)的零點.當x≠0時,y=f(x)g(x)在x∈[2,3]內(nèi)的零點個數(shù)即方程f(x)=g(x)(2≤x≤3)的實根的個數(shù).當0<x≤3時,有kx+1=x2+3,即k=x+2x當2≤x<0時,有kx+1=1+4xcosπx,即k=4cosπx.則y=f(x)g(x)(2≤x≤3)的零點個數(shù)等價于函數(shù)y=k與y=x+2x,0<x≤3,4cos由圖知22<k≤113(2)根據(jù)幾何意義構(gòu)造圖形給數(shù)學表達式賦予一定的幾何意義,把“式”的問題轉(zhuǎn)化為“幾何圖形”的問題,以形助數(shù)是數(shù)形結(jié)合法的一個重要方面.典例6若不等式(xa)2+(xlna)2>m對任意x∈R,a∈(0,+∞)恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是()A.-∞,12 B.-∞,22 C.(∞,思路點撥根據(jù)兩點間的距離公式得出(xa)2+(xlna)2的幾何意義,然后求解.答案A解析式子(xa)2+(xlna)2的幾何意義是直線y=x上的點(x,x)到曲線y=lnx上的點(a,lna)的距離的平方.y=lnx的導函數(shù)為y'=1x,令1x=1,得x=1,即曲線y=lnx上橫坐標為1的點處的切線平行于直線y=x,此時切點(1,0)到直線y=x的距離最小,最小值為22,此即為曲線y=lnx上的點與直線y=x上點的距離的最小值,所以[(xa)2+(xlna)2]min=12,不等式(xa)2+(xlna)2>m對任意x∈R,a∈(0,+∞)恒成立,只需m<1方法5轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)值比較法(1)參數(shù)與函數(shù)的最值比較求不等式恒成立、等式恒成立等問題中參數(shù)范圍的主要方法之一就是轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)最值的比較,得出參數(shù)滿足的不等式,求得其范圍.典例7定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=2f(x)2,當x∈(0,2]時,f(x)=x2-x,x∈(0A.[1,2] B.2,52 C.1思路點撥由題意知t272t≤f(x)min且f(x)max≤3t.答案A解析易知函數(shù)f(x)在(0,2]上的值域為-14,0∪12,1.當x∈(2,4]時,f(x)=2f(x綜上可知,函數(shù)f(x)在(0,4]上的最小值為52,最大值為1.不等式t27t2≤f(x)≤3t對x∈(0,4]恒成立等價于t272t≤f(x)min即t272t≤52即1≤t≤52故實數(shù)t的取值范圍是[1,2].故選A.(2)參數(shù)與函數(shù)值域的端點值比較在函數(shù)、數(shù)列問題中有些函數(shù)不存在最值,該類問題中參數(shù)值就要與值域的端點值進行比較,值得注意的是“等號”能否取得.典例8已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2n1,記數(shù)列1anan+1的前n項和為Tn,若對任意的n∈N*,不等式4Tn<a2思路點撥求出4Tn的范圍,解不等式即可.答案(∞,1]∪[2,+∞)解析1anan+1=所以Tn=121-13+1由4Tn<a2a,得2≤a2a,解得a≤1或a≥2,即所求實數(shù)a的取值范圍為(∞,1]∪[2,+∞).(3)參數(shù)與臨界值比較已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍時,把函數(shù)分解為兩個函數(shù)(其中一個不含參數(shù),另一個含參數(shù)),利用數(shù)形結(jié)合法確定含參數(shù)的函數(shù)圖象與不含參數(shù)的函數(shù)圖象的位置,通過臨界位置得出參數(shù)滿足的條件,即可得出參數(shù)的取值范圍.典例9設(shè)f(x)=|lgx|,若函數(shù)g(x)=f(x)ax在區(qū)間(0,4)上有三個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A.0,1e B.lg22,lg思路點撥問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x),y=ax的圖象在(0,4)上有三個不同交點,作出圖象,根據(jù)圖象確定實數(shù)a的取值范圍.答案B解析在同一坐標系中分別作出函數(shù)y=f(x),y=ax的圖象(如圖),函數(shù)g(x)=f(x)ax在區(qū)間(0,4)上有三個零點等價于上述兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,4)上有三個交點,結(jié)合函數(shù)圖象可知,只要直線y=ax的斜率a介于直線OA(A(4,2lg2))與直線OB(B為切點)之間即可.直線OA的斜率為lg22,當x∈(1,4)時,f'(x)=lgex,設(shè)B(x0,lgx0),則直線OB的方程為ylgx0=lgex0(xx0),該直線過坐標原點,所以0lgx0即直線OB的斜率為lg所以實數(shù)a的取值范圍是lg22方法6不等式法(1)利用二次函數(shù)、二次不等式在導數(shù)中有一類問題可以化歸為二次函數(shù)是否存在零點、二次不等式在某區(qū)間上恒成立等,可以利用“二次”函數(shù)問題得出參數(shù)滿足的條件,求得參數(shù)的取值范圍.典例10已知|a|=2|b|,|b|≠0,且關(guān)于x的函數(shù)f(x)=13x3+12|a|xA.0,π6 B.π3思路點撥f'(x)存在變號零點.答案B解析函數(shù)f(x)=13x3+12|a|x2+a·bx有極值的充要條件是其導數(shù)存在變號零點.f'(x)=x2+|a|x+a·b,則Δ=|a|24a·b>0,設(shè)a,b的夾角為θ,則4|b|24×2|b|·|b|·cosθ>0,即cosθ<12,由于θ∈[0,π],所以θ∈典例11若函數(shù)f(x)=x4ax3+x22有且僅有一個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是.

思路點撥f'(x)有且只有一個變號零點.答案-4解析f'(x)=4x33ax2+2x=x(4x23ax+2),函數(shù)f(x)=x4ax3+x22有且只有一個極值點的充要條件是函數(shù)y=4x23ax+2不存在變號零點,即9a232≤0,解得423≤a≤4(2)利用基本不等式基本不等式是求最值和范圍問題最常用的工具之一,在使用時注意使用條件(一正、二定、三相等).典例12若a>1,設(shè)函數(shù)f(x)=ax+x4的零點為m,g(x)=logax+x4的零點為n,則1m+1A.(3.5,+∞) B.[1,+∞)C.(4,+∞) D.(4.5,+∞)思路點撥利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的特點,得出m+n=4,進行常數(shù)代換后利用基本不等式求解.答案B解析直線y=x與直線y=4x的交點坐標為(2,2),函數(shù)y=ax,y=logax與直線y=4x的交點關(guān)于點(2,2)對稱,所以兩個函數(shù)零點之和為4,即m+n=4,所以1m+1n=14(m+n)·1m+1n=142+nm(3)建立求解目標的不等式(組)建立求解目標的不等式(組),通過解不等式(組)得出求解目標的取值范圍是求解范圍問題的一個基本方法,很多問題均可使用這個方法解決,如一元二次方程的實根問題、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題等.典例13(1)已知實數(shù)x,y滿足x≥1,x+A.(∞,4] B.-∞,32C.32(2)雙曲線x2a2y2b思路點撥(1)只要axy在不等式組表示的平面區(qū)域的頂點處的取值不大于3即可;(2)建立關(guān)于雙曲線離心率的不等式求解即可.答案(1)B(2)(1,3]解析(1)不等式組x≥1,x+y≤2,x即實數(shù)a的取值范圍為-∞,3(2)設(shè)F(c,0),則圓心坐標為(c,0),因為圓F過點A,所以半徑為a+c,取雙曲線的一條漸近線方程bx+ay=0,則圓心到該直線的距離d=|bc則|PQ|=2(a故(a+c)2≥2b2,即c22ac3a2≤0,即e22e3≤0,解得1≤e≤3,又e>1,所以所求的雙曲線的離心率的取值范圍是(1,3].?？键c3數(shù)列問題的5大常用技巧方法1整體利用數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與求和公式中均涉及多個量,解題中可以不必求出每個量,從整體上使用公式.典例1(1)等比數(shù)列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,則a9+a11+a13+a15的值為()A.1 B.2 C.3 D.5(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6>S7>S5,則滿足SkSk+1<0的正整數(shù)k=.

思路點撥(1)可直接把a1+a3看作一個整體,利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解公比,然后代入即可;也可直接將已知轉(zhuǎn)化為首項和公比所滿足的方程,求出公比后再求和.(2)利用等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì).答案(1)C(2)12解析(1)解法一:因為{an}為等比數(shù)列,所以a5+a7是a1+a3與a9+a11的等比中項,所以(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),故a9+a11=(a5+同理,a9+a11是a5+a7與a13+a15的等比中項,所以(a9+a11)2=(a5+a7)(a13+a15),故a13+a15=(a9+所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.解法二:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a5=a1q4,a7=a3q4,所以q4=a5+a7a又a9+a11=a1q8+a3q8=(a1+a3)q8=8×12a13+a15=a1q12+a3q12=(a1+a3)q12=8×12所以a9+a11+a13+a15=2+1=3.(2)依題意得a6=S6S5>0,a7=S7S6<0,a6+a7=S7S5>0,則S11=11(a1S12=12(a1S13=13(a1所以S12S13<0,即滿足SkSk+1<0的正整數(shù)k=12.方法2奇偶項分類當題中涉及(1)n或數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項具有不同的規(guī)律時,按照n為奇數(shù)和偶數(shù)分別求解,最后再整合求解結(jié)果.典例2(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),則S2016=.

(2)若數(shù)列{an}的通項公式為an=22n+1,令bn=(1)n1·4(n+1)log2a思路點撥(1)由已知數(shù)列的遞推關(guān)系,利用累加法求出數(shù)列的通項公式,然后利用分組求和法進行求和.(2)分n為奇數(shù)和偶數(shù)分別求和.答案(1)3×210083(2)13(1)n1解析(1)由an+1·an=2n,得an+1·an+2=2n+1,則an+1·所以數(shù)列a1,a3,a5,…,a2k+1,…是以a1=1為首項,2為公比的等比數(shù)列;數(shù)列a2,a4,a6,…,a2k,…是以a2=2為首項,2為公比的等比數(shù)列,則S2016=(a1+a3+a5+…+a2015)+(a2+a4+a6+…+a2016)=1-21008(2)由題意得bn=(1)n14=(1)n14=(1)n112當n為偶數(shù)時,Tn=13+1515+1當n為奇數(shù)時,Tn=13+1515+17+…所以Tn=13(1)n1方法3分裂通項裂項相消法是數(shù)列求和的基本方法之一,在通項為分式的情況下,注意嘗試裂項,裂項的基本原則是an=f(n)f(n+1).典例3已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=3,若數(shù)列{Sn+1}是公比為4的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=an+1(an+1-思路點撥(1)先求Sn,再利用an=SnSn1(n≥2)求an;(2)把通項分解為兩項的差,再消項求和.解析(1)由題意知Sn+1=(S1+1)·4n1=4n,所以Sn=4n1,當n≥2時,an=SnSn1=3·4n1,且a1=3滿足上式,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=3·4n1.(2)bn=an+1=13所以Tn=b1+b2+…+bn=13×141-1-14=13141方法4構(gòu)造新數(shù)列當出現(xiàn)an=an1+m(n≥2)時,構(gòu)造等差數(shù)列;當出現(xiàn)an=xan1+y(n≥2)時,構(gòu)造等比數(shù)列.典例4(1)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+14an=3×2n+1,求數(shù)列{an}的通項公式.(2)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=anan+3(n∈N思路點撥(1)(2)構(gòu)造新數(shù)列求解即可.解析(1)由an+14an=3×2n+1得,an+12n+12an2n=3,設(shè)bn=an2n,則bn+1=2bn+3,設(shè)bn+1+t=2(bn+t),所以2tt=3,解得t=3,所以bn+1+3=2(bn+3),所以bn+1+3bn+3=2,又b1+3=a12+3=1+3=4,所以數(shù)列{bn+3}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以bn+3=4×2n1=2n+1(2)因為an+1=anan+3(n∈N*),所以1an+1=3an+1,設(shè)1an+1+t=31an+t,所以3tt=1,解得t=12,所以1an+1+12=31an+12,又1a方法5歸納推理——周期性解數(shù)列問題時要注意歸納推理的應用,通過數(shù)列前面若干項滿足的規(guī)律推出其一般性規(guī)律.典例5在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1+(1)nan=cos[(n+1)π],記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則S2015=.

思路點撥根據(jù)遞推式計算數(shù)列的前面若干項,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,然后求S2015的值.答案1006解析由a1=1,an+1+(1)nan=cos[(n+1)π],得a2=a1+cos2π=1+1=2,a3=a2+cos3π=21=3,a4=a3+cos4π=3+1=2,a5=a4+cos5π=21=1,……由此可知,數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=2,所以S2015=503(a1+a2+a3+a4)+a2013+a2014+a2015=503×(2)+a1+a2+a3=1006.?？键c4立體幾何問題的3大妙解方法1模型法(1)模型法判斷空間位置關(guān)系在進行空間線面位置關(guān)系的分析判斷時,借助幾何體模型能起到非常直觀的作用,提高解題的準確率.典例1已知l,m是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題為真命題的序號是()①若l?α,m?α,l∥β,m∥β,則α∥β;②若l?α,l∥β,α∩β=m,則l∥m;③若l∥α,α∥β,則l∥β;④若l⊥α,l∥m,α∥β,則m⊥β.A.①④ B.①③ C.②④ D.②③思路點撥長方體中存在各種平行、垂直關(guān)系,以長方體為模型,結(jié)合選項,考慮線面位置的各種可能,作出判斷.答案C解析命題①,如圖(1),顯然不正確,排除選項A,B,根據(jù)選項C,D可知②一定正確,對于命題③,如圖(2),有直線l在平面β內(nèi)的可能,所以命題③不正確.綜上可知,選C.(2)模型法還原幾何體空間幾何體均可以看作一個更大范圍的幾何體的一個部分,根據(jù)題目的實際情況,判斷其可能是哪個幾何體的一個部分,利用該幾何體為模型,可以較為方便地判斷出三視圖表示的空間幾何體.典例2(1)已知某三棱錐的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.16 B.13 C.12(2)一個四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的四個面中最大的面積是()A.2 B.22 C.3 D.23思路點撥(1)(2)根據(jù)三視圖可以判斷該空間幾何體都是正方體的一部分,先畫出正方體,再根據(jù)三視圖確定空間幾何體.答案(1)A(2)D解析(1)該三棱錐的直觀圖如圖,其體積為正方體體積的16,即三棱錐的體積為16×1×1×1=1(2)如圖,所求最大面積為△ABC的面積,為34×(22)2=23方法2割補法(1)分割法求空間幾何體的體積把一個不規(guī)則的幾何體分割成幾個規(guī)則的幾何體,求出每個規(guī)則幾何體的體積,然后進行體積求和即可.典例3如圖所示,在多面體ABCDEF中,已知面ABCD是邊長為4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3,求該多面體的體積.思路點撥該幾何體為不規(guī)則幾何體,可將其分割為規(guī)則幾何體后求體積.解析解法一:如圖(1),連接EB,EC,則該多面體的體積V=V四棱錐EABCD+V三棱錐FEBC.四棱錐EABCD的體積V四棱錐EABCD=13×42∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△EAB=2S△BEF.連接AC,有V三棱錐FEBC=V三棱錐CEFB=12V三棱錐CABE=12V三棱錐EABC=12×12故該多面體的體積V=V四棱錐EABCD+V三棱錐FEBC=16+4=20.解法二:如圖(2),設(shè)G,H分別為AB,DC的中點,連接EG,EH,HG,則EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得三棱柱EGHFBC和四棱錐EAGHD.由題意得V四棱錐EAGHD=13S矩形AGHD×3=1連接CE,BE,BH,則V三棱柱EGHFBC=3V三棱錐EBGH=3×12V四棱錐EGBCH=32V四棱錐EAGHD=故該多面體的體積V=V四棱錐EAGHD+V三棱柱EGHFBC=8+12=20.(2)補形法求空間幾何體的體積當求某些幾何體的體積較困難時,可以將它放置在我們熟悉的幾何體中,如正方體、長方體等對稱性比較好的幾何體,以此來求幾何體的體積.常見情況如下:①將正四面體補為正方體,如圖所示.②將對棱長相等的三棱錐補成長方體,如圖所示.③將三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐補成長方體或正方體,如圖所示,PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.④將三棱錐補成三棱柱或平行六面體,如圖(1)(2)所示.⑤將三棱柱補成平行六面體,如圖所示.⑥將臺體補成錐體,如圖所示.典例4某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.12 B.18 C.24 D.30思路點撥可將該幾何體補為三棱柱后再求體積.答案C解析由三視圖可知,該幾何體是由一個三棱柱截去一個三棱錐得到的(如圖所示).通過補形得到的三棱柱的體積為12×3×4×5=30,而補上的三棱錐的體積為13×12方法3函數(shù)法涉及空間幾何體的體積、面積的最值問題時,常利用函數(shù)法求解,將求最值的量表示為某變量的函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)求最值,特別要注意變量的取值范圍,避免求解錯誤.典例5如圖,在四面體ABCD中,AB=CD=2,AD=BD=3,AC=BC=4,點E,F,G,H分別在棱AD,BD,BC,AC上,若直線AB,CD都平行于平面EFGH,則四邊形EFGH面積的最大值是()A.12 B.22 C.1 答案C解析∵直線AB∥平面EFGH,AB?平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=GH,∴HG∥AB.同理:EF∥AB,FG∥CD,EH∥CD,∴FG∥EH,EF∥HG,故四邊形EFGH為平行四邊形.利用AD=BD,AC=BC,易證得AB⊥CD,∴EF⊥FG,所以四邊形EFGH為矩形.設(shè)BF∶BD=BG∶BC=FG∶CD=x(0≤x≤1),則FG=2x,HG=2(1x),∴S四邊形EFGH=FG×HG=4x(1x)=4x2-x+14-14?？键c5解決解析幾何問題的7種通法方法1中點問題點差法直線y=kx+m與圓錐曲線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,其中點為M(x0,y0),這類問題最常用的方法是“點差法”,即A,B在圓錐曲線上,坐標適合圓錐曲線方程,得兩個方程作差,通過分解因式,然后使用中點坐標公式、兩點連線的斜率公式建立求解目標方程,解方程解決問題.典例1已知橢圓E:x2a2+y2A.x245+y236=1 B.x236+y227=1C.x227答案D解析由題意知直線AB的斜率k=0-(-1)3設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x①②整理得y1-y2x即k=b2a2·2-2又a2b2=c2=9,∴a2=18,b2=9.∴橢圓E的方程為x218+方法2對稱問題幾何意義法圓錐曲線上存在兩點,關(guān)于某條直線對稱,求參數(shù)的取值范圍,這類問題常見的解法是:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)是圓錐曲線上關(guān)于直線y=kx+b(k≠0)對稱的兩點,則PQ的方程為y=1k典例2已知拋物線C:y2=x與直線l:y=kx+34解析設(shè)C上的A(x1,y1),B(x2,y2)兩點關(guān)于直線l對稱,線段AB的中點為M(x0,y0),則y12=x1,y22=x2,∵y1+y2=2y0,AB⊥l,∴kAB=y1-y2x∴y0=k2代入y=kx+34得x0=y0-3∵點M在拋物線內(nèi)部,∴y02<x即k24<1234k不等式等價于1k(k+1)(k2解得1<k<0,∴k的取值范圍為(1,0).典例3在曲線x22+y2解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為P(x0,y0),∵點A,B在曲線x22+∴x122+x222+由①②得(x1-又y2-y∴x0y06=0,由x0-y∵點P在曲線x22+∴m242+9m23即m的取值范圍為-2方法3范圍問題函數(shù)(不等式)法(1)范圍問題最基本的解法是函數(shù)法與不等式法.(2)解析幾何中最常見的是求橢圓、雙曲線的離心率的范圍,基本方法為:一是直接求出a,c滿足的不等式;二是建立離心率滿足的不等式,求出e的范圍.典例4(1)已知雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(c,0),F2(c,0),P為雙曲線上任一點,且A.(1,2] B.[2,2] C.(0,2] D.[2,+∞)(2)已知雙曲線C:x22y2=1,點M的坐標為(0,1).設(shè)P是雙曲線C上的點,Q是點P關(guān)于原點的對稱點.記λ=MP·MQ,則λ的取值范圍是思路點撥(1)求出a,c滿足的不等關(guān)系;(2)建立λ關(guān)于點P的坐標的函數(shù)關(guān)系式.答案(1)B(2)(∞,1]解析(1)設(shè)P(x0,y0),則PF1·PF2=(cx0,y0)·(cx0,y0)=x02c2+y02=a當y0=0時,PF1·PF2取得最小值a根據(jù)題意有34c2≤a2c2≤12c即14c2≤a2≤12c2,即2≤c2a2所以所求離心率的取值范圍是[2,2].故選B.(2)設(shè)P(x0,y0),則Q(x0,y0),所以λ=MP·MQ=(x0,y01)·(x0,y01)=x02y0因為|x0|≥2,所以λ的取值范圍是(∞,1].方法4最值問題不等式法解析幾何最值(范圍)問題,有時需要使用雙參數(shù)表達直線方程,解決方法:一是根據(jù)直線滿足的條件,建立雙參數(shù)之間的關(guān)系,把問題化為單參數(shù)問題;二是直接使用雙參數(shù)表達問題,結(jié)合求解目標確定解題方案.典例5已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點為F(0,1).(1)求拋物線C的方程;(2)過點F作直線交拋物線C于A,B兩點.若直線AO,BO分別交直線l:y=x2于M,N兩點,求|MN|的最小值.解析(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則p2=1,p=2,所以拋物線C的方程為x2=4y.(2)易知直線AB的斜率存在.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+1.由y=kx+1,所以x1+x2=4k,x1x2=4.從而|x1x2|=4k2由y=y1x1x,y=x-2,解得點M的橫坐標xM同理,點N的橫坐標xN=84所以|MN|=2|xMxN|=2=82x1-令4k3=t,t≠0,則k=t+3當t>0時,|MN|=2225t2當t<0時,|MN|=225t+綜上所述,當t=253,即k=43時,|MN|取得最小值方法5定點問題參數(shù)法證明直線過定點的基本思想是使用一個參數(shù)表示直線方程,根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無關(guān)得出x,y的方程組,以方程組的解為坐標的點就是直線所過的定點.典例6已知橢圓C:x24+y2=1,過橢圓C的右頂點A的兩條斜率之積為14思路點撥解法一,以雙參數(shù)表達直線MN的方程,求解