第五章 模型1用綜合法快解新情境背景下的數(shù)列創(chuàng)新題模型 （含解析）2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺考點(diǎn)歸納

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)模型1用綜合法快解新情境背景下的數(shù)列創(chuàng)新題【問(wèn)題背景】高考創(chuàng)新題，向來(lái)是高考試題中最為亮眼的風(fēng)景線，其中數(shù)列作為創(chuàng)新問(wèn)題設(shè)置的重要載體，是高考創(chuàng)新題命題的熱點(diǎn)之一，其創(chuàng)新性的呈現(xiàn)形式是多種多樣的，但其求解方法也是有章可循的，例如用綜合法就可以處理新情境背景下的數(shù)列創(chuàng)新題.【解決方法】【典例1】（有界數(shù)列與無(wú)界數(shù)列|2024廣東深中、華附、省實(shí)、廣雅四校8月第一次聯(lián)考|多選）對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是有界的.若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列是無(wú)界的.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則數(shù)列是無(wú)界的B.若，則數(shù)列是有界的C.若，則數(shù)列是有界的D.若，則數(shù)列是有界的【套用模型】第一步：整體審題，提取信息.題設(shè)關(guān)鍵信息是“有界數(shù)列”的定義，選項(xiàng)中給出了不同的數(shù)列.第二步：結(jié)合信息，確定解題方向、方法.通過(guò)定義，得到如何判斷“有界數(shù)列”的方法，即判斷數(shù)列通項(xiàng)的絕對(duì)值是否不大于某個(gè)常數(shù).第三步：由第二步所確定的方法，進(jìn)行推理、運(yùn)算.A恒成立，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的×B，，，，【易錯(cuò)提醒】因?yàn)樾枰紤]絕對(duì)值，有同學(xué)認(rèn)為，所以有界，結(jié)果看似正確，但這是不完整的存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的√C，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的√D，.在上單調(diào)遞增，，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無(wú)界的×第四步：給出結(jié)論.綜上所述，選BC.【典例2】（2024重慶一中8月入學(xué)考試）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)的積為，的前項(xiàng)的積為，若是公差為1的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，證明：.【套用模型】第一步：整體審題，提取信息.已知有兩條關(guān)鍵信息，一是數(shù)列的前項(xiàng)的積為，另一個(gè)是數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，據(jù)此可求出的表達(dá)式，即遞推關(guān)系式.第二步：結(jié)合信息，確定解題方向、方法.根據(jù)是公差為1的等差數(shù)列，又易推出首項(xiàng)為1，再結(jié)合正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)的積為，即可求得兩者間的關(guān)系.第三步：由第二步所確定的方法，進(jìn)行推理、運(yùn)算.因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)的積為，所以，又是公差為1的等差數(shù)列，所以，即，.當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)兩式相除，得，即.【易錯(cuò)提醒】因?yàn)榈那疤崾?，所以探求時(shí)要注意分類討論，再驗(yàn)證總結(jié)第四步：給出結(jié)論.又滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，所以，所以.，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以.【典例3】（2024湖南長(zhǎng)沙名校8月第一次質(zhì)量檢測(cè)|多選）若數(shù)列中任意連續(xù)三項(xiàng)，，均滿足，則稱數(shù)列為跳躍數(shù)列.則下列結(jié)論正確的是（）A.等比數(shù)列：1，，，，，…是跳躍數(shù)列B.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是跳躍數(shù)列C.等差數(shù)列不可能是跳躍數(shù)列D.等比數(shù)列是跳躍數(shù)列的充要條件是該等比數(shù)列的公比【套用模型】第一步：整體審題，提取信息.題設(shè)關(guān)鍵信息是“跳躍數(shù)列”的定義，選項(xiàng)中給出了不同的數(shù)列.第二步：結(jié)合信息，確定解題方向、方法.通過(guò)定義，得到如何判斷“跳躍數(shù)列”的方法，題設(shè)關(guān)鍵信息是跳躍數(shù)列的定義，通過(guò)相鄰三項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算，判斷跳躍數(shù)列.第三步：由第二步所確定的方法，進(jìn)行推理、運(yùn)算.對(duì)于A，等比數(shù)列1，，，，，…的通項(xiàng)公式為，那么.，由跳躍數(shù)列的定義知，等比數(shù)列1，，，，，…是跳躍數(shù)列，故A正確.對(duì)于B，數(shù)列的前三項(xiàng)為，，，不符合跳躍數(shù)列的定義，（【點(diǎn)技巧】判斷不正確，只需找到反例），故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差時(shí)，它是遞增數(shù)列；時(shí)，它是遞減數(shù)列；時(shí)，它是常數(shù)列.所以等差數(shù)列不可能是跳躍數(shù)列，故C正確.對(duì)于D，若等比數(shù)列是跳躍數(shù)列，則，整理得，即，若等比數(shù)列的公比滿足，則，可得，所以等比數(shù)列是跳躍數(shù)列，故D正確.第四步：給出結(jié)論.故選ACD.一、單選題（23-24高三下·重慶·期中）1．定義：滿足為常數(shù)，）的數(shù)列稱為二階等比數(shù)列，為二階公比.已知二階等比數(shù)列的二階公比為，則使得成立的最小正整數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10（23-24高三上·四川綿陽(yáng)·一模）2．若數(shù)列滿足則稱為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．是“平方遞推數(shù)列” D．是“平方遞推數(shù)列”（23-24高三上·上海普陀·期末）3．對(duì)于無(wú)窮數(shù)列，給出如下三個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)于任意正整數(shù)，都有；③對(duì)于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得定義：同時(shí)滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“s數(shù)列”，同時(shí)滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列為“t數(shù)列”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若為“s數(shù)列”，則為“t數(shù)列”B．若，則為“t數(shù)列”C．若，則為“s數(shù)列”D．若等比數(shù)列為“t數(shù)列”則為“s數(shù)列”二、多選題（2023·江蘇蘇州·三模）4．若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，總存在，使，則稱是“數(shù)列”.則下列數(shù)列是“數(shù)列”的有（

）A． B．C． D．（2024·山東煙臺(tái)·一模）5．給定數(shù)列，定義差分運(yùn)算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對(duì)任意，總存在，使得D．對(duì)任意，總存在，使得（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）6．在數(shù)列中，（為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（

）A．是等方差數(shù)列B．若正項(xiàng)等方差數(shù)列的首項(xiàng)，且是等比數(shù)列，則C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D．存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）7．對(duì)于給定的數(shù)列，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，數(shù)列滿足，則（

）A．等差數(shù)列是“線性數(shù)列” B．等比數(shù)列是“線性數(shù)列”C．若是等差數(shù)列，則是“線性數(shù)列” D．若是等比數(shù)列，則是“線性數(shù)列”（2023·浙江·二模）8．定義：若存在正實(shí)數(shù)M使，則稱正數(shù)列為有界正數(shù)列．已知數(shù)列滿足，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．則（

）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列為有界正數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為有界正數(shù)列三、解答題（23-24高三上·湖北武漢·期末）9．若數(shù)列滿足：存在等比數(shù)列，使得集合元素個(gè)數(shù)不大于，則稱數(shù)列具有性質(zhì).如數(shù)列，存在等比數(shù)列，使得集合，則數(shù)列具有性質(zhì).若數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：(1)數(shù)列為等比數(shù)列；(2)數(shù)列具有性質(zhì).（2024·黑龍江·二模）10．如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都大于3，則稱這個(gè)數(shù)列為“型數(shù)列”．(1)若數(shù)列滿足，判斷是否為“型數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)已知正項(xiàng)數(shù)列為“型數(shù)列”，，數(shù)列滿足，，是等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是“型數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）11．如果數(shù)列對(duì)任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.(1)請(qǐng)寫出一個(gè)速增數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明你寫出的數(shù)列符合要求；(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)的最大值.（2023·廣東汕頭·三模）12．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則稱是“緊密數(shù)列”.(1)若，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列前項(xiàng)和為，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．B【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得，利用累乘法求得的表達(dá)式，解數(shù)列不等式，即可求得答案.【詳解】由題意知二階等比數(shù)列的二階公比為，則，故，將以上各式累乘得：，故，令，由于，故，即，又的值隨n的增大而增大，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故n的最小值為8，故選：B2．C【分析】對(duì)于AB，由題意得，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義分析判斷即可，對(duì)于CD，由平方遞推數(shù)列的定義分析判斷.【詳解】對(duì)于AB，因?yàn)槭恰捌椒竭f推數(shù)列”，所以.又，所以則，，所以，不是等差數(shù)列，所以AB不正確.對(duì)于C，因?yàn)椋允恰捌椒竭f推數(shù)列”，所以C正確.對(duì)于D，因?yàn)椋圆皇恰捌椒竭f推數(shù)列”，D不正確.故選：C3．C【分析】設(shè)，可判定A錯(cuò)誤；對(duì)于，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，不存在，使得，可判定B錯(cuò)誤；若，推得滿足①②，可判定C正確；設(shè)，取，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)，此時(shí)滿足，也滿足，，即，，為“s數(shù)列”，因?yàn)椋訟錯(cuò)誤；若，則，滿足①，，令，若為奇數(shù)，此時(shí)，存在，且為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)滿足，若為偶數(shù)，此時(shí)，則此時(shí)不存在，使得，所以B錯(cuò)誤；若，則，滿足①，，，因?yàn)椋?，，滿足②，所以C正確；不妨設(shè)，滿足，且，，當(dāng)為奇數(shù)，取，使得；當(dāng)為偶數(shù)，取，使得，所以為“數(shù)列”，但此時(shí)不滿足，，不妨取，則，而，則為“數(shù)列”，所以D錯(cuò)誤.故選：C.4．AD【分析】根據(jù)“數(shù)列”定義判斷A、D；利用特殊值判斷B是否滿足要求；由的個(gè)位數(shù)上奇偶性判斷C.【詳解】A：由，要且，所以，只需，顯然對(duì)任意的，總存在，滿足“數(shù)列”.B：由，顯然，不滿足“數(shù)列”.C：對(duì)于任意，，個(gè)位數(shù)為均為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，顯然不成立，不滿足.D：由，，故對(duì)任意的，總存在，滿足“數(shù)列”.故選：AD5．BC【分析】由已知求出及范圍判斷AB；利用累加法結(jié)合錯(cuò)位相減法求和求出及范圍判斷C；求出及的范圍判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，顯然有最小值4，無(wú)最大值，因此不存在，使得恒成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，則，顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，B正確；對(duì)于C，由，得，當(dāng)時(shí)，即，于是，兩式相減得，因此，顯然滿足上式，則，由，得數(shù)列是遞增數(shù)列，有最小值1，無(wú)最大值，從而對(duì)任意，總存在，使得，C正確；對(duì)于D，，由選項(xiàng)C得，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，因此對(duì)任意，不存在，使得成立，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.6．BC【分析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義依次分析四個(gè)選項(xiàng)可得答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，，，所以不是等方差?shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，又，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則當(dāng)時(shí)，，若為常數(shù)，則必有，此時(shí)，則數(shù)列不可能是等方差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，且，若，則，則，不合題意，若，則，得，又，所以為常數(shù)，必有，與假設(shè)矛盾，故存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列.故D錯(cuò)誤；故選：BC7．ABD【分析】對(duì)A,B根據(jù)“線性數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷，C，找特例，代入即可判斷；D，結(jié)合定義，設(shè)出等比數(shù)列，代入求的，再結(jié)合線性數(shù)列的定義，看是否存在實(shí)數(shù)即可.【詳解】對(duì)A，數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，A正確；對(duì)B，數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，B正確；對(duì)C，是等差數(shù)列，設(shè)，則，若是“線性數(shù)列”，則，則應(yīng)有，故不是“線性數(shù)列”，C錯(cuò)誤；對(duì)D，是等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，若時(shí)，，則，滿足“線性數(shù)列”的定義；若時(shí)，由，得，，累加的，則，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，滿足，則，若是“線性數(shù)列”，則存在實(shí)數(shù)，使得成立，則，，，則，則，則是“線性數(shù)列”，D正確.故選：ABD8．BC【分析】對(duì)于A，設(shè)，求導(dǎo)后放縮為，從而可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即可判斷；對(duì)于B，由可知數(shù)列為遞增數(shù)列，即可判斷；對(duì)于C，由A分析，即可判斷；對(duì)于D，借助不等式，從而可得，即可得到，從而可判斷.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋詳?shù)列為遞增數(shù)列，B正確；對(duì)于C，由A分析可知，當(dāng)正實(shí)數(shù)M為前6項(xiàng)的最大項(xiàng)時(shí)，就有，所以數(shù)列為有界正數(shù)列，C正確；對(duì)于D，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，即，由，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于A，借助不等式進(jìn)行放縮，而對(duì)于C，借助不等式進(jìn)行放縮，從而可利用裂項(xiàng)相消法求和.9．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，求出和，求出和的關(guān)系即可證明；（2）由（1）求出，求出，設(shè)數(shù)列即可證明.【詳解】（1）設(shè)，則，.因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且；（2）由（1），，所以，取數(shù)列，則是等比數(shù)列，并且，因此集合，所以數(shù)列具有性質(zhì).10．(1)不是“型數(shù)列”，理由見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）計(jì)算得出數(shù)列前兩項(xiàng)驗(yàn)證即可得出結(jié)論，并證明即可；（2）利用為“型數(shù)列”和是等比數(shù)列，且不是“型數(shù)列”可求得的公比為，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【詳解】（1）易知當(dāng)時(shí)，可得，即；而當(dāng)時(shí)，，可得；此時(shí)，不滿足“型數(shù)列”定義，猜想：數(shù)列不是“型數(shù)列”，證明如下：由可得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，可得，此時(shí)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比為，因此不是“型數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，易知，又因?yàn)閿?shù)列不是“型數(shù)列”，可得可得，即得；又?jǐn)?shù)列為“型數(shù)列”，可得；易知“型數(shù)列”為遞增數(shù)列，因此當(dāng)趨近于正無(wú)窮大時(shí)，趨近于，即可得；綜上可得，即，可得；所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列；即可得，可得；所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.11．(1)（答案不唯一），證明見(jiàn)解析；(2)63【分析】（1）取，驗(yàn)證即可；（2）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)速增數(shù)列的定義可得，從而可得，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）取，則，，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是“遞增數(shù)列”.（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為“速增數(shù)列”，所以，且，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故正整數(shù)的最大值為63.12．(1)不是“緊密數(shù)列”，理由見(jiàn)解析(2)數(shù)列是“緊密數(shù)列”，理由