【數(shù)學】導數(shù)專題測試（2）-2023-2024學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

導數(shù)專題測試（2）一、選擇題1．某物體的運動方程是s=4+t2，則該物體在[2，2.1]時間內(nèi)的平均速度是（）A.0.41 B.3 C.4 D.4.12．式子表示的是（）A.f′（1） B.f′（△x）

C.f′（1+△x） D.f（1）3．下列求導運算正確的是（）A. B.

C.（x2sinx）′=2xcosx D.（3x）′=3x4．若曲線在點處的切線與直線垂直,則實數(shù)().A. B.1 C. D.25．函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，x∈（-∞，0）時，g′（x）＜0，g（2）=0．又g（x）=f（x+1），則（x+1）f（x）＞0的解集為（）A.（3，+∞） B.{x|x∈R，x≠1}

C.（1，+∞） D.{x|x＜-1或x＞3}6．若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D. 7．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且滿足了f'（x）-f（x）＞1（f'（x）是f（x）的導函數(shù)），若f（0）=0，則不等式ex-f（x）＜1的解集為（）A.（-∞，0） B.（0，+∞）

C.（-∞，-1） D.（-1，+∞）8．已知實數(shù)x,y滿足ylny=e2x-yln（2x），則y的最小值為（）A. B.e

C. D.e2二、多選題9．已知函數(shù)f（x）的定義域為R且導函數(shù)為f'（x），如圖是函數(shù)y=xf'（x）的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（-2，0），（2，+∞）

B.函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（-∞，-2），（2，+∞）

C.x=-2是函數(shù)的極小值點

D.x=2是函數(shù)的極小值點10．已知奇函數(shù)f（x）在R上可導，其導函數(shù)為f′（x），且f（1-x）-f（1+x）+2x=0恒成立，若f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，則（）A.f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減

B.f（0）=0

C.f（2022）=2022

D.f'（2023）=111．已知三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx-1，若函數(shù)g（x）=f（-x）+1的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，且g（-2）＜0，則（）A.a＜0

B.g（x）有3個零點

C.f（x）的對稱中心是（-1，0）

D.12a-4b+c＜0三、填空題12．已知函數(shù)f（x）=f′（）sinx+cosx,則f（）=_____．13．設函數(shù)f（x）=x++b,若曲線y=f（x）在點（a,f（a））處的切線經(jīng)過坐標原點，則ab=_____．14．已知x＞0，f（x）=x2+ex，g（x）=（m2+1）x+lnx,若f（x）≥g（x）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_____．四、解答題15．已知函數(shù)在處的切線為x軸．（1）求a,b的值;（2）求的單調(diào)區(qū)間．16．設,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.（1）求實數(shù)a;（2）求函數(shù)的極值.17．(0分)已知函數(shù)f（x）=x+1-xex．

（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

（2）判斷f（x）是否有零點．若有，求出零點個數(shù)；若沒有，請說明理由．18．已知函數(shù).（1）當時,求的單調(diào)區(qū)間（2）討論的單調(diào)性;（3）當時,證明.答案1．【答案】D【解析】根據(jù)題意，由物體的運動方程以及平均變化率的計算公式可得其平均速度為，計算即可得答案．

解：根據(jù)題意，物體的運動方程是s=3+t2，

則在時間[2，2.1]內(nèi)相應的平均速度為==4.1；

故選：D．2．【答案】A【解析】根據(jù)題意，由導數(shù)的定義可得==f′（1），即可得答案．

解：根據(jù)題意，==f′（1），

故選：A．3．【答案】A【解析】直接利用常見函數(shù)的導數(shù)公式以及導數(shù)的運算性質(zhì)對各個選項逐一判斷即可．

解：，故選項A正確；

，故選項B錯誤；

（x2sinx）′=（x2）′sinx+x2（sinx）′=2xsinx+x2cosx,故選項C錯誤；

（3x）′=3xln3，故選項D錯誤．

故選：A．4．答案：C解析：因為,所以曲線在點處的切線的斜率為,直線l的斜率,由切線與直線l垂直知,即,解得.故選:C.5．【答案】A【解析】根據(jù)條件先確定函數(shù)g（x）的單調(diào)性和對稱性，由此得到g（2）=g（-2）=0，且有當x＜-2或x＞2時，g（x）＞0，當-2＜x＜2時，g（x）＜0，將不等式變形為（x+1）g（x-1）＞0，分類討論，分別求解即可得到答案．

解：因為函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，

所以g（x）為偶函數(shù)，則g（-2）=g（2）=0，

當x∈（-∞，0]時，g′（x）＜0，故g（x）為單調(diào)減函數(shù)，

所以當x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，故g（x）為單調(diào)增函數(shù)，

故當x＜-2或x＞2時，g（x）＞0，

當-2＜x＜2時，g（x）＜0，

因為g（x）=f（x+1），則f（x）=g（x-1），

故不等式（x+1）f（x）＞0即為（x+1）g（x-1）＞0，

所以有或，

解得x＞3或x∈?，

所以（x+1）f（x）＞0的解集為（3，+∞）．

故選：A．6．答案：D解析：因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,所以存在,使成立,即存在,使成立,令,,變形得,因為,所以,所以當,即時,,所以,故選:D.7．【答案】B【解析】令g（x）=，利用導數(shù)結(jié)合已知可得g（x）在R上單調(diào)遞增，從而將求不等式ex-f（x）＜1的解集轉(zhuǎn)化為g（x）＞g（0）的解集，從而可得答案．

解：因為f'（x）-f（x）＞1，

所以f'（x）-f（x）-1＞0．

令g（x）=，

則g′（x）==＞0，

所以g（x）在R上單調(diào)遞增，①

又f（0）=0，

所以g（0）=f（0）+1=1，

又ex-f（x）＜1?＞1，

即g（x）＞g（0），②

由①②得：x＞0，

即不等式ex-f（x）＜1的解集為（0，+∞），

故選：B．8．【答案】B【解析】將ylny=e2x-yln（2x）化為eln（2xy）ln（2xy）=2xe2x，構(gòu)造函數(shù)f（x）=xex（x＞0），利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得ln（2xy）=2x,即，再根據(jù)導數(shù)可求出其最小值．【解答】解：由ylny=e2x-yln（2x），

得ylny+yln（2x）=e2x（x＞0，y＞0），

則yln（2xy）=e2x，

所以2xyln（2xy）=2xe2x，

即eln（2xy）ln（2xy）=2xe2x．

設f（x）=xex（x＞0），

則f′（x）=（x+1）ex＞0，

可知f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，

所以ln（2xy）=2x,則2xy=e2x，即．

令，則，

當時，g′（x）＜0；當時，g′（x）＞0，

所以g（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

所以．

故選：B．9．【答案】BD【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)y=xf′（x）的圖象分析導函數(shù)的符號，進而可得f（x）的單調(diào)區(qū)間以及單調(diào)性，據(jù)此分析可得答案．

解：根據(jù)題意，由函數(shù)y=xf′（x）的圖象可知：

當x＜-2時，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此時f（x）為增函數(shù)，

當-2＜x＜0時，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此時f（x）為減函數(shù)，

當0＜x＜2時，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此時f（x）為減函數(shù)，

當x＞2時，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此時f（x）為增函數(shù)；

據(jù)此分析選項：函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（-∞，-2），（2，+∞），則B正確，A錯誤；

x=-2是函數(shù)的極大值點，x=2是函數(shù)的極小值點，則D正確，C錯誤；

故選：BD．10．【答案】BCD【解析】若f（x）=x,則滿足條件，而f（x）=x在[1，2]上單調(diào)遞增；對函數(shù)進行賦值，利用奇偶性找出函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（2+x）-2（x+1）=0，再利用導函數(shù)改變函數(shù)奇偶性得到f′（x）+f′（x+2）-2=0，從而進行判斷即可

解：若f（x）=x,則滿足條件，而f（x）=x在[1，2]上單調(diào)遞增，故A錯誤；

由已知有：f（1-x）-f（1+x）+2x=0恒成立，

令x=1時，f（0）-f（2）+2=0①，

令x=x+1，f[1-（x+1）]-f[1+（x+1）]+2（x+1）=0，又f（x）為奇函數(shù)，

故化簡得：f（x）+f（2+x）-2（x+1）=0，

令x=0，f（0）+f（2）-2=0②，

由①②解得：f（0）=0，f（2）=2，

故B選項正確；

由上式f（x）+f（2+x）-2（x+1）=0，

令x=2，f（2）+f（4）-6=0，

故f（4）=4，

令x=4以此類推可得f（6）=6，以此類推，f（2020）=2020，

故C選項正確；

由已知有f（x）在R上可導，

對f（1-x）-f（1+x）+2x=0求導有：f′（1-x）+f′（x+1）-2=0，

令x=0，可得f′（1）=1，

又因為f（x）為奇函數(shù)，故f′（x）為偶函數(shù)，

∴f′（x-1）+f′（x+1）-2=0，

令x=x+1，f′（x+1-1）+f′（x+1+1）-2=0，

即f′（x）+f′（x+2）-2=0，

令x=1，故f′（1）+f′（3）-2=0，解得：f′（3）=1，

令x=3，得f′（5）=1，

以此類推f′（2013）=1，故D選項正確．

故選：BCD．11．【答案】ABD【解析】由題設g（x）=-ax3+bx2-cx,且g（x）+g（2-x）=0，可得b=3a,c=2a,代入解析式，結(jié)合已知條件即可判斷選項的正誤．

解：由題設可知：g（x）=-ax3+bx2-cx,且g（x）+g（2-x）=0，

所以ax3-bx2+cx+a（2-x）3-b（2-x）2+c（2-x）=0，

整理得（3a-b）x2+2（b-3a）x+4a-2b+c=0，

故，可得b=3a,c=2a,

故g（x）=-ax（x-1）（x-2），

又g（-2）=24a＜0，即a＜0，A正確；

g（x）有3個零點，B正確；

由g（x）+g（2-x）=f（-x）+1+f（x-2）+1=0，

則f（-x）+f（x-2）=-2，所以f（x）關(guān)于（-1，-1）對稱，C錯誤；

12a-4b+c=12a-12a+2a=2a＜0，D正確．

故選：ABD．12．【答案】0【解析】求函數(shù)的導數(shù)，先求出f′（）的值即可得到結(jié)論．

解：函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=f′（）cosx-sinx,

令x=，得f′（）=f′（）cos-sin=-1，

則f（x）=-sinx+cosx,

則f（）=-sin+cos=，

故答案為：0．13．【答案】-2【解析】先利用導數(shù)寫出切線方程，然后將（0，0）代入切線方程，求出ab的值．

解：，所以k=．

所以切線方程為：，

將（0，0）代入上式得：，所以ab=-2．

故答案為：-2．14．【答案】[-，]【解析】f（x）≥g（x）恒成立可轉(zhuǎn)化為（m2+1）≤（x＞0）恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）==x+-，通過導數(shù)可求得h（x）min=h（1）=1+e,從而可得答案．

解：f（x）≥g（x）恒成立?x2+ex≥（m2+1）x+lnx（x＞0）恒成立?m2+1≤（x＞0）恒成立，

令h（x）==x+-，

則h′（x）=，

再令t（x）=（x-1）ex+x2+lnx-1（x＞0），

則t′（x）=xex+2x+＞0恒成立，

∴y=t（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又t（1）=h′（1）=0，

∴當x∈（0，1）時，t（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；

當x∈（1，+∞）時，t（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；

∴h（x）min=h（1）=1+e,

∴m2+1≤1+e,

解得：-≤m≤，

故答案為：[-，]．15．答案：（1）,（2）單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為解析：（1）因,所以,依題意且,所以,解得.（2）由（1）可得函數(shù)的定義域為R,又,令,則,所以（）在定義域R上單調(diào)遞增,又,所以當時,當時,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.16．答案：見解析解析：因為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是,所以,,解得.當時,令,則或列表如下:x1f'(x)+0f(x)↘極小值↗極大值↘當時,有極小值,當時,有極大值0.17．【解析】（1）求得f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，進而得到所求切線的方程；

（2）令f（x）=0，設g（x）=ex-1-，由導數(shù)判斷g（x）的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理，可得結(jié)論．

解：（1）f（x）=x+1-xex的導數(shù)為f′（x）=1-（x+1）ex，

可得曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為0，且f（0）=1，

則切線的方程為y=1；

（2）f（x）有且只有1個零點．

理由：由f（x）=0，可得x+1=xex，

顯然x=0不是零點，則ex=1+，

設g（x）=ex-1-，可得g′（x）=ex+＞0，

所以g（x）在R上遞增，

由