淺析動點(diǎn)軌跡問題

以靜制動洞察本質(zhì)—淺析動點(diǎn)軌跡問題動點(diǎn)軌跡問題綜合了眾多知識點(diǎn)，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，對數(shù)學(xué)思維分析和邏輯推理能力都有著較高的要求.本文就2017年無錫市一道中考試題分析研究如下，以期對讀者在解題中有所啟發(fā).題目在平面直角坐標(biāo)系中，已知.(1)四邊形的周長的最小值為，此時(shí)四邊形的形狀為.(2)在(1)的情況下，設(shè)為的中點(diǎn)，為上一動點(diǎn)，連，作交四邊形的邊于點(diǎn).在點(diǎn)從運(yùn)動到的過程中，①求的值;②若的中點(diǎn)為，在整個(gè)運(yùn)動過程中，請直接寫出點(diǎn)所經(jīng)過的路線長.一、問題簡析第(1)問中，考察的是四邊形的周長的最小值，由于線段的長是確定的，只需要求出線段的和的最小值，該問題就轉(zhuǎn)化為了典型的線段和的最值問題.如圖1，分別作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn).由對稱的性質(zhì)可知:.由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的和最小，此時(shí)四邊形ABCD的周長取最小值，求得此時(shí)，并且四邊形的周長為，四邊形為矩形.第(2)問①要求的值，也就是的值，可構(gòu)建三角形的相似，利用相似比求解，易得，故可知.對于②中點(diǎn)的運(yùn)動路徑長度，必須首先研究一下點(diǎn)的運(yùn)動軌跡.本題中有一個(gè)非常顯著的特征:直角較多，并且不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)是與斜邊上的中點(diǎn)，故有，即點(diǎn)至點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，因此點(diǎn)的軌跡是一條直線，如圖2.研究點(diǎn)的起始和終點(diǎn)位置可以發(fā)現(xiàn)，所要求的路徑長即為，其中點(diǎn)是點(diǎn)的起始位置，點(diǎn)是點(diǎn)的終點(diǎn)位置.在中，,且,故，因此點(diǎn)的運(yùn)動路徑長為.二、深度剖析本題綜合了線段最值問題、三角函數(shù)問題和動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡問題，整體難度較大，特別是最后一問中的動點(diǎn)運(yùn)動路徑，需要先判斷運(yùn)動軌跡，再求出運(yùn)動路徑的長度.下面從幾個(gè)方面對該題進(jìn)行深度剖析.1.表象透析本題作為壓軸題，是中考中常見的幾何問題.本題分為三個(gè)小問題，三者之間存在遞進(jìn)關(guān)聯(lián)，第(1)問從點(diǎn)的坐標(biāo)出發(fā)，要求四邊形的周長的最小值，實(shí)際是對點(diǎn)的對稱性和線段最值問題的考察，需要學(xué)生對基本定理和“飲馬問題”有深刻的理解，能夠基于“兩點(diǎn)之間，線段最短”定理求解出若干條線段的最值.第(2)問中的②是本題的難點(diǎn)，需要求出動點(diǎn)的運(yùn)動路徑，實(shí)際上需要學(xué)生能夠判斷出動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡到底是何圖形，只有正確判斷其運(yùn)動軌跡，才能計(jì)算出運(yùn)動路徑的長.2.解法探究本題的難點(diǎn)主要集中在求出動點(diǎn)的運(yùn)動路徑的長度上，求解過程主要分為兩個(gè)部分:第一是判斷點(diǎn)的運(yùn)動軌跡;第二是確定其在運(yùn)動過程中軌跡的長度.第一點(diǎn)是對于軌跡的判定與構(gòu)建.在初中階段接觸較多的軌跡是直線與圓，這兩種軌跡的判定不妨從基本定義出發(fā).一般地，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合是直線;到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合是圓.同時(shí)，還要能夠熟練應(yīng)用“直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半”，據(jù)此不難判斷出本題中的運(yùn)動軌跡是一條直線的一部分，即線段.第二點(diǎn)需要求出運(yùn)動路徑也就是線段的長度，這里需要注意以下幾個(gè)基本步驟:①確定線段的兩個(gè)端點(diǎn)，也就是動點(diǎn)的起點(diǎn)和重點(diǎn)的位置;②構(gòu)建特殊三角形，計(jì)算出線段長度;③運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為其它易求的線段.上述問題中利用了中位線的性質(zhì)，將求的長轉(zhuǎn)化為求的長，簡化了計(jì)算.整個(gè)問題綜合了眾多幾何知識，遵循了中考試題的命題規(guī)律，實(shí)現(xiàn)了條件和問題的有效連接.3.思想提煉對于中考數(shù)學(xué)壓軸題而言，其綜合性不僅僅是體現(xiàn)在問題的復(fù)雜性與數(shù)學(xué)知識的綜合上，更體現(xiàn)在深層次的數(shù)學(xué)思維上.事實(shí)上，在解題過程中，任何一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，通過數(shù)學(xué)思想的剖析，都可以將復(fù)雜的問題簡單化，如同抽絲剝繭，最終解決問題.正是在不同的思想方法的指導(dǎo)下，實(shí)現(xiàn)了問題由無形向有形、由復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化.再者，綜合問題題型多樣，只有巧用數(shù)學(xué)思想方法和基本定義，方能做到萬變不離其宗.正如本題中要求動點(diǎn)的軌跡，必須要熟悉直線和圓的基本定義，才能做到以靜制動，洞悉問題的本質(zhì).本題中涉及了眾多關(guān)鍵知識，這也給初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提供了方向，在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)綜合知識訓(xùn)練的同時(shí)，不能忽視基礎(chǔ)知識的鞏固和提煉，只有真正掌握了基礎(chǔ)知識，才能更好地洞悉數(shù)學(xué)本質(zhì).另外