應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)（基于MATLAB實(shí)現(xiàn)）教案 李建輝 第3-6章 假設(shè)檢驗(yàn)-隨機(jī)過(guò)程

《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案教案首頁(yè)教學(xué)單元第3章學(xué)時(shí)10教學(xué)題目假設(shè)檢驗(yàn)教學(xué)環(huán)境設(shè)計(jì)與組織安排課堂教學(xué)主要以板書為主，多媒體課件為輔教學(xué)目標(biāo)及達(dá)成度價(jià)值塑造通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程可能發(fā)生的兩類錯(cuò)誤及其原理，使學(xué)生明白事物一般都具有兩面性，認(rèn)識(shí)事物要從對(duì)立統(tǒng)一的角度來(lái)看待事物的發(fā)展變化，同時(shí)要有嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的工作態(tài)度，解決科學(xué)問(wèn)題要從多角度綜合考慮、相互印證，確保邏輯嚴(yán)密、不出差錯(cuò)。知識(shí)傳授個(gè)、兩個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，會(huì)確定最小樣本量。能力培養(yǎng)通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行假工程管理等問(wèn)題中涉及的參數(shù)和非參數(shù)檢驗(yàn)問(wèn)題等。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念、正態(tài)總體均值及均值之差的假設(shè)檢驗(yàn)、總體方差及總體方差之比的假設(shè)檢驗(yàn)、分布擬合檢驗(yàn)．難點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念的理解，正態(tài)總體總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)、分布擬合檢驗(yàn)．教學(xué)方法手段媒介理論講授+板書+多媒體+啟發(fā)誘導(dǎo)+問(wèn)題驅(qū)動(dòng)+課后實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式模式：線上+線下混合式平臺(tái)：學(xué)堂云平臺(tái)工具：雨課堂、MATLAB軟件教學(xué)設(shè)計(jì)【課程進(jìn)程安排】【課前準(zhǔn)備】通過(guò)學(xué)堂云平臺(tái)進(jìn)行“預(yù)習(xí)指導(dǎo)”和“課前測(cè)試”。了解學(xué)情有助于增進(jìn)要求學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立完學(xué)堂云在線答題一、問(wèn)題的提出

第三章 假設(shè)檢驗(yàn)§3.1假設(shè)檢驗(yàn)的原理與步驟

【設(shè)計(jì)意圖】往會(huì)遇到產(chǎn)品質(zhì)量合【問(wèn)題導(dǎo)向】雨課堂課前發(fā)布引例：為了更直觀地了解假設(shè)檢驗(yàn)所研究的問(wèn)題，先看下面幾個(gè)例子：引例1 在車床正常生產(chǎn)的情況下，某種鑄件的重量服從正態(tài)分布??(50.929（g：42.0 52.0 54.0 55.0 55.5 56.5 57.0 57.5 65.0問(wèn)該車床是否正常工作？=56引例2 假設(shè)兩清的干燥間以時(shí)）服從態(tài)布并現(xiàn)分別從兩種清漆中抽取9個(gè)樣品，其干燥時(shí)間如下：第一??：6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0第二??：5.4 5.0 6.2 6.2 6.7 5.3 5.6 5.1 6.0問(wèn)兩種清漆的干燥時(shí)間有無(wú)顯著差異？此問(wèn)題則可以轉(zhuǎn)化為判斷命題“??(??)=??(??)”是否成立。每公里裂縫數(shù)012345678公里數(shù)24198371632102引例3 施工檢某際公上要補(bǔ)裂時(shí)發(fā)，每公里裂縫數(shù)012345678公里數(shù)24198371632102問(wèn)該省際公路上每公里裂縫數(shù)是否服從泊松分布？

需要使用一些統(tǒng)計(jì)推斷方法，利用樣本數(shù)據(jù)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。這些的問(wèn)題都屬于假設(shè)檢驗(yàn)的范疇，本章主要介紹假設(shè)檢驗(yàn)的原理、方法與過(guò)程?！菊n程思政】通過(guò)工程數(shù)據(jù)分析引例，增強(qiáng)學(xué)生的專業(yè)歸屬感。引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)自我實(shí)現(xiàn)的精神追求，培養(yǎng)“匠心精神”，立志高遠(yuǎn)，努力奮斗。將所學(xué)知識(shí)用于社會(huì)服務(wù)。此問(wèn)題則可以轉(zhuǎn)化為判斷命題“??～??(??)”是否成立。以上三個(gè)問(wèn)題均是判斷某一命題是否成立，而給出的命題則是對(duì)總體分布或者分布中的某些參數(shù)提出的一種假設(shè)，這就需要根據(jù)樣本觀察值經(jīng)過(guò)一些計(jì)算得到結(jié)論，即所提假設(shè)是否成立。010??=51應(yīng)為“??≠561??0??=561??≠??>56或??<56(oales：??=??0， ??≠??0(neales：??≥??0， ??<??0或??≤??0， ??>??0二、授課內(nèi)容1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理1若以，分別表示當(dāng)天所生產(chǎn)的鑄件重量X的期望和標(biāo)準(zhǔn)差。則??～??(??0.92)56kg。??=56。當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，??～??(??,0.92)。接下來(lái)，使用樣觀察值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，

重要概念的講授：對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)概念建立證法是根據(jù)問(wèn)題的假假設(shè)檢驗(yàn)則是根據(jù)假設(shè)來(lái)確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來(lái)說(shuō)要借助與統(tǒng)計(jì)量H0當(dāng)H??～??(??,0.92?～??(5,.92?經(jīng)過(guò)

【學(xué)生討論】為何在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域時(shí)，就拒絕原0標(biāo)準(zhǔn)化后形成的統(tǒng)計(jì)量

??=

???0.9√??

～??(0,1)

?? 假設(shè)？與反證法又有著什么關(guān)系？??0<??<2，使得??{|??|>????}=??2例如當(dāng)??=0.05時(shí)，由附表可得????=??0.025=1.96，則2??{|??|>1.96}=0.05H0|??|1.965%。稱在引例1中上式可表示為0.9??{|????56|>1.96}=0.05。0.9√90.9??||??0.9√9W發(fā)??=落在??H0H0（如圖。把{|??|>1.96}{|??|≤1.96}?，F(xiàn)進(jìn)行一次抽樣后得到的樣本均值???的觀測(cè)值

知識(shí)運(yùn)用能力的訓(xùn)練：從一般模型到具體的使用，如何確定每一個(gè)參數(shù)，如何對(duì)標(biāo)模型的每一個(gè)步驟？數(shù)學(xué)思想方法：反證法???=

1(42.0+52.0+?+65.0)≈54.949而統(tǒng)計(jì)量??相應(yīng)的觀測(cè)值u為|??|=|

?560.9√9

|=|

54.94?560.9√9

|=3.53>1.96一般地，常把??=0.05時(shí)拒絕??0稱為是顯著的，而把在??=0.01時(shí)拒絕??0稱為是高度顯著的。【實(shí)際案例】案例——試劑假陽(yáng)問(wèn)題從實(shí)際情況看，任何的檢驗(yàn)方法使犯錯(cuò)誤的可能性不存在。理想的試劑應(yīng)【思政融入】（1）愛(ài)國(guó)意識(shí)：此次疫情大家共同經(jīng)歷的種種讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到中國(guó)的智慧

【課程思政】（1）愛(ài)國(guó)意識(shí)（2）科學(xué)務(wù)實(shí)精神（3）責(zé)任意識(shí)（4）哲學(xué)原理在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用。（2）（3）（4）通過(guò)理論結(jié)合實(shí)際，學(xué)生理解了假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤，同時(shí)，融入思政元素，告訴同學(xué)們事有輕重緩急，在處理問(wèn)題時(shí)要抓住問(wèn)題的主要矛盾，和矛盾的主要方面。假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟（1）建立假設(shè)。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題提出原假設(shè)??0及備選假設(shè)??1。（3）確定臨界值：其本質(zhì)就是確定拒絕域??。

觀察和思考：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的選擇應(yīng)注意什么問(wèn)題？??=0001或00??????。這里需要注意的是備選假設(shè)和原假設(shè)不總是對(duì)立的，但總是互不相容的。兩類錯(cuò)誤W，因而H0被拒絕了，稱這類錯(cuò)誤為第一類錯(cuò)誤或“棄真”錯(cuò)誤。犯第一類錯(cuò)誤的概率用式子表示為??{??∈??|??0成立}=??。H0WH0犯第二類錯(cuò)誤的概率記為判斷真實(shí)情況接受H0拒絕H0H0成立判斷正確第一類錯(cuò)誤（棄真）H1成立第二類錯(cuò)誤（取偽）判斷正確??{??∈判斷真實(shí)情況接受H0拒絕H0H0成立判斷正確第一類錯(cuò)誤（棄真）H1成立第二類錯(cuò)誤（取偽）判斷正確

【課程思政】是一個(gè)人難能可貴的涵之一就是能夠?qū)χ茖W(xué)態(tài)度對(duì)待所學(xué)的知識(shí)。有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的生更好地理解知識(shí)的【推薦閱讀】三、小結(jié)：假設(shè)檢驗(yàn)的原理與步驟。四、作業(yè)：1（2）認(rèn)真閱讀“拓展閱讀”文章；（3）MATLAB1。

工程應(yīng)用科研論文推薦閱讀：年第43卷第期1期發(fā)表的題目驗(yàn)的地鐵工程監(jiān)測(cè)數(shù)【課程思政】鼓勵(lì)學(xué)生在本領(lǐng)域積理統(tǒng)計(jì)模型與方法為一、問(wèn)題的提出

§3.2 單個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)

【課程思政】解決問(wèn)題時(shí)，要有合理的方法和科學(xué)的依據(jù)。【問(wèn)題導(dǎo)向】雨課堂發(fā)布題目，引導(dǎo)學(xué)生思考，引出本節(jié)內(nèi)容。提問(wèn)：引例中問(wèn)題該如何解決，如何建模？848

【學(xué)生討論】該問(wèn)題如何思考和解決？引導(dǎo)學(xué)生充分討論。出每一杯茶的正確制作方式。用排列組合的方法分析該問(wèn)題。50%。htps\hw.ouom/287_93【課程思政】二、授課內(nèi)容單個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)

【課程思政】思政元素融入點(diǎn)：社會(huì)主義核心價(jià)值觀家國(guó)情懷數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)精神驗(yàn)數(shù)學(xué)期望，已知期望和未知期望檢驗(yàn)方差等幾種情況。單個(gè)正態(tài)總體期望的檢驗(yàn)0（1）總體方差2已知，檢驗(yàn)H0:000??～??(??，其中22??2????)X??=??0，??1??≠??0。0當(dāng)??0成立時(shí)，構(gòu)造如下形式的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量??????0??=

??0√??

～??(0,1)給定顯著性水平??，由??{|??|>????}=??查附表得到u2（如圖）2故拒絕域W為??????????????}|??|????}。2 2 2

【學(xué)生思考】如何選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，依據(jù)是什么？拒絕域何如確定？大概率事件是什么？1,2,,n代入統(tǒng)計(jì)量U到的U的觀測(cè)值u與2u2WH0（H0u2受域WH0（H0U以上檢驗(yàn)法中，拒絕域表示為??小于一個(gè)給定數(shù)?????或大于另一個(gè)給定數(shù)2u2的所有數(shù)的集合，稱為雙側(cè)檢驗(yàn)。1??～5：3.25 3.27 3.24 3.26 3.24如果總體方差沒(méi)有變化，能否認(rèn)為這批礦砂中鎳的質(zhì)量分?jǐn)?shù)仍為3.25（取0.05）？解：設(shè)礦砂中鎳的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為X，則??～??(3.25,0.012)。需檢驗(yàn)假設(shè)H0:03.25，H1:3.25

工程數(shù)據(jù)分析案例引導(dǎo)學(xué)生從專業(yè)的角度看待問(wèn)題。由題可知，???=3.252，對(duì)于給定的??=0.05，查附表知????=??0.025=1.96，則2|??|=|??????0|=|3.252?3.25|≈0.4472<1.96??0√??

0.01√5

在總體方差已知的情況下，檢驗(yàn)總體的均值所以不能拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為這批礦砂中鎳的質(zhì)量分?jǐn)?shù)仍為3.25。1H03.25H13.25。經(jīng)證明，在給定的相同檢驗(yàn)水平下，對(duì)假設(shè)H0:0，H1:0和假設(shè)H0:0，H1:0的檢驗(yàn)方法是一致的。因此，該問(wèn)題中的檢驗(yàn)假設(shè)可改為H0:3.25，H1:3.25

U往往遇到方差未知的假設(shè)檢驗(yàn)中的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與區(qū)間估計(jì)中的發(fā)現(xiàn)兩者之間的對(duì)應(yīng)0 nUX0 n

作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，給定顯著性水平，由

關(guān)系。PU，查附表得到u（，故拒絕域W為WUu，查附表知u0.05u0.95入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可得

這種假設(shè)檢驗(yàn)稱為左側(cè)檢驗(yàn)，右側(cè)檢驗(yàn)原理與左側(cè)類似，包括后面要介紹的方差未知時(shí)，0 nux0 n

均值的單側(cè)檢驗(yàn)，以及總體方差的單側(cè)檢驗(yàn)，原理均類似。5所以不能拒絕原假設(shè)H50（2）總體方差2未知，檢驗(yàn)假設(shè)H0:0001 2設(shè)總體X N,2其中22未X,X01 2

, ,X

是來(lái)自于總n體X的一個(gè)樣本，現(xiàn)在要檢驗(yàn)假設(shè)：H0:0，H1:0。n由于樣本方差??2=1

∑??

(??是總體方差2H???1成立時(shí)，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量如下

??=1??=

?????0??√??

0～??(???1)給定顯著性水平，由??{|??|>????(???1)}=??查附表得到????(???1)，故拒2 2絕域W為??={|??|>????(???1)}={|??|≤????(???1)}。2 2若進(jìn)行一次試驗(yàn)，將樣本觀察值(??1,??2,?,????)代入統(tǒng)計(jì)量??，將計(jì)算的??的觀測(cè)值t與????(???1)進(jìn)行比較，若|??|>????(???1)，落入拒絕域??，拒絕原假設(shè)2 2H0|??|≤????(?????2例2如果一個(gè)矩形的寬度與長(zhǎng)度的比為1(√5?1)≈0.618，這樣的矩形稱2為黃金矩形。這種尺寸的矩形會(huì)使人從視覺(jué)效果上感覺(jué)良好?，F(xiàn)代的建筑構(gòu)建、200.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.6280.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933設(shè)這一工廠生產(chǎn)的矩形的寬度與長(zhǎng)度的比值總體服從正態(tài)分布??(??,??2)，其中和2??=0.05度之比的均值為黃金比？解：設(shè)該廠生產(chǎn)的矩形寬度與長(zhǎng)度的比值為??，則??～??(0.618,??2)。需檢驗(yàn)假設(shè)??0:??=0.618，??1:??≠0.618經(jīng)計(jì)算，???=0.6605，??=0.0925，對(duì)于給定的??=0.05，查附表知????(19)=2

【課程思政】黃金分割是數(shù)學(xué)與藝術(shù)、建筑、設(shè)計(jì)等學(xué)科完美結(jié)合的典型案例，設(shè)計(jì)師可以利用黃金分割在美術(shù)、音樂(lè)和建筑設(shè)計(jì)進(jìn)行創(chuàng)作，體現(xiàn)人們對(duì)美的追求，以及生在自己的學(xué)習(xí)和研??0.025(19)=2.0930，則|??|=|??????0|=|0.6605?0.618|=2.0545<2.0930??√??

0.0925√200??=06

【課程思政】告訴學(xué)生“科學(xué)無(wú)處不在”，只要堅(jiān)持不懈努力，一定能取得成功。單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)（1）0H

:22，H:220 0 1 0NN0,

2

已X1,X2, ,Xn是來(lái)于總0XH0

:22，H:22。0 0 1 0當(dāng)H0成立時(shí)，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量?? ??1

?????02

【學(xué)生討論】??2=

??2

∑(????

???0)2=∑(

)～??2(??)0??=1

??=1

在介紹方差的檢驗(yàn)時(shí)，給定顯著性水平和自由度n2????{[??2<??2??(??)]∪[??2>??2(??)]}??1?2 2

n2

驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)的區(qū)別和聯(lián)系是什么？222

(??)}+??{??2>??2(??)}=??+??=??1???2

??2 2 22

n2

n為雙側(cè)臨界值，故拒絕域?yàn)??={??2<??2??(??)或1?21?22??2>??2(??)}={??2(??)<??2<??2(??)}22?? 1? ??2 2 2若進(jìn)一試樣觀察值x,x, ,x代統(tǒng)量2將算的1 2 n222

n或22

n，1/2/20 0落入拒絕域W1/2/20 0驗(yàn)法。（2）0H

:22，H:220 0 1 0這種情形留給學(xué)生課后研究，寫出模型的主要過(guò)程。培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力進(jìn)和研究能力，326??=0.37。已知合金中鈦的百分含量服從正態(tài)分布。在??=0.05顯著性水平下檢驗(yàn)該批合金中鈦百分含量的方差是否合格？解：設(shè)X為合金中鈦百分含量，且??～??(??,??2)。設(shè)??0:??2=??2=0.35，??1:??2≠??20 0根據(jù)已知條件，未知，用2檢驗(yàn)法。當(dāng)??=0.05，??=51?1=50時(shí)，查2分布的臨界值表知??2 (25)=13.120，??2 (25)=40.4640.975則(???1)??2??2= =0??20

0.025(26?1)×0.03720.352

=27.9388因?yàn)?3.120<27.9388<40.464，落入接受域，所以不能拒絕原假設(shè)??0，即該批合金中鈦百分含量的方差是合格的?！就卣归喿x】026卷第4三、小結(jié)：

【課程思政】中假設(shè)檢驗(yàn)方法和模型在工程管理方面的四、作業(yè)：1（2）認(rèn)真閱讀“拓展閱讀”文章；（3）MATLAB§3.3 一、問(wèn)題的提出引例1. 用老料新料分生同種器件各一樣作疲勞壽試，得據(jù)下（位?。涸牧?0 110 150 65 90 210 270新材料60 150 220 310 380 350 250 450 110 175二、授課內(nèi)容1.兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)??～??(1,??2)??～??(2,??2,(1,2,?,??(1,2,?,??是分別

【問(wèn)題導(dǎo)向】以電子元器件的壽命態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。上節(jié)主要討論了單個(gè)正態(tài)總體的每個(gè)參數(shù)1 2的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題?；赬和Y的兩個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且相互獨(dú)立.記=1∑????和=????=1??

同樣的思維邏輯和步驟，本節(jié)將討論如何檢1∑??

??分別為兩個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的樣本均值,??2=1

∑??

(????)2，??2=????=1??

1 ???1

??=1 ??

2 驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值和方差的差異性，等價(jià)1∑??

(???)2???1

??=1??

H0:12；H1:12H0:12；H1:12H0:12；H1:12

（3.3.1）（3.3.2）（3.3.3）

于兩個(gè)正態(tài)變量均值差和方差比的假設(shè)檢驗(yàn)。問(wèn)題的關(guān)鍵依然是正確提出檢驗(yàn)假設(shè)，選擇恰當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，然后根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的概率分布求出原假設(shè)的拒絕域。下面各?。?）方差22已知

節(jié)分別講述不同情況1 2的具體假設(shè)檢驗(yàn)方法。檢驗(yàn)12的關(guān)系等價(jià)于檢驗(yàn)???20的關(guān)系，由兩個(gè)正態(tài)總體的樣本??2????和的獨(dú)立性，易得???2的點(diǎn)估計(jì)?～2 2??(?????,+??。1 21 2?? ??采用u檢驗(yàn)方法，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

?????????=

【課程思政】變通、創(chuàng)新+√??2 ??2+1 2?? ??在??1=??2時(shí)，??～??(0,1)。對(duì)于給定的顯著性水平，由??{|??|≥????}=??查標(biāo)2準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值表得到u2。檢驗(yàn)的拒絕域取決于備擇假設(shè)。

從參數(shù)估計(jì)到假設(shè)檢..1W為WU

2

（3.3.4）..2W為WUu

（3.3.5）..3W為WUu1

（3.3.6）

從一般模型到具體的1 12 21X,YN,2，N,284h601295h1230h，能否認(rèn)為在1 12 2

iH0:12；1:12（ii）選擇統(tǒng)計(jì)量1295?1230|??|=| |=3.94√842+96260 60（iii）對(duì)于給定的顯著性水平??=0.05，查附表得????=1.96，而|??|>????，落入2 2拒絕域，故拒絕原假設(shè)H0，認(rèn)為兩廠生產(chǎn)的燈泡壽命有顯著差異?！緦W(xué)生討論】1 2（2）方差222，且1 2與前面類似，檢驗(yàn)與的關(guān)系等價(jià)于檢驗(yàn)與0的關(guān)系，由于2未1 2 1 2知，故兩樣本均值之差XY的概率分布無(wú)法求解，由于樣本方差S2是總體方2 2差2的無(wú)偏估計(jì)，利用??2=(???1)??1+(???1)??2代替??2。??+???2因此構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

?????????= ??√1+1?? ??在12時(shí)，??～??(??+???2)。對(duì)于給定的顯著性水平，由??{|??|>????(??+???2)}=??查t分布的臨界值表得到????(??+???2)。檢驗(yàn)的拒絕域取決2 2于取決于備擇假設(shè)。..1W為??={|??|≥????(??+???2)} （3.3.7）2..2W為??={??≥????(??+??2)} （3.3.8）..3W為??={??≤????(??+??2)} （3.3.9）2：原材料40 110 150 65 90 210 270新材料60 150 220 310 380 350 250 450 110 175(顯著性水平0.1)?解：將原始數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)可得原材料 1.602 2.041 2.176 1.813 1.954 2.322 2.431新材料 1.778 2.176 2.342 2.491 2.580 2.544 2.398 2.653 2.0412.243

【引例回頭看】由題設(shè)知m7，n10，0.1。則???=2.0484，???=2.3246，??2=0.0835，??2=0.0736??2=由此便可計(jì)算出

11 2???1)??2+(???11 2=??+???2

20.501+0.6637+10?2

=0.0776??? 2.0484?2.3246??= = =?2.01??√1+1

√0.0776√1+1?? ?? 7 10??=0.??(??+???2)=.5(5)=173。2|??|=2.01>2.兩個(gè)正態(tài)總體方差比的檢驗(yàn)??～??(1,??2)??～??(2,??2,(1,2,?,??(1,2,?,??是分別

【課程思政】1 2 ??=1??X和Y的兩個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且相互獨(dú)立.記=1∑????和=??=1????

差比”？注意在平時(shí)的學(xué)習(xí)和1∑??

??分別為兩個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的樣本均值,??2=1

∑??

(??

??)2，??2=

研究中養(yǎng)成良好的思????=1??

1 ???1

??=1 ??

2維習(xí)慣，勤于思考。1∑??

(???)2???1

??=1??0 1 21 1 2H:20 1 21 1 2

:22

（3.3.10）0 1 21 1 2H:20 1 21 1 2

:22

（3.3.11）0 1 2H:20 1 2

:221 1 1 1 2

（3.3.12）檢驗(yàn)2與2的關(guān)系等價(jià)于檢驗(yàn)1與1的關(guān)系，這里只討論總體期望,1 2 2 1 22未知的情況。1,2已知的情況，感興趣的讀者可自行完成。由于樣本方差S2是總體方差2的無(wú)偏估計(jì)，樣本方差S2是總體方差21 1 2 2的無(wú)估計(jì)??2= 1

∑??1(??

??)2??2=1

∑??2

(???檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

1 ??1?1

??=1 ??

??=

2112??22

??2?1

??=1??0 1 0 1 2

:22成立條下，F(xiàn) Fmn1對(duì)于定顯性水平，查F分布的臨界值表得F2m1,n1。檢驗(yàn)的拒絕域取決于取決于備擇假設(shè)。..0，檢驗(yàn)的拒絕域W為WF2mn1F2mn

（3.3.13）..1，檢驗(yàn)的拒絕域W為WFm1,n

（3.3.14）..2，檢驗(yàn)的拒絕域W為WFm1,n

（3.3.15）例3在例2中，問(wèn)原材料與新材料的疲勞壽命的方差是否相等。0 10 1 2

:22，H

:22，1 1 1 1 2m7 n10 且 ， ，S20.0835，S20.073667，F(xiàn) 11.1335S1 2 2S2取0.05，則0.025，查找F分布的臨界值表得2F2m1,n1F0.025(6,9)4.321

n1,m1=F

(9,6)F12

m1,n1

2 0.025F mn1=F

(6,9)1

0.18122

5.52(6,9F(6,9.H0材料與新材料的疲勞壽命的方差相等。【推薦拓展】工程項(xiàng)目案例：三、小結(jié)：（1）兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)（2）模型及其應(yīng)用四、作業(yè)：

【課程思政】工程背景的數(shù)據(jù)分析案例可增強(qiáng)學(xué)生專業(yè)引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與方法應(yīng)用于解決工程數(shù)據(jù)分析問(wèn)1（2）認(rèn)真閱讀“推薦閱讀”公眾號(hào)文章；（3）MATLAB一、問(wèn)題的提出

3.4

注釋及備注【課程思政】很多問(wèn)題解決時(shí)候都引例（工程數(shù)據(jù)分析案例）（ka甲廠：2050 1980 1970 2040 2010 2000 1900 1990乙廠：2070 1980 1950 2080 2040 1960 2020試根據(jù)以上信息分析兩種水泥的壓力強(qiáng)度是否服從正態(tài)分布。二、授課內(nèi)容（.Pao在90??2檢驗(yàn)法和lgoov1????擬合檢驗(yàn)（1）不含未知參數(shù)的總體分布的檢驗(yàn)設(shè)X為總其布為F(x)且知(x)為一類型體的分函，X1,X2, ,Xn為來(lái)于體X的個(gè)本我要驗(yàn)假設(shè)??0:??(??)=??(??)≠（3.4.1）其中設(shè)F0(x)不含未知參數(shù)。若總體X是離散型隨機(jī)變量，則原假設(shè)??0:??{??=??}=????,??=1,2,?，其中PXk為隨機(jī)變量X的分布律，pk為某一已知類型總體的分布律.X??(??)=??(??)X.

要假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)假設(shè)的合理性如何保要的要給出科學(xué)的檢驗(yàn)過(guò)程。思考和體會(huì)：數(shù)檢驗(yàn)的最大區(qū)別是什么？??2??2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法就是設(shè)法確定一個(gè)能刻畫觀測(cè)數(shù)據(jù),??2,?,????與理論分布0(x)擬合程度不高，應(yīng)拒絕H0，否則接受H0。將隨機(jī)試驗(yàn)的全體結(jié)果分為r個(gè)互斥的事件,, ,。在原假設(shè)H0成??(????)==1,2,n出現(xiàn)的頻數(shù)nk稱為實(shí)際頻數(shù)nk實(shí)際頻率pnk

n k n的，但如果原假設(shè)H0成立，且試驗(yàn)的次數(shù)又甚多時(shí)，這種差異不應(yīng)太大，即(pnk)2不會(huì)太大。因此可利用(p)2或(np

n)2k n k n k k確定拒絕域。基于這種思想，皮爾遜于1900年提出了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量??=∑2 ??=∑??=1

(???????????)2??????

（3.4.2）

【課程思政】其中：nk為實(shí)際頻數(shù)；pk為理論概率；n為試驗(yàn)次數(shù)。her于24nH0

數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)家精神????2=∑??=1

(???????????)2??????

～??2(???1)rXr1Xrnkkpkk。3.1，當(dāng)樣本容量n（..2????={??2>??2(???1)} （3.4.3）??其中為顯著性水平。注意：在使用皮爾遜2檢驗(yàn)法時(shí)，要求n50，以及每個(gè)理論頻數(shù)5(kr2擬合檢驗(yàn)的基本步驟如下：（i）提出原假設(shè)：??0:??(??)=??0(??)其中設(shè)F0(x)不含未知參數(shù)。若總體X是離散型隨機(jī)變量，則原假設(shè)??0:??{??=????????1,2,PXkXpkXH0:f(xf0(x，??(??)Xf0(x)度函數(shù)。（ii）將總體X分為r組互不相交的小區(qū)間（一般7≤??≤14：?∞,1,(1,2),?,(???1,+∞)，使得每個(gè)區(qū)間k1,k內(nèi)樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)kn5，kr。k計(jì)出樣數(shù)落第k組個(gè)到際數(shù)nk,r。H0pk。????=??{?????1<??≤????}=??(????)???(?????1)????（v）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值。在給定顯著性水平，由??{??2>??2(???1)}=??，通過(guò)查找??2分布的臨界值表得??2(???1)，判斷其是否落入拒絕域??={??2>????????2(???1)}中，進(jìn)而確定接受或者拒絕原假設(shè)。??

注意表達(dá)方式先模型，后數(shù)據(jù)例1開(kāi)獎(jiǎng)機(jī)中有編號(hào)為1,2,3,4的四種獎(jiǎng)球，在過(guò)去已經(jīng)開(kāi)出的100個(gè)號(hào)1,2,3,436272215（??=0.05）？解：開(kāi)獎(jiǎng)機(jī)開(kāi)出的號(hào)碼可以看作一個(gè)總體，問(wèn)題相當(dāng)于要檢驗(yàn)假設(shè)????： 。??～??(??=??)=,??=1,2,3,40 4作分點(diǎn)0.5<1.5<2.5<3.5<4.5，把??的取值范圍分成下列4個(gè)區(qū)間(???0.5,??+0.5],??=1,2,3,4。??0為真時(shí)，落在各區(qū)間中的概率為????

=??{???0.5<??≤??+0.5}=??{??=??}=,??=1,2,3,4。141

區(qū)間(0.5,1.5](1.5,2.5](2.5,3.5]區(qū)間(0.5,1.5](1.5,2.5](2.5,3.5](3.5,4.5]頻數(shù)nk36272215頻率pk14141414??2=

??1∑????=1

2?????=??????

1100

362×[ +1/4

272+1/4

222+1/4

1521/4

]?100=9.36?? 0.05對(duì)顯性??=0.05，查2分布，??2(???1)=??2 (3)=?? 0.05

注意：卡方檢驗(yàn)為右側(cè)檢驗(yàn)。??2??2=9.36>7.815，拒??： 。??～??(??=??)=,??=1,2,3,40 4所以，這臺(tái)開(kāi)獎(jiǎng)機(jī)開(kāi)出各種號(hào)碼的概率并不相等。（2）含有未知參數(shù)的總體分布的檢驗(yàn)m)設(shè)??為一總體，其分布函數(shù)為??(??,??1,??2,?????)，且未知，F(xiàn)0(x,1,m)為某一已知類型總體的分布函數(shù)，X1,X2, ,Xn為來(lái)自于總體X的一個(gè)樣本，們檢假設(shè)??0:??(??,??1,??2,?????)=??0(??,??1,??2,?????)??1:??(??,??1,??2,?????)≠??0(??,??1,??2,?????)其中設(shè)??0(??)含有??個(gè)未知參數(shù)??1,??2,?????。此類情況可按如下步驟進(jìn)行檢驗(yàn)：1,2,?,??1,2,???1,2,???。（ii）F(x,1,2,

m)中用?代替????(??=1,2,???)，則??(??,??1,??2,?????)i??(??,1,2,???。iii計(jì)算pk??(??,1,2,???pk

含有未知參數(shù)的總體?k(k,,

。

分布的檢驗(yàn)，首先要利用極大似然估計(jì)方法（iv）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

2??2(????????????)

進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，對(duì)應(yīng)的卡方分布自由度變小。??2=∑??=1

～??2(??????1)（v）對(duì)給定的顯著性水平，得拒絕域????={??2>??2(??????1)}??例2為檢驗(yàn)棉紗的拉力強(qiáng)度（單位：kg）??是否服從正態(tài)分布，從一批棉紗中隨機(jī)抽取300條進(jìn)行拉力試驗(yàn)，結(jié)果如下：????????????????10.64181.625320.78291.762530.929101.901941.0625112.041651.2037122.18361.3453132.38171.48560問(wèn)：紗拉強(qiáng)??是在顯性??=0.05下服正分布？解：述題檢假設(shè)H：X N(,2)。步如：0（i）將觀測(cè)值xi分成13組：(??0,??1],(??1,??2],?,(??11,??12],(??12,??13]。這里??0=?∞=0.64,??2=0.78=2.18=+∞。但是這樣分組后，前兩組和最后兩組的n?。（ii）計(jì)算理論頻數(shù)nk。這里??(??)是正態(tài)分布??(??,??2)的分布函數(shù)，含有兩??=1 ??個(gè)未知數(shù)??和??2，分別用他們的最大似然估計(jì)?=?,?2=1??(????)??=1 ????????都??=141,?2=0262。（iii）計(jì)算??1,??2,???300中落在每個(gè)區(qū)間的實(shí)際頻數(shù)nk，如下分組表：

思辨思維：數(shù)據(jù)=模型+誤差現(xiàn)實(shí)的角度看合理解??????????????????????????????00.500.00120.00000.00000.50.6410.00380.00380.99620.640.7820.01270.02531.97470.780.9230.03350.10052.89950.780.9290.07130.64138.35870.921.06250.12203.049121.95091.061.20370.16796.214130.78591.201.34530.18619.861043.13901.341.48560.16589.286146.71391.481.62530.11896.301546.69851.621.76250.06861.714523.28551.761.90190.03180.604618.39541.902.04160.01190.190015.81002.042.1830.00410.01232.98772.182.3810.00050.00050.9995????????2（iv）計(jì)算統(tǒng)量??2=∑?? =90.6523，又??=10,??=2，故自??=1 ?????由度10?2?1=表得??2 (7)=18.48<故絕假設(shè)即0.01認(rèn)為棉紗拉力強(qiáng)渡不服從正態(tài)分布。2017389設(shè)檢驗(yàn)．【課程思政】引導(dǎo)學(xué)生思考，從數(shù)據(jù)到模型，從模型到結(jié)果，從結(jié)果到結(jié)論，體現(xiàn)了一種科學(xué)思維方法和解決問(wèn)題的范式。鼓勵(lì)學(xué)生在自己專業(yè)領(lǐng)域進(jìn)行努力探索。三、小結(jié)：（1）分布擬合的假設(shè)檢驗(yàn)（2）模型及其應(yīng)用四、作業(yè)：1（2）MATLAB教案首頁(yè)教學(xué)單元第4章學(xué)時(shí)10教學(xué)題目回歸分析與方差分析教學(xué)環(huán)境設(shè)計(jì)與組織安排課堂教學(xué)主要以板書為主，多媒體課件為輔教學(xué)目標(biāo)及達(dá)成度價(jià)值塑造通過(guò)相關(guān)領(lǐng)域的中國(guó)數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)家精神的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神；通過(guò)工程項(xiàng)目數(shù)據(jù)分析教學(xué)案例的實(shí)施培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)歸屬感和對(duì)本課程學(xué)習(xí)興趣；通過(guò)回歸分析結(jié)果的檢驗(yàn)（擬合優(yōu)度、回歸方程檢驗(yàn)、回歸系數(shù)檢驗(yàn)）使學(xué)生體會(huì)嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)思維方式。知識(shí)傳授通過(guò)本章的教學(xué)使學(xué)生能夠?qū)﹄p變量或多變量進(jìn)行方差分析性檢驗(yàn)；掌握回歸模型的評(píng)價(jià)、控制與預(yù)測(cè)。能力培養(yǎng)通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)樣本數(shù)據(jù)使用回歸分析和方差分析模型與方法進(jìn)行工程數(shù)據(jù)分析的能力，尤其是使用回歸分析研究工程技術(shù)問(wèn)題中關(guān)于變量原理之間相關(guān)關(guān)系的能下基礎(chǔ)。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念、正態(tài)總體均值及均值之差的假設(shè)檢驗(yàn)、總體方差及總體方差之比的假設(shè)檢驗(yàn)、分布擬合檢驗(yàn)．難點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念的理解，正態(tài)總體總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn)、分布擬合檢驗(yàn)．教學(xué)方法手段媒介理論講授+板書+多媒體+啟發(fā)誘導(dǎo)+問(wèn)題驅(qū)動(dòng)+課后實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式模式：線上+線下混合式平臺(tái)：學(xué)堂云平臺(tái)工具：雨課堂、MATLAB軟件教學(xué)設(shè)計(jì)【課程進(jìn)程安排】【課前準(zhǔn)備】通過(guò)學(xué)堂云平臺(tái)進(jìn)行“預(yù)習(xí)指導(dǎo)”和“課前測(cè)試”。了解學(xué)情有助于增進(jìn)要求學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立完學(xué)堂云在線答題一、問(wèn)題的提出

第四章 方差分析與回歸分析§4.1假設(shè)檢驗(yàn)的原理與步驟

【設(shè)計(jì)意圖】往會(huì)遇到產(chǎn)品質(zhì)量合【問(wèn)題導(dǎo)向】雨課堂課前發(fā)布問(wèn)題，課前發(fā)布，課后作答，線上提交。二、授課內(nèi)容§.1方差分析表1鋁合金板的厚度機(jī)器I機(jī)器II機(jī)器III0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262

需要使用一些統(tǒng)計(jì)推斷方法，利用樣本數(shù)據(jù)對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。此類問(wèn)題屬于方差分析的范疇，本次課主要介紹方差分析的方法與過(guò)程。【引導(dǎo)學(xué)生思考】如果不是所有的因素著？哪些因素的作用復(fù)雜的形式交錯(cuò)在一起的？定義1檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等（通常通過(guò)分析數(shù)據(jù)的誤差判斷各總體均值是否相等）的統(tǒng)計(jì)方法，稱為方差分析。定義2在差析所檢驗(yàn)對(duì)稱因素因子??????表示。定義3因子A的同態(tài)水平??1、??2、 、????表。定義4在一項(xiàng)試驗(yàn)的過(guò)程中，只有一個(gè)因素水平在改變的試驗(yàn)稱為單因素試驗(yàn)。處理單因素試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)推斷方法稱為單因素方差分析。定義5有多個(gè)因素水平在改變的試驗(yàn)稱為多因素試驗(yàn)，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)推斷方法稱為多因素方差分析。例如，在例1中，試驗(yàn)的指標(biāo)是薄板的厚度，機(jī)器為因素，不同的三臺(tái)機(jī)器就是這個(gè)因素的三個(gè)不同的水平。顯然該例子中除機(jī)器這一因素外，其他條件都相同，這是單因素試驗(yàn)。單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型下面給出單因素試驗(yàn)方差分析的一般模型。設(shè)因素??有??個(gè)水平，記為??1,??2,?,????，在水平????(??=1,2,?,??)下考察的指標(biāo)看成一個(gè)總體，故有??個(gè)總體，假設(shè)：??(1)每一個(gè)總體均為正態(tài)總體，記為??(????,??2)(??=1,2,?,??)；??(2)各總體的方差相同，記為??2=??2=?=??2=??2；

【注意】方差分析方法使用的背景和問(wèn)題形式?！緦W(xué)生討論】引例中的什么指標(biāo)對(duì)這是兩個(gè)基本的問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生理解和使用方差分析有著重要作用。1 2 ??Xij都相方差分析的任務(wù)是檢驗(yàn)因素的水平變化對(duì)響應(yīng)變量平均值是否有顯著影響，即要對(duì)如下假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)??0:??1=??2=?=????備擇假設(shè)為??1:??1,??2,?,????不全相等若??的??????A??的????????顯著通過(guò)樣本觀測(cè)值之間的差異體現(xiàn)。設(shè)第i個(gè)水平下，第??次試驗(yàn)結(jié)果為??????，總體獲得????個(gè)試驗(yàn)結(jié)果????1,????2,?,????????，其中??=1,2,?,??，??=1,2,?????。故總試驗(yàn)次數(shù)為??=??1+??2+?+????。在水平????下的試驗(yàn)結(jié)果??????與該水平下的指標(biāo)均值????一般總是存在差距的，該差距主要來(lái)源于隨機(jī)誤差??????和可能存在的????之間的差異。于是有ij(??=1,2,?,??;??=1,2,????) （1）式（1）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式因子方差分析的統(tǒng)計(jì)模型：??????=????+??????,(??=1,2,?,??,??=1,2,?????)

知識(shí)運(yùn)用能力的訓(xùn)練：從一般模型到具體的使用，如何確定每一個(gè)參數(shù)，如何對(duì)標(biāo)模型的每一個(gè)步驟？??{??????

～?????? ??(0,??2) （2）為了更好地描述數(shù)據(jù)，需引入如下式子：??=1∑??

????????=1和

????=???????,(??=1,2,??) （4）式（3）????總均值。式（4）為第i個(gè)水平均值????與總均值的差，稱為因素A的第i個(gè)水平的主效應(yīng)。故應(yīng)。故∑??=1

????????=0且????=??+????,(??=1,2,?,??)，這表明第i個(gè)水平均值是由總均值與該水平的效應(yīng)疊加而成的，從而（2）可以改寫為??????=??+????+??????,(??=1,2,?,??,??=1,2,?????)∑{??∑{??=1

????????=0，

（5）檢驗(yàn)假設(shè)問(wèn)題等價(jià)于

??????～??(0,??2)備擇假設(shè)

??0:??1=??2=?=????=0,??1:至少有一個(gè)i不為零統(tǒng)計(jì)分析方差分析時(shí)，需要分析數(shù)據(jù)之間差異的來(lái)源。首先，因素在同一水平下，樣本各觀察值之間的差異，這種差異可以看成是隨機(jī)因素的影響造成的，或是由抽樣的隨機(jī)性所造成的，稱為隨機(jī)誤差。其次，因素的不同水平之間觀察值存在的差異，這種差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于試驗(yàn)本身所造成的，稱為系統(tǒng)誤差。將引起誤差的兩個(gè)原因用另外兩個(gè)量表示出來(lái)，即為方差分析中常用的平方和分解法。離差平方和分解樣本觀測(cè)值之間的差異的大小可以通過(guò)總偏差平方和表示，記為???????? ????2??????=∑∑(??????????)??=1??=1其中?? ???? ??1 1= ∑∑??????= ∑??????????? ??

【引導(dǎo)學(xué)生思考】（1）三者之間的關(guān)系體現(xiàn)了什么？（2）平方和的分解如何推導(dǎo)？??=1??=1 ??=1由隨機(jī)誤差引起的數(shù)據(jù)間的差異用組內(nèi)偏差平方和表示，記為??????，??????2??

=1∑????

??。

??????=∑∑(?????????????)??=1??=1?? ??????=1

????由于組間差異除了隨機(jī)誤差外，還反映了效應(yīng)間的差異，因此由效應(yīng)不同引起的數(shù)據(jù)差異可用組間偏差平方和表示，記為??????，????????=∑????(??????????)2??=1定理1（平方和分解定理）在一個(gè)因素方差分析模型中，平方和有如下恒等式：??????=??????+??????偏差平方和的大小與自由度有關(guān)，一般來(lái)說(shuō)，數(shù)據(jù)越多，其偏差平方和越大。因此要對(duì)組間偏差平方和??????與組內(nèi)偏差平方和??????之間進(jìn)行比較，必須考慮自由度的影響。故采用????????=(???1)??????(?????)作為的統(tǒng)量為出拒域引如定：定理2 在單因方析模中（1）??????～??2(?????)；??2（2）當(dāng)??成立時(shí)，??????～??2(???1)，且??????與??????相互獨(dú)立。

觀察和思考：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的選擇應(yīng)注意什么問(wèn)題？為何選擇F統(tǒng)計(jì)量？0 ??22F???1和?????F分??????????{(???1)<??}=1???,即??{??≥??}=??.?????? ?? ??(?????)????<??≥微，只能認(rèn)為影響不顯著。通常將上述計(jì)算過(guò)程列成一張表格，稱為方差分析表：方差來(lái)源平方和自由度均方差??值因子A（組間）????????=∑????(?????????)2??=1???1??????(???1)??????(???1)??=??????(?????)誤差（組內(nèi)）??????2??????=∑∑(????????????)??=1??=1???????????(?????)總和??????=??????+?????????1實(shí)際計(jì)算時(shí)，可通過(guò)下列公式計(jì)算????

?? ?????????=∑??????,??=∑∑??????,??????

??=1

??=1??=1??????=∑∑???????=????=??

??????

,??????=∑??=1

2????????

??2??

,??????=?????????????注意：根據(jù)需要，可以對(duì)數(shù)據(jù)??????作線性變換，令??????=??(?????????),其中??,??為適當(dāng)?shù)某?shù)且??≠0,使得??????變得簡(jiǎn)單。易證利用??????進(jìn)行方差分析與利用??????進(jìn)行方差分析所得結(jié)果相同。例2 設(shè)在例5.1.1中方差析型條，驗(yàn)假（著水平??=00??0:??1=??2=??3，??1:??1,??2,??3不全相等。例3 某種號(hào)油原喉結(jié)油較，節(jié)約源設(shè)了種改進(jìn)案降油指—比耗現(xiàn)用種構(gòu)的管造化器分別測(cè)得如下表所示：方案比油耗1原結(jié)構(gòu)231.0232.8227.6228.3224.7225.5229.3230.3??2：改進(jìn)方案I222.8224.5218.5220.2??3：改進(jìn)方案II224.3226.1221.4223.6試問(wèn)：在顯著性水平??=0.01下進(jìn)行方差分析，判斷喉管的結(jié)構(gòu)對(duì)比油耗的影響是否有顯著差異?！就扑]閱讀】公眾號(hào)文章：作為一名質(zhì)量工程師，必須掌握的數(shù)據(jù)分析：方差分析。三、小結(jié)：方差分析的原理與步驟。四、作業(yè)：1（2）認(rèn)真閱讀“拓展閱讀”公眾號(hào)文章；（3）MATLAB一、問(wèn)題的提出

§4.2一元線性回歸

【課程思政】告訴學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)，要有合理的方法和科2023年第25卷第4期（北大核心、CSCD）“偏心鋼梁-鋼管混凝土柱內(nèi)加強(qiáng)環(huán)式節(jié)點(diǎn)受力性能分析”節(jié)選其中的回歸分析內(nèi)容作為本次課課前的閱讀內(nèi)容。二、授課內(nèi)容1.一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型??和??????=+表示直線在??表示直線的斜率，或??1??1

學(xué)的依據(jù)。用科研論文的閱讀和實(shí)現(xiàn)，訓(xùn)練學(xué)生科研意識(shí)和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力。知識(shí)背景：家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓研究父親身高與成年兒子的身高發(fā)現(xiàn)：子代的平均高度有向一段時(shí)間內(nèi)人的身高析的思想滲透到了各個(gè)領(lǐng)域中。圖1直線關(guān)系示意圖當(dāng)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)不完全位于一條線上時(shí)，如圖1所示，此時(shí)必須將統(tǒng)計(jì)思想引入變量間關(guān)系的研究中?！緦W(xué)生討論】組織學(xué)生討論：在散點(diǎn)圖中可發(fā)現(xiàn)什么，有設(shè)么信息？【概念提出】回歸和以往學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)模型有所不同，主要體現(xiàn)在：確定性關(guān)系(????非確定性關(guān)系,,基于以上觀點(diǎn)，假設(shè)因變量??是一個(gè)與自變量??相關(guān)的隨機(jī)變量，建立如式（1）所示的線性回歸模型，作為變量之間關(guān)系的一種嘗試性表示。??=++?? （1）其中，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)??~??(0,??2)。稱式（1）表示的回歸模型為總體回歸模型。對(duì)于自變量??和因變量??的容量為??的觀測(cè)值??1,??2,?,????和??1,??2,?,????，有=++????，??=1,2,?? （2）其中，??????=1,2,??(0,??2)樣本回歸模型體回歸模型和樣本回歸模型不做區(qū)別?！咀⒁狻吭诖烁嬖V學(xué)生總體回歸方程和樣本回歸方程的本質(zhì)上無(wú)區(qū)別，因此，我們也會(huì)看到在科研論文中一般不區(qū)分總體回歸方程和樣本回歸方程。yyx1??(??|??)=0+1??,??(??|??)=??2加之??~??(0,??2)，所以在給定x的條件下，??的條件分布為??(??0+??1??,??2)。

【學(xué)生討論】該問(wèn)題如何思考和解決？引導(dǎo)學(xué)生充分討論?！菊n程思政】殘差的正態(tài)性是一個(gè)滿足則不能使用該方總體回歸方程和樣本回歸方程有何區(qū)別？圖2因變量關(guān)于自變量的條件分布如圖2顯示因變量??在輸入不同變量x的條件概率密度函數(shù)圖像。最小二乘法??1??2????和??2??(????????)，??=1,2,??和??關(guān)于??的一條最佳直線的擬合。而最小二乘法是擬合最佳直線的一種簡(jiǎn)單而且有效的方法，下面介紹基于一元線性回歸模型的最小二乘法。??=+??1??3xi處，??的預(yù)測(cè)值為+??1????yyi???0???1????，也就是圖3上點(diǎn)(0,????)到直線??=??0+??1??的豎直距離。圖3散點(diǎn)圖與擬合直線示意圖為了一分?jǐn)?shù)與合直的系0和1分01的估，則擬直的程?=0+11， （3）考慮??個(gè)的異，給任意點(diǎn)擬直的直距，

【課程思政】中國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)的代表人物：許寶騄新中國(guó)成立后，許寶騄等統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的頂級(jí)科學(xué)家毅然放棄在國(guó)外的優(yōu)厚待遇，將祖國(guó)的發(fā)展和興旺作為畢生目標(biāo)與使命，在國(guó)內(nèi)建立統(tǒng)計(jì)學(xué)生組織，培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)學(xué)科學(xué)人才，對(duì)中國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)不遺余力地進(jìn)行探索和推廣。這些先進(jìn)事跡可以讓同學(xué)們感受到老一輩科學(xué)家對(duì)祖國(guó)的濃厚感情和對(duì)新中國(guó)建設(shè)的責(zé)任感，從而引導(dǎo)同學(xué)們將科技興國(guó)作為己任，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，增強(qiáng)學(xué)生的民族使命感與責(zé)任感。????

=?????=???0?1?? （4）式（4）(????,????)0和1?? ??????(??0,??1)=∑???2=∑(???????0???1????)2????=1 ??=10和10和1??(0,1??(0,1)=??????(0,1)??0,??1若將殘差平方和Q(001Q(001

【學(xué)生思考】最小二乘法能夠改變??????(??0,=?2∑(??

???

?????)=0

????0????(??0,

????=1??

0 1??

什么需要?dú)埐钇椒胶妥钚?？{

=?2∑????(????????1????)=0??=1

（5）并進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到?? ??????0+(∑????)??1=∑??????=1??

??=1?? ????(∑????)+(∑??2)=∑??????????{??=1

??=1

??=1該方組為規(guī)程。假設(shè),x2, ,xn不相，正方程的數(shù)行列式不為零，故方程組有唯一解，進(jìn)而解得0和1的最小二乘估計(jì)為??1(??????1={

??=∑??(????????)2為了計(jì)算方便，可簡(jiǎn)寫為

??=10=??1?1{

=??????

， （6）其中，

0=??1??? ??1 1???=??∑????，???=??∑??????=1 ??=1???? 2

?? ?? 22 1????=∑(???????=1

=∑??????=1

? (∑??)????=1??????=∑??(????????)(????????)=∑??(????????)????。??=1 ??=1將式）（3?=0+1??，也稱??關(guān)??的驗(yàn)歸程，圖稱回直。例2 利用例1中數(shù)計(jì)算驗(yàn)歸程。解利用表1中數(shù)據(jù)計(jì)算得到?? ??1 1???=??∑????=0.2288，???=??∑????=0.0545??=1 ??=1???? 2

?? ?? 22 1????=∑(???????=1

=∑??????=1

? (∑??)????=1

=0.0057?? ????????=∑(????????)(????????)==∑(????????)????=7.35×10?4??=1因此

???

??=1??????= =0.1285{1 故，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

0=??1?=0049???=0.0249+0.1285??

根據(jù)引理的數(shù)據(jù)計(jì)算回歸方程，讓學(xué)生感受使用最小二乘法確定并根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算得到預(yù)測(cè)值及殘差，如表2所示。變量 變量 ?? ?? ????0.17500.04800.04740.00060.22000.05250.0532-07數(shù)值0.22500.05400.05390.00010.22600.05350.0540-050.25000.05700.0571-010.27650.06100.06050.0005合計(jì)1.370.3260.3260

生對(duì)回歸分析有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。??=1【學(xué)生討論】表中結(jié)果：∑????=1

=0，且∑??

????=∑??

????=1??=1??=1??=1最小二乘估計(jì)的性質(zhì)（1）線性性質(zhì)根據(jù)式（6）有

1=

??(?????∑??(????????)20{

??=1??1=??∑??=1

?1

??1??∑??????=1??0和1均是隨機(jī)變量yi0和1

無(wú)偏性是描述最小二乘估計(jì)的結(jié)果與其真實(shí)的接近程度，也是對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的評(píng)價(jià)。（2）無(wú)偏性00

1和?無(wú)偏性，由于1??(????)=??(??|??=????)=??0+??1????，再根據(jù)式（7）可得??(1)=

??(????????)??(????)=

??(?????+??1????)

=

??(?????

=??1∑??(????????)2

∑??(????????)2

∑??(????????)2??=1??

??=1?? ??

??=1????(???(?)= ?∑??(??)???(??)∑??

1= ∑(??

+????)???

1∑??

=??0 ??

????=1

1??

????=1

?? 0??=1

1??

1??

?? 0??=1010和1??(?)=??(0+1??)=0+1??=??(??)這說(shuō)明預(yù)測(cè)值???是??(????)的無(wú)偏估計(jì)。（3）殘差的分解記總離差平方和為??????=??????=∑??(????????)2，??=1表示因變量的觀測(cè)值yi相對(duì)于其均值y的偏離程度。?? ????????=(????)2=[(?????)+(????)]2??=1 ??=1?? ?? ??=(?????)2+(????)2+2(?????)????)??=1

??=1

??=10和1??(?????)(????)=0??=1所以?? ????????=(?????)2+(????2??=1 ??=1擬合優(yōu)度分析。如圖所示，在每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)處有????=(????)+(???) （4..）（4.2.1）（4.1.8）

擬合優(yōu)度的意義：從圖可以直觀地看到，擬合優(yōu)度的大小取決于回歸平方和SSR在總體平方和中占的比例，比例越大說(shuō)明擬合效果越好。為??????

??

(????)2??2=

??????

= ??=1 ∑??(????????)2也可寫作

??????

??=1??

(?????)2??2=1?

??????

=1?

??=1 ∑??(????????)2??=1顯然，判定系數(shù)??2的取值范圍為[0,1]，??2越接近1擬合效果越好；反之，??20??2????2=??2。標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)??2?????????22和??2?2=?????????2因此，標(biāo)準(zhǔn)誤差??的估計(jì)量為

=√

??????

標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)：???2例3 計(jì)算例2的方和殘平和回平方，定數(shù)相關(guān)系的方標(biāo)誤的估值。解 總平方和為

殘差的性質(zhì)殘差平方和為

????????=??????=∑(????????)2=9.5833×10?5??=1回歸平方和為

????????=(?????)2=1.38×10?6??=1判定系數(shù)為相關(guān)系數(shù)的平方為標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值為

??????=(????)2=9.44×1?5??=1??2=??????=0.9857????????2=??????=0.9857?????????=√

??????

=5.8520×10?4???2顯著性檢驗(yàn)（1）回歸方程的檢驗(yàn)回歸方程的檢驗(yàn)是檢驗(yàn)因變量和自變量之間的線性關(guān)系是否顯著，換句話說(shuō)就是檢驗(yàn)因變量??和自變量??之間的關(guān)系是否可以用回歸方程來(lái)表示，又稱為FF1??0：??1=0；??0：??1≠0第2步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量????????= 1 ～??(1,?????????(???2)第3步：得到檢驗(yàn)結(jié)論??時(shí)，臨界值為???2)，拒絕域?yàn)???2∞)。根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)原????>???2)????（2）回歸系數(shù)的檢驗(yàn)回歸系數(shù)的檢驗(yàn)是根據(jù)回歸系數(shù)的抽樣分布檢驗(yàn)回歸系數(shù)顯著性的方法，又稱為t檢驗(yàn)。下面給出t檢驗(yàn)的步驟。第1步：建立統(tǒng)計(jì)假設(shè)??0：??1=0；??1：??1≠0。第2步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

【課程思政】計(jì)算結(jié)果要經(jīng)過(guò)顯著以及自變量x對(duì)因變量y嚴(yán)格按照檢驗(yàn)方法執(zhí)1??=???～??(???2)√???????4223該問(wèn)題為雙側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)給定顯著性水平為??時(shí)，臨界值為????(???2)，拒絕域2為??????2),???????2)??滿足|??|>?????2)2 2 2時(shí)，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為自變量??對(duì)因變量??具有顯著的影響，反之則反。例4 在顯性平為0.05用例4.2.1中關(guān)結(jié)別驗(yàn)歸方程回系的著。解 （1）F第1步：建立統(tǒng)計(jì)假設(shè)??0：??1=0；??0：??1≠0。??????第2步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量??=1～??(1,4)433=275.8412>7.7086=??0.05(1,4)，因此拒絕??0，認(rèn)為回歸方程是顯著的。（2）t檢驗(yàn)1=≠0。第2??=?1～??(4)√??????33??=16.6085>2.7764=??0.025(4)，因此拒絕??0，認(rèn)為自變量??對(duì)因變量??具有顯著的影響。【視頻推薦】視頻：許寶騄一個(gè)把生命托付給數(shù)學(xué)王國(guó)的數(shù)學(xué)家\h/video/BV1N5411o7ce/【推薦閱讀】三、小結(jié)：（1）一元線性回歸分析的數(shù)學(xué)模型（2）最下二乘法的原理及結(jié)果四、作業(yè)：1（2）認(rèn)真閱讀“推薦閱讀”科研論文，啟發(fā)學(xué)生的科研思路；（3）MATLAB

【課程思政】用愛(ài)國(guó)數(shù)學(xué)家許寶騄的數(shù)學(xué)家精神感染學(xué)生，培養(yǎng)愛(ài)國(guó)情懷。中假設(shè)檢驗(yàn)方法和模型在工程管理方面的一、問(wèn)題的提出

§4.3

【問(wèn)題導(dǎo)向】水泥在凝固時(shí)所釋放的熱量與水泥中的下列4中化學(xué)成分的關(guān)引例：多個(gè)變量之間線性關(guān)系的研究。二、授課內(nèi)容1多元線性回歸的參數(shù)估計(jì)設(shè)隨機(jī)變量??與自變量有??(??>1)個(gè)自變量??1,??2,?,????的線性回歸模型為??=+++?+?????????? （4.1）??????~??(0??2)。設(shè)(????1,????2,?,??????,????),??=1,2,?,??為樣本觀測(cè)值，同一元線性回歸模型參數(shù)估計(jì)方法一樣，采用最小二乘法估計(jì)回歸系數(shù)??0,??1,?,????，即通過(guò)誤差平方和?? ??

系問(wèn)題。響因變量的因素往往變量與多個(gè)自變量的線性回歸模型就是多多元線性回歸的參數(shù)等內(nèi)容。????(??0,??1,?,????)=∑??2=∑[?????(??0+??1????1+??2????2+?+??????????)]2????=1 ??=1的最小值得到對(duì)應(yīng)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。采用多元函數(shù)求極值的方法，對(duì)??(??0,??1,?,????)分別關(guān)于??0,??1,?,????求一階偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，得到方程組??????(??0,?,????)=?2∑(??

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??????經(jīng)過(guò)進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到正規(guī)方程組?? ?? ?? ??+∑????1+∑????2+?+∑??????=∑

【課程思政】??=1??

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變通、創(chuàng)新從多元線性回歸到一??0∑????1+??1∑????1+??2∑????1????2+?+????∑????1??????=∑????1??????=1???

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元線性回歸；從一維問(wèn)題到多維問(wèn)題。????∑??????+∑??????????1+∑??????????2+?+∑??2????

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變得是什么，不變的是{ ??=1

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（4.3）

什么？是否可以類比？解式.）0,1,?,??0,1,?,???=0+11+22+?+????。 （4.）為方便起見(jiàn)，可以將多元線性回歸模型表示為矩陣形式，令1 ?

??1

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1 ??21 ??22 ? ??2??)，??=

?? 2)，? 2??=2)，? 2(? ? ? ?1 ????1 ????2 ? ??0

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?????=( )??=(1，?=1??=( )式（4.1）可變?yōu)?/p>

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???????=????+??,??~??(??,??2????)式（4.3）表示的正規(guī)方程組可變?yōu)????????=??????XTX可逆，記(XTc

)C，則參數(shù)向量B的最小二乘估計(jì)為=???????? （4.6）那么，式（4.3）表示的回歸方程可變?yōu)?=??? （47）下面加明給多線性歸小乘計(jì)性質(zhì)。性質(zhì)1 的機(jī)量??的個(gè)線變。性質(zhì)2 ?的無(wú)估即??(?)=。性質(zhì)3 ??(?)=??2。性質(zhì)4 ??????(?,)=0。性質(zhì)5 ??~??(??,??2?????(,??2，??????~??2(??????1。?? ??2矩陣形式不僅簡(jiǎn)潔方便，而且為多元線性回歸的顯著性檢驗(yàn)和軟件實(shí)現(xiàn)打下了基礎(chǔ)。2.擬合優(yōu)度與顯著性檢驗(yàn)（1）擬合優(yōu)度n和自變量個(gè)數(shù)k

【注意】對(duì)于回歸模型來(lái)說(shuō)要對(duì)結(jié)果進(jìn)行嚴(yán)格的檢驗(yàn)。擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)不能再按照一元線性回歸的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算，是由于自變量個(gè)數(shù)的變化引起的變化。稱之為調(diào)整的判定系數(shù)，計(jì)算公式為??2=1? ???1

(1???2)?? ??????1其中，??2表示4.2節(jié)介紹的判定系數(shù)，在多元線性回歸中稱之為多重判定系數(shù)。（2）標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)多元線性回歸的殘差的方差??2的估計(jì)值通過(guò)??????除以??????1得到，減少??+1??+1??+1??2的估計(jì)量為因此，標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)量為

?2= ????????????1???=√

????????????1（3）回歸方程的檢驗(yàn)F第1步：建立統(tǒng)計(jì)假設(shè)??0：??1=??2=?=????=0；??1：??1,??2,?,????不全為0。第2步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量????????= ?? ～??(???????1)。(??????1)第3步：得到檢驗(yàn)結(jié)論當(dāng)給定顯著性水平為??時(shí)，臨界值為????(??,??????1)，拒絕域?yàn)?????(??,??????1),+∞)。根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)原理，當(dāng)統(tǒng)計(jì)量F滿足??>????(??,??????1)時(shí)，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為回歸方程是顯著的，可以用回歸方程來(lái)表示因變量y和自變量x之間的關(guān)系，反之則反。（4）回歸系數(shù)的檢驗(yàn)t第1步：建立統(tǒng)計(jì)假設(shè)，對(duì)于每一個(gè)回歸系數(shù)????，??=0,1,?,??，有??0：????=0；??0：????≠0。第2步：構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量????

=???～??(??????1，??=01,?,??√???????423該問(wèn)題為雙側(cè)檢驗(yàn)，當(dāng)給定顯著性水平為??時(shí)，臨界值為????(??????1)，拒2絕域?yàn)??????(??????1),????(??????1))2??T

2t2(nk1)時(shí)，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為自變量xi對(duì)因變量y具有顯著的影響，反之則反。例1（Cag41：CaAl3（）2：CaSi2（）3：CaAle3%）4：CaSi2（）

【引例回頭看】多個(gè)變量的回歸模型。實(shí)驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)如表4.1所示。表4.1熱量與物質(zhì)濃度數(shù)據(jù)yx_1x_2x_3x_478.572666074.31291552104.3115682087.5113184895.6752633109.61155922102.735417672.5170224893.12321824115.9215242683.91482434113.31140912109.41066812試求??對(duì)??1，??2，??3，??4的回歸方程，計(jì)算調(diào)整的判定系數(shù)，并進(jìn)行回歸方程和回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。解 （1）歸程根式=(??????)?1??????=(111.61831.1767?0.0539?0.2233?0.6480)??因此，回歸方程?=???=111.1+671?0.032?0.233?0.604。（2）多重判定系數(shù)調(diào)整的判定系數(shù)為

??2=??????=0.986????????2=1? ???1

(1???2)=0.979??（3）F檢驗(yàn)

??????1??=138.663.39=.5(40（4）t檢驗(yàn)??=???～??(8，??=01,?4，臨界值為??

(81.8595,各回歸系

【課程思政】?? √??????

0.025

科學(xué)思維方式數(shù)的顯著性檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)下表。

尊重計(jì)算結(jié)果參數(shù)?iciiTip值顯著性常數(shù)項(xiàng)111.624.515924.71776×-9顯著x11.17670.209045.62890.000493顯著x200320.05271510290.33629不顯著x302370.1839312390.25941不顯著x406770.0436381.4941×-7顯著??1和??4對(duì)????2和??3??1MATLABclcclearally=[78.5,74.3,104.3,87.5,95.6,109.6,102.7,72.5,93.1,115.9,83.9,113.3,109.4]';x1=[7,1,11,11,7,11,3,1,2,21,1,11,10]';x2=[26,29,56,31,52,55,54,70,32,52,48,40,66]';x3=[6,15,8,8,6,9,17,22,18,4,24,9,8]';x4=[60,52,20,48,33,22,6,48,24,26,34,12,12]';n=length(y)';X=[ones(n,1)x1x2x3x4];=x=[x1x2x3x4];mdl=fitlm(x,y)運(yùn)行結(jié)果：B=111.61831.1767-0.0539-0.2233-0.6480STATS=0.9858138.96260.00004.8346mdl=線性回歸模型:y~1+x1+x2+x3+x4估計(jì)系數(shù):

【課程思政】工程背景的數(shù)據(jù)分析案例可增強(qiáng)學(xué)生專業(yè)引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與方法應(yīng)用于解決工程數(shù)據(jù)分析問(wèn)軟件實(shí)現(xiàn)有助于學(xué)生將本課程視stte E tat palue---------------------------------------------------Intercept111.624.515924.7172e-x11.17670.209045.62890.00049338x20.05390.052715-90.33629x3-30.18393-90.25941x4-00.043638-9e-觀測(cè)值數(shù)目:13，誤差自由度:8均方根誤差:2.2R方:0.986，調(diào)整R方0.979F統(tǒng)計(jì)量(常量模型):139，p值=