角平分線的性質(zhì)與判定

第第頁(yè)角平分線的性質(zhì)與判定已知:∠AOB求作：∠AOB的平分線做法：(1)以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于M,交OB于N。(2)分別以M、N為圓心，大于1/2MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)C。(3)作射線OC。射線OC即為所求。M0

A

CB

仔細(xì)觀察步驟.

A

MC

B

N

O

折一折AADPOOC

EB將AOB對(duì)折,再折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后開(kāi)展,觀測(cè)兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論?可以看一看,第一條折痕是AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折痕PD,PE是角的平分線上一點(diǎn)到AOB兩邊的距離,這兩個(gè)距離相等.

B

畫(huà)一畫(huà)根據(jù)做一做的順次畫(huà)∠AOB的折痕OC,過(guò)點(diǎn)P的垂線段PD、PE,并度量所畫(huà)PD、PE是否等長(zhǎng)？

同學(xué)甲、乙誰(shuí)的畫(huà)法是正確的?

議一議：由折一折和畫(huà)一畫(huà)你可得到什么猜想？

角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

于是我們得角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.能否用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”這句話(huà).請(qǐng)?zhí)钕卤恚?/p>

OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D、E為垂足.

PD=PE

角平分線的性質(zhì)定理：定理1角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。定理應(yīng)用所具備的條件：(1)角的平分線；(2)點(diǎn)在該平分線上；DA

OE

P

C

(3)垂直距離。定理的作用：證明線段相等。推理的理由有三個(gè)，需要寫(xiě)完全，不能少了任何一個(gè)。

B

應(yīng)用定理的書(shū)寫(xiě)格式：

∵

OP是AOB的平分線PDOA

\PD=PE

PEOB

(在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。)

∵如圖，AD平分∠BAC(已知)

∴

BD=CD,(在角的平分線上的點(diǎn)到這)個(gè)角的兩邊的距離相等。

()A

BDC

不必再證全等∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DB⊥AB(已知)

∴

DB=DC,(在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè))

√

角的兩邊的距離相等。B

AD

C

∵如圖，DC⊥AC,DB⊥AB(已知)

∴

BD=CD,(在角的平分線上的點(diǎn)到這)個(gè)角的兩邊的距離相等。AB

()D

C

反過(guò)來(lái)，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否肯定在這個(gè)角的平分線上呢？

已知：如圖,QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，QD=QE.求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上.

已知：如圖,QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，QD=QE.求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上.證明:∵QD⊥OA,QE⊥OB(已知),∴∠QDO=∠QEO=90(垂直的定義)在Rt△QDO和Rt△QEO中QO=QO(公共邊)QD=QE∴Rt△QDO≌Rt△QEO(HL)∴∠QOD=∠QOE∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上

這樣，我們又可以得到一個(gè)結(jié)論：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

例已知：如圖，△ABC的角

平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA,垂足分別為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上∴PD=PE(在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)同理PE=PF.∴PD=PE=PF.A

即點(diǎn)P到邊AB、BC、CA的距離相等想一想，點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？BDNPM

FC

E

知識(shí)應(yīng)用1、在Rt△ABC中，BD是角平分線，DE⊥AB,垂足為E,DE與DC相等嗎？為什么？2、如圖,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,那么，PE=__________cm.EADEBCOADC

PB

思索：如下圖OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),問(wèn)PE=PD?為什么?EAOPC

D

B

PD,PE沒(méi)有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不肯定相等.

思索：要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到馬路，鐵路距離相等且離馬路，鐵路的交叉處500米，應(yīng)建在何處？(比例尺1:20000)O馬路鐵路

S

如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F,求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.證明：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G,GFH⊥AD于H,FM⊥BC于M∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，MFG⊥AE,FM⊥BC∴FG=FMH又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD,FM⊥BC∴FM=FH∴FG=FH∴點(diǎn)F在∠DA