2024八年級數(shù)學(xué)上專題6 八年級數(shù)學(xué)上冊期中考試重難點(diǎn)題型（舉一反三）含答案

2024八年級數(shù)學(xué)上專題06八年級數(shù)學(xué)上冊期中考試重難點(diǎn)題型【舉一反三】【人教版】【知識點(diǎn)1】三角形1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊.3.高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高.鈍角三角形三條高的交點(diǎn)在三角形外,直角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形上,銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)，三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心4.中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.（三條中線的交點(diǎn)叫重心）5.角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.（三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊距離相等，三條角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心6.三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性.（例如自行車的三角形車架利用了三角形具有穩(wěn)定性）7.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.8.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.9.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.10.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.11.正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.12.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面，13.公式與性質(zhì)：⑴三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180°⑵三角形外角的性質(zhì)：性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.⑶多邊形內(nèi)角和公式：邊形的內(nèi)角和等于·180°⑷多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°.⑸多邊形對角線的條數(shù)：①從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引條對角線，把多邊形分成個(gè)三角形.②邊形共有條對角線.【知識點(diǎn)2】全等三角形1.基本定義：⑴全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.⑵全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.⑶對應(yīng)頂點(diǎn)：全等三角形中互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn).⑷對應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對應(yīng)邊.⑸對應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對應(yīng)角.2.基本性質(zhì)：⑴三角形的穩(wěn)定性：三邊的長度確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小就全確定，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.⑵全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴邊邊邊（）：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.⑵邊角邊（）：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.⑶角邊角（）：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.⑷角角邊（）：兩角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.⑸斜邊、直角邊（）：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.4.角平分線：⑴畫法：⑵性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.⑶性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.（三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊距離相等）【知識點(diǎn)3】軸對稱1.基本概念：⑴軸對稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形.⑵兩個(gè)圖形成軸對稱：把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱.⑶線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.⑷等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.⑸等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.2.基本性質(zhì)：⑴對稱的性質(zhì)：①不管是軸對稱圖形還是兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，對稱軸都是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.②對稱的圖形都全等.⑵線段垂直平分線的性質(zhì)：①線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.②與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.⑷等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形兩腰相等.②等腰三角形兩底角相等（等邊對等角）.③等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線，底邊上的高相互重合.④等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一（1條）.⑸等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形三邊都相等.②等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，都等于60°③等邊三角形每條邊上都存在三線合一.④等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一（3條）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定： ①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.②如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（等角對等邊）.⑵等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形.②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.4.基本方法：⑴做已知直線的垂線：⑵做已知線段的垂直平分線：⑶作對稱軸：連接兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)，作所連線段的垂直平分線.⑷作已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形：⑸在直線上做一點(diǎn)，使它到該直線同側(cè)的兩個(gè)已知點(diǎn)的距離之和最短.【考點(diǎn)1靈活運(yùn)用三角形三邊關(guān)系】【例1】（2019秋?洛龍區(qū)校級期中）已知△ABC的三邊長為a，b，c，化簡|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的結(jié)果是（）A．2b﹣2c B．﹣2b C．2a+2b D．2a【變式1-1】（2019秋?濉溪縣期中）設(shè)三角形三邊之長分別為3，8，1﹣2a，則a的取值范圍為（）A．﹣6＜a＜﹣3 B．﹣5＜a＜﹣2 C．﹣2＜a＜5 D．a(chǎn)＜﹣5或a＞2【變式1-2】（2019秋?寧都縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，則BC邊上的中線AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜8 B．0＜AD＜8 C．1＜AD＜4 D．3＜AD＜5【變式1-3】（2019?防城港期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長為20cm，則AB邊的取值范圍是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm【考點(diǎn)2角平分線與多邊形內(nèi)角和】【例2】（2019春?沛縣期中）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝α，DP，CP分別平分∠EDC，∠BCD，則∠P的度數(shù)是（）A．90°+α B．﹣90° C． D．540°【變式2-1】（2019春?西湖區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P，且∠D+∠C＝210°，則∠P＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°【變式2-2】（2019秋?香洲區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點(diǎn)P，則∠P＝（）A．90°﹣α B．α C．90°+α D．360°﹣α【變式2-3】（2018秋?遵義期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠BCD的平分線的交點(diǎn)E恰好在AD邊上，則∠BEC＝（）A．∠A+∠D﹣45° B．（∠A+∠D）+45° C．180°﹣（∠A+∠D） D．∠A+∠D【考點(diǎn)3多邊形內(nèi)角和與外角和】【例3】（2019秋?岳池縣期中）一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于140°，那么從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)是（）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條【變式3-1】（2019春?內(nèi)江期中）馬小虎在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算了2個(gè)內(nèi)角，其和等于830°，則該多邊形的邊數(shù)是（）A．7 B．8 C．7或8 D．無法確定【變式3-2】（2019春?諸城市期中）過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作7條對角線，則此多邊形的內(nèi)角和是外角和的（）A．4倍 B．5倍 C．6倍 D．3倍【變式3-3】（2019?涼山州期中）一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【考點(diǎn)4三角形全等的條件判斷】【例4】（2018秋?利津縣期中）如圖，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的對數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式4-1】（2018秋?思明區(qū)校級期中）如圖，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列條件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式4-2】（2018秋?東臺市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．AB＝5，BC＝6，AC＝13 C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【變式4-3】（2018秋?東臺市期中）如圖，給出下列四組條件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【考點(diǎn)5等腰三角形中的分類討論思想】【例5】（2018春?鄄城縣期中）等腰三角形的周長為15cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的腰長為（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．8cm【變式5-1】（2018春?金水區(qū)校級期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為40°，則此等腰三角形的頂角是（）A．50° B．130° C．50°或140° D．50°或130°【變式5-2】（2019秋?綏棱縣期中）已知一個(gè)等腰三角形底邊的長為5cm，一腰上的中線把其周長分成的兩部分的差為3cm，則腰長為（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．10cm【變式5-3】（2018秋?沙依巴克區(qū)校級期中）等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于（）A．30° B．30°或150° C．120°或150° D．30°或120°或150°【考點(diǎn)6三種雙角平分線應(yīng)用】【例6】（2018春?翠屏區(qū)校級期中）已知△ABC，下列說法正確的是（只填序號）．①如圖（1），若點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°+∠A；②如圖（2），若點(diǎn)P是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°﹣∠A；③如圖（3），若點(diǎn)P是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝∠A．【變式6-1】（2019秋?新洲區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC＝度．【變式6-2】（2019秋?高密市期中）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∠A1BD的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，若∠A＝60°，則∠A2的度數(shù)為．【變式6-3】（2018秋?江漢區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC與△ABC的外角平分線AE所在的直線交于點(diǎn)F，則∠F＝．【考點(diǎn)7線段垂直平分線的應(yīng)用】【例7】（2018春?葉縣期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC為鈍角，BC＝6，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E，連接AD、AE，那么△ADE的周長為．【變式7-1】（2018秋?江都區(qū)期中）如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，則∠MCN的度數(shù)為．【變式7-2】（2019秋?新鄉(xiāng)期中）如圖，在△DAE中，∠DAE＝30°，線段AE，AD的中垂線分別交直線DE于B和C兩點(diǎn)，則∠BAC的大小是．【變式7-3】（2018秋?老河口市期中）如圖，△ABC的邊AB，AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，連接PB，PC，若∠A＝70°，則∠BPC的度數(shù)是．【考點(diǎn)8利用軸對稱變換求最值】【例8】（2017秋?襄州區(qū)期中）如圖，∠AOB＝30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP＝12，在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R，若△PQR周長最小，則最小周長是【變式8-1】（2018秋?洛龍區(qū)校級期中）如圖，等腰三角形ABC的面積是16，且底邊BC長為4，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點(diǎn)EF，若點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CMD周長的最小值是．【變式8-2】（2019秋?北塘區(qū)期中）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，使得△AMN的周長最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為．【變式8-3】（2019?黃岡期中）如圖，AC，BD在AB的同側(cè)，AC＝2，BD＝8，AB＝8，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，若∠CMD＝120°，則CD的最大值是．【考點(diǎn)9全等三角形的判定與性質(zhì)】【例9】（2019秋?吉縣期中）如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延長線上截取CG＝AB，連接AD、AG．（1）求證：AD＝AG；（2）AD與AG的位置關(guān)系如何，請說明理由．【變式9-1】（2019?內(nèi)江期中）如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交CD于點(diǎn)F，BD分別交CE、AE于點(diǎn)G、H．試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由．【變式9-2】（2019秋?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE．【變式9-3】（2019秋?吳興區(qū)校級期中）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．【考點(diǎn)10靈活運(yùn)用30°直角三角形】【例10】（2018秋?天臺縣期中）如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC，若AN＝1．（1）求∠B的度數(shù)；（2）求CN的長．【變式10-1】（2019秋?江津區(qū)校級期中）已知：如圖△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm．求BC的長．【變式10-2】（2019秋?重慶校級期中）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，且CF＝3．求BF．【變式10-3】（2018春?槐蔭區(qū)期中）如圖所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F．（1）求∠F的大小；（2）若CD＝3，求DF的長．【考點(diǎn)11靈活運(yùn)用“三線合一”】【例11】（2018秋?思明區(qū)校級期中）如圖，已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上的一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：M是BE的中點(diǎn)．【變式11-1】（2018秋?湖里區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA＝EC，求證：EB⊥AB．【變式11-2】（2019春?廣饒縣期中）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．（1）如圖，若E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE＝AF．求證：△DEF為等腰直角三角形；（2）若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．【變式11-3】（2018秋?硚口區(qū)期中）如圖，在等邊△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，AD＝CE，DE交AC于點(diǎn)F．（1）求證：DF＝EF；（2）過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，求．【考點(diǎn)12復(fù)雜的尺規(guī)作圖】【例12】（2019秋?羅平縣期中）作圖題，求作一點(diǎn)P，使PM＝PN，且到∠AOB的兩邊距離也相等．【變式12-1】（2019春?東陽市期中）如圖，已知△ABC．（1）用尺規(guī)作△ABC的角平分線BD（保留痕跡，不寫作法）；（2）畫BC邊上的高AE；（3）畫AB邊上中線CF；（4）在AC邊上找點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離相等．【變式12-2】（2019春?雁塔區(qū)校級期中）請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡：已知：如圖，∠ABC，射線BC上一點(diǎn)D．求作：等腰△PBD，使線段BD為等腰△PBD的底邊，點(diǎn)P在∠ABC內(nèi)部，點(diǎn)P到∠ABC兩邊的距離相等．【變式12-3】（2018?惠山區(qū)二模）如圖，已知△ABC（AC＜AB＜BC），請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：（1）在邊BC上確定一點(diǎn)P，使得PA+PC＝BC；（2）作出一個(gè)△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周長等于邊BC的長．【考點(diǎn)13三角形內(nèi)角和與等腰三角形】【例13】（2018秋?杭州期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，求∠EFC的度數(shù)．【變式13-1】（2019秋?沛縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA＝115°時(shí)，∠BAD＝°，∠EDC＝°，∠DEC＝°；點(diǎn)D從B向C的運(yùn)動(dòng)過程中，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE，請說明理由．【變式13-2】（2018秋?泗陽縣期中）已知，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在BC的延長線上，且BD＝BA，CE＝CA．（1）如圖1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，試求∠DAE的度數(shù)；（2）若∠BAC＝90°，∠B＝60°，則∠DAE的度數(shù)為（直接寫出結(jié)果）；（3）如圖2，若∠BAC＞90°，其余條件不變，探究∠DAE與∠BAC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【變式13-3】（2019秋?越秀區(qū)期中）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在底邊BC上，AE＝AD，連結(jié)DE．（1）如圖①，已知∠BAC＝90°，∠BAD＝60°，求∠CDE的度數(shù)．（2）如圖①，已知∠BAC＝90°，當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖②，若∠BAC≠90°，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)14等腰三角形中的新定義問題】【例14】（2019秋?椒江區(qū)校級期中）定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的“三階等腰線”．（1）請你在圖1，圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為36°的等腰三角形的“三階等腰線”，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)．（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）．（2）如圖3，△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的“三階等腰線”，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝BD，DE＝CE，設(shè)∠C＝x°，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值．【變式14-1】（2019春?市北區(qū)期中）（本題畫圖時(shí)，直接用直尺畫出相關(guān)線段即可，不需尺規(guī)作圖，直接標(biāo)注等腰三角形頂角度數(shù)即可，不需寫出求解過程）把一張頂角為36°的等腰三角形紙片折疊兩次，得到3個(gè)等腰三角形，你能辦到嗎？圖1是其中的一種方法（虛線表示折痕）定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線（1）請你在圖1后面用另一種不同的方法畫出頂角為36°的等腰三角形的三分線①標(biāo)注折痕（折痕用虛線表示）②標(biāo)注得到的每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形形成3對全等三角形，則視為同一種）（2）請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)（不必標(biāo)注折痕，若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）【變式14-2】（2019春?順德區(qū)期中）如果一個(gè)三角形能被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形，那么稱這條線段為這個(gè)三角形的特異線，稱這個(gè)三角形為特異三角形．（1）如圖1，△ABC是等腰銳角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分線BD交AC于點(diǎn)D，且BD是△ABC的一條特異線，則∠BDC＝度；（2）如圖2，△ABC中，∠B＝2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．求證：AE是△ABC的一條特異線；（3）如圖3，已知△ABC是特異三角形，且∠A＝30°，∠B為鈍角，求出所有可能的∠B的度數(shù)（如有需要，可在答題卡相應(yīng)位置另外畫圖）．【變式14-3】（2018秋?濱湖區(qū)期中）【定義】數(shù)學(xué)課上，陳老師對我們說，如果1條線段將一個(gè)三角形分成2個(gè)等腰三角形，那么這1條線段就稱為這個(gè)三角形的“好線”，如果2條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，那么這2條線段就稱為這個(gè)三角形的“好好線”．【理解】如圖①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，請你在這個(gè)三角形中畫出它的“好線”，并標(biāo)出等腰三角形頂角的度數(shù)．如圖②，已知△ABC是一個(gè)頂角為45°的等腰三角形，請你在這個(gè)三角形中畫出它的“好好線”，并標(biāo)出所分得的等腰三角形底角的度數(shù)．【應(yīng)用】（1）在△ABC中，已知一個(gè)內(nèi)角為42°，若它只有“好線”，請你寫出這個(gè)三角形最大內(nèi)角的所有可能值；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分別是△ABC的“好好線”，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AB邊上，且AD＝DC，BE＝DE，請你根據(jù)題意畫出示意圖，并求∠B的度數(shù)．【考點(diǎn)15翻折變換中的角度問題】【例15】（2019春?東臺市校級期中）△ABC，直線DE交AB于D，交AC于E，將△ADE沿DE折疊，使A落在同一平面上的A′處，∠A′的兩邊與BD、CE的夾角分別記為∠1，∠2．（1）如圖①，當(dāng)A′落在四邊形BDEC內(nèi)部時(shí)，探索∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖②，當(dāng)A′落在AC右側(cè)時(shí)，探索∠A與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式15-1】（2019春?淮陰區(qū)期中）如圖（1），△ABC是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上的兩點(diǎn)，研究（1）：如果沿直線DE折疊，則∠BDA′與∠A的關(guān)系是．研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的關(guān)系，并說明理由．研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的關(guān)系，并說明理由．【變式15-2】（2019秋?李滄區(qū)期中）圖形在折疊過程中會形成相等的邊和相等的角，下面是同學(xué)們在數(shù)學(xué)課上所做的三角形、四邊形折疊實(shí)驗(yàn)，請根據(jù)實(shí)驗(yàn)過程解決問題：問題（一）如圖①，一張三角形ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)．研究（1）：如果沿直線DE折疊，使A點(diǎn)落在CE上，則∠BDA′和∠A的數(shù)量關(guān)系是；研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的數(shù)量關(guān)系是；研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．問題（二）研究（4）：將問題（一）推廣，如圖④，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A、B落在四邊形EFCD的內(nèi)部時(shí)，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是．（直接寫出結(jié)論）【變式15-3】（2019春?廣陵區(qū)校級期中）發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，請你判斷∠1+∠2與∠A有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論，不必說明理由思考（2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度數(shù)；拓展（3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，BF、CG交于點(diǎn)H，把△ABC折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)16三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題】【例16】（2019秋?全椒縣期中）已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝60°，DE、DF分別交AC、BC于E、F點(diǎn)．（1）如圖1，若EF∥AB．求證：DE＝DF．（2）如圖2，若EF與AB不平行．則問題（1）的結(jié)論是否成立？說明理由．【變式16-1】（2018秋?開州區(qū)期中）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為射線CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，過點(diǎn)E作EF∥BC，交直線AC于點(diǎn)F，連接CE．（1）如圖①，若∠BAC＝60°，則按邊分類：△CEF是三角形；（2）若∠BAC＜60°．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上移動(dòng)時(shí)，判斷△CEF的形狀并證明；②當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上移動(dòng)時(shí)，△CEF是什么三角形？請?jiān)趫D③中畫出相應(yīng)的圖形并直接寫出結(jié)論（不必證明）．【變式16-2】（2018秋?十堰期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一條邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上移動(dòng)時(shí)，若∠BAC＝25°，則∠DCE＝．（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．①當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與B，C兩點(diǎn)重合）移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．【變式16-3】（2019秋?洪山區(qū)期中）（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：DE＝BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：DE＝BD+CE（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF為等邊三角形專題06八年級數(shù)學(xué)上冊期中考試重難點(diǎn)題型【舉一反三】【人教版】【知識點(diǎn)1】三角形1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊.3.高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高.鈍角三角形三條高的交點(diǎn)在三角形外,直角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形上,銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)，三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心4.中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.（三條中線的交點(diǎn)叫重心）5.角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.（三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊距離相等，三條角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心6.三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性.（例如自行車的三角形車架利用了三角形具有穩(wěn)定性）7.多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.8.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.9.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.10.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.11.正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.12.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面，13.公式與性質(zhì)：⑴三角形的內(nèi)角和：三角形的內(nèi)角和為180°⑵三角形外角的性質(zhì)：性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.⑶多邊形內(nèi)角和公式：邊形的內(nèi)角和等于·180°⑷多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°.⑸多邊形對角線的條數(shù)：①從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引條對角線，把多邊形分成個(gè)三角形.②邊形共有條對角線.【知識點(diǎn)2】全等三角形1.基本定義：⑴全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.⑵全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.⑶對應(yīng)頂點(diǎn)：全等三角形中互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn).⑷對應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對應(yīng)邊.⑸對應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對應(yīng)角.2.基本性質(zhì)：⑴三角形的穩(wěn)定性：三邊的長度確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小就全確定，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.⑵全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴邊邊邊（）：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.⑵邊角邊（）：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.⑶角邊角（）：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.⑷角角邊（）：兩角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.⑸斜邊、直角邊（）：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.4.角平分線：⑴畫法：⑵性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.⑶性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.（三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊距離相等）【知識點(diǎn)3】軸對稱1.基本概念：⑴軸對稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形.⑵兩個(gè)圖形成軸對稱：把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱.⑶線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.⑷等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.⑸等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.2.基本性質(zhì)：⑴對稱的性質(zhì)：①不管是軸對稱圖形還是兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，對稱軸都是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.②對稱的圖形都全等.⑵線段垂直平分線的性質(zhì)：①線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.②與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.⑷等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形兩腰相等.②等腰三角形兩底角相等（等邊對等角）.③等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線，底邊上的高相互重合.④等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一（1條）.⑸等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形三邊都相等.②等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，都等于60°③等邊三角形每條邊上都存在三線合一.④等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一（3條）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定： ①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.②如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（等角對等邊）.⑵等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形.②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.4.基本方法：⑴做已知直線的垂線：⑵做已知線段的垂直平分線：⑶作對稱軸：連接兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)，作所連線段的垂直平分線.⑷作已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形：⑸在直線上做一點(diǎn)，使它到該直線同側(cè)的兩個(gè)已知點(diǎn)的距離之和最短.【考點(diǎn)1靈活運(yùn)用三角形三邊關(guān)系】【例1】已知△ABC的三邊長為a，b，c，化簡|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的結(jié)果是（）A．2b﹣2c B．﹣2b C．2a+2b D．2a【分析】先根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷出a+b﹣c與b﹣a﹣c的符號，再把要求的式子進(jìn)行化簡，即可得出答案．【答案】解：∵△ABC的三邊長分別是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b﹣c）；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，用到的知識點(diǎn)是三角形的三邊關(guān)系、絕對值、整式的加減，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a+b﹣c與，b﹣a﹣c的符號．【變式1-1】設(shè)三角形三邊之長分別為3，8，1﹣2a，則a的取值范圍為（）A．﹣6＜a＜﹣3 B．﹣5＜a＜﹣2 C．﹣2＜a＜5 D．a(chǎn)＜﹣5或a＞2【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊和兩邊之差小于第三邊列出不等式組求出其解即可．【答案】解：由題意，得8﹣3＜1﹣2a＜8+3，即5＜1﹣2a＜11，解得：﹣5＜a＜﹣2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三角形三邊關(guān)系建立不等式組解實(shí)際問題的運(yùn)用，不等式組的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系建立不等式組是關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，則BC邊上的中線AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜8 B．0＜AD＜8 C．1＜AD＜4 D．3＜AD＜5【分析】先延長AD到E，且AD＝DE，并連接BE，由于∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，利用SAS易證△ADC≌△EDB，從而可得AC＝BE，在△ABE中，再利用三角形三邊的關(guān)系，可得2＜AE＜8，從而易求1＜AD＜4．【答案】解：延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE＝AC＝3，在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜2AD＜5+3，∴1＜AD＜4，∴l(xiāng)的取值范圍是1＜l＜4，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．【變式1-3】在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長為20cm，則AB邊的取值范圍是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm【分析】設(shè)AB＝AC＝x，則BC＝20﹣2x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【答案】解：∵在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長為20cm，∴設(shè)AB＝AC＝xcm，則BC＝（20﹣2x）cm，∴，解得5cm＜x＜10cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、解一元一次不等式組，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2角平分線與多邊形內(nèi)角和】【例2】如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝α，DP，CP分別平分∠EDC，∠BCD，則∠P的度數(shù)是（）A．90°+α B．﹣90° C． D．540°【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝α，可求∠BCD+∠CDE的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC與∠PCD的角度和，進(jìn)一步求得∠P的度數(shù)．【答案】解：∵五邊形的內(nèi)角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝α，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣α，∵∠BCD、∠CDE的平分線在五邊形內(nèi)相交于點(diǎn)O，∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝270°﹣α，∴∠P＝180°﹣（270°﹣α）＝α﹣90°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，角平分線的定義，熟記公式是解題的關(guān)鍵．注意整體思想的運(yùn)用．【變式2-1】如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P，且∠D+∠C＝210°，則∠P＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°【分析】利用四邊形內(nèi)角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義求得∠PAB+∠ABP的度數(shù)，所以根據(jù)△ABP的內(nèi)角和定理求得∠P的度數(shù)即可．【答案】解：如圖，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)P，∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、多邊形的內(nèi)角與外角．熟知“四邊形的內(nèi)角和是360°”是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點(diǎn)P，則∠P＝（）A．90°﹣α B．α C．90°+α D．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理求解∠P的度數(shù)．【答案】解：∵四邊形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣α，∵PB和PC分別為∠ABC、∠BCD的平分線，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣α）＝180°﹣α，則∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（180°﹣α）＝α．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角以及三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是先求出∠ABC+∠BCD的度數(shù)．【變式2-3】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠BCD的平分線的交點(diǎn)E恰好在AD邊上，則∠BEC＝（）A．∠A+∠D﹣45° B．（∠A+∠D）+45° C．180°﹣（∠A+∠D） D．∠A+∠D【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和角平分線的定義解答即可．【答案】解：∵四邊形的內(nèi)角和＝360°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D），∵∠ABC與∠BCD的平分線的交點(diǎn)E恰好在AD邊上，∴2∠EBC＝∠ABC，2∠ECB＝∠BCD，∴∠EBC+∠ECB＝，∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義及四邊形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和角平分線的定義解答．【考點(diǎn)3多邊形內(nèi)角和與外角和】【例3】一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于140°，那么從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)是（）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條【分析】先求出多邊形的邊數(shù)，再求從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)即可．【答案】解：∵多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于140°，∴每個(gè)外角是180°﹣140°＝40°，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是360°÷40°＝9，∴從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)是6條．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和及對角線的知識點(diǎn)，找出它們之間的關(guān)系是本題解題關(guān)鍵．【變式3-1】馬小虎在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算了2個(gè)內(nèi)角，其和等于830°，則該多邊形的邊數(shù)是（）A．7 B．8 C．7或8 D．無法確定【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）?180°，即為180°的（n﹣2）倍，多邊形的內(nèi)角一定大于0度，小于180度，因而多邊形中，除去2個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角和與180度的商加上2，以后所得的數(shù)值，比這個(gè)數(shù)值大1或2的整數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【答案】解：設(shè)少加的2個(gè)內(nèi)角和為x度，邊數(shù)為n．則（n﹣2）×180＝830+x，即（n﹣2）×180＝4×180+110+x，因此x＝70，n＝7或x＝250，n＝8．故該多邊形的邊數(shù)是7或8．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，正確理解多邊形內(nèi)角的大小的特點(diǎn)，以及多邊形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-2】過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作7條對角線，則此多邊形的內(nèi)角和是外角和的（）A．4倍 B．5倍 C．6倍 D．3倍【分析】從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)可作7條對角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是10，n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，代入公式就可以求出內(nèi)角和，多邊形的外角和為360°，相除即可．【答案】解：∵過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)共有7條對角線，故該多邊形邊數(shù)為10，∴（10﹣2）?180°＝1440°，∴這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1440°，又∵多邊形的外角和為360°，∴1440÷360＝4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對角線、內(nèi)角和公式．外角和公式，是需要熟記的內(nèi)容，比較簡單．【變式3-3】一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【分析】首先求得內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù)．【答案】解：設(shè)內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）?180°＝1080°，解得：n＝8．則原多邊形的邊數(shù)為7或8或9．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變．【考點(diǎn)4三角形全等的條件判斷】【例4】如圖，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的對數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【答案】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴∠BAC＝∠ACD，∠DAC＝∠ACB．在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AD＝BC，AB＝CD．在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CE+EF，∴AF＝CE，在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SSS），即3對全等三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確根據(jù)定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．【變式4-1】如圖，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列條件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)已有的條件∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，利用全等三角形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．【答案】解：∵∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，∴①加上條件AB＝AE可利用SAS定理證明△ABC≌△AED；②加上BC＝ED不能證明△ABC≌△AED；③加上∠C＝∠D可利用ASA證明△ABC≌△AED；④加上∠B＝∠E可利用AAS證明△ABC≌△AED；⑤加上∠1＝∠2不能證明△ABC≌△AED；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．【變式4-2】根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．AB＝5，BC＝6，AC＝13 C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法可知只有C能畫出唯一三角形．【答案】解：A、已知AB、BC和BC的對角，不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，∴不能畫出△ABC；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、已知兩角和夾邊，能畫出唯一△ABC，故本選項(xiàng)正確；D、根據(jù)∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】如圖，給出下列四組條件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的條件共有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【分析】根據(jù)全等三角形判定的條件，可得答案．【答案】解：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)5等腰三角形中的分類討論思想】【例5】等腰三角形的周長為15cm，其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的腰長為（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．8cm【分析】此題要分情況考慮：3cm是底或3cm是腰．根據(jù)周長求得另一邊，再進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，判斷是否能夠組成三角形．【答案】解：當(dāng)3cm是底時(shí)，則腰長是（15﹣3）÷2＝6（cm），此時(shí)能夠組成三角形；當(dāng)3cm是腰時(shí)，則底是15﹣3×2＝9（cm），此時(shí)3+3＜9，不能組成三角形，應(yīng)舍去．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為40°，則此等腰三角形的頂角是（）A．50° B．130° C．50°或140° D．50°或130°【分析】由題意可知其為銳角等腰三角形或鈍角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以應(yīng)分開來討論．【答案】解：當(dāng)為銳角時(shí)，如圖：∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°，當(dāng)為鈍角時(shí)，如圖：∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，∴頂角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】已知一個(gè)等腰三角形底邊的長為5cm，一腰上的中線把其周長分成的兩部分的差為3cm，則腰長為（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．10cm【分析】作出圖形，根據(jù)三角形的中線的定義可得AD＝CD，然后求出兩三角形的周長的差等于腰長與底邊的差，然后分情況討論求解即可．【答案】解：如圖，∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∴兩三角形的周長的差等于腰長與底邊的差，∵BC＝5cm，∴AB﹣5＝3或5﹣AB＝3，解得AB＝8或AB＝2，若AB＝8，則三角形的三邊分別為8cm、8cm、5cm，能組成三角形，若AB＝2，則三角形的三邊分別為2cm、2cm、5cm，∵2+2＝4＜5，∴不能組成三角形，綜上所述，三角形的腰長為8cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線，難點(diǎn)在于分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．【變式5-3】等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于（）A．30° B．30°或150° C．120°或150° D．30°或120°或150°【分析】題中沒有指明等腰三角形一腰上的高是哪邊長的一半，故應(yīng)該分三種情況進(jìn)行分析，從而不難求解．【答案】解：①如圖，∵∠ADB＝90°，AD＝AB，∴∠B＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．②如圖，∵∠ADB＝90°，AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝15°，∠ACB＝180°﹣30°＝150°．③如圖，∵∠ADB＝90°，AD＝BC，∴∠B＝30°，∵AB＝BC，∴∠CAB＝∠C＝75°，∴∠B＝30°．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì)的綜合運(yùn)用．【考點(diǎn)6三種雙角平分線應(yīng)用】【例6】已知△ABC，下列說法正確的是（只填序號）．①如圖（1），若點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°+∠A；②如圖（2），若點(diǎn)P是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°﹣∠A；③如圖（3），若點(diǎn)P是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝∠A．【分析】①正確．三角形的內(nèi)角和為180°，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），從而得證；②正確．根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得∠BCP＝（∠A+∠ABC）、∠PBC＝（∠A+∠ACB）；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠P＝90°﹣∠A．③正確．根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，由外角的性質(zhì)可得∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，等量代換求出結(jié)果；【答案】解：①正確．∵P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣90°+∠A＝90°+∠A；②正確．∵BP、CP為△ABC兩外角的平分線，∴∠BCP＝∠BCE＝（∠A+∠ABC），∠PBC＝∠CBF＝（∠A+∠ACB），由三角形內(nèi)角和定理得：∠BPC＝180°﹣∠BCP﹣∠PBC＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣（∠A+180°）＝90°﹣∠A．③正確．∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，∠P＝∠A；故答案為①②③．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件．【變式6-1】如圖，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC＝度．【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，再根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC＝∠ABC，∠OCE＝∠ACE，然后整理可得∠D＝∠A．【答案】解：由三角形的外角性質(zhì)，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，∵∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCE＝∠ACE，∴（∠BAC+∠ABC）＝∠BOC+∠ABC，∴∠BOC＝∠A，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝35°，故答案為：35°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，要注意整體思想的利用．【變式6-2】如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∠A1BD的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，若∠A＝60°，則∠A2的度數(shù)為．【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1．【答案】解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，∴∠A1+∠A1BC＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠A1BC，∴∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1＝××60°＝15°，故答案為15°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】如圖，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC與△ABC的外角平分線AE所在的直線交于點(diǎn)F，則∠F＝．【分析】根據(jù)角平分線的定義的定義可知：∠ABF＝∠ABC，∠EAB＝∠DAB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：∠EAB﹣∠ABF＝52°，進(jìn)而得到∠F的度數(shù)．【答案】解：∵BF平分∠ABC，AE平分∠DAB，∴∠ABF＝∠ABC，∠EAB＝∠DAB，∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝104°，∴∠F＝∠EAB﹣∠ABF＝（∠DAB﹣∠ABC）＝52°，故答案為：52°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7線段垂直平分線的應(yīng)用】【例7】如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC為鈍角，BC＝6，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E，連接AD、AE，那么△ADE的周長為．【分析】根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得AD＝BD，AE＝EC，所以△ADE周長＝BC．【答案】解：∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，∴L△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝6．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得AD＝BD，AE＝EC．【變式7-1】如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，則∠MCN的度數(shù)為．【分析】據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠B；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得∠ACM+∠BCN的度數(shù)，然后求解．【答案】解：∵∠ACB＝118°，∴∠A+∠B＝62°．∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠ACM+∠BCN＝62°．∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝118°﹣62°＝56°．故答案為：56°．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，滲透了整體求值的思想方法，難度不大．【變式7-2】如圖，在△DAE中，∠DAE＝30°，線段AE，AD的中垂線分別交直線DE于B和C兩點(diǎn)，則∠BAC的大小是．【分析】由已知條件，利用了中垂線的性質(zhì)得到線段相等及角相等，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解．【答案】解：如圖，∵B是AE的中垂線上的點(diǎn)，C是AD的中垂線上的點(diǎn)，∴AB＝BE，AC＝CD，∴∠AED＝∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠CDA＝∠CAD＝∠DAE+∠CAE，∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE＝3∠DAE+∠BAD+∠EAC＝90°+∠BAD+∠EAC＝180°，∴∠BAD+∠EAC＝90°，∴∠BAC＝∠BAD+∠EAC+∠DAE＝90°+30°＝120°．故答案為：120°．【點(diǎn)睛】本題考查了中垂線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的判定與性質(zhì)；確定各角的關(guān)系利用內(nèi)角和列式求解是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式7-3】如圖，△ABC的邊AB，AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，連接PB，PC，若∠A＝70°，則∠BPC的度數(shù)是．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到PA＝PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAB＝∠PBA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算．【答案】解：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵PE是AB的垂直平分線，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，同理，∠PAC＝∠PCA，∴∠PBA+∠PCA＝∠PAB+∠PAC＝∠A＝70°，∴∠PBC+∠PCB＝110°﹣70°＝40°，∴∠BPC＝180°﹣40°＝140°，故答案為：140°．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8利用軸對稱變換求最值】【例8】如圖，∠AOB＝30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP＝12，在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R，若△PQR周長最小，則最小周長是【分析】先畫出圖形，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME＝PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF＝PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出△PQR＝EF，再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解．【答案】解：設(shè)∠POA＝θ，則∠POB＝30°﹣θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME＝PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF＝PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分線，∴EQ＝QP；同理，OB是PF的垂直平分線，∴FR＝RP，∴△PQR的周長＝EF．∵OE＝OF＝OP＝12，且∠EOF＝∠EOP+∠POF＝2θ+2（30°﹣θ）＝60°，∴△EOF是正三角形，∴EF＝12，即在保持OP＝12的條件下△PQR的最小周長為12．故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查的是最短距離問題，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出各點(diǎn)的對稱點(diǎn)，即把求三角形周長的問題轉(zhuǎn)化為求線段的長解答．【變式8-1】如圖，等腰三角形ABC的面積是16，且底邊BC長為4，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點(diǎn)EF，若點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CMD周長的最小值是．【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【答案】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短為：（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故答案為：10【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題、等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)定理，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-2】如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，使得△AMN的周長最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為．【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝44°，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【答案】解：作A關(guān)于BC和ED的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交ED于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．作DA延長線AH，∵∠BAE＝136°，∴∠HAA′＝44°，∴∠A′+∠A″＝∠HAA′＝44°，∵∠A′＝∠MAA′，∠NAE＝∠A″，且∠A′+∠MAA′＝∠AMN，∠NAE+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″＝2（∠A′+∠A″）＝2×44°＝88°，故答案為：88°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．【變式8-3】如圖，AC，BD在AB的同側(cè)，AC＝2，BD＝8，AB＝8，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，若∠CMD＝120°，則CD的最大值是．【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于DM的對稱點(diǎn)B′，證明△A′MB′為等邊三角形，即可解決問題．【答案】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CM的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于DM的對稱點(diǎn)B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵M(jìn)A′＝MB′，∴△A′MB′為等邊三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，∴CD的最大值為14，故答案為14．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問題，屬于中考?？碱}型．【考點(diǎn)9全等三角形的判定與性質(zhì)】【例9】如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延長線上截取CG＝AB，連接AD、AG．（1）求證：AD＝AG；（2）AD與AG的位置關(guān)系如何，請說明理由．【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定義得∠HFB＝∠HEC，由得對頂角相等得∠BHF＝∠CHE，所以∠ABD＝∠ACG．再由AB＝CG，BD＝AC，利用SAS可得出三角形ABD與三角形ACG全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出AD＝AG，（2）利用全等得出∠ADB＝∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB＝∠AED+∠DAE，又∠GAC＝∠GAD+∠DAE，利用等量代換可得出∠AED＝∠GAD＝90°，即AG與AD垂直．【答案】（1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠HFB＝∠HEC＝90°，又∵∠BHF＝∠CHE，∴∠ABD＝∠ACG，在△ABD和△GCA中，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD＝GA（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；（2）位置關(guān)系是AD⊥GA，理由：∵△ABD≌△GCA，∴∠ADB＝∠GAC，又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，∴∠AED＝∠GAD＝90°，∴AD⊥GA．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式9-1】如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交CD于點(diǎn)F，BD分別交CE、AE于點(diǎn)G、H．試猜測線段AE和BD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由．【分析】由于條件可知CD＝AC，BC＝CE，且可求得∠ACE＝∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE＝BD，∠CAE＝∠CDB；又因?yàn)閷斀窍嗟燃础螦FC＝∠DFH，所以∠DHF＝∠ACD＝90°，即AE⊥BD．【答案】解：猜測AE＝BD，AE⊥BD；理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB，在△ACE與△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB；∵∠AFC＝∠DFH，∠FAC+∠AFC＝90°，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD．故線段AE和BD的數(shù)量相等，位置是垂直關(guān)系．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)及對頂角的性質(zhì)等知識點(diǎn)．【變式9-2】如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F，AF＝EF，求證：AC＝BE．【分析】延長AD至G，使DG＝AD，連接BG，可證明△BDG≌△CDA（SAS），則BG＝AC，∠CAD＝∠G，根據(jù)AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可證出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE．【答案】證明：延長AD至G，使DG＝AD，連接BG，在△BDG和△CDA中，∵，Ⅳ∴△BDG≌△CDA（SAS），∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，又∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF，又∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE，∴AC＝BE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝DAE＝90°，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．【分析】延長BD與EC交于點(diǎn)F，可以證明△ACE≌△ADB，可得BD＝CE，且∠BFE＝90°，即可解題．【答案】解：延長BD與EC交于點(diǎn)F，在△ACE和△ADB中，，∴△ACE≌△ADB（SAS），∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB，∵∠ADB+∠ABD＝90°∴∠ABD+∠AEC＝90°∴∠BFE＝90°，∴BD⊥CE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ACE≌△ADB是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)10靈活運(yùn)用30°直角三角形】【例10】如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC，若AN＝1．（1）求∠B的度數(shù)；（2）求CN的長．【分析】（1）根據(jù)題意，可以求得∠B的度數(shù)；（2）根據(jù)解直角三角形的知識可以求得NC的長．【答案】解：（1）∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，∴∠ACM＝∠BCM，∠AMN＝∠CMN，又∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN＝∠B，∠CMN＝∠BCM，∴∠B＝∠BCM＝∠ACM