2025屆新高三數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)平面向量及其應(yīng)用

2025屆新高三數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)

平面向量及其應(yīng)用

010203目錄CONTENTS思維導(dǎo)圖知識梳理典型例題01思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖02知識梳理知識梳理1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有

的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__________.(2)零向量：長度為

的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于

長度的向量.(4)平行向量：方向相同或

的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行.(5)相等向量：長度相等且方向

的向量.(6)相反向量：長度相等且方向

的向量.方向長度(或模)01個單位相反相同相反知識梳理向量運算法則(或幾何意義)運算律加法

交換律：a＋b＝_______；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝_________2.向量的線性運算b＋aa＋(b＋c)知識梳理減法

a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λ

a|＝_______，當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ＝0時，λa＝___λ(μ

a)＝_______；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb知識梳理3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使得________.b＝λa4.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個

向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，

一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝____________.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個_______.5.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個

的向量，叫做把向量作正交分解.不共線有且只有基底互相垂直λ1e1＋λ2e2知識梳理6.平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

，|a|＝_________.(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

＝

，||＝___________________.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)知識梳理7.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?

.x1y2－x2y1＝08.向量的夾角已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作

則________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.9.平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量__________叫做向量a與b的數(shù)量積，記作_____.∠AOB|a||b|cosθa·b知識梳理投影投影向量|a|cosθ

e知識梳理11.向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝_________.a·c＋b·c知識梳理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容

＝

＝

＝2Ra2＝

；b2＝

；c2＝_________________12.正弦定理與余弦定理b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC知識梳理變形(1)a＝2RsinA，b＝

，c＝

；(2)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝_____________；cosB＝____________；cosC＝____________2RsinB2RsinC知識梳理13.三角形中常用的面積公式知識梳理術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角

方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0°≤θ<360°

14.測量中的幾個有關(guān)術(shù)語知識梳理方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：

(2)南偏西α：

坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝

＝tanθ

03典型例題

題型一：向量的線性運算

題型一：向量的線性運算

題型一：向量的線性運算

題型二：向量的數(shù)量積運算、夾角、模長

題型二：向量的數(shù)量積運算、夾角、模長

題型二：向量的數(shù)量積運算、夾角、模長

題型三：向量范圍與最值問題

題型三：向量范圍與最值問題

題型三：向量范圍與最值問題

題型四：余弦定理、正弦定理

題型四：余弦定理、正弦定理

題型四：余弦定理、正弦定理

題型五：平面向量的實際應(yīng)用

題型五：平面向量的實際應(yīng)用

題型五：平面向量的實際應(yīng)用

題型六：解三角形范圍與最值問題

題型六：解三角形范圍與最值問題

題型