山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則的值為（）A.3 B.6 C.9 D.3或6〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以或，解得?經(jīng)檢驗(yàn)符合題意故選：D2.若X的概率分布列為：X01Pa0.5則等于（）A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.25〖答案〗C〖解析〗由，得，∴．故選：C．3.若函數(shù)，則（）A.0 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗，因?yàn)椋?，所以，故選：B．4.一個(gè)袋子中有個(gè)紅球和個(gè)白球，這些小球除顏色外沒有其他差異.從中不放回地抽取個(gè)球，每次只取個(gè).設(shè)事件“第一次抽到紅球”，“第二次抽到紅球”，則概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，事件“第一次抽到紅球”，“第二次抽到紅球”，則，，則．故選：A．5.某試驗(yàn)每次成功的概率為，現(xiàn)重復(fù)進(jìn)行10次該試驗(yàn)，則恰好有3次試驗(yàn)未成功的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，重復(fù)進(jìn)行10次該試驗(yàn)，恰好有3次試驗(yàn)未成功，說明7次成功，3次未成功，所以所求概率為．故選：B．6.隨機(jī)變量，已知其概率分布密度函數(shù)在處取得最大值為，則（）（附：，.）A.0.97725 B.0.84135 C.0.15865 D.0.02275〖答案〗C〖解析〗由題意，，，所以，，所以．故選：C．7.展開式中的系數(shù)是（）A.126 B.125 C.96 D.83〖答案〗B〖解析〗由題意原式中的系數(shù)；故選：B.8.已知，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，要使成立，則有，所以，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確有（）A.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種C.抽出的3件產(chǎn)品中至多有1件是不合格品的抽法有種D.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種〖答案〗ABD〖解析〗根據(jù)題意，若抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件產(chǎn)品中有2件合格品，1件不合格品，則合格品的取法有種，不合格品的取法有種，則恰好有1件是不合格品的取法有種取法；則正確，若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2種情況，①抽出的3件產(chǎn)品中有2件合格品，1件不合格品，有種取法，②抽出的3件產(chǎn)品中有1件合格品，2件不合格品，有種取法，則抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種，正確；抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品，用間接法分析：在100件產(chǎn)品中任選3件，有種取法，其中全部為合格品的取法有種，則抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種取法，正確；若抽出的3件產(chǎn)品中至多有1件是不合格品，用間接法分析：在100件產(chǎn)品中任選3件，有種取法，其中有2件為不合格品的抽法有種，則至多有1件是不合格品的抽法有有種，錯(cuò)誤；故選：．10.下列關(guān)于排列數(shù)與組合數(shù)的等式中，正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，，，所以所以，故B正確；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，，故D正確；故選：ABD11.如圖所示是的導(dǎo)數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的有（）A.在區(qū)間上是增函數(shù)B.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)C.是的極大值點(diǎn)D.是的極小值點(diǎn)〖答案〗BCD〖解析〗根據(jù)圖象知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤，故B正確；當(dāng)時(shí)，取得是極大值，是的極大值點(diǎn)，故C正確；當(dāng)時(shí)，取得極小值，是的極小值點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.12.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個(gè)不動點(diǎn).依據(jù)不動點(diǎn)理論，下列說法正確的是（）A.函數(shù)有1個(gè)不動點(diǎn)B.函數(shù)有2個(gè)不動點(diǎn)C.若定義在R上的奇函數(shù)，其圖像上存在有限個(gè)不動點(diǎn)，則不動點(diǎn)個(gè)數(shù)是奇數(shù)D.若函數(shù)在區(qū)間上存在不動點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a滿足（e為自然對數(shù)的底數(shù)）〖答案〗ACD〖解析〗對于選項(xiàng),令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即有且僅有一個(gè)“不動點(diǎn)”，故選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng),令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，即最多只有一個(gè)“不動點(diǎn)”，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，則為定義在上的奇函數(shù)，所以是的一個(gè)“不動點(diǎn)”，其它的“不動點(diǎn)”都關(guān)于原點(diǎn)對稱，其個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)，所以一定有奇數(shù)個(gè)“不動點(diǎn)”，故選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng),因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，上存在不動點(diǎn)，則在，上有解，則在，上有解，令，則，再令，則，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在，上恒成立，所以在，上單調(diào)遞增，所以，，所以實(shí)數(shù)滿足為自然對數(shù)的底數(shù)），故選項(xiàng)正確．故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13.一袋中有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任取3球，恰有兩個(gè)白球的概率是__________．〖答案〗〖解析〗一袋中有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中任取3球，恰有兩個(gè)白球的概率．故〖答案〗為：.14.若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗由題意知，在上恒成立，則，解得.故〖答案〗為：．15.1260有__________個(gè)不同的正因數(shù).（用數(shù)字作答）〖答案〗36〖解析〗，第一步，可以取，共3種，第二步，可以取，共3種，第三步，可以取，共2種，第四步，可以取，共2種，所以一共有種取法，對應(yīng)36個(gè)不同的正因數(shù).故〖答案〗：3616.如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)給出的“弦圖”現(xiàn)提供6種顏色給“弦圖”的5個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有__________種.（用數(shù)字作答）〖答案〗1560〖解析〗如圖所示，用3種顏色涂色，則①、③⑤同色、②④同色，所以涂色方案有種，用4種顏色涂色，則①、③、⑤、②④同色或①、③⑤同色、②、④，所以涂色方案有種，用5種顏色涂色，則①、③、⑤、②、④異色，所以涂色方案有種，所以涂色方案共有種.故〖答案〗：1560.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知二項(xiàng)式的展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為15.（1）求；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng).解：（1）由題意得，即，化簡得，解得或（負(fù)值舍去）．所以.（2）由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)得，因?yàn)?，令，得，所以常?shù)項(xiàng)為．18.求函數(shù)，（1）求在處的切線方程；（2）求在區(qū)間內(nèi)的值域.解：（1）由，可得，，故，所以在處的切線方程為，即所求的切線方程；（2）因?yàn)椋?，解得?當(dāng)x變化時(shí)，及隨x的變化而變化如下表所示．x-23+0-0+8↗極大值↘極小值↗18由上表可知當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值18.故在區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)?19.有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).（算出具體數(shù)字）（1）排成前后兩排，前排3人，后排4人；（2）全體排成一排，女生必須站在一起；（3）全體排成一排，男生互不相鄰；（4）全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.解：（1）分兩步完成，先選3人站前排，有種方法，余下4人站后排，有種方法，所以一共有（種）；（2）將女生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，有種，再與3名男生進(jìn)行全排列有種，共有=（種）.（3）先排女生有種方法，再在空位中插入男生有種方法，故有（種）；（4）7名學(xué)生全排列，有種方法，其中甲在最左邊時(shí)，有種方法，乙在最右邊時(shí)，有種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種方法，故共有（種）.20.甲、乙兩人參加某種選拔測試.規(guī)定每人必須從備選的6道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試,在備選的6道題中,甲答對其中每道題的概率都是,乙只能答對其中的3道題.答對一題加10分,答錯(cuò)一題(不答視為答錯(cuò))得0分.（1）求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望;（2）規(guī)定:每個(gè)人至少得20分才能通過測試,求甲、乙兩人中至少有一人通過測試的概率.解：（1）設(shè)乙的得分為的可能值有乙得分的分布列為:X0102030P所以乙得分的數(shù)學(xué)期望為（2）乙通過測試的概率為甲通過測試的概率為,甲、乙都沒通過測試的概率為所以甲、乙兩人中至少有一人通過測試的概率為21.一個(gè)圓柱形圓木的底面半徑為，長為，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩部分．現(xiàn)要把其中一個(gè)部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中為圓心，，在半圓上），設(shè)，木梁的體積為（單位：），表面積為（單位：）．（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2）求的值，使體積最大；解：（1）梯形的面積.體積.（2）.令得或，，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，體積最大.22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明.解：（1）的定義域?yàn)椋?，+），.若a≥0，則當(dāng)x∈（0，