寧夏吳忠市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1寧夏吳忠市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B.2.下列關(guān)于幾何體特征的判斷正確的是（）A.一個(gè)斜棱柱的側(cè)面不可能是矩形B.底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐C.有一個(gè)面是邊形的棱錐一定是棱錐D.平行六面體的三組對(duì)面中，必有一組是全等的矩形〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A中，斜棱柱的側(cè)面中，可以有的側(cè)面是矩形，所以A不正確；對(duì)于B中，根據(jù)正棱錐定義，底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影為底面多邊形的中心的棱錐是正棱錐，所以B不正確；對(duì)于C中，根據(jù)棱錐的分類，可得有一個(gè)面是邊形的棱錐一定是棱錐，所以C正確；對(duì)于D中，平行六面體的三組對(duì)面中，必有一組是全等的平行四邊形，所以D錯(cuò)誤.故選：C.3.若是夾角為的單位向量，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，所以，且，所以.故選：C.4.在中，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，，，由正弦定理得，因此，顯然，所以.故選：C.5.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由向量，可得，且，則在上的投影向量為.故選：A.6.用平行于正四棱錐底面的平面去截該棱錐，把底面和截面之間的那部分多面體叫做正四棱臺(tái)，經(jīng)過正四棱臺(tái)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做該正四棱臺(tái)的對(duì)角面．若正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，對(duì)角面面積為，則該棱臺(tái)的體積為（）A.28 B. C. D.74〖答案〗A〖解析〗因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為，所以，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則，可得，正四棱臺(tái)的上底面面積為，下底面面積為，則該正棱臺(tái)的體積為.故選：A.7.已知直線與平面，則的充分條件可以是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗取長(zhǎng)方體，由可令為，為，為平面，為平面，發(fā)現(xiàn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由可令為，為，為平面，為平面，發(fā)現(xiàn)不垂直，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，可令為平面，為平面，為平面，發(fā)現(xiàn)不垂直，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.8.若線段上的點(diǎn)滿足，則稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．對(duì)于頂角的等腰，若角的平分線交于點(diǎn)，則恰為的一個(gè)黃金分割點(diǎn)．利用上述結(jié)論，可以求出（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖：計(jì)算方便，特取，并設(shè)，因?yàn)樗杂譃榻堑钠椒志€，則，又，所以，中，則，所以，又因?yàn)?，所以，故由恰為的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，只能有，可得，解得，所以，在中，由余弦定理可知，即．故選：B．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）9.設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A.“”是“”的必要條件B.若，則的最大值為1C.若，則D.，關(guān)于的方程在中最多可以有4個(gè)解〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，可得，所以“”是“”的必要條件，所以A正確；對(duì)于B中，若，可得，表示點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，又由，所以，則表示點(diǎn)到的距離，其最大值為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，可得，所以表示以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，對(duì)于方程，可得，即，所以，若，則，可得，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)復(fù)數(shù)有1個(gè)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)復(fù)數(shù)有2個(gè)；當(dāng)時(shí)，無根，此時(shí)復(fù)數(shù)不存在；若，則，可得，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)復(fù)數(shù)有1個(gè)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)復(fù)數(shù)有2個(gè)；當(dāng)時(shí)，無根，此時(shí)復(fù)數(shù)不存在；綜上所述，復(fù)數(shù)最多有4個(gè)根，所以D正確.故選：AD.10.如圖，某八角鏤空窗的邊框呈正八邊形．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，、為正八邊形內(nèi)的點(diǎn)（含邊界），在上的投影向量為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.的最大值為 D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，正八邊形的內(nèi)角為，易知，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，連接、，則為正八邊形外接圓的一條直徑，則，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示：設(shè)在方向上的投影向量為，由圖形可知，當(dāng)、分別在線段、上時(shí)，取最大值，且的最大值為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，過點(diǎn)、分別作的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取最小值，此時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取最大值，此時(shí)，，綜上所述，，D對(duì).故選：ABD.11.直三棱柱頂點(diǎn)都在球的表面上，，側(cè)面?zhèn)让妫瑒t（）A.四棱錐的體積為B.三棱錐的體積為C.球的表面積為D.平面截該三棱柱所得截面的面積為〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)槠矫?，平面，所以，且?cè)面?zhèn)让?，所以，且，平面，所以平面，因?yàn)?，所以，，所以四棱錐的體積，故A正確；B：，故B正確；C：取的中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，由條件可知，垂直于上下底面，且分別是上下底面三角形外接圓的圓心，所以點(diǎn)是三棱柱外接球的球心，，所以球的表面積為，故C正確；D：點(diǎn)三點(diǎn)共線，所以平面截該三棱柱所得截面為三角形，其中，，，所以，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.某數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)小組在開展主題為“空中不可到達(dá)兩點(diǎn)的測(cè)距問題的探究活動(dòng)中，抽象并構(gòu)建了如圖所示的幾何模型，該模型中MA，NB均與水平面ABC垂直．在已測(cè)得可直接到達(dá)的兩點(diǎn)間距離AC，BC的情況下，四名同學(xué)用測(cè)角儀各自測(cè)得下列四組角中的一組角的度數(shù)，其中一定能唯一確定M，N之間的距離的有（）A.∠MCA，∠NCB，∠ABC B.∠ACB，∠NCB，∠MCNC.∠MCA，∠NCB，∠MCN D.∠MCA，∠NCB，∠ACB〖答案〗CD〖解析〗記，，，，，，，，，，，，，先從C選項(xiàng)入手：已知，在中，由，可確定；同理，在中，可確定；在中，由及余弦定理，可確定，故C正確；再考察D選項(xiàng)：已知，在中，由及余弦定理，可確定；在中，由，可確定；同理，在中，可確定，由，①可確定，故D正確；A選項(xiàng)：已知，同B選項(xiàng)，可確定，在中，已知，解三角形知可能有兩解，例如若，則，解得或2，代入①使也有兩個(gè)值，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：已知，同C，D選項(xiàng)，可確定，在中，由勾股定理，得，在中，由余弦定理，得，②聯(lián)立①②，得解此關(guān)于的二元方程組，可得，但此二元二次方程組可能有兩解，例如若，得解得或故B錯(cuò)誤．故選：CD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為為滿足的點(diǎn)的集合所對(duì)應(yīng)的圖形，則的面積為_________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，，因?yàn)?，所以，即，表示的是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑和5為半徑的兩個(gè)圓環(huán)的部分，如圖所示：故的面積為.故〖答案〗為：.14.已知，若非零向量與的夾角等于與的夾角，則的坐標(biāo)可以是_________．（寫出一個(gè)滿足題意要求的向量的坐標(biāo)即可）〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，即，所以，所以，，故，，不妨令，則.故〖答案〗為：.15.已知圓錐的母線長(zhǎng)為3，軸截面（過圓錐的軸的平面截圓錐所得截面）等腰三角形的頂角記為是底面圓的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)．若側(cè)面展開圖中，為直角三角形，則_________，該圓錐中過兩條母線的最大截面的面積為_________．〖答案〗〖解析〗如圖，圓錐，以及右側(cè)是圓錐的展開圖，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在側(cè)面展開圖中，為直角三角形，即，所以，即展開圖中的是等邊三角形，則展開圖中，，展開圖扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，設(shè)底面半徑為，則，得，即，所以，，，所以，所以圓錐軸截面的頂角為銳角，圓錐中過兩條母線的等腰三角形的頂角小于等于，所以圓錐中過兩條母線的等腰三角形的頂角的正弦值的最大值為，圓錐中過兩條母線的最大截面等腰三角形的面積.故〖答案〗為：.16.在三棱錐中，平面，則與所成的角的余弦值為_________．〖答案〗〖解析〗過點(diǎn)作，且，連接，四邊形是平行四邊形，所以與所成的角為或其補(bǔ)角，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，又，且，所以，，又，所以，則，又，，，所以，中，.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.等腰梯形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）設(shè)，試用表示和；（2）求與夾角的余弦值．解：（1），過作的平行線交于，于是四邊形是平行四邊形，故，又，則，則是正三角形，故，則，故，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，所以.（2）與夾角等于與的夾角，，，所以，又，類似的，所以，所以，即與夾角的余弦值為．18.在中，，是的中點(diǎn)．（1）求的內(nèi)角的余弦值；（2）設(shè)在直線上，試確定滿足的點(diǎn)的具體位置．解：（1）設(shè)，則，由余弦定理得．（2）設(shè)，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)樵谥本€上，故可設(shè)，其中，所以，因?yàn)椋?，即，展開得，即，由（1）知，則，解得，所以，點(diǎn)是邊的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).19.在平面四邊形中，點(diǎn)在直線的兩側(cè)，，，四個(gè)內(nèi)角分別用表示，.（1）求；（2）求與的面積之和的最大值.解：（1）在中，由余弦定理得：，解得：，，即，.（2）設(shè)，則，，，四點(diǎn)共圓，且為該圓的直徑，，，，，在中，，，，，，，，當(dāng)，即時(shí)，，故與的面積和的最大值為.20.四棱錐中，．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)平面時(shí)，求直線與平面所成的角的正切值．解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則四邊形為邊長(zhǎng)為1的正方形，可得，由，可得，所以，又由，可得，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，由（1）知平面，所以平面，所以為與平面所成的角，因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，所以，即與平面所成角的正切值為．21.如圖，在中，點(diǎn)是的內(nèi)心，過點(diǎn)且平行于的直線與分別相交于點(diǎn)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別記為．（1）求的值；（2）若，求的取值范圍．解：（1）法一：連接并延長(zhǎng)交于，因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，所以，又，所以，因，所以，所以，所以，即，所以，同理，連接，由和為的內(nèi)心得，，所以，同理，所以，所以，即，所以．法二：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠椒?，所以，所以，同理，所以，又，所以，由正弦定理，得．?）因?yàn)椋?，由?）得，即，所以，所以，所以，即的取值范圍為．22.如圖，在正三棱柱中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在直線上，對(duì)于線段上異于兩端點(diǎn)的任一點(diǎn)，恒有平面．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值．解：（1）在線段上取異于兩端點(diǎn)的兩點(diǎn)，因?yàn)閷?duì)于線段上異于兩端點(diǎn)的任一點(diǎn)