【狀元橋】2017年高考數(shù)學(理)一輪總復習課件第五章數(shù)列

5．1數(shù)列的概念和簡單表示最新考綱1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法〔列表、圖象、通項公式〕．2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)．第五章數(shù)列第五章數(shù)列1．數(shù)列的概念按照________排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，一般用________表示．2．數(shù)列的分類一定順序有限無限><=3.數(shù)列與函數(shù)的關系(1)從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成是以_____________________________為定義域的函數(shù)

＝f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列__________．(2)數(shù)列同函數(shù)一樣有________、__________、____________三種表示方法．4．數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{

}的第n項

與__________之間的關系可以用一個公式________來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．正整數(shù)集N*(或N*的有限子集{1,2,3,…，n})函數(shù)值解析法圖象法列表法序號n【思考探究】一個數(shù)列的通項公式唯一嗎？是否每個數(shù)列都有通項公式？探究點一由數(shù)列前幾項求數(shù)列通項總結反思：(1)由所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察．①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項符號特征等，并對此進行歸納、聯(lián)想．(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結果是不可靠的，要注意代值檢驗，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整．(3)觀察、分析問題的特點是最重要的，觀察要有目的，觀察出項與項數(shù)之間的關系、規(guī)律，利用我們熟知的一些根本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉換而使問題得到解決．探究點二由遞推公式求數(shù)列通項公式根據(jù)以下條件，確定數(shù)列{an}的通項公式．(1)數(shù)列{an}滿足an+1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an；(2)數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項和sn＝an；(3)數(shù)列{an}的前n項和sn＝2n2－3n＋1.【變式訓練】2.下面數(shù)列{an}的遞推關系和前n項和，求{an}的通項公式：(1)＝＋b；(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求an；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2，求an.探究點三數(shù)列的性質研究n是正整數(shù)——應用函數(shù)知識解決數(shù)列問題易錯點剖析數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2＋kn＋2，假設對所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，求實數(shù)k的取值范圍．解析：an是關于n的二次函數(shù)，結合函數(shù)圖象知應有－<，所以k＞－3.思維提升：此題容易無視n是正整數(shù)，而得到－≤1，產(chǎn)生錯誤．我們用函數(shù)知識解決數(shù)列問題時要注意自變量為整數(shù)這個特殊性．[友情提示]每道習題都是一個高考點，每項訓練都是對能力的檢驗，認真對待它們吧！進入“課時達標5.1”，去收獲希望，體驗成功！本欄目內(nèi)容以活頁形式分冊裝訂！課時作業(yè)5.15.2等差數(shù)列及其前n項和最新考綱1.理解等差數(shù)列概念．

2．掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式．

3．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系．1．等差數(shù)列的有關概念(1)等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第______項起，每一項與它的前一項的差等于________，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的______，通常用字母______表示，定義的表達式為__________．(2)等差中項如果a，A，b成等差數(shù)列，那么____叫做a與b的等差中項且____________．(3)通項公式公差

2同一個常數(shù)如果等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么通項公式為an＝______________．(4)前n項和公式：Sn＝____________＝__________．【思考探究】

A＝是a，A，b成等差數(shù)列的什么條件？提示：充要條件．假設A＝?2A＝a＋b?A－a＝b－A?a，A，b成等差數(shù)列．反之，假設a，A，b成等差數(shù)列，那么A＝.故A＝是a，A，b成等差數(shù)列的充要條件．答案：1．B

2.B

3.B

4.10

5.20探究點一等差數(shù)列的判斷與證明【變式訓練】1.假設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋2SnSn-1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求證：成等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．探究點二等差數(shù)列的根本運算設{an}是一個公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，它的前10項的和S10＝110，且

＝a1a4.(1)證明：a1＝d；(2)求公差d的值和數(shù)列{an}的通項公式．【變式訓練】2.設a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0.(1)假設S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范圍．探究點三等差數(shù)列的綜合應用(1)在等差數(shù)列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n項和，S10＝S22.這個數(shù)列的前多少項的和最大，并求出這個最大值．(2)假設an＝－n＋11，{an}的前n項和為Sn，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.通過分析an來求前n項和或積的最值思維提升：an的正負對應了Sn的增減，通過分析Sn的增減性易得Sn最值．[友情提示]每道習題都是一個高考點，每項訓練都是對能力的檢驗，認真對待它們吧！進入“課時達標5.2”，去收獲希望，體驗成功！本欄目內(nèi)容以活頁形式分冊裝訂！課時作業(yè)5.25．3等比數(shù)列及其前n項和最新考綱1.理解等比數(shù)列的概念．

2．掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．

3．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系．第2項前一項同一個常數(shù)等比數(shù)列ab公比q〔q≠0〕提示：b2＝ac是a，b，c成等比的必要不充分條件，∵當b＝0，a，c至少有一個為零時，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比數(shù)列；反之，假設a，b，c成等比數(shù)列，那么必有b2＝ac.等比探究點一等比數(shù)列的判定與證明探究點二等比數(shù)列的根本運算數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝a(a＞0)．數(shù)列{bn}滿足bn＝anan＋1(n∈N*)．(1)假設{an}是等差數(shù)列，且b3＝12，求a的值及{an}的通項公式；(2)假設{an}是等比數(shù)列，求{bn}的前n項和Sn.總結反思：等比數(shù)列根本量的運算是等比數(shù)列中的一類根本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)所求問題可迎刃而解．解決此類問題的關鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關公式，并靈活運用．在運算過程中，還應善于運用整體代換思想簡化運算過程．【變式訓練】2.(1)在等比數(shù)列{an}中，a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比為整數(shù)，求a10；(2)等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；(3)在等比數(shù)列{an}中，假設a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.探究點三等差、等比綜合問題(1)有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)．(2)設等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，項數(shù)是偶數(shù)，它的所有項的和等于偶數(shù)項和的4倍，且第2項與第4項的積是第3項與第4項和的9倍，問數(shù)列{lgan}的前多少項和最大？(取lg2＝0.3，lg3＝0.4)總結反思：等差數(shù)列與等比數(shù)列相結合的綜合問題是高考考查的重點，特別是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式以及等差中項、等比中項問題是歷年命題的熱點．注意等差與等比的常見結合點，如：把等差數(shù)列放到指數(shù)位置就變成了等比數(shù)列，把等比數(shù)列放到真數(shù)位置就變成了等差數(shù)列．等比數(shù)列的定義，通項公式，前n項和公式是解決等比數(shù)列中的有關計算、討論等比數(shù)列的有關性質的問題的根底和出發(fā)點．(1)確定等比數(shù)列的關鍵是確定首項a1和公比q.(2)在等比數(shù)列通項公式和前n項和公式中共涉及五個量an，a1，n，q，Sn，可“知三求二”．(3)等比數(shù)列求和公式的推導思想可用于等比數(shù)列與等差數(shù)列對應項之積構成的數(shù)列求和問題，即利用錯位相消的方法去求數(shù)列的前n項和．(4)在利用等比數(shù)列前n項和公式時，一定要對公比q＝1或q≠1作出判斷；計算過程中要注意整體代入的思想方法．(5)等差數(shù)列與等比數(shù)列的關系是：①假設一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，那么此數(shù)列是非零常數(shù)列；②假設{an}是等比數(shù)列，且an＞0，那么{lgan}構成等差數(shù)列．轉化思想在求數(shù)列通項中的應用思維提升：不是常見類型的遞推關系，我們一般想法仍是將遞推數(shù)列轉化為等比(等差)數(shù)列．常用設參數(shù)法求得通項公式．【跟蹤體驗】1．a(chǎn)1＝2，an＋1＝2an2＋2an，求數(shù)列{an}的通項公式．2．數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．求數(shù)列{an}的通項公式．[友情提示]每道習題都是一個高考點，每項訓練都是對能力的檢驗，認真對待它們吧！進入“課時達標5.3”，去收獲希望，體驗成功！本欄目內(nèi)容以活頁形式分冊裝訂！課時作業(yè)5.35．4數(shù)列求和最新考綱1.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．

2．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．探究點一分組轉化求和總結反思：分組轉化求和就是從通項入手，假設無通項，那么先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差或等比或可求出數(shù)列前n項和的數(shù)列來求之．【變式訓練】1.{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；(2)求數(shù)列{bn}的前n項和．探究點二錯位相減法求和總結反思：一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法．用乘公比錯位相減法求和時，要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯位項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．探究點三裂項相消法求和裂項相消法的應用[友情提示]每道習題都是一個高考點，每項訓練都是對能力的檢驗，認真對待它們吧！進入“課時達標5.4”，去收獲希望，體驗成功！本欄目內(nèi)容以活頁形式分冊裝訂！課時作業(yè)5.45.5數(shù)列綜合性問題最新考綱能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．1．數(shù)列實際應用題常見模型(1)銀行儲蓄單利公式利息按單利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，那么本利和y＝____________．(2)銀行儲蓄復利公式按復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，那么本利和y＝__________________．(3)產(chǎn)值模型

a(1+rx)a(1+r)x(x∈N*且x>1)原來產(chǎn)值的根底數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間x的總產(chǎn)值y＝____________________．(4)分期付款模型設某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額地分成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率為r，那么x＝____________________________．2．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合性問題(1)既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列只能是____________數(shù)列；任意一個非常數(shù)的等差數(shù)列的任意連續(xù)的三項都不可能構成等比數(shù)列，任意

N(1+p)x(x∈N*且x>1)非零的常數(shù)

一個非常數(shù)的等比數(shù)列的任意連續(xù)三項也不可能構成等差數(shù)列．(2)假設數(shù)列{an}是公差等于d的等差數(shù)列，那么{ban}(b＞0，b≠1)是________數(shù)列，其公比為________；假設數(shù)列{bn}是各項為正，且公比為q的等比數(shù)列，那么{logabn}(a＞0，a≠1)是________數(shù)列，其公差為________．3．數(shù)列與其他數(shù)學知識綜合(1)數(shù)列與函數(shù)方程相結合時主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(多為單調(diào)性)．(2)數(shù)列與不等式結合時需注意放縮．(3)數(shù)列與解析幾何結合時要注意遞推思想．等比

bd等差

logaq

答案：1．B

2.B

3.B

4.16

5.100探究點一等比數(shù)列模型的應用某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費獎勵科研人員，第1名得全部資金的一半多一萬元，第二名得剩下的一半多一萬元，以名次類推都得到剩下的一半多一萬元，到第10名恰好資金分完，求此科研單位共拿出多少萬元資金進行獎勵．總結反思：(1)函數(shù)的實際應用問題中，有許多問題是以等比數(shù)列為模型，此類問題往往從應用問題給出的初始條件入手，推出假設干項，逐步探索數(shù)列通項或前n項和，或前后兩項的遞推關系，從而建立等比數(shù)列模型，要注意題目給出的一些量的結果，并合理應用；(2)與等比數(shù)列聯(lián)系較大的是“增長率”“遞減率”的概念，在經(jīng)濟上多涉及利潤、本錢、效益的增減問題；在人口的研究中也涉及增長率問題；金融問題更多涉及復利的問題．這都與等比數(shù)列有關．【變式訓練】1.甲、乙兩容器中分別盛有濃度為10%、20%的某種溶液500mL，同時從甲、乙兩個容器中各取出100mL溶液，將其倒入對方的容器攪勻，這稱為一次調(diào)和．經(jīng)n－1(n≥2，n∈N*)次調(diào)和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為an、bn.記a1＝10%，b1＝20%.(1)試用an－1，bn－1表示an，bn；(2)求證：數(shù)列{an－bn}是等比數(shù)列，數(shù)列{an＋bn}是常數(shù)列；(3)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式．探究點二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合

總結反思：解決此類問題要抓住一個中心——函數(shù)，兩個密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項公式是數(shù)列問題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問題的根底；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對應關系進行靈活的處理．探究