湖南長沙雅禮實驗中學2023-2024學年九年級上冊數(shù)學期末綜合測試試題含解析

湖南長沙雅禮實驗中學2023-2024學年九上數(shù)學期末綜合測試試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每題4分，共48分）

6223

1.已知函數(shù)：（l）xy=9；（2）y=“—；（3）y=Q-—“；（4）y=V—-；（5）y=ny1,其中反比例函數(shù)的個數(shù)為（）

2.如圖是一斜坡的橫截面，某人沿斜坡上的"點出發(fā)，走了13米到達N處，此時他在鉛直方向升高了5米.則該

斜坡的坡度i為（）

A.1:2.4C.1:73D.1:2

3.已知點A（-l,-1）,點B（l,1）,若拋物線y=x?-ax+a+1與線段AB有兩個不同的交點（包含線段AB端點）,

則實數(shù)a的取值范圍是（）

3

一員a<-1——WaW-1C.一一<a<-1D.--<a^-1

2222

4.如圖，在AABC中，點D,E分別在AB,AC邊上，且DE〃BC,若AD：DB=3：2,AE=6,則EC等于（）

5.如圖,AB是OO的弦（AB不是直徑），以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧交OO于點C,連結AC、BC、OB、OC.若

NABC=65。，則NBOC的度數(shù)是（）

A.50°B.65°C.100°D.130°

6.作。O的內接正六邊形ABCDEF,甲、乙兩人的作法分別是:

甲：第一步：在。O上任取一點A,從點A開始，以。。的半徑為半徑，在。O上依次截取點B,C,D,E,F.第二

步：依次連接這六個點.

乙：第一步：任作一直徑AD.第二步:分別作OA,OD的中垂線與。O相交，交點從點A開始，依次為點B,C,

E,F.第三步：依次連接這六個點.

對于甲、乙兩人的作法，可判斷（）

A.甲正確，乙錯誤B.甲、乙均錯誤

C.甲錯誤，乙正確D.甲、乙均正確

7.在平面直角坐標系中，點P（l,-2）是線段A3上一點，以原點0為位似中心把08放大到原來的兩倍，則點

戶對應點的坐標為（）

A.（2,-4）B.（2,-4）或（-2,4）

C.（—,-1）D.（一,-1）或（---，1）

222

8.如圖，廠房屋頂人字架（等腰三角形）的跨度BC=10m,N5=36°,。為底邊BC的中點，則上弦AB的長約為

()(結果保留小數(shù)點后一位sin36°弋0.59,cos36°?0.81,tan36°?0.73)

C.8.5mD.12.4/M

C.也D.也

22

10.小華同學的身高為1.6米，某一時刻他在陽光下的影長為2米，與他鄰近的一棵樹的影長為6米，則這棵樹的高為

（）

A.3.2米B.4.8米C.5.2米D.5.6米

11.如圖，D、E分別是AB、AC上兩點，CD與BE相交于點O,下列條件中不能使AABE和AACD相似的是（）

A.ZB=ZCB.ZADC=ZAEBC.BE=CD,AB=ACD.AD：AC=AE：AB

12.若二次函數(shù)y=7-2x+c的圖象與坐標軸只有兩個公共點，則c應滿足的條件是（）

A.c=0B.c=lC.c=0或c=lD.c=0或c=-l

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖，AB為。。的直徑，C,D是。O上兩點，若NABC=50。，則ND的度數(shù)為

14.在英語句子“Wishyousuccess”（祝你成功）中任選一個字母，這個字母為“s”的概率是.

15.如上圖，四邊形。鉆尸中，/。43="=90。，點A在x軸上，雙曲線y=K過點尸，交AB于點E，連接EF.

16.設。、8是方程f+x—2019=0的兩個實數(shù)根，貝1（。一1）。-1）的值為.

17.在一次夏令營中，小亮從位于A點的營地出發(fā)，沿北偏東60。方向走了5k”到達8地，然后再沿北偏西30。方向

走了若干千米到達。地，測得A地在。地南偏西30。方向，則A、C兩地的距離為km.

18.鬧元宵吃湯圓是我國傳統(tǒng)習俗，正月十五小明的媽媽煮了一碗湯圓，其中有4個花生味和2個芝麻味，小明從中

任意吃一個，恰好吃到花生味湯圓的概率是.

三、解答題（共78分）

19.（8分）在畢業(yè)晚會上，同學們表演哪一類型的節(jié)目由自己摸球來決定.在一個不透明的口袋中，裝有除標號外其它

完全相同的A、B、C三個小球，表演節(jié)目前，先從袋中摸球一次（摸球后又放回袋中），如果摸到的是A球，則表演

唱歌；如果摸到的是B球，則表演跳舞；如果摸到的是C球，則表演朗誦.若小明要表演兩個節(jié)目，則他表演的節(jié)目不

是同一類型的概率是多少？

20.（8分）平面直角坐標系中有兩點4（%,yj、我們定義A、8兩點間的值”直角距離為4（A,B）,

且滿足4（A3）=Z卜一百+|兇一%|，其中攵>0.小靜和佳佳在解決問題：（求點。（0,0）與點“（2,5）的“1值”

直角距離4（。,“））時，采用了兩種不同的方法：

（方法一）：4（0,M）=lx|2-O|+|5_O|=7；

（方法二）：如圖1,過點M作MN丄x軸于點N,過點M作直線y=-x+7與x軸交于點E，則

d人O,M）=ON+MN=OE=1

請你參照以上兩種方法，解決下列問題：

（1）已知點。（一2,1）,點。（2,3）,貝!Jp、。兩點間的“2值”直角距離。2（。，。）=

4

（2）函數(shù)y=（（x<0）的圖像如圖2所示，點C為其圖像上一動點，滿足O,C兩點間的值”直角距離

4（0,。）=5,且符合條件的點C有且僅有一個，求出符合條件的“％值”和點C坐標.

（3）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走，因

此，兩地之間修建垂直和平行的街道常常轉化為兩點間的“A值”直角距離，3地位于A地的正東方向上，。地在A點

東北方向上且相距30夜初7,以C為圓心修建了一個半徑為10遮4找的圓形濕地公園，現(xiàn)在要在公園和A地之間修建

觀光步道.步道只能東西或者南北走向，并且東西方向每千米成本是20萬元，南北方向每千米的成本是10萬元，問:

修建這一規(guī)光步道至少要多少萬元？

21.(8分)解方程

(1)7/—49*=0；(2)3―2%—1=0.

22.（10分）如圖，AO是。O的弦，AC是。。直徑，。。的切線80交AC的延長線于點8,切點為O,ZDAC=30°.

（1）求證：△AO8是等腰三角形;

（2）若BC=6,求的長.

23.（10分）我國互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展走到了世界的前列，尤其是電子商務，據(jù)市場調查，天貓超市在銷售一種進價為每件40

元的護眼臺燈中發(fā)現(xiàn)：每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系如圖所示：

（1）當銷售單價定為50元時，求每月的銷售件數(shù)；

（2）設每月獲得的利潤為W（元），求利潤的最大值；

（3）由于市場競爭激烈，這種護眼燈的銷售單價不得高于75元，如果要每月獲得的利潤不低于8000元，那么每月的

成本最少需要多少元？（成本=進價x銷售量）

24.（10分）已知，b=后”,求Ja?十無_"+8?

25.（12分）在一個不透明的布袋里裝有3個標有1,2,3的小球，它們的形狀，大小完全相同，李強從布袋中隨機

取出一個小球，記下數(shù)字為x,然后放回袋中攪勻，王芳再從袋中隨機取出一個小球，記下數(shù)字為y,這樣確定了點M

的坐標（x,y）.

（1）用列表或畫樹狀圖（只選其中一種）的方法表示出點M所有可能的坐標；

（2）求點M（x,y）在函數(shù)y=x2圖象上的概率.

26.在一個不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種球共40個，小穎做摸球實驗，她將盒子里面的球攪勻后從

中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復上述過程，下表是實驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)”10020030050080010003000

摸到白球的次數(shù)山651241783024815991803

摸到白球的頻率'

0.650.620.5930.6040.6010.5990.601

n

（1）請估計：當"很大時，摸到白球的頻率將會接近;（精確到0.D

（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率尸（白球）=;

(3)試估算盒子里黑、白兩種顏色的球各有多少只？

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、C

【分析】直接根據(jù)反比例函數(shù)的定義判定即可.

【詳解】解：反比例函數(shù)有：xy=9；y=-y=--.

x;3x

故答案為C.

【點睛】

本題考査了反比例函數(shù)的定義，即形如y=&(kWO)的函數(shù)關系叫反比例函數(shù)關系.

x

2、A

【分析】如圖，過點M做水平線，過點N做直線垂直于水平線垂足為點A,則4MAN為直角三角形，先根據(jù)勾股定

理，求出水平距離，然后根據(jù)坡度i定義解答即可.

【詳解】解：如圖，過點M做水平線，過點N做垂直于水平線交于點A.

在RtZ\MNA中，===

二坡度i=5:12=1:2.1.

故選：A

【點睛】

本題考査的知識點為：坡度=垂直距離：水平距離，通常寫成1：n的形式，屬于基礎題.

3、A

【分析】根據(jù)題意，先將一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式聯(lián)立方程，求出使得這個方程有兩個不同的實數(shù)根時a的

取值范圍，然后再求得拋物y=x2-ax+a+l經過A點時的a的值，即可求得a的取值范圍.

【詳解】解：???點A(-1,-1),點B(1,1),

，直線AB為y=x,

令x=x2-ax+a+L

則x2-(a+1)x+a+l=(),

若直線y=x與拋物線x2-ax+a+1有兩個不同的交點，

則厶=(a+1)2-4(a+1)>0,

解得，a>3(舍去)或aV-L

3

把點A(-1,-1)代入y=x2-ax+a+1解得a=-----,

3

由上可得--金V-1,

2

故選:A.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)的性質、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意,

利用二次函數(shù)的性質和數(shù)形結合的思想解答.

4、B

【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可.

【詳解】解：???DE〃BC,

???,即,

——=—=——=.

K2K3

解得，EC=4,

故選：B.

【點睛】

考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵.

5、C

【分析】直接根據(jù)題意得出AB=AC,進而得出NA=50。，再利用圓周角定理得出NBOC=100。.

【詳解】解：由題意可得：AB=AC,

VZABC=65°,

.,.ZACB=65°,

ZA=50°,

.?.ZBOC=100°,

故選：C.

【點睛】

本題考查圓心角、弧、弦的關系.

6、D

【分析】根據(jù)等邊三角形的判定與性質，正六邊形的定義解答即可.

【詳解】（1）如圖1,由作法知，△AOB,ZkBOC,△COD,△EOF,△AOF都是等邊三角務

.,.ZABO=ZCBO=60°,

AZABC=120°,

同理可證：ZABC=ZBCD=ZCDE=ZDEF=ZEFA=ZFAB=120°,

VAB=BC=CD=DE=EF=AF,

二六邊形ABCDEF是正六邊形，

故甲正確；

由作法知，OF=AF,AB=OB,

VOA=OF=OB,

.,?△AOF,ZkAOB是等邊三角形，

:.ZOAF=ZOAB=60°,AB=AF,

ZBAF=120",

同理可證，ZABC=ZBCD=ZCDE=ZDEF=ZEFA=ZFAB=120°,AB=BC=CD=DE=EF=AF,

二六邊形ABCDEF是正六邊形，

故乙正確.

故選D.

【點睛】

本題考査了圓的知識，等邊三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，以及正六邊形的定義，熟練掌握各知識點

是解答本題的關鍵.

7、B

【分析】根據(jù)位似變換的性質計算即可.

【詳解】點P(L-2)是線段AB上一點，以原點O為位似中心把AAOB放大到原來的兩倍，

則點P的對應點的坐標為(1x2,-2x2)或(lx(-2),-2x(-2)),即(2,-4)或(-2,4),

故選：B.

【點睛】

本題考査的是位似變換、坐標與圖形的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,

那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.

8、B

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質得出丄BC=5"?,ADA.BC,再由cosB=02,ZB=36°知48=生-,代

2ABcosB

入計算可得.

【詳解】?.?△A5C是等腰三角形，且8O=CZ>,

：.BD=-BC=5m,AD±BC,

2

亠亠BD

在RtZXABO中，'：cosB=—,ZB=36°,

AB

BD5

：.AB=-------=--—*6.2故選：B.

cosBcos36°

【點睛】

本題考查解直接三角形的應用，解題的關鍵是根據(jù)等腰三角形的性質構造出直角三角形RtaABD,再利用三角函數(shù)求

解.

9、B

【解析】分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值來解答本題.

詳解：sin30°=一.

2

故選B.

點睛：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，特殊角三角函數(shù)值的計算在中考中經常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主.

10、B

【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個問題物體，影子，經過物體頂部的太陽光線三者構成的

兩個直角三角形相似.

【詳解】據(jù)相同時刻的物高與影長成比例，

設這棵樹的高度為xm,

則可列比例為上？=二

26

解得，x=4.1.

故選：B

【點睛】

本題主要考查同一時刻物高和影長成正比，考查利用所學知識解決實際問題的能力.

11、C

【解析】試題分析：；NA=NA,

二當NB=NC或NADC=NAEB或AD：AC=AE：AB時，4ABE和AACD相似.

故選C.

考點：相似三角形的判定.

12、C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)J=x2-2x+c的圖象與坐標軸只有兩個公共點，可知二次函數(shù)j=x2-2x+c的圖象與x軸只有一

個公共點或者與x軸有兩個公共點，其中一個為原點兩種情況，然后分別計算岀c的值即可解答本題.

【詳解】解：???二次函數(shù)了=必-2*+,的圖象與坐標軸只有兩個公共點，

...二次函數(shù)y=7-2x+c的圖象與x軸只有一個公共點或者與x軸有兩個公共點，其中一個為原點，

當二次函數(shù)j=x2-2x+c的圖象與x軸只有一個公共點時，

(-2)2-4XlXc=0,得c=l；

當二次函數(shù)＞=必-2x+c的圖象與軸有兩個公共點，其中一個為原點時，

則c=0,y=x2-2x=x(x-2),與x軸兩個交點，坐標分別為(0,0),(2,0)；

由上可得，c的值是1或0,

故選：C.

【點睛】

本題考査了二次函數(shù)與坐標的交點問題，掌握解二次函數(shù)的方法是解題的關鍵.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、40°.

【解析】根據(jù)直徑所對的圓心角是直角，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求得NA的度數(shù)，最后根據(jù)同弧所對的圓

周角相等即可求解.

【詳解】...AB是圓的直徑，

.,.ZACB=90°,

，ZA=90°-ZABC=90°-50°=40°.

.".ZD=ZA=40°.

故答案為：40°.

【點睛】

本題考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等，理解定理是關鍵.

14.a

*

42

【解析】試題解析：在英語句子“Wishyoiisuccess!”中共14個字母，其中有字母“s”4個.故其概率為瓦=亍.

考點：概率公式.

15、6

BF2

【分析】如圖，過點F作FG丄。4交OA于點G,由一■=一可得OA、BF與OG的關系，設尸(〃?,〃)，貝！I

OA3

OA=3m,BF=2m,結合5M叮=4可得點B的坐標，將點E、點F代入

y=幺中即可求出k值.

X

_B_F_——2

OA3

BF=-OA

3

:.OA=AG+OG=BF+OG=-OA+OG

3

:.0A^30G

:.BF=20G

設F(m,ri),則OA-3m,BF-2m

SMEF=4

:.-BFBE=-2mBE=4

22

44

/.=n---,即￡(3m,n-----)

mtn

k

雙曲線y=一過點/，點E

x

k4k

n=—,TI----=—

mm3m

化簡得左=w〃,左=3根”-12,即癡=3m//一12

解得mn-6,即左=6.

故答案為：6.

【點睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像，靈活利用坐標表示線段長和三角形面積是解題的關鍵.

16、-1

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出a+8=—1,必=—2019,將其代入(。-1)僅-1)=必一(。+。)+1中即可得出

結論.

【詳解】〃是方程f+x—2019=0的兩個實數(shù)根，

:.a+h=—\,ah——2019,

.?.(a—1)(8—1)="一(a+3+l=-2019+1+1=-2017.

故答案為-1.

【點睛】

bc

本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記“兩根之和等于-一，兩根之積等于一”是解題的關鍵.

aa

171073

3

【分析】由已知可得到AABC是直角三角形，從而根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC的長.

【詳解】解：如圖.由題意可知，AB=5km,N2=30。，ZEAB=60°,Z3=30°.

VEF//PQ,

.*.Zl=ZEAB=60°

又：N2=30°,

.,.ZABC=180°-Zl-Z2=180o-60o-30o=90°,

/.△ABC是直角三角形.

又,..MN〃PQ,

.?.N4=N2=30°.

二ZACB=Z4+Z3=30°+30°=60°.

AB&=迎1(km),

/.AC=--------------

sinAACBT3

故答案為應1.

3

【點睛】

本題考查了解直角三角形的相關知識，解答此類題目的關鍵是根據(jù)題意畫出圖形利用解直角三角形的相關知識解答.

2

18、一

3

【分析】用花生味湯圓的個數(shù)除以湯圓總數(shù)計算即可.

【詳解】解：???一碗湯圓，其中有4個花生味和2個芝麻味，

42

二從中任意吃一個，恰好吃到花生味湯圓的概率是：-=

63

2

故答案為

【點睛】

本題考查了概率公式的應用，如果一個事件共有“種可能，而且每一個事件發(fā)生的可能性相同，其中事件4出現(xiàn)，〃種

m

可能，那么事件4的概率P(A)=」.

n

三、解答題(共78分)

19、見解析

【分析】列舉出所有情況，看他表演的節(jié)目不是同一類型的情況占總情況的多少即可.

【詳解】法一：列表如下：

ABC

AAAABAC

BBABBBC

CCACBCC

法二：畫樹狀圖如下:

畫樹狀圖或列表

由上述樹狀圖或表格知：所有可能出現(xiàn)的結果共有9種其中不是同一類型有6種因此他表演的節(jié)目不是同一類型的概

25,85]

20、(1)10(2)攵=77,C(3)900—150指

16I52丿

【分析】(1)根據(jù)直角距離的公式，直接代入求解即可;

(2)設點C的坐標為代入直角距離公式可得-"2一5x-4=0根據(jù)根的判別式求出k的值，即可求

出點c的坐標；

（3）如圖，0C與線段AC交于點D,過點D作OE丄AE與AB交于點E,先證明4ADE是等腰直角三角形，從而

得出厶石=?！?30-5的。然，再根據(jù)直角距離的定義，即可求出出最低的成本.

【詳解】⑴'：dk（A,B）=k\xi-x2\+\yi-y^,點P（—2,1）,點。（2,3）

>

.?.i/2（/，e）=2x|-2-2|+|l-3|=8+2=10;

（2）設點C的坐標為（x,d],（x<0）

?.?4(0,C)=5

4.(o,c)=2N+1

5

Vx<()

—kx——5

x

：?-kx1-5x-4=0

;符合條件的點。有且僅有一個，且%>0

=(-5『-4X(-A)X(-4)=25-16左=0

25

解得％==

16

:.--X2-5x-4=0

16

25

—x2+5x+4=0

16

(5V

-x+2=0

14丿

Q

解得x=_g

258_5

故人=3，C

165，-2

（3）如圖，0c與線段AC交于點D,過點D作OE丄鉆與AB交于點E

由題意得AC=30&hn,CD=lG6km,NC4E=45°

AAD=AC-CD=3Qy/2-1Q^lan

,:DELAE

.,.△ADE是等腰直角三角形

.“AD30V2-10>/3,</7,

??AE=DE=——=-------=------=30n—5v6bn

V2V2

?.?步道只能東西或者南北走向，并且東西方向每千米成本是20萬元，南北方向每千米的成本是10萬元

二步道的最短距離為A和D的直角距離，即AE+DE

最低總成本=（30—5指）X20+（30—5"）'10=900—150祈（萬元）

故修建這一規(guī)光步道至少要900-150幾萬元.

eF

右圖3

本題考查了直角距離的問題，掌握直角距離的定義以及公式、根的判別式、解一元二次方程的方法是解題的關鍵.

21、（1）XI=042=7；（2）斗=1+夜，x2=1-72

【解析】（1）用因式分解法求解即可；

（2）用配方法求解即可.

【詳解】（1）V7X2-49X=0,

.,.x2-7x=0,

:.x（x-7）=0.

解得xi=0,*2=7

（2）移項，得x2-2x=1,

配方，得（X—1）2=2,

開平方，得

X—1=±^2?

解得％=1+V2,x2=1-V2

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的

方法是解答本題的關鍵.

22、（1）見解析;（2）AD=\.

【分析】（1）根據(jù)切線的性質和等腰三角形的判定證明即可；

（2）根據(jù)含10°角的直角三角形的性質解答即可.

【詳解】（1）證明：連接OD,

VZDAC=10°,AO=OD

.,.ZADO=ZDAC=10°,ZDOC=60°

??,BD是。。的切線，

.?.OD丄BD,即NODB=90°,

r.NB=10。，

/.ZDAC=ZB,

/.DA=DB,

即厶ADB是等腰三角形.

二/DOC=60。，

VOD=OC,

.,.△DOC是等邊三角形

???（DO的切線BD交AC的延長線于點B,切點為D,

.,.BC=DC=OC=V3?

???AD=VAC2-DC2=/（2舟-（6）2=3?

【點睛】

本題考査切線的判定和性質，解題的關鍵是根據(jù)切線的性質和等腰三角形的判定，以及勾股定理進行解題.

23、（1）500件；（2）利潤的最大值為1;（3）每月的成本最少需要10000元.

【分析】（1）設函數(shù)關系式為丫=1?+1）,把（40,600）,（75,250）代入，列方程組即可.

(2)根據(jù)利潤=每件的利潤x銷售量，列出式子即可.

(3)思想列出不等式求出x的取值范圍，設成本為S,構建一次函數(shù)