解線(xiàn)性方程組的解法

關(guān)于解線(xiàn)性方程組的解法2線(xiàn)性方程組是線(xiàn)性代數(shù)中最重要最基本的內(nèi)容之一，是解決很多實(shí)際問(wèn)題的的有力工具，在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理的許多領(lǐng)域（如物理、化學(xué)、網(wǎng)絡(luò)理論、最優(yōu)化方法和投入產(chǎn)出模型等）中都有廣泛應(yīng)用.第一章介紹的克萊姆法則只適用于求解方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同，且系數(shù)行列式非零的線(xiàn)性方程組.本章研究一般線(xiàn)性方程組，主要討論線(xiàn)性方程組解的判定、解法及解的結(jié)構(gòu)等問(wèn)題，還要討論與此密切相關(guān)的向量線(xiàn)性相關(guān)性等.其主要知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：第2頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天3線(xiàn)性方程組第3頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天4§3.1

消元法第一章討論了含n個(gè)方程的n元線(xiàn)性方程組的求解問(wèn)題.下面我們討論一般的n元線(xiàn)性方程組(systemoflinearequations)（3.1）寫(xiě)成矩陣形式為其中第4頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天5分別稱(chēng)為方程組（3.1）的系數(shù)矩陣(coefficientmatrix)、未知量矩陣和常數(shù)項(xiàng)矩陣.當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為n元齊次線(xiàn)性方程組；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為n元非齊次線(xiàn)性方程組.并稱(chēng)為方程組（3.1）的增廣矩陣(augmentedmatrix).因?yàn)橐粋€(gè)線(xiàn)性方程組由它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)完全確定，所以線(xiàn)性方程組與它的增廣矩陣是一一對(duì)應(yīng)的.如果可以使（3.1）中的每個(gè)等式都成立，則稱(chēng)為線(xiàn)性方程組（3.1）的一個(gè)解(solution).線(xiàn)性方程組（3.1）的解的全體稱(chēng)為它的解第5頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天6集(solutionset).若兩個(gè)線(xiàn)性方程組的解集相等，則稱(chēng)它們同解(samesolution).若線(xiàn)性方程組（3.1）的解存在，則稱(chēng)它有解或相容的.否則稱(chēng)它無(wú)解或矛盾的.解線(xiàn)性方程組實(shí)際上先要判斷它是否有解，在有解時(shí)求出它的全部解.消元法是求解線(xiàn)性方程組的一種基本方法，其基本思想是通過(guò)消元變形把方程組化成容易求解的同解方程組.在中學(xué)代數(shù)里我們學(xué)過(guò)用消元法求解二元或三元線(xiàn)性方程組，現(xiàn)在把這種方法理論化、規(guī)范化、并與矩陣的初等變換結(jié)合起來(lái)，使它適用于求解含更多未知量或方程的線(xiàn)性方程組.為此，先看一個(gè)例子.第6頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天7例1

解線(xiàn)性方程組解原方程組顯然原方程組與最后的方程組（叫階梯形方程組）同解，所以原方程組有唯一解第7頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天8由此不難發(fā)現(xiàn)，在求解線(xiàn)性方程組的過(guò)程中，可以對(duì)方程組反復(fù)施行以下三種變換：1.交換兩個(gè)方程的位置；2.用一個(gè)非零數(shù)乘某個(gè)方程的兩邊；

3.把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上.稱(chēng)它們?yōu)榫€(xiàn)性方程組的初等變換.顯然：線(xiàn)性方程組的初等變換不改變線(xiàn)性方程組的同解性.在例1的求解過(guò)程中，我們只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了運(yùn)算，對(duì)線(xiàn)性方程組施行一次初等變換，就相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣施行一次相應(yīng)的初等行變換，用方程組的初等變換化簡(jiǎn)線(xiàn)性方程組就相當(dāng)于用矩陣的初等行變換化簡(jiǎn)它的增廣矩陣.下面我們將例1的求解過(guò)程寫(xiě)成矩陣形式：第8頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天9所以原方程組有唯一解即第9頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天10一般地，不妨設(shè)線(xiàn)性方程組（3.1）的增廣矩陣可通過(guò)適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q化為階梯形矩陣因而由初等行變換不改變矩陣的秩可知：線(xiàn)性方程組（3.1）的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩分別為第10頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天11與由線(xiàn)性方程組的初等變換不改變線(xiàn)性方程組的同解性可知：線(xiàn)性方程組（3.1）與階梯形方程組（3.2）同解，且其解有三種情形：情形1，當(dāng)，即時(shí)，方程組（3.1）無(wú)解.情形2，當(dāng)，即時(shí)，方程組（3.1）有唯一解第11頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天12情形3，當(dāng)，即時(shí)，方程組（3.2）可變成其中在相應(yīng)數(shù)域上可任意取值，稱(chēng)為自由未知量，以下我們?cè)趯?shí)數(shù)域R上討論，任意給定自由未知量一組值：代人可求得的相應(yīng)值，把這兩組數(shù)合并起來(lái)就得到方程組（3.1）的一個(gè)解，因此方程組（3.1）有無(wú)窮多個(gè)解，其一般解為第12頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天13（為自由未知量）或綜上所述，我們可得以下重要定理.第13頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天14定理3.1（線(xiàn)性方程組有解判別定理）線(xiàn)性方程組有解的充要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣等秩，即推論3.1（解的個(gè)數(shù)定理）（1）n元線(xiàn)性方程組有唯一解的充要條件是.（2）n元線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解的充要條件是.此時(shí)它的一般解中含個(gè)自由未知量.（3）n元線(xiàn)性方程組無(wú)解的充要條件是.由于上述討論并未涉及常數(shù)項(xiàng)的取值，因此對(duì)時(shí)的n元齊次線(xiàn)性方程組第14頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天15(3.3)即，顯然有，由定理3.1可得下述定理.定理3.2（1）n元齊次線(xiàn)性方程組只有零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的秩.（2）n元齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的秩.推論3.2（1）n個(gè)方程的n元齊次線(xiàn)性方程組只有零解的充要條件是它的系數(shù)行列式.（2）n個(gè)方程的n元齊次線(xiàn)性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式.第15頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天16（3）若n元齊次線(xiàn)性方程組中方程個(gè)數(shù)m小于未知量個(gè)數(shù)n，則它必有非零解.書(shū)例

解線(xiàn)性方程組解對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換，有第16頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天17所以同解方程組為一般解為（為自由未知量）第17頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天18或注自由未知量的選取不唯一，如例2中，可化為所以一般解為（為自由未知量）第18頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天19例3解線(xiàn)性方程組解解得唯一解第19頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天20例4解線(xiàn)性方程組解最后一個(gè)為矛盾方程組故方程組無(wú)解.第20頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天21例5t為何值時(shí)線(xiàn)性方程組

解有解?并求解.方程組有無(wú)窮多解。第21頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天22例6解線(xiàn)性方程組

解這是一個(gè)齊次線(xiàn)性方程組，且方程個(gè)數(shù)小于未知個(gè)數(shù)，故必有非零解。只需對(duì)系數(shù)矩陣施以初等行變換。第22頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天23求得全部解為第23頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天24例7下面的線(xiàn)性方程組當(dāng)a、b為何值時(shí)有解？在有解解的情況下，求出全部解。第24頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天25此時(shí)一般解為

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