2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊常考點(diǎn)微專題提分精練（人教版）專題12 手拉手模型證相似含解析

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊常考點(diǎn)微專題提分精練專題12手拉手模型證相似1．如圖，且，，、交于點(diǎn)．則下列四個結(jié)論中，①；②；③；④、、、四點(diǎn)在同一個圓上，一定成立的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．如圖，已知．求證：．3．如圖，在和中，，．（1）和相似嗎？為什么？（2）如果，則成立，據(jù)此你能說明和相似嗎？4．如圖，在公共頂點(diǎn)為的與中，直角邊，若．求證：．5．如圖，與有公共的頂點(diǎn)，，，且．點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)時，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．6．為等邊三角形，為邊上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，，，，，．（1）求證：；（2），且，連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，若，求的長．7．在和中，，，．、分別為、的中點(diǎn)，連接、．（1）如圖1，當(dāng)時，的值是，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)為；（2）如圖2，當(dāng)時，求的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)時，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，請直接寫出點(diǎn)、、在同一直線上時的值．8．（1）如圖①，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度得到△，連接、，證明：．（2）如圖②，四邊形和四邊形均為正方形，連接，，求的值．9．在中，，，，為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．（1）如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時，；（2）如圖2，若，求的值．10．已知：點(diǎn)、、在同一條直線上，，線段、交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，①問線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②求的大小（用表示）；（2）如圖2，若，，則線段與的數(shù)量關(guān)系為，（用表示）；（3）在（2）的條件下，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接并延長交于點(diǎn)．則（用表示）．11．若繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，則我們稱與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識理解：如圖1，與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．①若，，，則；②若，，，則（2）知識運(yùn)用：如圖2，在四邊形中，，于點(diǎn)，，求證：與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（3）拓展提高：如圖3，為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)為延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．若，，求的值．12．（1）問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，和均為等邊三角形，直線和直線交于點(diǎn)．填空：①的度數(shù)是；②線段，之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）類比探究如圖2，和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)．請判斷的度數(shù)及線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，在中，，，，點(diǎn)在邊上，于點(diǎn)，，將繞著點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，請直接寫出直線經(jīng)過點(diǎn)時，點(diǎn)到直線的距離．13．如圖，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，我們稱與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識理解：兩個重合了一個頂點(diǎn)且邊長不相等的等邊三角形（填“是”或“不是”“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；如圖1，和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，①若，，，則；②若，，，則；（2）知識運(yùn)用：如圖2，在四邊形中，，于，，求證：和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）拓展提高：如圖3，為等腰直角三角形，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，若，，求出和的值．14．已知正方形，動點(diǎn)在上運(yùn)動，過點(diǎn)作射線于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，在上取一點(diǎn)，使，連接，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)在延長線上，求證：；（3）如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請猜想，和的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不必證明．15．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一直線上，連接．①線段，之間的數(shù)量關(guān)系為；②的度數(shù)為．（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)，，在同一直線上，連接，求的值及的度數(shù)；（3）解決問題：如圖3，在正方形中，，若點(diǎn)滿足，且，請直接寫出點(diǎn)到直線的距離．16．圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一．小華和小芳對等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究．如圖（1），已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)，分別在線段，上，且．（1）觀察猜想小華將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖（2），當(dāng)?shù)难娱L線恰好經(jīng)過點(diǎn)時，①的值為；②的度數(shù)為度；（2）類比探究如圖（3），小芳在小華的基礎(chǔ)上，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，，設(shè)的延長線交于點(diǎn)，請求出的值及的度數(shù)，并說明理由．（3）拓展延伸若，，當(dāng)所在的直線垂直于時，請你直接寫出的長．專題12手拉手模型證相似1．如圖，且，，、交于點(diǎn)．則下列四個結(jié)論中，①；②；③；④、、、四點(diǎn)在同一個圓上，一定成立的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：且，，，，故②正確；，即，故①正確；，，，，，，故③正確；，，，，，即，，，，，、、、四點(diǎn)在同一個圓上，故④正確．故選：．二．解答題（共15小題）2．如圖，已知．求證：．【解答】證明：，，，，又，．3．如圖，在和中，，．（1）和相似嗎？為什么？（2）如果，則成立，據(jù)此你能說明和相似嗎？【解答】解：（1）；（2），．4．如圖，在公共頂點(diǎn)為的與中，直角邊，若．求證：．【解答】證明：如圖，設(shè)交于，延長交于，連接．，，又，，、、、四點(diǎn)共圓，，，于，，，，，，，，，，，，，，，．5．如圖，與有公共的頂點(diǎn)，，，且．點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)時，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】解：（1）．連接、，，，，，，；點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可得，，．（2）．連接、，，，，，，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可得，，即得．6．為等邊三角形，為邊上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，，，，，．（1）求證：；（2），且，連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，若，求的長．【解答】（1）證明：如圖1中，延長到，使得，連接．，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，．（2）解：如圖2中，取的中點(diǎn)，連接，作于，于．由（1）可知，，，，，四邊形是平行四邊形，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，設(shè)，則，，，在中，，，，，，，即，，在中，，，，，在中，，，．7．在和中，，，．、分別為、的中點(diǎn)，連接、．（1）如圖1，當(dāng)時，的值是，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)為；（2）如圖2，當(dāng)時，求的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)時，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，請直接寫出點(diǎn)、、在同一直線上時的值．【解答】解：（1）如圖1，連接，并延長交于，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，，，，，，，，是等邊三角形，，，又，是等邊三角形，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）如圖2，連接，并延長交于，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，，，，，，，，，，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)為；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，連接，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，，，，又點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，同理可求，綜上所述：的值為或．8．（1）如圖①，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度得到△，連接、，證明：．（2）如圖②，四邊形和四邊形均為正方形，連接，，求的值．【解答】證明：（1）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度得到△，，，，，，；（2）連接和，四邊形和四邊形均為正方形，，，，則，，，．．．9．在中，，，，為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．（1）如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時，；（2）如圖2，若，求的值．【解答】解：（1）過點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，，，，，，，為中點(diǎn)，，，，，，，故答案為：；（2）過點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的值為．10．已知：點(diǎn)、、在同一條直線上，，線段、交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，①問線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②求的大?。ㄓ帽硎荆?；（2）如圖2，若，，則線段與的數(shù)量關(guān)系為，（用表示）；（3）在（2）的條件下，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接并延長交于點(diǎn)．則（用表示）．【解答】解：（1）如圖1．①，理由如下：，，，，同理可得：，，，即：．在與中，，，；②，，，；（2）如圖2．，，，同理可得：，，，即：．，，．在與中，，，，，，；，．故答案為：，；（3）如右圖．，，，同理可得：，，即．，，．在與中，，，，，，，．故答案為：．11．若繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，則我們稱與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識理解：如圖1，與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．①若，，，則；②若，，，則（2）知識運(yùn)用：如圖2，在四邊形中，，于點(diǎn)，，求證：與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（3）拓展提高：如圖3，為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)為延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．若，，求的值．【解答】解：（1）①和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，，，又，，；②，，，，，，，故答案為：；；（2），，，，即，又，，，又，，，，，繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)后與構(gòu)成位似圖形，和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3），由題意得：，，，，，，由勾股定理可得，，．12．（1）問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，和均為等邊三角形，直線和直線交于點(diǎn)．填空：①的度數(shù)是；②線段，之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）類比探究如圖2，和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)．請判斷的度數(shù)及線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，在中，，，，點(diǎn)在邊上，于點(diǎn)，，將繞著點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，請直接寫出直線經(jīng)過點(diǎn)時，點(diǎn)到直線的距離．【解答】解：（1）如圖1中，和均為等邊三角形，，，，，，，，設(shè)交于點(diǎn)．，，，故答案為，．（2）結(jié)論：，．理由：如圖2中，，，，，，，，，，．（3）如圖3中，，，，，四點(diǎn)共圓，，，，，，，，在中，，，，，，，，點(diǎn)到直線的距離等于．如圖4中，當(dāng)，在同一直線上時，同法可知，，點(diǎn)到直線的距離等于．綜上所述，點(diǎn)到直線的距離等于．13．如圖，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，我們稱與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識理解：兩個重合了一個頂點(diǎn)且邊長不相等的等邊三角形是（填“是”或“不是”“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；如圖1，和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，①若，，，則；②若，，，則；（2）知識運(yùn)用：如圖2，在四邊形中，，于，，求證：和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）拓展提高：如圖3，為等腰直角三角形，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，若，，求出和的值．【解答】解：（1）兩個重合了一個頂點(diǎn)且邊長不相等的等邊三角形，把其中一個三角形繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后構(gòu)成位似圖形，故它們互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；①和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，，，又，，；②，，，，，，，故答案為：是；；；（2）證明：，，，，即，又，，，又，，，，和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3），，，，，，，代入求得：．如圖3，過作于，，，，，，，，，，根據(jù)勾股定理，得；綜上，，．14．已知正方形，動點(diǎn)在上運(yùn)動，過點(diǎn)作射線于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，在上取一點(diǎn)，使，連接，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)在延長線上，求證：；（3）如圖3，若把正方形改為矩形，且，其他條件不變，請猜想，和的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不必證明．【解答】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)作交的延長線于，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：；證明：如圖3，過點(diǎn)作交于，，四邊形是矩形，，，同（1）的方法得，，，，四邊形是矩形，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，，．15．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一直線上，連接．①線段，之間的數(shù)量關(guān)系為；②的度數(shù)為．（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)，，在同一直線上，連接，求的值及的度數(shù)；（3）解決問題：如圖3，在正方形中，，若點(diǎn)滿足，且，請直接寫出點(diǎn)到直線的距離．【解答】解：（1）①和均為等邊三角形，，，，，，在和中，，，；②，，，，；故答案為：①，②；（2）和均為等腰直角三角形，，，，，即，，，，，，，，故，；（3）點(diǎn)滿足，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，，點(diǎn)在以為直徑的圓上，如圖3，點(diǎn)是兩圓的交點(diǎn)，若點(diǎn)在上方，連接，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，，，，，，，，四邊形是矩形，，在和中，，，，，，，，，在中，，即，解得：或．點(diǎn)到直線的距離為或．16．圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一．小華和小芳對等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究．如圖（1），已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)，分別在線段，上，且．（1）觀察猜想小華將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖（2），當(dāng)?shù)难娱L線恰好經(jīng)過點(diǎn)時，①的值為；②的度數(shù)為度；（2）類比探究如圖（3），小芳在小華的基礎(chǔ)上，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，連接，，設(shè)的延長線交于點(diǎn)，請求出的值及的度數(shù)，并說明理由．（3）拓展延伸若，，當(dāng)所在的直線垂直于時，請你直接寫出的長．【解答】解：（1）如圖（2）中，設(shè)交于點(diǎn)．，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，故答案為：，45．（2）如圖（3）中，設(shè)交于點(diǎn)．，都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，．（3）如圖（4）中，當(dāng)于時，，，，，，，，，，．如圖（4）中，當(dāng)時，延長交于．同法可得，，，，綜上所述，的長為或．專題13一線三等角模型證相似1．如圖，在邊長為的等邊中，為上一點(diǎn)，且，在上，，則的長為．A． B． C．7 D．62．如圖，邊長為的正方形中，有一個小正方形，其中、、分別在、、上，若，則小正方形的面積等于．3．已知等邊，，分別在邊、上，將沿折疊，點(diǎn)落在邊上的處．（1）求證：；（2）若時，求．4．如圖有一塊三角尺，，，，，用一張面積最小的正方形紙片將這個三角尺完全覆蓋．求出這個正方形的面積．5．已知：如圖，是等邊三角形，點(diǎn)、分別在邊、上，．（1）求證：；（2）如果，，求的長．6．如圖，在矩形中，，，是邊上的任意一點(diǎn)與、不重合），作，交于點(diǎn)．（1）判斷與是否相似，并說明理由．（2）連接，若，試求出此時的長．7．如圖1，在中，，，點(diǎn)在邊上從向運(yùn)動．以為頂點(diǎn)作，射線交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連接．（1）求證：．（2）當(dāng)時（如圖，求和的長．（3）設(shè)點(diǎn)在邊上從向運(yùn)動的過程中，直接寫出點(diǎn)運(yùn)動的路徑長．8．在中，點(diǎn)、在邊上，點(diǎn)在邊上，連接、，，（1）如圖1，點(diǎn)、重合，時①若平分，求證：；②若，則；（2）如圖2，點(diǎn)、不重合．若，，，求的值．9．已知：在中，，，且點(diǎn)，分別在矩形的邊，上．（1）如圖1，填空：當(dāng)點(diǎn)在上，且，，則；（2）如圖2，若是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）如圖3，若，，分別交于點(diǎn)，，求證：．10．在中，，，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，將線段所在的直線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，再將線段所在的直線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，直線與直線相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上，當(dāng)時，如圖1，直接判斷的大??；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上，當(dāng)時，如圖2，試判斷線段的大小，并說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上，當(dāng)，，時，請利用備用圖探究面積的大小（直接寫出結(jié)果即可）．11．如圖，在中，已知，，且，將與重合在一起，不動，運(yùn)動，并滿足：點(diǎn)在邊上沿到的方向運(yùn)動，且始終經(jīng)過點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)時，①求的長；②直接寫出重疊部分的面積；（3）在運(yùn)動過程中，當(dāng)重疊部分構(gòu)成等腰三角形時，求的長．12．如圖，直線與雙曲線的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為．（1）求的度數(shù)；（2）求的長；（3）已知點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．13．【感知】如圖①，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．易證：．（不需要證明）【探究】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，為的中點(diǎn)，求的長．【應(yīng)用】如圖③，在中，，，．為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時，的長為．14．如圖1，已知正方形在直線的上方，在直線上，是射線上一點(diǎn)，以為邊在直線的上方作正方形．（1）連接，觀察并猜測的值，并說明理由；（2）如圖2，將圖1中正方形改為矩形，，，為常數(shù)），是射線上一動點(diǎn)（不含端點(diǎn)，以為邊在直線的上方作矩形，使頂點(diǎn)恰好落在射線上，當(dāng)點(diǎn)沿射線運(yùn)動時，請用含，的代數(shù)式表示的值．15．如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)動到點(diǎn)停止，是邊上一動點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，始終保持，設(shè)，．（1）直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）先完善表格，然后在平面直角坐標(biāo)系中（如圖利用描點(diǎn)法畫出此拋物線，直接寫出；23456782332（3）結(jié)合圖象，指出、在運(yùn)動過程中，當(dāng)達(dá)到最大值時，的值是；并寫出在整個運(yùn)動過程中，點(diǎn)運(yùn)動的總路程．16．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，直線過點(diǎn)，分別過、兩點(diǎn)作，，垂足分別為、．求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，是上一點(diǎn)，過作的垂線交于點(diǎn)．若，，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，在平行四邊形中，在上取點(diǎn)，使得，若，，，求平行四邊形的面積．17．感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，，由，，可得；又因?yàn)?，可得，進(jìn)而得到我們把這個模型稱為“一線三等角”模型．應(yīng)用：（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)（不與、重合），點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，且．①求證：；②當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，求的長；拓展：（3）在（2）的條件下，如圖2，當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出的長．專題13一線三等角模型證相似1．如圖，在邊長為的等邊中，為上一點(diǎn)，且，在上，，則的長為．A． B． C．7 D．6【解答】解：是等邊三角形，，，，，，，，，，，，故選：．2．如圖，邊長為的正方形中，有一個小正方形，其中、、分別在、、上，若，則小正方形的面積等于．【解答】解：正方形的邊長為，，四邊形和均為正方形，小正方形的面積等于：故答案為：．三．解答題（共15小題）3．已知等邊，，分別在邊、上，將沿折疊，點(diǎn)落在邊上的處．（1）求證：；（2）若時，求．【解答】解：（1）證明：等邊將沿折疊，點(diǎn)落在邊上的處．又；（2）設(shè)，則，翻折，設(shè)，，，由得：①由得：②由①②解得：，．4．如圖有一塊三角尺，，，，，用一張面積最小的正方形紙片將這個三角尺完全覆蓋．求出這個正方形的面積．【解答】解：，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，答：這個正方形的面積為：．5．已知：如圖，是等邊三角形，點(diǎn)、分別在邊、上，．（1）求證：；（2）如果，，求的長．【解答】（1）證明：是等邊三角形，，，，，；（2）解：由（1）證得，，設(shè)，則，，或，或．6．如圖，在矩形中，，，是邊上的任意一點(diǎn)與、不重合），作，交于點(diǎn)．（1）判斷與是否相似，并說明理由．（2）連接，若，試求出此時的長．【解答】解：（1）與相似，理由如下：四邊形是矩形，，，，，，；（2）連接，如圖所示：由（1）知，，，，，，，在矩形中，，，，，．7．如圖1，在中，，，點(diǎn)在邊上從向運(yùn)動．以為頂點(diǎn)作，射線交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連接．（1）求證：．（2）當(dāng)時（如圖，求和的長．（3）設(shè)點(diǎn)在邊上從向運(yùn)動的過程中，直接寫出點(diǎn)運(yùn)動的路徑長．【解答】（1）證明：，，又，，，，，；（2）解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，由（1）得，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，；（3）解：點(diǎn)隨著點(diǎn)的運(yùn)動而運(yùn)動，在線段上，點(diǎn)的軌跡也是一條線段，如圖，當(dāng)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)在的位置，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)在的位置，，為點(diǎn)的運(yùn)動路徑，，，，，，即，，在中，，，，，即，，，，△是等腰三角形，，△與都是等腰三角形，△，，由（2）得，，，點(diǎn)運(yùn)動的路徑長為．8．在中，點(diǎn)、在邊上，點(diǎn)在邊上，連接、，，（1）如圖1，點(diǎn)、重合，時①若平分，求證：；②若，則或；（2）如圖2，點(diǎn)、不重合．若，，，求的值．【解答】解：（1）①，，平分，，，且，，且，，，；②如圖1，過作于，過作，交于，，，設(shè)，，則，，，，，，，，，，，，即，設(shè)，則，，，，或，或，故答案為：或；（2）如圖2，過作，交于，過作于，過作，交于，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，同理由（1）得：，，即，，中，，，，，，，．9．已知：在中，，，且點(diǎn)，分別在矩形的邊，上．（1）如圖1，填空：當(dāng)點(diǎn)在上，且，，則；（2）如圖2，若是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）如圖3，若，，分別交于點(diǎn)，，求證：．【解答】（1）解：，，，，又，，，，，，故答案為：；（2）證明：延長、交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，，；（3）證明：如圖，過點(diǎn)作交的延長線于，，同（1）同理得，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，．10．在中，，，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，將線段所在的直線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，再將線段所在的直線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，直線與直線相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上，當(dāng)時，如圖1，直接判斷的大??；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上，當(dāng)時，如圖2，試判斷線段的大小，并說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)在直線上，當(dāng)，，時，請利用備用圖探究面積的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果即可）．【解答】解：（1）如圖1，連接，，，是等邊三角形，，將線段所在的直線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，再將線段所在的直線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，是等邊三角形，，，，，，，；（2），理由如下：如圖2，連接，，，，將線段所在的直線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，再將線段所在的直線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，，又，，；（3），點(diǎn)不在線段上，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時，如圖3，過點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，由（2）可知，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時，如圖4，過點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，由（2）可知，，，，，，；綜上所述：面積為或．11．如圖，在中，已知，，且，將與重合在一起，不動，運(yùn)動，并滿足：點(diǎn)在邊上沿到的方向運(yùn)動，且始終經(jīng)過點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)時，①求的長；②直接寫出重疊部分的面積；（3）在運(yùn)動過程中，當(dāng)重疊部分構(gòu)成等腰三角形時，求的長．【解答】（1）證明：，，，，，，；（2）①當(dāng)時，，，，，，，，，，，，在中，，，，；②在中，，，重疊部分的面積為；（3）①當(dāng)時，，，，②當(dāng)時，則，，即，，，，，；③當(dāng)時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，即，此時重疊部分圖形不能構(gòu)成三角形；或．12．如圖，直線與雙曲線的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為．（1）求的度數(shù)；（2）求的長；（3）已知點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，如圖所示：當(dāng)時，．即點(diǎn)．當(dāng)時，，即點(diǎn)．．．．（2）過點(diǎn)作軸，垂足為，如圖所示．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為：．且．，．．．．即：．或（舍．．．即：．（3）過作，點(diǎn)在軸上，再過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示．設(shè)，．．．．．，且是一內(nèi)角的外角．．．即：．．．．．13．【感知】如圖①，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．易證：．（不需要證明）【探究】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，為的中點(diǎn)，求的長．【應(yīng)用】如圖③，在中，，，．為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時，的長為或2．【解答】【探究】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，又，；（2）解：為的中點(diǎn)，，由（1）知，，即，；【應(yīng)用】解：如果，則，，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，②如果，則，為的外角，，，，，，，，又，，，，，，，，；如果，則，，在中，，，，又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，綜上，的長為或2，故答案為：或2．14．如圖1，已知正方形在直線的上方，在直線上，是射線上一點(diǎn)，