(27)-周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)_第1頁
(27)-周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)_第2頁
(27)-周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)_第3頁
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周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)我們所討論的周期函數(shù)都是以2p為周期的.但是實際問題中所遇到的周期函數(shù),它的周期不一定是2p.怎樣把周期為2l的周期函數(shù)f(x)展開成三角級數(shù)呢？問題:我們希望能把周期為2l的周期函數(shù)f(x)展開成三角級數(shù),為此我們先把周期為2l的周期函數(shù)f(x)變換為周期為2p的周期函數(shù).令及,則F(t)是以2p為周期的函數(shù).這是因為.于是當F(t)滿足收斂定理的條件時,F(t)可展開成傅里葉級數(shù):,其中,(n=0,1,2,),(n=1,2,).從而有如下定理:定理設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件,則它的傅里葉級數(shù)展開式為,其中系數(shù)an,bn為(n=0,1,2,),(n=1,2,).當f(x)為奇函數(shù)時,,其中(n=1,2,).當f(x)為偶函數(shù)時,,其中(n=0,1,2,).例1設(shè)f(x)是周期為4的周期函數(shù),它在[-2,2)上的表達式為(常數(shù)k0).將f(x)展開成傅里葉級數(shù).解這里l=2.(n0);于是(-<x<+,x0,2,4,;在x=0,2,4,收斂于).例2將函數(shù)展開成正弦級數(shù).解對M(x)進行奇延拓.則an=0(n=0,1,2,3,),.對上式右邊的第二項,令t=l-x,則.當n=2,4,6,時,bn=0;

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