數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分類匯編平面向量

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第五章平面向量第一節(jié)平面向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示題型59向量的概念及共線向量1.（2016北京理4）設(shè)是向量,則“”是“”的（）.A。充分而不必要條件B。必要而不充分條件C。充分必要條件D.既不充分也不必要條件1.D解析因?yàn)?所以由此可知，“"是“”的既不充分也不必要條件。故選D。題型60平面向量的線性表示1.（2013浙江理17)設(shè)為單位向量，非零向量，若的夾角為，則的最大值等于________.2。（2014浙江理8）記，,設(shè)為平面向量，則(）.A. B.C。D。題型61向量共線的應(yīng)用1.（2013江蘇10）設(shè)分別是的邊上的點(diǎn)，，，若（為實(shí)數(shù)），則的值為.2．(2015全國(guó)2理13）設(shè)向量不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)．2。解析根據(jù)向量平行的條件，因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，則有解得,所以．3。（2017全國(guó)3理12）在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為(）.A．3 B． C。 D．23。解析解法一：由題意，作出圖像，如圖所示．設(shè)與切于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正半軸,為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)坐標(biāo)為．因?yàn)?，．所以．因?yàn)榍杏邳c(diǎn)．所以⊥．所以是斜邊上的高．，即的半徑為．因?yàn)辄c(diǎn)在上．所以點(diǎn)的軌跡方程為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，可以設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程，而，,．因?yàn)?所以,．兩式相加得（其中，），當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最大值為3．故選A。解法二:如圖所示，考慮向量線性分解的等系數(shù)和線,可得的最大值為3。2。(2017浙江理15）已知向量，滿足，，則的最小值是，最大值是.解析解法一：如圖所示，和是以為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線,則,是以為圓心的單位圓上的一動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)造2個(gè)全等的平行四邊形，平行四邊形．所以．易知當(dāng)，B，C三點(diǎn)共線時(shí),最小，此時(shí)；當(dāng)時(shí),最大，此時(shí)．解法二：（是向量，的夾角）.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值4；當(dāng)時(shí),取得最大值。題型62平面向量基本定理及應(yīng)用1。（2013天津理12）在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)．若,則的長(zhǎng)為．2．（2013江西理12）設(shè)，為單位向量．且，的夾角為，若，，則向量在方向上的射影為．3．（2013四川理12）在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，，則____________．4。（2014大綱理4)若向量滿足：，，，則().A．2B．C．1D．5.（2014廣東理5)已知向量則下列向量中與成夾角的是（）。A．B.C.D.6。（2014天津理8）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)分別在邊上，，.若，，則(）.A.B。C。D。7。(2014新課標(biāo)2理3）設(shè)向量滿足，，則（）.A。B。C.D。8。（2014江蘇理12）如圖,在平行四邊形中，已知，，，，則的值是．9.（2014江西理14）已知單位向量與的夾角為，且，向量與的夾角為,則.10.（2014山東理12）在中，已知，當(dāng)時(shí)，的面積為。11。（2014新課標(biāo)1理15）已知是圓上的三點(diǎn),若，則與的夾角為.12．（2015全國(guó)1理7）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn),,則（).A．B．C．D．12．解析由題可得，所以，所以．故選A．13．（2015北京理13）在中，點(diǎn),滿足，。若,則；.13．解析在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，則，因此，.14.(2016四川理10)在平面內(nèi)，定點(diǎn)，,,滿足,=﹒=﹒=，動(dòng)點(diǎn)，滿足,,則的最大值是（）.A。B.C.D.14.B解析甴已知易得,.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，。設(shè)，由已知，得。又,所以,所以。因此。它表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)距離平方的，所以.故選.15.(2017江蘇12）如圖所示，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量,,的模分別為，,，與的夾角為，且,與的夾角為．若，則．15。解析解法一：由題意（*)而由，得，,．將（＊）式化簡(jiǎn)為式①加式②，得．故填．解法二（坐標(biāo)法）：如圖所示，以所在的直線為軸,過(guò)且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,由題意結(jié)合解法一可得，，，由，得，即，解得,故．故填．解法三（解三角形）:由，可得,，如圖所示，根據(jù)向量的分解，易得，即，即，解得，所以．題型63平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.(2014福建理8）在下列向量組中，可以把向量表示出來(lái)的是（）。A。B.C.D.2。(2014湖南理16）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn),，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值是________.3.（2014陜西理13）設(shè)，向量，若，則_______.4.（2014陜西理18）在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在三邊圍成的區(qū)域(含邊界）上。（1）若，求；（2）設(shè)，用表示，并求的最大值.5．(2015年江蘇6）已知向量，,若,則的值為．5．解析由題意,從而，解得，故．評(píng)注也可以將用與線性表示，如:．6。（2017江蘇13）在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)，，點(diǎn)在圓上．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．6.解析不妨設(shè)，則，且易知．因?yàn)?，故．所以點(diǎn)在圓上，且在直線的左上方(含直線）.聯(lián)立，得，，如圖所示，結(jié)合圖形知．故填．評(píng)注也可以理解為點(diǎn)在圓的內(nèi)部來(lái)解決，與解析中的方法一致．題型64向量共線（平行）的坐標(biāo)表示--暫無(wú)第二節(jié)平面向量的數(shù)量積題型65平面向量的數(shù)量積1.（2013湖北理6）已知點(diǎn),，，，則向量在方向上的投影為(）。A．B．C．D．2。（2013福建理7)在四邊形中，，，則該四邊形的面積為（)。A.B。C.D。3。（2013安徽理9)在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)滿足，則點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積是（）。A.B。C。D.4。（2013遼寧理3）已知點(diǎn)，則與向量同方向的單位向量為(）.A.B.C.D.5。(2013湖南理6）已知是單位向量，。若向量滿足則的取值范圍是（).A．B．C．D．6。(2013重慶理10）在平面上，，,。若，則的取值范圍是（）。A。B.C。D.7。(2013浙江理7）設(shè)是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)，恒有，則（)。A.B.C。D.12。（2013全國(guó)新課標(biāo)卷理13)已知正方形的邊長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，則.8。（2013山東理15）已知向量與的夾角為,且，,若，且,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___________。9。（2014安徽理10）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，,點(diǎn)滿足.曲線，區(qū)域.若為兩段分離的曲線，則(）。A.B.C。D.10。（2014遼寧理5）設(shè)是非零向量,已知命題：若,，則；命題：若，，則，則下列命題中真命題是（）.A．B．C．D．11。（2014四川理7）平面向量，，，且與的夾角等于與的夾角,則()。A．B．C．D．12.（2014重慶理4）已知向量，且，則實(shí)數(shù)()。A.B。C.D。13.（2014北京理10）已知向量,滿足，，且,則________。14.(2014湖北理11)設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)________.在中，內(nèi)角的對(duì)邊，且。已知，，。求：（1）和的值；（2）的值.15．（2015安徽理8)是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,已知向量,滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）。A．B．C．D．15．解析解法一：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，故，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)Ｂ，因?yàn)?，所以與不垂直，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)?，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，選項(xiàng)D正確．故選D．解法二：對(duì)于選項(xiàng)D，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以．故選D．16．（2015福建理9）．已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且，則的最大值等于（）.A．13B．15C．19D．2116．解析以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,則，,，即，所以，，因此．由題可得,所以，所以的最大值等于13，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選A．17．（2015全國(guó)1理5）已知是雙曲線上的一點(diǎn)，,是的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是（）。A．B．C．D．17．解析由題可得，，且，即，所以，解得．故選A．18．（2015山東理4）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，則(）。A． B． C． D．18．解析解法一：如圖所示,在菱形中，，各邊長(zhǎng)均為,,，所以．故選D．解法二：由題可求得，與的夾角為,所以．故選D．19．（2015陜西理7）對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（）．A．B．C．D．19．解析解法一:，矛盾,B不正確。故選B.解法二：從幾何上考慮.如圖所示，由三角形兩邊之差小于第三邊得，，B不正確。故選B.20．（2015四川理7)設(shè)四邊形為平行四邊形，，.若點(diǎn)滿足，，則（)。A.B。C。D。20．解析，，所以。故選C.21．（2015重慶理6）若非零向量，滿足,且，則與的夾角為(）。A。B.C。D。21．解析設(shè)與的夾角為，根據(jù)題知，得，所以，，在由，得，，即．故選A．22．（2015年湖北理11）．已知向量，,則．22．解析因?yàn)?所以即，，故填9。23．(2015天津理14）在等腰梯形中，已知，，，，動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上，且，，則的最小值為。23．解析因?yàn)?，，，，，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.24．(2015浙江理15）已知是空間單位向量,,若空間向量滿足，且對(duì)于任意,,則,,．24。解析由已知可得，,。如圖所示，空間向量在確定的平面內(nèi)的射影是，則，設(shè)，則,在中,由余弦定理得，解得。。25．（2015年廣東理16）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，。若，求的值；若與的夾角為，求的值。25．解析（1）因?yàn)?，且,所以,所以，所以．（2)由（1)依題知，所以．又因?yàn)?，所?即．26。（2016全國(guó)丙理3)已知向量，，則（）.A.B.C.D.26.A解析由。又，所以.故選A.27。（2016全國(guó)甲理3）已知向量，，且,則（).A。 B。 C.6 D。827.D解析因?yàn)?，且，所以，解?故選D．28.（2016山東理8）已知非零向量，滿足，.若，則實(shí)數(shù)的值為（）。A．B．C．D．–28.B解析因?yàn)?由,所以，即，所以—4.故選B.29.（2016天津理7）已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn),分別是邊，的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得,則的值為（）。A。B。C.D。29。B解析由題意作圖，如圖所示.則。故選B。30.（2016全國(guó)乙理13)設(shè)向量，，且，則.30.解析因?yàn)?，故，?所以，得。31。(2016上海理12）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．31.解析表示單位圓的上半圓（包括端點(diǎn)）,不妨設(shè)，，，．32。（2016江蘇13）如圖所示，在中，是的中點(diǎn)，是上兩個(gè)三等分點(diǎn)，,，則的值是．32.解析解法一（基底法）：令，,則，,，則，,，，，，故，,因此，．故．解法二(建系法）:可以考慮以為原點(diǎn)，所在直線為軸，的中垂線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),，則，，．則，,,，，，由題意，，因此，。故．評(píng)注特別地，可以假定,建立特殊的直角坐標(biāo)系．這類問(wèn)題以前也遇到過(guò)，比如下面一題．在平面四邊形中,點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，且，,．若，則．解析解法一（配湊）：由題意得,，從而，平方整理得．（或)．故．解法二(建系）:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),，從而，,．由題意，從而,即通過(guò)，求解,①②得，即④，而③即為⑤，⑤④得，即．可見(jiàn),強(qiáng)制建系歸根結(jié)底轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)（強(qiáng)烈的目標(biāo)意識(shí)）處理，而合理的建系會(huì)對(duì)運(yùn)算起到簡(jiǎn)化作用．33。（2016浙江理15）已知向量,，，，若對(duì)任意單位向量，均有，則的最大值是．33.解析由題意可得,由于為任意的單位向量，有①,.當(dāng)與平行時(shí)，①式第一個(gè)小于等于號(hào)可取等號(hào)。當(dāng)時(shí)，有.取與的夾角余弦值的與，與平行時(shí)，上述等號(hào)都成立,可取到.34。（2017天津理13）在中，，，。若，，且,則的值為_(kāi)__________。34.解析解法一:如圖所示，以向量，為平面向量的基底,則依題意可得。又因?yàn)?，則，則，解得。解法二：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖所示).依題意易得，，，,,.則可得，,于是有,解得.35。（2017北京理6）設(shè)，為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的（）。A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C。充分必要條件 D.既不充分也不必要條件35.解析若,使,即兩向量方向相反，夾角為,則.若，也可能夾角為，方向并不一定相反，故不一定存在.故選A。36。（2017全國(guó)1理13）13.已知向量,的夾角為，,,則。36。解析，所以。37.（2017全國(guó)2理12）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,為平面內(nèi)一點(diǎn),則的最小值是(）。A.B。C。D。37.解析解法一（幾何法）:如圖所示，取的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)，取的中點(diǎn),由,則，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)