專題3.1 函數(shù)的概念及其表示【八大題型】（舉一反三）（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

專題3.1函數(shù)的概念及其表示【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對函數(shù)概念的理解】 1【題型2求函數(shù)的定義域】 3【題型3求函數(shù)的值域】 5【題型4由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)】 6【題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】 7【題型6同一函數(shù)的判斷】 9【題型7函數(shù)的表示法】 11【題型8分段函數(shù)】 13【知識點1函數(shù)的概念】1．函數(shù)的概念(1)一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function)，記作y=f(x)，xA.(2)函數(shù)的四個特征：①非空性：A，B必須為非空數(shù)集，定義域或值域為空集的函數(shù)是不存在的.②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數(shù)值.③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數(shù)值與之對應(yīng).④方向性：函數(shù)是一個從定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系，如果改變這個對應(yīng)方向，那么新的對應(yīng)所確定的關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.2．函數(shù)的三要素(1)定義域：函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍．(2)值域：與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域(range).(3)對應(yīng)關(guān)系：對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的核心，它是對自變量x實施“對應(yīng)操作”的“程序”或者“方法”．【題型1對函數(shù)概念的理解】【例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列變量間為函數(shù)關(guān)系的是（）A．勻速行駛的客車在2小時內(nèi)行駛的路程B．某地蔬菜的價格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系C．一只60瓦的白熾燈在7小時內(nèi)的耗電量與時間t的關(guān)系D．生活質(zhì)量與人的身體狀況間的關(guān)系【解題思路】根據(jù)定義知BD是依賴關(guān)系，A是常量，C是確定的函數(shù)關(guān)系，得到答案.【解答過程】對選項A：勻速行駛的客車在2小時內(nèi)行駛的路程是常量，不滿足；對選項B：某地蔬菜的價格與蔬菜的供應(yīng)量的關(guān)系是依賴關(guān)系，不滿足；對選項C：耗電量與時間t的關(guān)系是y=60對選項D：生活質(zhì)量與人的身體狀況間的關(guān)系是依賴關(guān)系，不滿足.故選：C.【變式1-1】（2023·全國·高三對口高考）集合A={x|0≤x≤2},B={A．f:x→C．f:x→【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合選項和函數(shù)的定義，逐項判定，即可求解.【解答過程】由集合A={對于A中，若f:x→y,y=13對于B中，若f:x→y,y=2x，則集合A中的元素對于C中，若f:x→y,y=2x，則集合A對于D中，若f:x→y,y=x，則集合A中的元素故選：A.【變式1-2】（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的概念結(jié)合條件分析即得.【解答過程】因為由函數(shù)的概念可知，一個自變量對應(yīng)唯一的一個函數(shù)值，故ABD正確；選項C中，當x=0時有兩個函數(shù)值與之對應(yīng)，所以C錯誤.故選：C.【變式1-3】（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知集合A=x0≤x≤4，集合B=xA． B．C． D．【解題思路】存在點使一個x與兩個y對應(yīng)，A錯誤；當2<x≤4時，沒有與之對應(yīng)的y，B錯誤；y的范圍超出了集合B的范圍，C錯誤；選項D【解答過程】對選項A：存在點使一個x與兩個y對應(yīng)，不符合，排除；對選項B：當2<x≤4時，沒有與之對應(yīng)的對選項C：y的范圍超出了集合B的范圍，不符合，排除；對選項D：滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確.故選：D.【題型2求函數(shù)的定義域】【例2】（2023·湖南衡陽·高二校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)y=1xA．xx≥-2且x≠1 B．xx≥-2 C．x【解題思路】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【解答過程】依題意，x-1≠0x+2≥0，解得所以函數(shù)y=1x-1故選：A.【變式2-1】（2023春·重慶江津·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)f(x+1)的定義域是-2,3，則函數(shù)A．-1,4 B．-7,3 C．-3,7【解題思路】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域計算規(guī)則計算可得.【解答過程】因為函數(shù)f(x+1)的定義域是-令-1≤2x-1≤4，解得0≤x故選：D.【變式2-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若函數(shù)fx的定義域為0,4，則函數(shù)gx=fA．1,2 B．1,4 C．1,2 D．1,4【解題思路】根據(jù)題意可得出關(guān)于x的不等式組，由此可解得函數(shù)gx的定義域【解答過程】解：因為函數(shù)fx的定義域為0,4對于函數(shù)gx=fx+2即函數(shù)gx=f故選：C.【變式2-3】（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)y=fx的定義域為-8,1，則函數(shù)A．-92,-2∪-2,0 B．-【解題思路】根據(jù)抽象函數(shù)和具體函數(shù)的定義域可得出關(guān)于x的不等式組，由此可解得函數(shù)gx的定義域【解答過程】因為函數(shù)y=fx的定義域為-則有-8≤2x+1≤1x+2≠0因此，函數(shù)gx的定義域為-故選：A.【題型3求函數(shù)的值域】【例3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)f(x)=|x|+1A．{1,2} B．[1,2] C．{0,1} D．[1,+【解題思路】根據(jù)定義域，代入解析式，求出值域.【解答過程】當x=±1時，f(x)=1+1=2，當故值域為{1,2}.故選：A.【變式3-1】（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)fx=2--A．-2,2 B．1,2 C．0,2 D．【解題思路】求出函數(shù)的定義域，設(shè)t=-x2+4x=-【解答過程】由-x2+4x≥0設(shè)t=-x2所以y=2-t∈[0,2]，即函數(shù)y故選：C.【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中與函數(shù)y=x2值域相同的是（

A．y=x B．y=1x C．y=-x【解題思路】先得出函數(shù)y=x2值域，再由一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)進行判斷【解答過程】函數(shù)y=x2=x對于A，函數(shù)y=x的值域為R，故A錯誤；對于B，函數(shù)y=1x的值域為yy≠0對于C，函數(shù)y=-x2≤0，其值域為對于D，y=x2-2故選：D.【變式3-3】（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)f(x)的定義域為[1,9]，且當1≤x≤9時，fA．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]【解題思路】首先由f(x)的定義域得出y=[【解答過程】由f(x)的定義域為[1,9]則1≤x2≤9所以y=因為x∈[1,3]，所以函數(shù)y在x當x=1,y=12故函數(shù)y的值域為12,36.故選：C．【題型4由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)】【例4】（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=32-xaA．0≤a≤2 BC．0<a≤8 D【解題思路】根據(jù)題意得ax2+ax+2≠0在x∈R【解答過程】因為函數(shù)定義域為R，所以ax2+ax當a=0時，a當a≠0時，要滿足Δ=a綜上：0≤a故選：B.【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=3x-A．3 B．-3 C．13 D【解題思路】易知f(x)的定義域為R,得到值域為R,當x≠3時，利用分離常數(shù)法求得函數(shù)值的取值范圍，{【解答過程】顯然，fx=3x-1y=3x-1故選：A.【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=x2-4A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4]【解題思路】因為函數(shù)fx=x2-4x【解答過程】函數(shù)fx且以直線x=2故f0∵函數(shù)fx=x2-4所以2≤m即m的取值范圍是2,4,故選D.【變式4-3】（2022秋·安徽蕪湖·高一?？计谥校┒x：稱b-a為區(qū)間a,b的長度，若函數(shù)fxA．-4 B．-2 C．4或-2 D【解題思路】由值域結(jié)合題設(shè)條件確定定義域，從而得出a的值.【解答過程】函數(shù)fx的值域為0,4ac-b設(shè)ax2+bx+因為|x2-所以a2=-4a故選：A.【題型5求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】【例5】（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)f(x)=x3A．3 B．5 C．7【解題思路】把x=2代入解析式即可求解【解答過程】f(2)=故選：C.【變式5-1】（2023·高一課時練習(xí)）下表給出了x與f(x)和g(xx1234x1234f3142g4321A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)表中數(shù)據(jù)即可先求g1=4，再求解f【解答過程】由表中數(shù)據(jù)可知g1=4，所以故選：B.【變式5-2】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）已知fx+1=2x-3，且A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】令x+1=a，解得x=a【解答過程】解：因為fx+1=2令x+1=a，解得所以fa解得a=4故選：A.【變式5-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知fx=ax5+1，且A．-8 B．10 C．9 D．【解題思路】先由f-2=10求出【解答過程】因為fx=a所以a?-2所以fx所以fx故選：A.【知識點2函數(shù)的相等】1．函數(shù)的相等同一函數(shù)：只有當兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都分別相同時,這兩個函數(shù)才相等,即是同一個函數(shù).2．區(qū)間的概念設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且a<b.我們規(guī)定：(1)滿足不等式的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]；(2)滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；(3)滿足不等式或的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a,b),(a,b].這里的實數(shù)a與b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點.【題型6同一函數(shù)的判斷】【例6】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列函數(shù)中，是同一函數(shù)的是（

）A．y=(B．y=xC．y=xD．y=x【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義判斷.【解答過程】選項A中，函數(shù)y=(x-1)0的定義域是選項B中，函數(shù)y=x的定義域是R，函數(shù)y=選項C中，兩個函數(shù)定義域都是R，對應(yīng)法則也相同，是同一函數(shù)；選項D中，兩者對應(yīng)法則不相同，前者對應(yīng)自變量直接平方，后者對應(yīng)自變量減去1后的平方，不是同一函數(shù)．故選：C．【變式6-1】（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中與函數(shù)y＝x表示同一個函數(shù)的是（）A．y＝|x| B．y=x2x C．【解題思路】利用函數(shù)概念，分析函數(shù)的三要素是否相同即可求解.【解答過程】對于選項A,值域與函數(shù)y=x不同，所以不是同一個函數(shù)，故排除對于選項B，函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個函數(shù)，故排除B；對于選項C，函數(shù)定義域不同，所以不是同一個函數(shù)，故排除C；對于選項D，因為函數(shù)y=3x3=故選：D.【變式6-2】（2023秋·高一單元測試）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．fx=x+1與gxC．fx=1，gx=x【解題思路】由相同函數(shù)有相同定義域及相同解析式判斷各選項即可.【解答過程】相同函數(shù)有相同定義域及相同解析式.對于選項A：fx=x+1的定義域為R，gx對于選項B：函數(shù)fx=x?xx又fx=x?對于選項C：fx的定義域為R，gx的定義域為xx對于選項D：fx=x2的定義域為R，gx故選：B.【變式6-3】（2023春·湖南衡陽·高一?？奸_學(xué)考試）下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是（

）A．y=xx與y=1 BC．y=x2-1x-【解題思路】分別分析每個選項中函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系式是否相同即可.【解答過程】選項A函數(shù)y=xx的定義域為x|x故A錯誤；選項B函數(shù)y=x3+xx2且，y=x3選項C函數(shù)y=x2-1x-故C錯誤；選項D函數(shù)y=x2-2x+1但是y=x2故選：B.【知識點3函數(shù)的表示法】1．函數(shù)的表示法函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.(1)解析法：就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系；(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系；(3)圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.2．抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)抽象函數(shù)的概念：沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù)．(2)復(fù)合函數(shù)的概念：若函數(shù)y=f(t)的定義域為A，函數(shù)t=g(x)的定義域為D，值域為C，則當CA時，稱函數(shù)y=f(g(x))為f(t)與g(x)在D上的復(fù)合函數(shù)，其中t叫做中間變量，t=g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，y=f(t)叫做外層函數(shù).【題型7函數(shù)的表示法】【例7】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)f(x),g(x-0123f2130-g32--0A．0 B．2 C．-2 D．【解題思路】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求值的方法分步求解即可．【解答過程】解：g(1)=-1∴f故選：B．【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時，再增選一名代表，則各班推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)，如[A．y=[x+210] B．y=[【解題思路】令班級人數(shù)的個位數(shù)字為n，則x=10m+n（m∈N【解答過程】設(shè)班級人數(shù)的個位數(shù)字為n，令x=10m+當0≤n≤6時，y=m，當綜上，函數(shù)關(guān)系式為y=[故選：B.【變式7-2】（2023春·寧夏銀川·高三校考階段練習(xí)）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點E由點A沿線段AB向點B移動，過點E作AB的垂線l，設(shè)AE=x，記位于直線l左側(cè)的圖形的面積為y，那么y與xA． B．C． D．【解題思路】根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可.【解答過程】當0≤x≤1時，當1<x≤2時，綜上所述：y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是選項D，故選：D.【變式7-3】（2023·全國·高三對口高考）如圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為（）A．yB．yC．yD．y【解題思路】分段求解：分別把0≤x≤1及1≤x≤2時的解析式求出即可．【解答過程】當0≤x≤1時，設(shè)f（x）=kx，由圖象過點（1，32），得k=32，所以此時f（x）=3當1≤x≤2時，設(shè)f（x）=mx+n，由圖象過點（1，32），（2，0），得{32=所以此時f（x）=-32x+3．函數(shù)表達式可轉(zhuǎn)化為：y＝32故選B.【題型8分段函數(shù)】【例8】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知f(x)=-xA．-3 B．3 C．-9 D【解題思路】