2023-2024學年山東省青島高二年級下冊期初考試數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年山東省青島高二下冊期初考試數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知直線/：x+y-4=0.則下列結(jié)論正確的是()

A.點(2,-2)在直線/上B.直線/在了軸上的截距為-4

C.直線/的傾斜角為'三ITD.直線/的一個方向向量為戶=(1,1)

【正確答案】C

【分析】根據(jù)點與直線位置關(guān)系、截距的定義、斜率和傾斜角關(guān)系以及方向向量定義依次判

斷各個選項即可.

【詳解】對于A,?.?2-2-4=-4*0,.??點(2,-2)不在直線/上，A錯誤；

對于B,?.，：y=-x+4,.?./在V軸上的截距為4,B錯誤；

3兀

對于C,由/：y=-x+4得：直線/斜率％=-1,.,.直線/的傾斜角為二，c正確；

對于D,若直線/的一個方向向量為E=(l,l),則其斜率Z=1,不合題意，D錯誤.

故選：C.

2.已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)/'(X)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是()

A./(X)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增

B./(x)在區(qū)間(-2,0)上單調(diào)遞增

C.T為/(x)的極小值點

D.2為/(x)的極大值點

【正確答案】D

【分析】由圖象可確定/'(X)在不同區(qū)間內(nèi)的正負，由此可得/(x)單調(diào)性，結(jié)合極值點定

義依次判斷各個選項即可.

【詳解】對于A,當xe(-l,O)時，/'(x)<0；當xe(O,l)時，.歡x)>0；

\/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，A錯誤；

對于B,當x?-2,0)時，r(x)<0,\/(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減，B錯誤；

對于C,???/(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減，不是“X)的極小值點，C錯誤；

對于D,當xe(O,2)時，/幻)>0；當xe(2,3)時，/(x)<0；

\/(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞減，.「=2是/(X)的極大值點,D正確.

故選：D.

3.拋物線x=4/的焦點坐標是

A.(1,0)B.(0,1)C.0.(。，1y

【正確答案】C

【詳解】因為拋物線方程為》=4貫，則其標準方程為

可得該拋物線焦點在x軸上，且2P=!，4=工

4216

故其焦點坐標為6,0).

故選：C.

4.記等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，己知$7=14,*=36,則"=()

A.-2B.2C.yD.-1

【正確答案】B

【分析】結(jié)合等差數(shù)列求和公式和等差數(shù)列下標和性質(zhì)可求得。4,“5,進而求得公差.

【詳解】???$=7(%；%)=7%=]4,59=9(4+磯=96=36,，%=2,as=4,

，公差"=。5-。4=2.

故選：B.

5.如圖，M是四面體。48c的棱8C的中點，點N在線段。股上，點P在線段MV上，且

MN=；ON,AP^AN,則向量而可表示為()

o

—3—1—11—

A.CP=-OA+—OB——OCB.CP=-OA+—OB--OC

4121241616

一1—1—11—

C.CP=-OA+—OB——OCD.CP=-OA+-OB--OC

41216244

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量加減法和數(shù)乘運算,結(jié)合圖形關(guān)系直接求解即可.

1——2——

【詳解】yMN=-0N,:.ON=-OM,

23

:.CP=CA+AP=OA-OC+^AN=OA-OC+^ON-^OA

444

^-OA-OC+-OM^U)A-OC+—\pB+OCV-OA+-OB-^-0C.

46412'廠41212

故選：A.

6.已知半徑為2的圓經(jīng)過點（2,2）,其圓心到直線3x+4y+6=0的距離的最大值為（）

A.1B.2C.4D.6

【正確答案】D

【分析】首先求得圓心的軌跡為以（2,2）為圓心，2為半徑的圓，由此可知所求最大值為（2,2）

到直線的距離加上半徑2,結(jié)合點到直線距離公式可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓的圓心為（x,y）,則（》_2）2+（夕-2）2=4,

則圓的圓心的軌跡是以（2,2）為圓心，2為半徑的圓，

|3x2+4x2+6|

圓心到直線3x+4.y+6=0的距離的最大值為+2=6.

陽+42

故選:D.

7.比利時數(shù)學家〃〃發(fā)現(xiàn)：在圓錐內(nèi)放兩個大小不同且不相切的球，使得它

們分別與圓錐的側(cè)面、底切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截面曲線是橢圓.

這個結(jié)論在圓柱中也適用，如圖所示，在一個高為10,底面半徑為2的圓柱體內(nèi)放球，球

與圓柱底面及側(cè)面均相切.若一個平面與兩個球均相切，則此平面截圓柱邊緣所得的圖形為

一個橢圓，該橢圓的離心率為（）

【正確答案】D

如圖，作出圓柱的軸截面，由于乙403=/。。。,所以534408=5吊/。（7。，而由已知可求

出05,4,0。的長，從而可得”=OC=3,而橢圓短軸的長就等于圓柱的底面直徑，得6=2,

由此可求出離心率.

【詳解】對圓柱沿軸截面進行切割，如圖所示，切點為A,4,延長N4與圓柱交于c,C,,

過點。作垂足為。.

在直角三角形Z8O中，AB=2,BO=---=3,

AD2r22

所以sinZ.AOB==—,又因為sinZ.AOB=sinAOCD===—,

BO3OCOC3

所以。=。。=3.

由平面與圓柱所截可知橢圓短軸即為圓柱底面直徑的長，即26=4,則可求得

c=yja2-h2=79^4=75，

所以e=￡=1,

a3

故選：D.

此題考查了圓與圓的位置關(guān)系、直角三角形中正弦的定義和橢圓的基本概念等知識，屬于基

礎(chǔ)題.

3111

8.數(shù)列｛。〃｝滿足％=7，-1=建一，7?GN\貝IJ—+—+…+——的整數(shù)部分是（）

2%出。23

A.3B.2C.1D.0

【正確答案】C

【分析】由。向-1=。；-％，得至1—T=-）再利用累加法得到

q-14「Ian

—+—+.-?+—=2---!―-,再根據(jù)=（%-1）220,得到a“+]2a〃，從而得到。24的

a\a2a23a24-]

范圍求解.

2

【詳解】解：由q

得

因為=(&-1)220,

所以4+i之4,

11111cl

則加=1---F…4---=------------=2-------

a-1

Q]a2a”\%4_1_1

所以。24N。232〃222〃3>2,

所以0<」不<1,

所以1<加<2,

所以〃7的整數(shù)部分為1,

故選：C

二、多選題

9.已知數(shù)列｛/｝為等差數(shù)列，公差為d,S,為其前〃項和，若滿足凡=0且品，>0,則下

列說法正確的是()

A.d>0B.”8=。C.53=、3D.當且僅當〃=7或8

時，S,取得最小值

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項和公式,結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計算并判斷數(shù)列｛4｝

單調(diào)性，再逐項判斷作答.

【詳解】等差數(shù)列｛%｝前〃項和為S“，￡5=”等驗=15怎=0,即4=0,B正確；

與6==8(q+/)>0，則”9>-。8=°，公差"=與-。8=。9>0，A正確；

數(shù)列｛?“｝是遞增等差數(shù)列，前7項均為負數(shù)，第8項為0,從第9項開始為正數(shù)，

所以當且僅當"=7或8時\S.取得最小值，D正確;

品-$3=%+%+…+%2+%3=5（。8+。9）=5%>0,C不正確.

故選：ABD

10.已知函數(shù)/3=/+*2+版+/在x=l處取得極值10,則下列說法正確的是()

A.。+6=0B.a+b=-7

C./(X)一定有兩個極值點D.〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

-00,—yU[l,+8)

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)廣(1)=0和/⑴=10可求得。力，代回解析式驗證X=1是否為極值點可知

?=4,b=-11滿足題意，由此可得AB正誤；根據(jù)極值點定義可知C正確；驗證可知/(X)

在(-8，-費u[l,+8)不滿足單調(diào)遞增定義，知D錯誤.

【詳解】???/'(力=3/+2奴+6,且“X)在x=l處取得極值10,

，⑴=3+2。+人=0fa=4(a=-3

/(l)=l+〃+6+a=10[b=—11[b=3

當a=4,b=-ll時，/,(X)=3X2+8X-11=(3X+11)(X-1),

則當xe(f,-?U(l,+8)時，仆(x)>0；當方4_曰[時，r(x)<0;

\/(x)在(f,-￡),(1,+8)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

.?"=1是/(x)的極小值點，滿足題意；

當°=-3,6=3B寸，/,(X)=3X2-6X+3=3(X-1)2>0,

\/卜)在R上單調(diào)遞增，不合題意；

綜上所述：a=4,b=—ll；

對于AB,a+b=4-ll=-7fA錯誤，B正確；

對于C,X=-/和x=l分別為/(x)的極大值點和極小值點，c正確；

對于D,當。=4,6=—11時，f(-^)=x3+4x2—1lx+16,

?//(-4)=-64+64+44+16=60,/(l)=1+4-11+16=10,

.?./(-2)>/(1),即/(X)不滿足在U[l,+8)單調(diào)遞增，

/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間應(yīng)為,肛-弓和[1,”)，D錯誤.

故選：BC.

11.如圖，四邊形/8C。為矩形，P/_L平面488,PAHBE,且PA=BC=2BE=2BA,

記四面體P-/CD,E-PBC,E-4c的體積分別為匕，V2,匕，則下列說法正確的是()

A.直線EC〃平面ZPO

B.若尸為PC中點，則平面PEC

C.%=2%

D.直線與平面P/Q所成角的正切值為日

【正確答案】ACD

【分析】利用面面平行的判定可證得平面力尸?！ㄆ矫鍱BC,由面面平行的性質(zhì)知A正確;

假設(shè)B正確，由線面垂直的性質(zhì)和等腰三角形三線合一性質(zhì)可知尸/=/C,顯然不成立，

知B錯誤；利用體積橋，結(jié)合棱錐體積公式可分別求得匕匕，知C正確；根據(jù)線面角定義

作出所求角，由長度關(guān)系可求得D正確.

【詳解】對于A,???四邊形4BCZ)為矩形，.?./O〃2C,

又PA"BE,P44)<X平面ESC,BE,BCu平面EBC,

〃平面E5C,P4〃平面EBC,又ADcPA=A,/O,PZu平面〃>￡>,

二平面ZPD〃平面E8C,又ECu平面E8C,:.EC〃平面4尸。，A正確；

對于B,連接ZC,

假設(shè)當F為PC中點時，/尸，平面PEC,

?.?PCu平面PEC,.?./尸，尸C,又尸為PC中點，：.P4=4C,

由已知得：P/=8C=4O</C,.??假設(shè)錯誤，B錯誤；

對于C,設(shè)54=8E=1,

由A知：PAH平面EBC,:.%=%EBC=VA-EBC=%TBC=；S“sc.8E+>2A乂W；

vPA1ABCD,80匚平面力88,；.PAA.BC,

又BCA.AB,PAQAB=A,P4/8u平面刃E,.iBCl.平面4E,

1I1?

匕=匕田￡="/8C=?,ak2=7.?.匕=2匕，C正確；

對于D,取4中點G,連接DG,EG,

;PNJ.平面力BCD,工8匚平面/88,，尸4148,

5LABA.AD,P4c4D=A,P4,4Du平面P4D,/8J.平面PX。；

?;BE」PA=AG,8E///G,，四邊形"EG為平行四邊形，.?.EG//",

2--

.1EG1■平面尸4。，.1NEDG即為直線與平面尸工。所成角，

設(shè)8力=8E=1,則EG=48=I,DG=4AG2+AD2=75，

,tan"DG=^=某正,即直線E。與平面所成角的正切值為正，D正確.

DGy/555

故選：ACD.

22

12.已知片（-c,O）,g（c,O）分別為橢圓Ef+方=l（a>b>0）的左、右焦點，下列說法正確

的是（）

A.若點7的坐標為（；生0）,尸是橢圓上一動點，則線段尸7長度的最小值為

B.若橢圓上恰有6個不同的點P,使得△尸斗死為等腰三角形，則橢圓E的離心率的取值

范圍是停9嗯，1）

C.若圓7的方程為/+/=!/,橢圓上存在點P,過尸作圓7的兩條切線，切點分別為/,

B,使得2/尸8=/，則橢圓￡的離心率的取值范圍是「?」）

D.若點7的坐標為（0力），橢圓上存在點尸使得歸丁仁孚分，則橢圓E的離心率的取值范圍

是哼,1）

【正確答案】BCD

【分析】A選項，設(shè)出產(chǎn)（加,〃），加目一凡同，則<+/=1’表達出

|尸刀2=捺上一條）分（）<*<。與兩種情況，得到不同情況下

的線段尸7長度的最小值，A錯誤;

B選項，先得到上下頂點能夠使得△尸耳名為等腰三角形，再數(shù)形結(jié)合得到耳為圓心，丹心為

\a-c<2c

半徑作圓，只能交橢圓與不同于上下頂點的々,2兩點，列出不等式組、，求出答案;

Qw2c

C選項，分處6與會。兩種情況，第一種情況成立，第二種情況下得到P點與上頂點

或下頂點重合時，NOPB最大,數(shù)形結(jié)合列出不等式a>向）,最終求出離心率的取值范圍;

22

D選項，設(shè)P（w,〃），m&[-a,a],ne[-b,b],則竺^+*=1,表達出

|P7f=-,"2-2加+廿+/,問題轉(zhuǎn)化為捺/+2加+￡/-片=0在[一友句上有解問題,

一---2-?乜6)①

2次

數(shù)形結(jié)合得到,求出離心率的取值范圍.

△=4從_>(@

I3

*W=1，

【詳解】設(shè)me[-a,a],則

a2b2

221212bCJ12i2

+〃=mam+-a+b"----r—=—^tn-am+也”+。

1尸"24a2ct4

若,此時a2<2c2，0<<a,止匕時當用二時，|P7f取得最小值，最小值為

-a2+b2--^,線段尸7長度的最小值為Ji/+/一工；

44c2V44c2

若62c,此時a222c"~~r>a,此時當機=〃時，儼7「取得最小值，最小值為>°,

線段尸7長度的最小值為（a,

綜上：A錯誤；

如圖，橢圓左右頂點為48,上下頂點為C,D,

顯然上下頂點能夠使得aw工為等腰三角形,

要想橢圓上恰有6個不同的點P,使得△PRE為等腰三角形,

以環(huán)為圓心，月寫為半徑作圓，只能交橢圓與不同于上下頂點的7鳥兩點,

則要滿足閨4|〈陽。且陽C卜卜制,

a-c<2cc1c1

即i,解得屋且77’

故橢圓E的離心率的取值范圍是（；,；）口（；,1）,B正確；

若;此時/+丁=；“2與橢圓有公共點，故存在點p,過/＞作圓T的兩條切線，切點

分別為4"使得4y，此時小4（“—），即合

若即?。輹r、如圖所示：

2?I2J

連接OP,OB,顯然|。同=；。，OBLPB,則NOP8=幽=記，

2\OP\\OP\

因為y=sinx在（og）上單調(diào)遞增，要想/O尸8最大，只需sin/0P8最大，

故當|。尸|最小時，滿足要求，故尸點與上頂點或下頂點重合時，NOPB最大,

故當“c小時滿足要求，所以—嚼端考

即a2出。，所以"23（/-2）,解得：￡邛,所以1忤用

a

D

2元

為4,B,使得乙4尸8=T，則橢圓E的離心率的取值范圍是,1,C正確;

22

設(shè)尸（根,〃），〃7e|-a,a],〃e|-b,6],則々+,=1,

22

\PT[=m2+（n-b）2=m2+n2-3ib+b2=a2-n2-Tnb+b'

--n2-2hn+h2^-a2

橢圓上存在點尸使得陽=孚b,即-》2一2加+〃+.2=?2在［Fb］上有解,

211

^i^n2+2bn+yb2-a2=0在1瓦切上有解，

令"（"）=a〃2+2bn+^-b2-a,注意到〃（-，）=/-2〃+^h2-a~=gb2>0,

〃優(yōu)）=/+2〃+?J/=9>o,

---2~￡（乜6）①

2

故只需滿足F

A=4Z>2吟「2>0@

I3

由①得：洛,由②得：齊|或》:，

綜上：一￡

a

則橢圓E的離心率的取值范圍是戶2,1),D正確.

故選：BCD

離心率時橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考察的知識點，這類問題一般有兩類，一是根據(jù)

一定的條件求橢圓的離心率，另一類是根據(jù)題目條件求解離心率的取值范圍，無論是哪類問

題，其難點都是建立關(guān)于。,瓦，的等式或不等式，并且根據(jù)一/化為a,c的等式或不等

式，求出離心率或離心率的范圍，再求解橢圓離心率取值范圍時常用的方法有：

一、借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系；

二、利用函數(shù)的值域求解范圍；

三、根據(jù)橢圓自身性質(zhì)或基本不等式求解范圍等.

三、填空題

13.在等比數(shù)列｛叫中，*>0且/2=5,則

>Og5%+lOgs+lOgs02022+10g5々023=.

【正確答案】2023

【分析】利用等比數(shù)列的下標性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】

aaaflfl

10g5+logs2++bg52022+bg52O23="gs…。2022a2023)=10g5(<7|012|012IO12)

=噫(52--52?5)=1嗨52=2023,

故2023

14.若曲線/(x)=2sinx[cosx+l在點處的切線與直線》+少+1=°垂直，則

實數(shù)4=.

3

【正確答案】-##1.5

2

【分析】根據(jù)導數(shù)幾何意義可求得切線斜率，根據(jù)垂直關(guān)系可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】?.?/，(x)=2cosx+且sinx，,/"但]=2cosE+*sin二=1-H-

???/(x)在]處的切線與x+ay+l=0垂直，.?.—[“I,解得.。=|

3

故答案為

2

15.如圖，已知雙曲線!-，=1(“>0/>0)的左、右焦點分別為斗，鳥，內(nèi)周=6,尸是雙

曲線右支上的一點，入尸與y軸交于點兒△/尸耳的內(nèi)切圓在邊尸耳上的切點為。，若|P0|=1,

【分析】先利用切線長定理求得雙曲線的半實軸長，再由陽名|=6求得雙曲線的半焦距長,

進而求得雙曲線的離心率

【詳解】設(shè)片的內(nèi)切圓在邊/外/P上的切點分別為M,N,

則陽陰=陽。1，忸。1=1尸時，

又由△。4冗三△(?/瑪,可得?用=|/用，則忻0|=|耳M=EM=I工P|+BM=|VP|+|PO|,

則|P周一|%|=閨0|+|尸0卜仔用=舊?+2|尸0|-|尸周=2|尸0=2,

又歸四一|尸周=2%則2。=2,即”1,

由閨閭=6,可得2c=6,即c=3,

C3

則雙曲線的離心率e=—=7=3,

a1

故3

16.正方體容器4G中盛滿水，AiE=2EB[,￡G分別是8片的中點，若3個小孔分別

位于瓦￡G三點處，則正方體中的水最多會剩下原體積的.（用分數(shù)表示）

【正確答案】917

1O

【分析】根據(jù)正方體中剩下的水最多時，水平面必經(jīng)過三個小孔中的兩個，分別討論水平面

經(jīng)過瓦G、E,尸和EG,另一個小孔在水平面上方的情況，作出截面，結(jié)合函數(shù)最值和基

本不等式可求得流出水的最小體積，對比三種情況可得最終結(jié)果.

【詳解】當正方體中剩下的水最多時，水平面必經(jīng)過三個小孔中的兩個；設(shè)正方體/￡的棱

3

長為3,則8遂=1,B\F.；

①當水平面經(jīng)過小孔瓦G,另一個小孔尸在水平面上方；

設(shè)過EG的平面與棱8片,CG，CQ的交點分別為〃,尸,。，則流出的水的最小體積是臺體

AE/7-GQP的體積，如下圖所示,

由B、EHsGQP得：CQ=-,

Xx

.V卜（3-乙（3-嘰上310-X匚。匚3_叵_二=）

B'EH-C'QP32V22x2x22x2x22^2\2x22~2

（當且僅當99=；x,即x=3時取等號），

2x2

3

又〃3/向的=3x3x3=27,.?.此時正方體中的水最多會剩下原體積的1_2=?；

27~18

②當水平面經(jīng)過小孔及尸，另一個小孔G在水平面的上方；

設(shè)過E/的平面與棱CG，G2的交點分別為，則流出的水的最小體積是臺體

用即-GMN的體積，如下圖所示,

2

???B、EFsC、MN,:.C,M=-t9

3/、9

，當與時，（，B、EF~C、MN）mjn=，

9

又GCMMR=3x3x3=27,.?.此時正方體中的水最多會剩下原體積的1—工_=口；

27-12

③當水平面經(jīng)過小孔RG,另一個小孔E在水平面上方，

設(shè)過FG的平面與棱CC“CQ，44的交點分別為凡T,S,則流出的水的最小體積是三棱柱

8尸S—CRT的體積,

1399

設(shè)4s="(14〃43),則降5_叫=5，/'3=}.

9

又Goi的=3x3x3=27,.?.此時正方體中的水最多會剩下原體積的1_a=U；

27-12

綜上所述：正方體中的水最多會剩下原體積的圣.

1O

故答案為

IO

四、解答題

17.已知正項等比數(shù)列｛4｝前〃項和為S,,,q=2,且成等差數(shù)歹人

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)記6“=*",其前”項和為9,求數(shù)列名的前〃項和用.

【正確答案】(1)?！?2"；

2n

⑵;TT

【分析】(1)設(shè)｛/｝的公比為4,列方程求得夕后可得通項公式;

(2)由題可得2，T?,然后利用裂項相消法即得.

【詳解】(1)設(shè)｛《,｝的公比為文4>0),

因為《=2,且％，2凡，包成等差數(shù)列,

所以為+%=4邑=4(q+%)，

所以2如+2口3=4(2+24),即/(1+4)=4(1+夕)，又q>0,

所以4=2,

所以a,,=2"；

(2)由題可知bn=log2an=n,

b,、，一+

所以］=1+2+…+n=------,

2

l=_2_=2fl—Ll

Tn+n+i)

2n

所以乩=21-

〃+1

22

18.若橢圓E：3v+奈=1(〃>6>0)過拋物線/=8x的焦點，且與雙曲線有相

同的焦點.

(1)求橢圓E的方程;

(2)直線/過點(1,0),且被橢圓￡截得的線段長為3正，求直線/的方程.

【正確答案】(1)總+:=1;

(2?=1.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出雙曲線、拋物線的焦點坐標，計算出0,6作答.

(2)設(shè)出直線/的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式計算作答.

【詳解】(1)拋物線/=8x的焦點(2,0),雙曲線/一夕2=_1,即》2=1的焦點(0,±0),

依題意，6=2,屋=〃+(*7^)2=6,

所以橢圓E的方程為乙+上=1.

64

(2)因為點(1,0)在x軸上，又橢圓E的短軸長4<3正，則直線/不垂直于y軸，設(shè)直線/的

方程為：x^ty+l,

由1(I=12消去，并整理得：+2)/+6"-9=?！?/p>

設(shè)直線/被橢圓E截得的線段端點為A(xt,必),B&,%)，則有乂+%=，%%=-4^-,

3/I23/I2

于是

I明=.歷行W=EJ券)2居二6"峪產(chǎn)+D=30

即有"77=J3/+1,解得f=o,

所以直線/的方程為x=l.

19.如圖，在四棱錐S-48CD中，側(cè)面SCO_L底面/BCD,SC=SD,底面/SCO是平行

TT

四邊形，NBAD檢,AB=2,AD=\,M,N分別為線段CD,"的中點.

(1)證明：8。2平面刈1介；

7T

(2)若直線S4與平面/5CO所成角的大小為微，求二面角C-S3-。的余弦值.

6

【正確答案】(1)證明見解析

/“鬧

⑵一FT

【分析】(1)利用勾股定理、面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可證得8。_LMN,SM1BD,由

線面垂直的判定可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)線面角的定義可知NSZM=2,設(shè)旭義|"|8。=0,取即中點F,根據(jù)垂直關(guān)系可

6

以O(shè)為坐標原點建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.

【詳解】(1),.?48=2,/。=1,ZBAD=-,:.BD2AB2+AD2-2AB-ADcosABAD=3,

即8。=百，AD2+BD2=AB2>：.AD1.BD,

分別為8,48中點，四邊形/88為平行四邊形，，皿///。，；.5。，阿；

?;SC=SD,M為CD中點,SMLCD,

?平面SC。_L平面Z8C。，平面SC￡>n平面/BCD=CD,SMu平面SC。，

:.SML^ABCD,又BDu平面488,.”屈_1.8。；

■：SM[\MN=M,5朋',河\七平面以四，二8。1,平面5朋M.

(2)連接ZAf,

7T

由(1)知：SNJ_平面48CQ,則S4與平面/8CQ所成角為NS//，即NS4W=2,

6

2兀

在中，AD=DM=\,NADC=n-NBAD=一，

3

:.AM1=AD-+DM2-2ADDMCOSZADC=3,解得：AM=仆,

4M\

??=2ci,4I,兀.

兀，SM-AMtan—=1；

cos—6

6

設(shè)MNn8O=O,取SN中點尸，連接。尸，

?.,。,尸分別為〃乂5%中點，.?.0尸//$”，又SMJ■平面/8CD,

.?.。尸JL平面48C。，又MN1BD,

則以O(shè)為坐標原點，兩，礪，礪正方向為x,%z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

則C,B0,-^-,0,D0,--^-,0

：.SB=g,冬—i,ce=(i,o,o),而=(o,6,o),

\/

設(shè)平面SBC的法向量〃=(x,y,z),

SBn=-x+—y-z=0.,?

則22y,令AV=2,解得y：x=0,Z=y/iffl—^0,2,-x/3j；

CBn=x=0

設(shè)平面S3。的法向量，〃=(a,b,c),

,SBm=—a+-Z7-c=0

則22令Q=2,解得：b=0,c=\/.w=(2,0,1)；

DB?m=y/3b=0

二依〃|二G一阿

cos<ni'n

|m|-p|V7x^535

???二面角C-S8-。為鈍二面角，，二面角C-S8-。的余弦值為-的生.

35

20.已知函數(shù)/(x)=Qln(x+l)+lnx.

(1)若函數(shù)/(X)在區(qū)間［1,4］上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍;

⑵討論函數(shù)g(X)=〃X)-4X的單調(diào)性.

【正確答案】(1)-彳，+8)

(2)答案見解析

【分析】(1)將問題轉(zhuǎn)化為/'(x)20在［1,4］上恒成立，采用分離變量的方式，通過求解

1+-J在［1,4］的最大值得到a的范圍；

(2)求導后，分別在a=0、aW-；、和a>0的情況下，根據(jù)g'(x)的正負確定

g(x)的單調(diào)性.

【詳解】(1)???/(X)在［1,4］上單調(diào)遞增，.?J'(x)=/+/20在［1,4］上恒成立,

即a>--~-=-fl+工)在［1,4］上恒成立，

當xe[l,4]時，—e—,2

x4

即實數(shù)。的取值范圍為-j，+8

(2)由題意得：g(x)=aln(x+l)+lnx-ax(x>0),則8'")=-^+)_°=，'/：<

X+1XJCIX+11

令人(X)=取2-X-1,

①當a=0時，g'(x)=；>0,；.g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當aw0時，/=l+4a；

若A40,即aW-；時，力(力40恒成立，：也'""。恒成立,

，g(x)在(0,+ao)上單調(diào)遞增；

若A>0,即a>一且"0時，令/?(x)=0,解得：x產(chǎn)上業(yè)位1+J1+4a

42a2a

⑴若-；<4<o,則乙<演<0,則〃(x)<0在(0,+")上恒成立，

?1.g'(x)>o恒成立，ug(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

(ii)若“>0,則再<0<々，

.?.當xegw)時，〃(x)<0；當xe(X2，+:?)時，A(x)>0；

.?.當》e(。，三)時，g'(x)>0；當xe(x2，+co)時，g'(x)<0；

.?.g(x)在上單調(diào)遞增，在+[+”,+小上單調(diào)遞減；

12alI2a)

/]A~~7~\

綜上所述：當aWO時，g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增；當〃>0時，g(x)在0.0上

單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

I2a

21.已知數(shù)列｛““｝的前”項和為S“滿足：5,=4,5?tl=2a?+l+2.

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項公式；

(2)若數(shù)列也｝滿足anbn=log2a?.

①求數(shù)列帆｝的前〃項和小

②若“44+2切-|對于一切正整數(shù)〃恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

【正確答案】(l)a“=12，i,〃w2_a〃eN*

(2)①1=|■-登■；②(v,-3Ml,+8)

【分析】(1)利用。.與S”關(guān)系可證得數(shù)列｛《,｝自第二項起為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公

式可求得此時a,,=2"T,驗證可知數(shù)列｛為｝為分段數(shù)列，由此可得通項公式；

(2)①由(1)可得“，當〃22時，采用錯位相減法可求得4,驗證可知工滿足。的表達

式，由此可得結(jié)論：

②采用作差法可確定數(shù)列也｝的單調(diào)性，得到色)歸=；，由此可構(gòu)造不等式求得〃?范圍.

(詳解】(1)當〃=1時，％=S[=4；

當〃22時，?/Sn+i=2an+i+2,/.Sn=2an+2fan+l=S?^-Sn=2an+i-2an,

即=為"；

又§2=￡+出=4+&=2a2+2,出=2,

二數(shù)列｛?！埃缘诙椘馂榈缺葦?shù)列，公比為2,此時。，=22々=2"，

4,72=1

經(jīng)檢驗：4=4不滿足%=2"，二%

2W-,,/7>2H/7GN*,

(2)①由(1)得：“=的區(qū)&=卜,則]=4=!；

%二,“22且〃eN*2

當〃22時，+捻+恭…+/+呆，；(=；+9+3+小…看與I

1G--L1

1Tli1111n-112l2'"')n-

2"4223/2124,12

1-----

2

——1+]---1----n--—-\--5---n--+-\

42〃T2"42〃

.7_5〃+1

經(jīng)檢驗：滿足北=|一等，.?.7；=g-答(〃eN.)：

②當〃=1時，4=4,

n—1nn—12—n

當〃22時，6“=尸，-b^-b,,=,則當〃23時，bnM-b,<0,

又瓦=A=g,:他也汕海〉瓦〉…,即色，上」3；

+2m--,即〃r+2加一320,解得：〃？《-3或加》/,

22

即實數(shù)機的取值范圍為(F,-3]U[L+