河南省商丘市名校2023-2024學(xué)年高二年級上冊11月期中考試數(shù)學(xué)

2023—2024學(xué)年高二上期期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.）

1.圓C：x2+y2—4x—2y+l=0的半徑為（）

A.4B.2C.V2D.1

3

2.已知直線4：x+y+l=0,Z2：x+y-1=0,則4，乙之間的距離為（)

5V2c&

A.25/2D0

D.C.D.

44

3.如果直線2x—4y+l=0與直線x+-1=0垂直，那么，"的值為（）

1c1

A.-2BD.--C.一D.2

22

4.如圖所示，在平行六面體A6CO-44GA中，A8=a,AD=b,M是4已的中點(diǎn)，N

是線段CA上的點(diǎn)，且C7V:NA=1:4,J用a,b,c表示向量NM的結(jié)果是（）

A.'/"L11,4

B.——a——b+—c

5510555

1-

c--LD.—a+/?+c

51052

5.圓f+y2=2與圓x2+,2+2x_2y_-a=0（aeR）的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.內(nèi)含D.以上均有可能

22

6.若圓0：V+y2=4過雙曲線「—與?=1的實(shí)軸端點(diǎn)，且圓0與直線/：y=x+b相切，則該雙曲線

CTb'

的離心率為（）

A.y/2B.V3c.2V2D.2

方程七-1+J1_(X-2)2

7.。有兩相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)々的取值范圍是（)

A，H]B-HJ°）C信皿-D.（0,加卜1

8.金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，如圖1所示是組成金剛石的碳原子在空間排列的結(jié)構(gòu)示意圖，組成

金剛石的每個(gè)碳原子，都與其相鄰的4個(gè)碳原子以完全相同的方式連接.從立體幾何的角度來看，可以認(rèn)

為4個(gè)碳原子分布在一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處，而中間的那個(gè)碳原子處于與這4個(gè)碳原子距離都相等的

位置，如圖2所示.這就是說，圖2中有AE=8E=CE=OE,若正四面體ABC。的棱長為2,則下列

結(jié)論不正確的是（）

二、選擇題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.下列說法正確的有（）

A.直線的斜率越大，傾斜角越大

B.若直線y=+6經(jīng)過第一、二、四象限，則仕,h）在第二象限

C.過點(diǎn)（一2,-3）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線/的方程為x+y=-5

D.己知直線去—y—Z—1=0和以"（—3,1）,N（3,2）為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)人的取值范圍為女上授

或上＜一，

2

10.已知在直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC的頂點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，且AB的斜率為"，則8c的斜率可能為

2

（）

A.--B.--C.-26D.-373

55

11.在正三棱柱ABC—A4G中，點(diǎn)P滿足5P=+,其中；則（）

A.APLBCB.Pe平面BCGaC.BPHAA^D.Pe棱CG

12.已知直線/：x-y-l=O交橢圓C：方=l（a>b>0）于不同兩點(diǎn)4,8,且橢圓（7經(jīng)過點(diǎn)（0,1）,

)

A.橢圓C圖心率為---

2

B.橢圓C的焦距是2百

4

C.△AOB的面積是一（。是坐標(biāo)原點(diǎn)）

5

D.橢圓上任意一點(diǎn)到直線/的距離最大值為遮出

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.向量加=（0,1,0）,〃=（0,1,1）的夾角為.

22

14.若方程」」+?-=1表示的曲線為橢圓，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是.

4-rt-\

15.在四棱錐尸一ABC。中，底面A8C。是邊長為1的正方形，PAL底面A8CD,且R4=2,E為PC

的中點(diǎn)，設(shè)直線PC與平面BOE所成的角為6,則sin6=.

22

16.定義:圓錐曲線C：/十記=1的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)Q的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,\Ja+b

為半徑的圓，這個(gè)圓稱為蒙日圓.已知橢圓C的方程為土+匕=1,P是直線/：3x—2y+9=0上的一

63

點(diǎn)，過點(diǎn)尸作橢圓C的兩條切線與橢圓相切于M,N兩點(diǎn)，連接OP（。是坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)NMPN為直角

時(shí)，壇戶的值是.

四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）

17.（本題滿分10分）

（1）已知直線/過點(diǎn)P（2,—1）,在x軸和y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線/的方程；

（2）已知△A5C中，A（l,0）,B（2網(wǎng),NA5C=0,BC邊中線所在直線為x軸，求AC邊所在直

線的方程.

18.（本題滿分12分）

已知A(—1,0),8(2,0),動點(diǎn)C滿足歸｛=，，直線/：mx-y+m+\^0.

\CB\2

(1)求動點(diǎn)C的軌跡方程，并說明該軌跡為何種曲線;

(2)若直線/與動點(diǎn)C的軌跡交于P,Q兩點(diǎn)，且|PQ|=20,求實(shí)數(shù)，"的值.

19.(本題滿分12分)

如圖，在四棱錐P—A8CD中，24，面48。￡>,AB〃OC,且CD=2AB=2,BC=2血，ZABC=90。,

M為BC的中點(diǎn).

(1)求證：平面PDW平面%M；

(2)若二面角P—DM-A的大小為30。，求直線PC與平面所成角的正弦值.

20.(本題滿分12分)

在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C過點(diǎn)了(2,3),且有一條傾斜角為120。的漸近線，直

線/：>=左(彳一2)與C相交于A,B兩點(diǎn).

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/與該雙曲線的已知漸近線垂直，求A8的長度.

21.(本題滿分12分)

我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻薨者，下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，薨，屋蓋也”.如

圖1,E,F,G分別是邊長為4的正方形的三邊AB,CD,A。的中點(diǎn)，先沿著虛線段尸G將等腰直角三角

形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接48,CG就得到了一個(gè)“芻薨”(如圖

2).

(1)若。是四邊形EBCF對角線的交點(diǎn)，求證：AO〃平面GCF；

2

(2)若二面角A-M—8的大小為一萬，求平面OAB與平面A8E夾角的余弦值.

3

22.(本題滿分12分)

22

已知橢圓C：：■+方=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過點(diǎn)p(a,b)的直線/經(jīng)過原點(diǎn)，交C

于不同兩點(diǎn)A,B,且|的=26，|明|+忸制=6.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)0(3,0)的直線與y軸正半軸交于點(diǎn)G,與曲線C交于點(diǎn)E,點(diǎn)E在x軸的投影為點(diǎn)過點(diǎn)G

SC

的另一直線與曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，若=求P。所在直線的方程.

S4GPE2

2023—2024學(xué)年上期期中聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的)

題號12345678

答案BBCADBAD

1.【答案】B

【解析】x2+y2-4x-2y+1=0可化為(x—2)2+(y—1)2=4,所以圓半徑為r=2,故選B.

2.【答案】B

J

一5五±3”

【解析】由距離公式d=

VT7T4'-

3.【答案】C

【解析】由題知：2x1+(:T)X〃2=0,解得=故選c.

4.【答案】A

W=AM-AN=1(A4+Y1D)-^1A4+|AC^

【解析】由題意可得，MI11

-44-3?

AC=a+b,AD]=b+c,：.NM=-c一一a一一b.故選A.

5510

5.【答案】D

【解析】兩個(gè)圓的圓心分別為a(。⑼，o2(-i,i),且圓心。2(-U)在圓?方程上，由于圓。2的半徑

不確定，所以均有可能.故選D.

6.【答案】B

【解析】圓O：V+y2=4的圓心0(0,0),半徑為廠=2,因?yàn)閳A0：/+/=4過雙曲線1—斗=1

\b\廠

的實(shí)軸端點(diǎn)，所以。=2,又圓。與直線/：y=x+6相切，所以呈=2,則。=2夜，所以雙曲線的

離心率為J5.故選B.

7.【答案】A

【解析】作直線丁="一1與曲線y=—Jl—(x—2)2的圖象如圖,直線，"的斜率左=言=」，直線〃

的斜率A=(),結(jié)合圖象可以知道，上的取值范圍是(0,；.故選A.

,[y=1l-(x-2)2

8.【答案】D

【解析1如圖所示，。是頂點(diǎn)A在下底面的射影，AM是斜高，A。是四面體的高，0B是下底面的外接圓

半徑，0M是下底面內(nèi)切圓的半徑，

則：BM

對于A：因?yàn)锳EJ_底面BCD,CDu底面BCQ,所以AEJ_C￡>,所以AE-C￡)=0,故A正確；對于

B：因?yàn)锳E=BE=CE=DE,所以E4+E8=—(EC+E。)，所以E4+EB+EC+EO=0,故B正

AZ7ARAH2

確；對于C：由于■；——=—,所以AE=——=-,故C正確；對于D：

1…AO2AO2

AE-AC^\AE^AC\cos^AE,AC）^2,故D錯(cuò)誤.故選D.

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

題號9101112

答案BDADABBCD

9.【答案】BD

【解析】對于A,在［0。,90°）內(nèi)，直線的斜率越大，傾斜角就越大；在（90°,180。）時(shí)，直線的斜率越大,

傾斜角也越大；在［0°,180。）時(shí)，直線的斜率越大，不滿足傾斜角也越大，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B,若

直線y=依+8經(jīng)過第一、二、四象限，則上<0,b>0,所以點(diǎn)（匕b）在第二象限，選項(xiàng)B正確；對于

3

C,當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，由兩點(diǎn)式易得，直線方程為>=萬元，故C錯(cuò)誤；對于D,直線區(qū)一）一左一1=0可

化為1）—（y+l）=（）,所以直線恒過定點(diǎn)尸（L—l）,—=一上，%v=——=巳，直線

1+321—32

與線段相交，所以女2巳3或女4一1上，故D正確.故選BD.

22

10.【答案】AD

【解析】設(shè)AB的傾斜角a,BC的傾斜角§,如圖所示：

則/=&+'TT或尸=2號7r+￡,2立,

2

肉3

當(dāng)/?=々兀時(shí)，tan(3=tanfy+cr——盧二-3不，

31-士

2

_用3廠

27r272_-V3

當(dāng)0=—+a時(shí)，tanp-tan——+。故選AD.

3

2

11.【答案】AB

【解析】連接。4,則。4L3C,又。4OP=O,OP,Q4u平面AOP,所以8C_L平面AOP,又APu

平面AOP,所以故A正確.由=+,得BP,BC,8B；共面，又三個(gè)向量

共起點(diǎn)，所以B,P,C,片共面，所以Pw平面BCGg，故B正確；則—=瓦，

得卷CP+予P=4BB],得ABB]=—；(PC+P8),設(shè)BC的中點(diǎn)為0,則；134=—PO,所以B8//PO,

因?yàn)锽B|_L8C,所以O(shè)PLBC,即P在8c的中垂線上，故P0棱CC，故D錯(cuò)誤；則。尸〃4片，又

BPp!OP=P，所以8尸，AA1不平行，故C錯(cuò)誤；故選AB.

12.【答案】BCD

b2=1

【解析】將兩點(diǎn)(o/)，G,]坐標(biāo)代入橢圓方程中，得<31，解得：a=2"=l,可得c=G

7+五=1

于是6=?=乎，焦距為2G.從而知A錯(cuò)誤，B正確.記A(x，y),B(x2,y2),可設(shè)AB的方程為

x=y+l,由《)，消去尤得5y?+2y—3=0,解得y=-1,必=工直線/與x軸交于點(diǎn)尸(1,0)，

x=y+l5

則5=；]。尸||,一必|=；乂1*|=1,故C正確.

設(shè)與/：》-丁一1=0平行的直線為/'：x-y+m=0,當(dāng)/'與橢圓相切時(shí)，兩平行線間距離即為所求，經(jīng)

分析計(jì)算可知D正確.故選BCD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

7F

13.—(或45°)

4

【解析】cos(m,n)=,m.?1,=-?=r=—,所以角大小為45。.

\'|m|.|n|V22

4-r>0

【解析】當(dāng)曲線表示橢圓時(shí)，需%—i〉o,解得1</<2或2</<4.

22

4一/*1

【解析】因?yàn)锽4_L底面ABCQ,AB,ADu平面ABCQ,所以PALAD,

因?yàn)樗倪呅蜛BCZ)為正方形，所以A5_LAD,

所以以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則A（0,0,0）,5（1,0,0）,C（l,l,0）,￡＞（0,1,0）,P（0,0,2）,

因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以所以=BD=（-1,1,0）,BP=（T,0,2）,

m-BcE=——1x+—1y+z=C0

設(shè)平面8OE的法向量為〃?=(x,y,z),則,22'

m-BD=-x+y=0

令x=l,則加=（1,1,0）,

所以P到平面BCE的距離為d=l??1=4==注,又在Rt^QAC中易得PE=X?,所以

加血22

V2

sin6=-^=-^.

V63

2

16.-*或0

5

【解析】根據(jù)蒙日圓定義，圓O方程為/+：/=/+〃=%

3x-2y+9=0

因?yàn)橹本€/與圓。交于A、B兩點(diǎn)，聯(lián)立《

x2+y2=9

__15

“一一63=-3（1536、/、

可得J或八,即點(diǎn)A-2,1、8（—3,（）,

36%=011313J'）

y,=——L

['13

12

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或B重合時(shí)，/MPN為直角,此時(shí)初=若，％=。，

12

所以直線OP的斜率為-三或0.

5

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.【解析】（1）若直線/經(jīng)過原點(diǎn)，則其斜率為-』，

2

故其方程為y=-gx,即x+2y=0；

若直線/不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)其方程為±-2=1,又其過點(diǎn)（2,-1）,則2+^=1,

aaaa

解得a=3,故直線/方程為巳一1=1,整理可得x—y—3=0；

33

綜上所述，滿足題意的直線方程為x+2y=0或x—y—3=0.

（2）因?yàn)閔8=正旭=百，ZABC=~,設(shè)8C交x軸于點(diǎn)例，則根據(jù)條件可知為等邊三

82-13

角形，則M（3,0）,“為BC中點(diǎn)，則

心。=金亨二一￥'故A。直線方程為、一°=一"（"一1）'

即x+百y-l=0,故AC直線方程為x+Gy-1=0.

..ICAI1J（x+11+y21

18.【解析】（1）設(shè)C（x,y）,因?yàn)閯狱c(diǎn)C滿足^~所以"J）二二,

—\CB\2小一222

整理可得f+y2+4x=o,即（x+2p+y2=4,

即動點(diǎn)C的軌跡方程為（x+2）?+y2=4.

動點(diǎn)C的軌跡是以N（—2,0）為圓心，r=2為半徑的圓.

（2）設(shè)圓心到直線/的距離為4,則2=pT.,

\l/n2+1

因?yàn)閨PQ『=4卜2一屋），貝114（/一屋）=8,

因?yàn)閞=2,所以d=即I'"：）=6,解得機(jī)=一1.

。席+1

19.【解析】（1）證明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，AB=1,CD=2,BM=CM=6,

可得AA/2=3,DM。=6,

過A在平面ABC。內(nèi)作AELCD,垂足為E,則。E=l,AE=2?,求得AZ）2=9

則AD?=4^+?！埃?DMYAM.

?.?9_1_面/18。9,，￡>M_LE4,又PADW,平面以M,

,?DMu平面PDM,：.平面PDM_L平面PAM；

（2）由（1）知，PM±DM,AMLDM,

則NPMA為二面角P—￡>M—A的平面角，即，NPM4=30°,

則P4=AM-tan300=l.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AE,AB,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P（O,O,1）,D（2A/2,-1,0）,C（2夜,叫，M（V2,l,0）,

PC=（2"1,-1）,PD=（272,-1,-1）,PM=（V2,1,-1）.

設(shè)平面PDM的法向量為”=（x,y,z）,

n-PD=2\[2x-y-z=0（J23夜）

由1廠，?。?1，得"=1,—，為平面POM的一個(gè)法向量.

n-PM-yjlx+y-z-0I22,

,、IPC-H|J?J30

/.直線PC與平面PDM所成角的正弦值為cos（PC,n）=J―目=.

'/|pc|.|n|VI0V630

22

20?【解析】（1）設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為3r-2=1（。>°0>0），

ah

b

則其漸近線方程為y=±-x,

a

由題意可得，2=1,且—2=tan120°=—G，解得。=1,b=B

a~ha

2

則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f-2=1；

3

（2）由（1）可知：該雙曲線的漸近線方程為y=±JIx,

所以直線I的斜率為土且，又因?yàn)橹本€斜率的絕對值小于漸近線斜率的絕對值,

3

所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設(shè)直線/的斜率為4,

3

2y2.

X--------=1

3

方程為y工-2）與雙曲線方程聯(lián)立為：v=>8x2+4x-13=0，

y=

[13

設(shè)A（玉,y）,5（x,y）,則有玉+&=——，%/=一一-

2228

2

竿x々）2=竽xyj（xl+x2）-4xlx2

21.【解析】（1）取線段CF中點(diǎn)H,連接?！?、GH,

由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且CB=2EB,

，0是線段BF與CE的中點(diǎn)，

：.0H//BC5L0H=LBC,

2

在圖1中AG〃BC且AG=-BC,EFHBCREF=BC.

2

所以在圖2中，AG〃BC且AG=’5C,

2

AGHOHRAG=OH,

四邊形AOHG是平行四邊形，則AO//HG,

由于AO仁平面GCF,”Gu平面GCF,

：.AOH平面GCF.

（2）由圖1,EFLAE,EFA.BE,折起后在圖2中仍有所，AK,EFA.BE,

二Z4EB即為二面角A—所—B的平面角.

ZAEB=—7r,

3

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,EF分別為x軸和y軸正向建立空間直角坐標(biāo)系E—孫z如圖,

x圖2

設(shè)CB=2￡B=2E4=4,則B（2,0,0）、00,2,0）、A（-1,0,6）,

Z.OB=（1,-2,0）,BA=（-3,0,73）,

易知平面ABE的一個(gè)法向量m=（0,1,0）,

設(shè)平面O\