福建省廈門市2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

福建省廈門市20222023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

（試卷滿分：150分；考試時間：120分鐘）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干

凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1,設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合/={-1,2},5=3%2一4%+3=0},貝力（4^5）=（）

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】

【分析】解方程求出集合8,再由集合的運算即可得解.

【詳解】由題意，8=卜卜2—4X+3=0}={1,3},所以Zu8={—1,1,2,3},

所以與（Nu6）={—2,0}.

故選：D.

2.設(shè)a,beR,且a>b,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.—>1B.[C.|G|>|/）|D.a3>f>}

bab

【答案】D

【解析】

【分析】

取特殊值判斷ABC,由基函數(shù)歹=x3的單調(diào)性判斷D.

【詳解】當(dāng)a=l,b=-1時，|。|=|回

bab

因為幕函數(shù)夕=/在R當(dāng)單調(diào)遞增，a>b,所以/>/

故選：D

3.下面各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（）

A.y=與-2x

B.丁=(?)2與歹=|x|

C./(x)=k—2x—1與g(f)=廠—2/—1

D.y=Jx+1Jx-l與y=^(x+l)(x-l)

【答案】C

【解析】

【分析】分別分析各個選項中函數(shù)的定義域，值域和對應(yīng)關(guān)系，即可得出答案.

【詳解】A.函數(shù)的定義域為{x|x40},y=Q?=—xJW，

兩個函數(shù)的對應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)，

B.y=(、6)2=x,定義域為{x|x20},函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)

C.兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同，是同一函數(shù)

D.由《，八得〈，得X21,由(x+D(x—l)Z0得X21或XW—1,兩個函數(shù)的定義域不相同，

x-1>0[x>1

不是同一函數(shù)，

故選：C.

4.已知。=0.2\b=log30.2,c=302,則a,b,c的大小關(guān)系是

A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a

【答案】B

【解析】

【詳解】???0.23G(0,1),噫0.2(0,3。2)1.?/<c，選B

5.“4=0”是“函數(shù)/(對=(X一。)3(彳€11)為奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及性質(zhì)，分別驗證充分性與必要性，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=(x-a)3定義域為R關(guān)于(0,0)對稱，

當(dāng)4=0時，，/(X)=J?,則/(-x)=(-x)3=—丁=-/'(%)

故函數(shù)/(X)為奇函數(shù)；

當(dāng)函數(shù)/(x)=(X-。)3為奇函數(shù)時,

/(-x)=-/(x)，即(―x——,解得a=0.

所以“4=0”是"函數(shù)/(x)=(x—a)3(xeR)為奇函數(shù)”的充要條件.

故選:C.

6.函數(shù)〃x)=―苫皿(0＜。＜1)的圖象大致形狀是()

1用

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，得出函數(shù)為奇函數(shù)，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.

、xlog,\x\

【詳解】由題意，函數(shù)/(X)=—含山(0＜。＜1),

%

-xlogj-M

可得/(一%)=

I"

所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除B、D；

又由當(dāng)x＞0時，函數(shù)/(力=108〃》(0＜。＜1)是單調(diào)遞減函數(shù)，排除A.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的解析式識別函數(shù)的圖象，其中解答中熟記函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練應(yīng)用

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與判定能力.

7.設(shè)函數(shù)/(x)=x3+，+D”在區(qū)間［—2,2］上的最大值為M,最小值為從則(W+N-1嚴2的值為()

x+1

A.2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】先將函數(shù)化簡變形得/(')==!李+1，然后構(gòu)造函數(shù)g(x)==jj，可判斷g(x)為奇函數(shù),

再利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合/(x)=g(x)+l可得/+N=2,從而可求得結(jié)果

【詳解】由題意知，/(x)=x：+2；+l(xe[-2,2]),

設(shè)g(x)=±￡,則/(x)=g(x)+l,

x-+1

因為g(_x)==

所以g(x)為奇函數(shù)，

g(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值的和為0,

故M+N=2,

所以(〃+%-1廣2=(2-1嚴=1.

故選:C.

8.為了廣大人民群眾的食品健康，國家倡導(dǎo)農(nóng)戶種植綠色蔬菜.綠色蔬菜生產(chǎn)單位按照特定的技術(shù)標準進

行生產(chǎn)，并要經(jīng)過專門機構(gòu)認定，獲得許可使用綠色蔬菜商標標志資格.農(nóng)藥的安全殘留量是其很重要的

一項指標，安全殘留量是指某蔬菜使用農(nóng)藥后的殘留量達到可以免洗入口且對人體無害的殘留量標準.為

了防止一種變異的媯蟲，某農(nóng)科院研發(fā)了一種新的農(nóng)藥“政清三號”，經(jīng)過大量試驗，發(fā)現(xiàn)該農(nóng)藥的安全

殘留量為，且該農(nóng)藥噴灑后會逐漸自動降解，其殘留按照y=ae"的函數(shù)關(guān)系降解，其中x的單位為小時，

y的單位為mg/kg.該農(nóng)藥的噴灑濃度為2mg/kg,則該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達到安全殘留量標準，至少需

要()小時.(參考數(shù)據(jù)InlO也)

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】先由x=0,〉=2可得a的值，再根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運算法則，解不等式2e?，即可.

【詳解】解：由題意知，當(dāng)x=0時，y—2,

所以2=a?，°,解得a=2,

所以y=2ex,

要使該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達到安全殘留量標準，則2e-'W,

解得xe-In——=31nlO+ln2?3X2.3+ln2=6.9+ln2,

2

因為Ine3<ln2<lne,即<ln2c1,

所以6.9+ln2G(,),

所以要使該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達到安全殘留量標準，至少需要8小時.

故選：D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.設(shè)集合Z={x|x2—7x+10=0},8={x|or_10=0},若4u8=Z，則實數(shù)a的值可以是()

A.0B.1C.2D.5

【答案】ACD

【解析】

【分析】化簡集合A,由Zu8=/可得8=4,分。=0和。兩種情況進行討論即可求解

【詳解】Z={X，_7X+10=0}={2,5},

因為=所以6=/,

若〃=0,則6={x|辦一10=0}=0,滿足3g4；

若awO,則8={x|亦-10=0}={四},

因為8=/,所以3=2或3=5,解得。=5或。=2,

aa

故選：ACD

10.已知正數(shù)再y滿足x+y=2,則下列選項正確的是()

A.'+▲的最小值是2B.個的最大值是1

xy

C.d+y2的最小值是4D.x(y+l)的最大值是2

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)條件和基本不等式，逐項判定，即可求解.

【詳解】因為正數(shù)x，V滿足x+y=2,

由LL_Lx(_L+_L](x+y)=U2+化+4|42+2平、

=2,

xy2yJ2yxy)21yxy

yx

當(dāng)且僅當(dāng)乙=一時，即x=y=l時，等號成立，所以A正確；

%y

由x+y?2而，可得2而42,即當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時成立，所以B正確;

由x2+V2=(x+y)2-2xy=4-2xy>4-2=2，當(dāng)且僅當(dāng)工=y=1時成立，所以C錯誤;

由正數(shù)滿足x+y=2,可得x+"+l)=3,

則x(j+l)《+；+l[=(|)=(，當(dāng)且僅當(dāng)％=^+1時，

319

即x==；時，等號成立，即x(y+D的最大值是j，所以D正確.

故選：ABD

11.已知實數(shù)a滿足a+qT=4,下列選項中正確的是()

1133

22B.a-a~}=2G2

A.fl+a-=14Ca+a-V60源+/=3指

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)/+〃-2=(a+〃T)2—加丁|即可判斷A；

根據(jù)(a—=6?+4-2—2a.qT即可判斷B,注意符號;

(1」丫

根據(jù)。2+。2=a+a-'+2ai-a^即可判斷C；

利用立方和公式即可判斷D.

【詳解】解：因為Q+Q7=4,所以Q〉0，

]

/+。-2=(Q+Q-)-2a-a~=16-2=14,故A正確；

(a—a)=礦+a—2ci-ci=12,所以Q—Q—?=+2V3，故B錯誤;

_L」Y」

a2+a2=Q+a7+2a2.a2=6,

7

又a〉0,所以)+/>()，則￡+/=太,故C正確；

3_3

+a5a2+a2V6X(4-1)=3娓,故D正確.

/

故選：ACD.

12.函數(shù)"X)的定義域為/,若三加＞0使得也e/均有|/(x)|＜/,且函數(shù)/(x+1)是偶函數(shù)，則/⑶可

以是()

.x_//、Ix—1I

A./(x)In----B.f(x)=-3--------

2-xx2-2x4-2

1J_O,xe?Q,

C/(x)=D./(x)=-

2x+241,XGQ

【答案】BD

【解析】

【分析】求出各函數(shù)的最大值，判斷各函數(shù)的奇偶性，即可得出答案.

Y三-1),定義域為{x[0<x<2},

【詳解】解：對于A,f(x)=In--In

2-x

2

當(dāng)xf2時,------>4-00,則f(x)T+8,

2-x

所以函數(shù)/(X)沒有最大值,則不存在〃〉0,使得|/(x)|＜M,故A不符題意;

|1||x—1|

對于B,/(X)

x2-2x+2(%—l)2+1?

當(dāng)x=l時,f(x)=O,

-1|111

<—;L=5,

當(dāng)"1時，(x-iy+i|x-ii+1

2J|x-l|-

|x-l||x-l|

當(dāng)且僅當(dāng)-即x=2或0時取等號,

|x—1|

所以又卜一所以/a”。,

所以O(shè)K/(x)K；,即ow|/(x)|4，

三河＞0使得|/(切＜加，

|x|lxl

又/(x+l)=,而/(-x+l)==/(x+l),

x2+lx2+l

所以函數(shù)/(x+1)是偶函數(shù)，故B符合題意;

對于c,y(x+i)=--------,

2r+1+24

112X1

則/(—x+l)=---------------------

2-x+l+242X+'+24

111

因為/(x+l)+/(-x+l)=—：-------+—：--------=0,

八)八)2x+l+242v+1+24

所以〃-x+l)=_/(x+l),

所以函數(shù)/(x+1)是奇函數(shù)，故C不符合題意；

對于D,由/(x)=[?x『Q',W0</(x)<l,

1”Q

故311〉0使得|/(x)\<M,

因為一x+1與x+1要么都是有理數(shù)，要么都是無理數(shù)，

所以/(-x+l)=/(x+l),

所以函數(shù)/(X+1)是偶函數(shù)，故D符合題意.

故選：BD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)y=Jlogg(4x-3)的定義域為.

【答案】{x[：<x41}

【解析】

[4x-3>0

【分析】根據(jù)根式、對數(shù)的性質(zhì)有<“八八求解集，即為函數(shù)的定義域.

[log05(4x-3)>0

4x—3>03

【詳解】由函數(shù)解析式知：Ii「八，解得一VX<1,

[log05(4x-3)>04

3

故答案為：{x[w<xW1}.

14.若幕函數(shù)/(幻=(加2+〃?-5)/『+2時4在區(qū)間(0,用)上單調(diào)遞增，則〃4)=

【答案】256

【解析】

【分析】根據(jù)募函數(shù)的定義及性質(zhì)求出加，即可得出答案.

【詳解】解：因為幕函數(shù)/(X)=(加2+〃2-5)/'+224在區(qū)間(。，y)上單調(diào)遞增,

2

m4-772-5=1

所以〈2，解得加=2,

m+2m-4>0

所以/(x)=f,

則f(4)=256.

故答案為：256.

15.已知關(guān)于x的不等式依+,424在區(qū)間(0,+￥)上有解，則實數(shù)”的取值范圍是

X

【答案】(T?,0)U[3,+8)

【解析】

【分析】

由題意可得，當(dāng)x>0時，a/-2ax+3”0能成立，分類討論。的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得實數(shù)。的

取值范圍.

【詳解】關(guān)于x的不等式"+2.2a在區(qū)間(0,+8)上有解，

X

3

即當(dāng)x>0時，不等式+—2〃能成立，即一2ax+3,,0能成立.

x

當(dāng)。=0時，不等式不成立，故

2

當(dāng)a>0時，則x=l時，函數(shù)丁="2c-2依+3的最小值為17土a-上4a*-=3-&0,求得a.3.

4a

當(dāng)a<0時，二次函數(shù)歹=62一26+3的圖象開口向下，滿足條件.

綜上可得，實數(shù)。的范圍為a..3或加0,

故答案為：(一。。,0)U[3,+8)

【點睛】易錯點睛：解答本題時要注意審題，本題不是恒成立問題，而是能成立問題，所以等價于當(dāng)x>0時,

不等式ax?-23+3”0能成立.即函數(shù),f(x)=ax?—2ax+3的最小值大于零，而不是最大值大于零.

16.若f(x)=Ina+---b是奇函數(shù)，則a=______________,b=_____________.

1+x

【答案】①.一，##_0.5②.一in2##ln，

22

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，得到。+」-力0,即可求出。的值，求出函數(shù)的定義域，再

1+X

由奇函數(shù)的性質(zhì)/(0)=0,求出b的值，再代入檢驗即可.

1

【詳解】解：因為/(x)=lna+-6是奇函數(shù),

1+x

???/(X)定義域關(guān)于原點對稱，

由a+^—#0,可得(l+x)(ax+a+l)H0,

所以xH—1且xw—烏聚，所以四=一1,所以4=一’,

aa2

所以函數(shù)的定義域為(F,—1)U(—1,1)U(1,M),

所以/(0)=0,即/(0)=ln—g+l—b=0,所以b=—ln2,

|I1-Y，則/(-x)=ln三：卜-/(x),符合題意;

此時f(x)=In——+-----+In2=In------

21+x1+x

故答案為：一二；—In2

2

四、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知a>0,記關(guān)于X的不等式(x-4(x+l)<0的解集為尸，不等式,一1區(qū)1的解集為0.

(1)若。=3,求集合P；

(2)若Q=P,求。的取值范圍.

【答案】⑴{x|-l<x<3}；(2)(2,+oo).

【解析】

【分析】

(1)直接解不等式得解;

(2)先化簡集合產(chǎn),0,再根據(jù)QaP,得到關(guān)于。的不等式得解.

【詳解】⑴由(x-3)(x+l)<0,得尸={x|-1cx<3}；

(2)2=|x||x-l|<11=|x|0<x<2|.

由a〉0,得尸={x[—l<x<a},

又。1P，

所以。>2,

即。的取值范圍是(2,+8).

18.計算求值：

⑴273x3Vh5xV12+(0.001)y+415-yl(Tt-4)2

(2)lg2xlg2500+8x(1g后)2+2嘀9+log,9-log,4

【答案】（1）32+JI

（2）9

【解析】

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)塞的運算性質(zhì)計算即可；

（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.

【小問1詳解】

-1__________

解：2石x3VT？x姮+（0.001尸+4”一行

=32+兀；

【小問2詳解】

解：1g2x1g2500+8x（1g后+2電9+噫9,log34

=2（lg2+lg5）+7=9.

19.某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收入/?

f12

400%——x2,0<x<400

（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：臺）滿足函數(shù)：火=2

80000,%>400

（1）將利潤。（單位：元）表示為月產(chǎn)量￡的函數(shù)；

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收入=總成本+利潤）

--X2+300X-20000,0<x<400

【答案】（1）P=，2；

[60000-100x,x>400

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為300臺時，總利潤最大,最大利潤為25000元.

【解析】

【分析】（1）分0WXW400與x>400兩種情況，求解出利潤戶（單位：元）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；

（2）分分0WxW400與x>400兩種情況，求解出利潤的最大值，比較后得到結(jié)論.

【小問1詳解】

當(dāng)0Wx<400時，A=400x--x2,

2

1,1,

故尸=400%一一x2-20000-100%=——X2+300X-20000,

22

當(dāng)x>400時，??=80000.

故尸=80000-20000一100x=60000-100x,

1,

牧p_b/+300%-20000,0<x<400

60000-1OOx,x>400

【小問2詳解】

當(dāng)0WxW400時，P=-1(x-300)2+25000,

故當(dāng)x=300時.，P取得最大值，最大值為25000；

當(dāng)x>400時，P=60000-100無單調(diào)遞減，故P<60000-100x400=20000,

綜上：當(dāng)月產(chǎn)量為300臺時，總利潤最大，最大利潤為25000元.

X+77?

20.已知定義在R上的奇函數(shù)/'(x)=r—,weR.

x+1

(1)求用;

(2)用定義證明：/⑺在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞減；

(3)若實數(shù)。滿足/(/+24+2)<—,求。的取值范圍.

【答案】(1)加=0；(2)證明見解析；(3)(―8,—2)U(0,+8)

【解析】

【分析】

(1)由/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得到"0)=0,即可求解；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證得函數(shù)/(x)在［1,+8)單調(diào)遞減.

(3)結(jié)合/")在［1,+8)單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為/+20+2>2,即可求解實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)由題意，函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，可得/(0)=0,解得加=0.

(2)任取西,工2￡口，+8)且王<工2,

則…小)=MrMr”告需產(chǎn)端得辭

XX

因9>西>1，故玉&>1，2~\>0,%；+1>0,X；+1>0,從而/（X2）-/（X1）<0,

即/(%)</(否)，所以函數(shù)/(X)在［1,+8)單調(diào)遞減.

92

(3)由/+2a+2=(a+l)+121,又由/(2)=g,

2

因為/(/+24+2)<7結(jié)合〃x)在［1,+co)單調(diào)遞減，可得/+2a+2>2，

即t?2+2a>0>解得a<-2或a〉0,

即實數(shù)。的取值范圍(-8,—2)U(O,+S).

【點睛】含有的不等式的解法：

1、首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為/(g(x))>/'(〃(x))的形式；

2、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉,轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意g(x)和A(x)的取值應(yīng)再外層

函數(shù)的定義域內(nèi)；

3、結(jié)合不等式(組)的解法，求得不等式(組)的解集，即可得到結(jié)論.

21.我們知道，函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/.(x)為奇函數(shù)，有

同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點尸(。力)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

>=/(》+。)一6為奇函數(shù).

7r-12

(1)判斷函數(shù)/(幻=黃!為奇偶性，并求函數(shù)8(無)=-廣幣的圖像的對稱中心；

(2)類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于y軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x)為

偶函數(shù)”的一個推廣結(jié)論.

【答案】(1)/(x)=|^■為奇函數(shù)，g(x)的對稱中心是(LT)；

(2)見解析.

【解析】

2V-1

【分析】(1)先根據(jù)定義證明=■為奇函數(shù)，然后找出g(x),/(x)之間的關(guān)系，利用題目條件寫

出g(x)的對稱中心；

(2)仿照題干的寫法寫出相關(guān)命題即可

【小問1詳解】

2X-1

f(x)=-~■為奇函數(shù)，證明如下，首先/(x)定義域為R,關(guān)于原點對稱，又

2、+1

2~x-ll-2f2X-1

/(T)=-~x-=-/W-故/(X)為奇函數(shù)，

2~x+\1+2、2+\八

l+g(x)=l——Y—=Z21—］=/(x-1),故g(x)=/(x_l)-1,于是g(x+l)+l=/(x)

2V-1+12V-I+12A-1+1

是奇函數(shù),由題意知,g(x)對稱中心是

【小問2詳解】

函數(shù)V=f(x)的圖像關(guān)于x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x+。)為偶函數(shù).

22.若函數(shù)"X)的定義域為。，集合M