2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考試卷中的改編題

鑒賞中考試卷中的改編題

素材如圖1,黨是aABC中AB邊上的中點(diǎn)，4ACE和4BCF分別是以AC、BC

為斜邊的等腰直角三角形，連結(jié)黨E、黨F.求證：黨E=黨F,黨E_L黨F.

解析本題是初中數(shù)學(xué)中的一道典型題目，證明的方法也很多，這里只展示其中的一

種方法：

如圖2,取AC、BC中點(diǎn)M、N,連結(jié)M黨、N黨，EM、FN.

',1?乙AEC=90。，乙BFC=90°,

/.EM=/AC,FN=yfiC.

?；D為AB中兼,

DN=^-AC,MD=yfiC,

DN//CM,且DM//CN,

EM=DN,FN=MD,

四邊形MONC為平行四邊形，

乙CMD=乙CND,Z.MGD=Z.GDN.

???A.EMC=乙FNC=90°,

乙EMC+乙CMD=Z_FNC+Z.CND,

即乙EMD=乙FND,

：.4EMD△DNF.

：.DE=DF,4MED=乙NDF,

：.乙GDH=乙GDN-Z.NDF

=乙MGD-乙MED=乙EMC

=90°,

DE±DF.

經(jīng)過提煉我們不難看出，這道題實(shí)際上是研究以一個(gè)三角形的兩邊為斜邊分別作等腰

直角三角形，這個(gè)三角形第三邊的中點(diǎn)與兩一等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)之間的兩條線段具

有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？

接下來，我們一起鑒賞本試題經(jīng)過“變臉”后的多種形式.

例1某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：

?操作發(fā)現(xiàn)在等腰AABC中，AB=AC,分別以AB和AC為斜邊，向AABC的外

側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，其中黨F上AC于點(diǎn)F,EGJ_AC于點(diǎn)G,M是BC

的中點(diǎn)，連結(jié)M黨和ME,則下列結(jié)論正確的是一（填序號(hào)即可）

①AF=AG='AB；②乂黨=乂￡；③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；④/黨=

2

?數(shù)學(xué)思考在任意^ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向,ZSABC的外側(cè)作等腰

直角三角形，如圖4所示，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)M黨和ME,則M黨與ME具有怎樣

的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過程；

?類比探究在任意AABC中，分別以AB和AC為斜邊，向4ABC的內(nèi)側(cè)作等腰

直角三角形，如圖5所示，M是BC的中點(diǎn)，連結(jié)M黨和ME,試判斷ME黨的形狀.

答：.

評(píng)析本題在原素材的基礎(chǔ)上，變成了由三個(gè)具有遞進(jìn)層次（從特殊到一般）的小問

題構(gòu)成的新情境探究題.第一個(gè)小，問題到第二個(gè)小問題的變化是，等腰三角形AABC一任

意AABC（形狀變化）；第二個(gè)小問題到第三個(gè)小問題的變化是，向4ABC的外側(cè)作等腰直

角三角形f向aABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形（位置變.化）.這道中考題改編的手法是改

變?cè)夭牡臈l件，而原素材的結(jié)論不變.這樣改編的效果是在增加問題厚度的同時(shí)，有效

地降低了試題的難度，減緩了試題的坡度，使不同程度的學(xué)生都.能有所收獲.

例2已知兩個(gè)有一個(gè)公共頂點(diǎn)的等腰RtZ\A,BC.RtACEF,ZABC=ZCEF=90°,

連結(jié)AF,M是AF的中點(diǎn)，連結(jié)MB、ME.

E

AB

A

CC-------------

圖6圖7

(2)如圖6,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的長(zhǎng)；

(3)如圖7,當(dāng)NBCE=4.5°時(shí)，求證：BM=ME.

評(píng)析和原素材相比，本題圖6的變化有兩點(diǎn)：一是等腰RtaABC,等腰RtZ\,CEF

都在AACF的內(nèi)側(cè)；二是其中兩腰在同一條直線上(CB與CE在同一直線上)，然后在這

種特殊位置下分別探究第(1)(2)問中線段的位置關(guān)系和數(shù)量.改編后的題目增加了對(duì)平行線

和幾何圖形中計(jì)算能力的考察，使原問題在橫向上得到了引申，體現(xiàn)了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)

系.圖7在圖6的基礎(chǔ)上，其中一個(gè)三角形繞點(diǎn)C進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而探究BM和ME數(shù)量

關(guān)系.實(shí)際上(3)問中“/BCE=45°”這個(gè)條件是多余的，我想命題者之所以這“樣做，

可能只是為了降低試題的難度，不過本題作為一道壓軸題，不給這個(gè)條件，個(gè)人認(rèn)為可更

有效地增加問題的區(qū)分度.

.例3在圖8至圖10中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)黨是線段CE的中點(diǎn)“四邊形BCGF

和C黨HN都是正方形.AE的中點(diǎn)是M.

(1)如圖8,點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：

FM=MH,FM1MH；

(2)將圖8中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖9,求證：△FMH是等腰直角

三角形；

(3)將圖9中的CE縮短到圖10的情況，^FNIH還是等腰直角三角形嗎？(不必說

明理由)

.評(píng)析本題仍是一道由三個(gè)小問題組成的探究證明題，表面上看它和原素材風(fēng)馬牛不

相及，實(shí)質(zhì)上兩者卻緊密相關(guān)，以圖9為例，如果我們分別連結(jié)AF,CF,CH,EH,這

樣一來，我們很容易發(fā)現(xiàn)”由aACE,等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形CHE組成

的原素材的圖形結(jié)構(gòu)，利用原素材的證明思路可以很快解決，命題者把其巧妙的“移植”

到其它的圖形中，充分體現(xiàn)了命題者的功力，實(shí)屬一道好題.

例4如圖11,在aABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若點(diǎn)B、P

在直線a的異側(cè)，BML直線a子點(diǎn)M,CNL直線a于點(diǎn)N,連結(jié)PM、PN；

(1)延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E,如圖12.

①求證：^BPM會(huì)ACPE；

②求證：PM=PN；

(2)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖13的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變,

此時(shí)PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其它條件不變.請(qǐng)直接判斷四邊形

MBCN的形狀，此時(shí)PM=P