人教版八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題專題直角三角形斜邊上的中線的運用(原卷版+解析)

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》專題直角三角形斜邊上的中線的運用題型一利用直角三角形斜邊上的中線求線段長題型一利用直角三角形斜邊上的中線求線段長【例題1】(2023春?鎮(zhèn)江期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點．若CD＝5，則EF的長為．【變式1-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，E是AC的中點．若DE＝3，則AB的長為．【變式1-2】(2023秋??？谄谀┤鐖D，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，過點D作DE∥AC，交AB于點E，若AB＝6，則DE的長為（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【變式1-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD＝2，CE＝5，則CD＝（）A．2 B．3 C．4 D．23【變式1-4】如圖，在△ABC中，D是BC上一點，AB＝AD，E、F分別是AC、BD的中點，EF＝2，則AC的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-5】(2023秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分別是AB、CD的中點，若AB＝26，CD＝24，則△DEF的周長為（）A．12 B．30 C．27 D．32【變式1-6】(2023春?南崗區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，過點D作AB的垂線，交BC于E，連接CD，AE，CD＝4，AE＝5，則AC＝（）A．3 B．245 C．5 D．【變式1-7】(2023?饒平縣校級模擬）如圖，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周長是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且點D是AB的中點，則AF＝（）A．5 B．7 C．3 D．7【變式1-8】如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點，EF＝7，BC＝10，則△EFM的周長是（）A．17 B．21 C．24 D．27題型二利用直角三角形斜邊上的中線求角度題型二利用直角三角形斜邊上的中線求角度【例題2】(2023秋?蓮湖區(qū)期中）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足為D，點E是BC的中點，連接ED，則∠EDB的度數(shù)是．【變式2-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線，ED⊥BC于D，交BA延長線于點E，若∠E＝35°，則∠BDA的度數(shù)是．【變式2-2】(2023秋?倉山區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E為對角線AC的中點，連接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，則∠EBD＝°．【變式2-3】(2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，E為BC邊的中點，AB＝4，AC＝2，DE=3，則∠ACDA．15° B．30° C．22.5° D．45°【變式2-4】(2023秋?濰坊期末）如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E為對角線AC的中點，∠DAC＝30°，∠CAB＝40°，連結(jié)BE，DE，BD，則∠BDE＝度．【變式2-5】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜邊AB的中點，∠ECD是度．【變式2-6】(2023秋?溫州期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB長為一邊作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中點E，連DE、CE、CD．則∠EDC＝°．【變式2-7】如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于點E，點G，H分別是AC，BD的中點，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5° B．10° C．20° D．30°【變式2-8】(2023秋?市中區(qū)校級月考）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點，點E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度數(shù)．題型三利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)證明題型三利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)證明【例題3】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分別是AC、BD的中點，試說明：（1）MD＝MB；（2）MN⊥BD．【變式3-1】(2023春?零陵區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D為AB中點，請說明DF∥BC的理由．【變式3-2】(2023秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，已知△ABC的高BD、CE相交于點O，M、N分別是BC、AO的中點，求證：MN垂直平分DE．【變式3-3】如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，DC＝BF，點E是CF的中點．（1）求證：DE⊥CF；（2）求證：∠B＝2∠BCF．【變式3-4】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，E是AD中點，過A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：AD＝AF；（2）如果AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．【變式3-5】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD為∠ABC的角平分線，F(xiàn)為AC的中點，AE∥BC交BD的延長線于點E，其中∠FBC＝2∠FBD．（1）求∠EDC的度數(shù)．（2）求證：BF＝AE．【變式3-6】已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點E在AC上，AB=12DE，AD∥求證：∠CBA＝3∠CBE．【變式3-7】如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC中點，點F是BD中點．（1）求證：EF⊥BD；（2）過點D作DH⊥AC于H點，如果BD平分∠HDE，求證：BA＝BC．【變式3-8】(2023?安順模擬）如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD＝CB，E為BD的中點，F(xiàn)為AC的中點，連接EF交CD于點M，連接AM．（1）求證：EF=1（2）若EF⊥AC，求證：AM+DM＝CB．【變式3-9】(2023秋?宿城區(qū)期中）如圖，在銳角三角形ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，M，N分別是線段BC，DE的中點．（1）求證：MN⊥DE．（2）連接DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并證明你的猜想．（3）當(dāng)∠BAC變?yōu)殁g角時，如圖②，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立？若成立，直接回答，不需證明；若不成立，請說明理由．題型四三角形中位線與直角三角形斜邊上的中線綜合應(yīng)用題型四三角形中位線與直角三角形斜邊上的中線綜合應(yīng)用證明角關(guān)系【例題4】(2023秋?平昌縣期末）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點，點F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，則DF的長為（）A．1.5 B．1 C．0.5 D．2【變式4-1】(2023春?南崗區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，連接ED，F(xiàn)是ED延長線上一點，連接AF、CF，若∠AFC＝90°，DF＝1，AC＝6，則BC的長度為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式4-2】(2023?金鄉(xiāng)縣三模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，E、F分別是AB、AC邊的中點，若AB＝8，AC＝6，則△DEF的周長為．【變式4-3】如圖，△ABC的周長為16，G、H分別為AB、AC的中點，分別以AB、AC為斜邊向外作Rt△ADB和Rt△AEC，連接DG、GH、EH，則DG+GH+EH的值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式4-4】(2023春?大足區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，點D，E分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點F，使CF=12BC，若EF＝2，則A．2 B．1 C．3 D．3【變式4-5】(2023春?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，E、F分別是AB、AC的中點，延長EF交△ABC的外角∠ACD的平分線于點G．AG與CG有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．【變式4-6】(2023春?海淀區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點D，點E分別是邊AC，AB的中點，點F在線段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的長度．【變式4-7】(2023春?徐州期中）已知：如圖，在△ABC中，D、E、F分別是各邊的中點，AH是高．（1）求證：DH＝EF；（2）求證：∠DHF＝∠DEF．【變式4-8】(2023春?羅湖區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．（1）求證：BM＝MN；（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，寫出求BN長的思路．八年級下冊數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》專題直角三角形斜邊上的中線的運用題型一利用直角三角形斜邊上的中線求線段長題型一利用直角三角形斜邊上的中線求線段長【例題1】(2023春?鎮(zhèn)江期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC的中點．若CD＝5，則EF的長為．【分析】已知CD是Rt△ABC斜邊AB的中線，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位線，則EF應(yīng)等于AB的一半．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜邊的中線，∴CD=12又∵EF是△ABC的中位線，∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，∴EF=12×故答案為：5．【點評】此題主要考查了三角形中位線定理以及直角三角形斜邊上的中線等知識，用到的知識點為：（1）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；（2）三角形的中位線等于對應(yīng)邊的一半．【變式1-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，E是AC的中點．若DE＝3，則AB的長為．【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)推知△ADC是直角三角形；然后在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，求得AC＝6；最后由等腰三角形ABC的兩腰AB＝AC，求得AB＝6．【解答】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中點．∴DE=12又∵DE＝3，AB＝AC，∴AB＝6，故答案為：6．【點評】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】(2023秋??？谄谀┤鐖D，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，過點D作DE∥AC，交AB于點E，若AB＝6，則DE的長為（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°．∴∠ABD＝∠BDE．∴DE＝BE．∵AB＝6，∴DE＝BE＝AE=12故選：B．【點評】該題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等幾何知識點的應(yīng)用問題；靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD＝2，CE＝5，則CD＝（）A．2 B．3 C．4 D．23【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE＝CE＝5，進而得出DE＝3，利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE為AB邊上的中線，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝2，∴DE＝3，∵CD為AB邊上的高，∴在Rt△CDE中，CD=C故選：C．【點評】此題考查直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE＝CE＝5．【變式1-4】如圖，在△ABC中，D是BC上一點，AB＝AD，E、F分別是AC、BD的中點，EF＝2，則AC的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】連接AF．由AB＝AD，F(xiàn)是BD的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AF⊥BD．再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC＝2EF＝4．【解答】解：如圖，連接AF．∵AB＝AD，F(xiàn)是BD的中點，∴AF⊥BD．∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中點，EF＝2，∴AC＝2EF＝4．故選：B．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AF⊥BD是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】(2023秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分別是AB、CD的中點，若AB＝26，CD＝24，則△DEF的周長為（）A．12 B．30 C．27 D．32【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF與CF的長，再由等腰三角形的性質(zhì)求出DE的長，根據(jù)勾股定理求出EF的長，進而可得出結(jié)論．【解答】解：∵ADB＝∠ACB＝90°，F(xiàn)是AB的中點，AB＝26，∴DF＝CF=12AB∴△CDF是等腰三角形．∵點E是CD的中點，CD＝24，∴EF⊥CD，DE=12在Rt△DEF中，DE=D∴△DEF的周長為：DF+DE+EF＝13+12+5＝30．故選：B．【點評】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線，熟知在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式1-6】(2023春?南崗區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，過點D作AB的垂線，交BC于E，連接CD，AE，CD＝4，AE＝5，則AC＝（）A．3 B．245 C．5 D．【分析】由直角三角形斜邊上的中線可求AB＝8，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE＝AE＝5，再利用勾股定理求得CE的長，進而可求解AC的長．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中點，CD＝4，∴AB＝2CD＝8，∵ED⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵AC2＝AE2﹣CE2＝AB2﹣BC2，∴52﹣CE2＝82﹣（5+CE）2，解得CE＝1.4，∴AC=5故選：B．【點評】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-7】(2023?饒平縣校級模擬）如圖，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周長是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且點D是AB的中點，則AF＝（）A．5 B．7 C．3 D．7【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE＝DF=12AB，EF=【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中點，∴DE＝DF=12∵AB＝AC，AF⊥BC，∴點F是BC的中點，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF=12∴△DEF的周長＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF=A故選：B．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-8】如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點，EF＝7，BC＝10，則△EFM的周長是（）A．17 B．21 C．24 D．27【分析】根據(jù)CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M為BC的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出FM和ME的長，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M為BC的中點，∴MF是Rt△BFC斜邊上的中線，∴FM=12BC同理可得，ME=12BC又∵EF＝7，∴△EFM的周長＝EF+ME+FM＝7+5+5＝17．故選：A．【點評】此題主要考查學(xué)生對直角三角形斜邊上的中線這個知識點的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出FM和ME的長．題型二利用直角三角形斜邊上的中線求角度題型二利用直角三角形斜邊上的中線求角度【例題2】(2023秋?蓮湖區(qū)期中）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足為D，點E是BC的中點，連接ED，則∠EDB的度數(shù)是．【分析】先利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠B＝28°，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得ED＝EB，從而利用等腰三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝62°，∴∠B＝90°﹣∠A＝28°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵點E是BC的中點，∴ED＝EB=12∴∠EDB＝∠B＝28°，故答案為：28°．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線，ED⊥BC于D，交BA延長線于點E，若∠E＝35°，則∠BDA的度數(shù)是．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DA＝DB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：∵∠E＝35°，ED⊥BC，∴∠B＝55°∵∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝55°，∴∠BDA＝180°﹣55°﹣55°＝70°．故答案為：70°．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】(2023秋?倉山區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E為對角線AC的中點，連接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，則∠EBD＝°．【分析】根據(jù)已知條件可以判斷EA＝EB＝EC＝DE，根據(jù)三角形外角定理可得到：∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝2∠DAE+2∠BAE＝2∠DAB＝104°，在等腰三角形BED中，已知頂角，即可求出底角∠EBD的度數(shù)．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴EA＝EB＝EC＝DE，∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA，在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×52°＝104°，在等腰三角形BED中，∠EBD=1故答案是：38．【點評】本題考查了直角三角形斜邊中線定理和三角形外角定理的運用，掌握基本定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】(2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，E為BC邊的中點，AB＝4，AC＝2，DE=3，則∠ACDA．15° B．30° C．22.5° D．45°【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BC＝2DE＝23，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，由AB＝2AC可求解∠ABC＝30°，然后根據(jù)同角的余角相等即可得出∠ACD＝∠ABC即可求解．【解答】解：∵CD⊥AB，E為BC邊的中點，DE=3∴BC＝2DE＝23，∵AB＝4，AC＝2，∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC＝30°．故選：B．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，余角的性質(zhì)，證明△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】(2023秋?濰坊期末）如圖，四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E為對角線AC的中點，∠DAC＝30°，∠CAB＝40°，連結(jié)BE，DE，BD，則∠BDE＝度．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE＝BE＝DE=12AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)求得∠BEC＝80°，∠CED＝60°，那么∠BED＝140°，然后在等腰△BDE中即可求出底角∠【解答】解：∵∠ADC＝∠ABC＝90°，E為對角線AC的中點，∴AE＝BE＝DE=12∴∠ABE＝∠CAB＝40°，∠ADE＝∠DAC＝30°，∴∠BEC＝∠ABE+∠CAB＝80°，∠CED＝∠ADE+∠DAC＝60°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝140°．∵BE＝DE，∴∠BDE＝∠DBE=180°?∠BED故答案為：20．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜邊AB的中點，∠ECD是度．【分析】先求出∠BCD和∠ACD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE＝BE，根據(jù)等邊對等角可得∠BCE＝∠B，再求出∠ECD＝45°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，∴∠BCD＝90°×1∠ACD＝90°×3∵CD⊥AB，∴∠B＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵E是AB的中點，∠ACB＝90°，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠B＝67.5°，∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝67.5°﹣22.5°＝45°，故答案為：45．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2-6】(2023秋?溫州期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB長為一邊作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中點E，連DE、CE、CD．則∠EDC＝°．【分析】根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EC＝EA＝EB=12AB，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠CEB＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到ED＝【解答】解：∵∠ACB＝90°，點E是AB中點，∴EC＝EA＝EB=12∴∠ECA＝∠CAB＝30°，∴∠CEB＝60°，∵AD＝BD，點E是AB中點，∴DE⊥AB，即∠AED＝90°，∴∠DEC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠ADB＝90°，點E是AB中點，∴DE=12∴ED＝EC，∴∠EDC＝75°，故答案為：75．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．【變式2-7】如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于點E，點G，H分別是AC，BD的中點，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5° B．10° C．20° D．30°【分析】連接AH，CH，根據(jù)在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中點可知AH＝CH=12BD，再由點G時AC的中點可知HG是線段AC的垂直平分線，故∠EGH＝90°，再由對頂角相等可知∠GEH＝∠【解答】解：連接AH，CH，∵在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中點，∴AH＝CH=12∵點G時AC的中點，∴HG是線段AC的垂直平分線，∴∠EGH＝90°．∵∠BEC＝80°，∴∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．故選：B．【點評】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線，熟知在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-8】(2023秋?市中區(qū)校級月考）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點，點E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度數(shù)．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CO＝BO＝AO=12AB，得到△AOC是等邊三角形，∠OCB＝∠【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∵∠BAE＝15°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，O為AB的中點，∴CO＝BO＝AO=12∴△AOC是等邊三角形，∠OCB＝∠B＝30°，∴AC＝OC＝CE，∴∠COE＝∠CEO=1【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．題型三利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)證明題型三利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)證明【例題3】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分別是AC、BD的中點，試說明：（1）MD＝MB；（2）MN⊥BD．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等邊對等角的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一證明．【解答】證明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點，∴BM=12AC，DM=∴DM＝BM；（2）由（1）可知DM＝BM，∵N是BD的中點，∴MN⊥BD．【點評】此題主要是運用了直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，題目難度不大．【變式3-1】(2023春?零陵區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D為AB中點，請說明DF∥BC的理由．【分析】根據(jù)在直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半得，BD＝DF，∠DFB＝∠DBF，根據(jù)角的平分線的定義知∠FBC＝∠FBD，∴∠DFB＝∠FBC，再根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行得DF∥BC．【解答】解：∵在直角△AFB中，點D是斜邊上的中點，∴DF＝BD=12∴∠DFB＝∠DBF，∵BE平分∠ABC，∴∠FBC＝∠FBD，∴∠DFB＝∠FBC，∴DF∥BC．【點評】本題的關(guān)鍵是明白在直角三角形的性質(zhì)中斜邊上的中線是斜邊的一半，角的平分線的定義，平行線的判定中內(nèi)錯角相等，兩直線平行．注意等邊對等角的運用．【變式3-2】(2023秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，已知△ABC的高BD、CE相交于點O，M、N分別是BC、AO的中點，求證：MN垂直平分DE．【分析】連接EN、DN、EM、DM，由BD與CE為三角形ABC的兩條高，可得∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°，根據(jù)M，N為BC，AO的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EN＝DN，EM＝DM，根據(jù)線段垂直平分線的逆定理得到M、N在線段DE的垂直平分線上，得證．【解答】證明：連接EN、DN、EM、DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°，∵M、N是BC、AO的中點，∴EN=1∴EN＝DN，EM＝DM，∴M、N在線段DE的垂直平分線上，∴MN垂直平分DE．【點評】此題考查了直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，以及線段垂直平分線的逆定理，利用了轉(zhuǎn)化的思想，其中連接出如圖所示的輔助線是解本題的關(guān)鍵．【變式3-3】如圖，△ABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，DC＝BF，點E是CF的中點．（1）求證：DE⊥CF；（2）求證：∠B＝2∠BCF．【分析】（1）連接DF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF=12AB＝BF，進而證明DC＝（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠FDB＝2∠DFC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【解答】證明：（1）連接DF，∵AD是邊BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵點F是AB的中點，∴DF=12AB＝∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵點E是CF的中點．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，E是AD中點，過A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：AD＝AF；（2）如果AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）由E是AD的中點，AF∥BC，易證得△AEF≌△DEB，即可得AF＝BD，又由在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可證得AD＝BD＝CD=12BC，即可證得：AD＝（2）當(dāng)AB＝AC時，四邊形ADCF是矩形．由AF＝BD＝DC，AF∥BC，可證得：四邊形ADCF是平行四邊形，又由AB＝AC，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得AD⊥BC，AD＝DC，繼而可得四邊形ADCF是正方形．【解答】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB，∵E是AD的中點，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，∠EAF=∠EDBAE=DE∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝BD，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，∴AD＝BD＝DC=12∴AD＝AF；（2）當(dāng)AB＝AC時，四邊形ADCF是正方形．∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AB＝AC，AD是中線，∴AD⊥BC，∵AD＝AF，∴四邊形ADCF是正方形．【點評】此題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中．【變式3-5】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD為∠ABC的角平分線，F(xiàn)為AC的中點，AE∥BC交BD的延長線于點E，其中∠FBC＝2∠FBD．（1）求∠EDC的度數(shù)．（2）求證：BF＝AE．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得∠ABD＝∠DBC＝45°，可求∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，由直角三角形的性質(zhì)可得∠C＝∠FBC＝30°，即可求解；（2）由直角三角形的性質(zhì)可得BF＝AB，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得AB＝AE，可證BF＝AE．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，BD為∠ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∵∠FBC＝2∠FBD．∴∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，∵∠ABC＝90°，點F是AC中點，∴AF＝BF＝CF，∴∠C＝∠FBC＝30°，∴∠EDC＝∠C+∠DBC＝75°；（2）∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2AB，∴AB＝AF＝BF，∵AE∥BC，∴∠E＝∠DBC＝45°＝∠ABD，∴AB＝AE，∴AE＝BF．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式3-6】已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點E在AC上，AB=12DE，AD∥求證：∠CBA＝3∠CBE．【分析】取DE的中點F，連接AF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AF＝DF＝FE=12DE，推出DF＝AF＝AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，求出∠ABF＝2∠D，∠CBE＝∠【解答】證明：取DE的中點F，連接AF，∵AD∥BC，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠ACB＝90°，∴AF＝DF＝EF=12∵AB=12∴DF＝AF＝AB，∴∠D＝∠DAF，∠AFB＝∠ABF，∴∠AFB＝∠D+∠DAF＝2∠D，∴∠ABF＝2∠D，∵AD∥BC，∴∠CBE＝∠D，∴∠CBA＝∠CBE+∠ABF＝3∠CBE．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，難度適中．【變式3-7】如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC中點，點F是BD中點．（1）求證：EF⊥BD；（2）過點D作DH⊥AC于H點，如果BD平分∠HDE，求證：BA＝BC．【分析】（1）根據(jù)直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）設(shè)AC，BD交于點O，根據(jù)垂直的定義得到∠DHO＝∠EFO＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EDO＝∠EBO，由角平分線的定義得到∠HDF＝∠BDE，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC中點，∴DE=12AC，BE=∴DE＝BE，∵點F是BD中點，∴EF⊥BD；（2）證明：設(shè)AC，BD交于點O，∵DH⊥AC，EF⊥BD，∴∠DHO＝∠EFO＝90°，∵∠DOH＝∠BOE，∴∠HDF＝∠OEF，∵DE＝BE，∴∠EDO＝∠EBO，∵BD平分∠HDE，∴∠HDF＝∠BDE，∴∠OEF＝∠OBE，∵∠OEF+∠EOF＝90°，∴∠EOF+∠EBO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴BE⊥AC，∴BA＝BC．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式3-8】(2023?安順模擬）如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD＝CB，E為BD的中點，F(xiàn)為AC的中點，連接EF交CD于點M，連接AM．（1）求證：EF=1（2）若EF⊥AC，求證：AM+DM＝CB．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE⊥BD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=1（2）根據(jù)“SAS”證明△AFM≌△CFM，可得AM＝CM，進而可得結(jié)論．【解答】（1）證明：連接CE，如圖，∵CD＝CB，E為BD的中點，∴CE⊥BD，∵F為AC的中點，∴EF=1（2）證明：∵EF⊥AC，∴∠AFM＝∠CFM，∵F為AC的中點，∴AF＝CF，∵MF＝MF，∴△AFM≌△CFM（SAS），∴AM＝CM，∵CD＝DM+MC，∴CD＝DM+AM，∵BC＝DC，∴AM+DM＝CB．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活應(yīng)用定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-9】(2023秋?宿城區(qū)期中）如圖，在銳角三角形ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，M，N分別是線段BC，DE的中點．（1）求證：MN⊥DE．（2）連接DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并證明你的猜想．（3）當(dāng)∠BAC變?yōu)殁g角時，如圖②，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立？若成立，直接回答，不需證明；若不成立，請說明理由．【分析】（1）連接DM，ME，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DM=12BC，ME=12BC，得到（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)計算即可得到結(jié)論；（3）仿照（2）的計算過程解答即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖（1），連接DM，ME，∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點，∴DM=12BC，ME=∴DM＝ME，又∵N為DE中點，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）結(jié)論（1）成立，結(jié)論（2）不成立，理由如下：連接DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC＝2（180°﹣∠BAC）＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）＝2∠BAC﹣180°．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．題型四三角形中位線與直角三角形斜邊上的中線綜合應(yīng)用題型四三角形中位線與直角三角形斜邊上的中線綜合應(yīng)用證明角關(guān)系【例題4】(2023秋?平昌縣期末）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點，點F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，則DF的長為（）A．1.5 B．1 C．0.5 D．2【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出FE，計算即可．【解答】解：∵D、E分別為AB、AC的中點，BC＝6，∴DE=12∵AF⊥CF，∴∠AFC＝90°，∵E為AC的中點，AC＝3，∴FE=12∴DF＝DE﹣FE＝1.5，故選：A．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】(2023春?南崗區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，連接ED，F(xiàn)是ED延長線上一點，連接AF、CF，若∠AFC＝90°，DF＝1，AC＝6，則BC的長度為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出EF，進而求出DE，根據(jù)三角形中位線定理計算，得到答案．【解答】解：在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，E是AC的中點，AC＝6，則EF=12∵DF＝1，∴DE＝3﹣1＝2，∵D，E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴BC＝2DE＝4，故選：C．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】(2023?金鄉(xiāng)縣三模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，E、F分別是AB、AC邊的中點，若AB＝8，AC＝6，則△DEF的周長為．【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出DE和DF，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)求出EF，再求出答案即可．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=A∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E、F分別是AB、AC邊的中點，AB＝8，AC＝6，BC＝10，∴DE=12AB＝4，DF=12AC＝3，∴△DEF的周長＝EF+DE+DF＝5+4+3＝12，故答案為：12．【點評】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)等知識點，能熟記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵．【變式4-3】如圖，△ABC的周長為16，G、H分別為AB、AC的中點，分別以AB、AC為斜邊向外作Rt△ADB和Rt△AEC，連接DG、GH、EH，則DG+GH+EH的值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG=12AB，EH=12AC，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得GH=12BC，然后求出DG+【解答】解：∵G、H分別為AB、AC的中點，△ADB和△AEC為直角三角形，∴DG=12AB，EH=∴GH為△ABC的中位線，∴GH=12∴DG+GH+EH=12（AB+AC+BC）故選：C．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】(2023春?大足區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，點D，E分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點F，使CF=12BC，若EF＝2，則A．2 B．1 C．3 D．3【分析】連接CD，根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥BC，DE=12BC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出CD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出AB，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出BC，進而求出【解答】解：連接CD，∵點D，E分別是邊AB，