2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）專題21 等腰三角形【十六大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題21等腰三角形【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)等邊對等角求解或證明】 3【題型2根據(jù)三線合一求解或證明】 4【題型3格點(diǎn)圖中畫等腰三角形】 5【題型4根據(jù)等角對等邊證明或求解】 6【題型5確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】 8【題型6等腰三角形性質(zhì)與判定綜合】 9【題型7利用等邊三角形的性質(zhì)求解】 10【題型8等邊三角形的判定】 12【題型9等腰/等邊三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題】 13【題型10探究等腰/等邊三角形中線段間存在的關(guān)系】 14【題型11等腰/等邊三角形有關(guān)的新定義問題】 16【題型12等腰/等邊三角形有關(guān)的折疊問題】 18【題型13等腰/等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題】 20【題型14利用等腰/等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題】 21【題型15利用垂直平分線的性質(zhì)求解】 23【題型16線段垂直平分線的判定】 25【知識(shí)點(diǎn)等腰三角形】等腰三角形1.等腰三角形的概念：有兩邊相等的三角形角等腰三角形．2.等腰三角形性質(zhì)：1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對等角”）.2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.3.等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.易錯(cuò)混淆：1.等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.2.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個(gè)底角都為45°.3.等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸．4.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．5.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則b26.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=1807.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.8.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．等邊三角形等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形.等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形的三條邊相等.2）三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都是60°.等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.易錯(cuò)混淆：1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).2.等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸．3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形．5.等腰(等邊)三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．6.等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=3垂直平分線1垂直平分線的概念：經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.易錯(cuò)混淆：對于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連接起來．【題型1根據(jù)等邊對等角求解或證明】【例1】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C=30°，則∠ABO的度數(shù)為（

）

A．30° B．45° C．60° D．90°【變式1-1】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F在矩形ABCD邊上，連接OF．若∠ADB=38°，∠BOF=30°【變式1-2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC=16，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)B關(guān)于直線DE的軸對稱點(diǎn)為點(diǎn)B'，連接DB'，EB'，分別與AC相交于F

【變式1-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在對角線BD上，點(diǎn)F在邊BC上，連接AE，EF，DE=

(1)如圖①，求證△AED(2)如圖②，若AB=AD，AE≠ED，過點(diǎn)C作CH∥AE交BE于點(diǎn)【題型2根據(jù)三線合一求解或證明】【例2】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)P．若△ABC的面積是24，PDA．2.5 B．2 C．3.5 D．3【變式2-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC

【變式2-2】（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE=CD，

(1)求證：∠EAD(2)若∠C=60°，DE=4【變式2-3】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，連接BE,(1)如圖1，求證：△BEO(2)如圖2，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)F，CE與BD相交于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作AC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)G，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個(gè)三角形（△AEF除外），使寫出的每個(gè)三角形的面積都與△【題型3格點(diǎn)圖中畫等腰三角形】【例3】（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖2均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B均在格點(diǎn)上，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)畫一個(gè)等腰三角形；（2）在圖②中，以點(diǎn)A，B，D，E為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為3的平行四邊形．【變式3-1】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A，B是4×4網(wǎng)格中的格點(diǎn)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長為1，如果以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的所有格點(diǎn)C有（

）個(gè)．

A．6 B．7 C．8 D．9【變式3-2】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考二模）如圖，是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)．線段AB的端點(diǎn)均在網(wǎng)格上，分別按要求作圖，每小題各畫出一個(gè)即可．

(1)在圖1中畫出以AB為邊的平行四邊形ABCD，且點(diǎn)C，D在格點(diǎn)上；(2)在圖2中畫出等腰三角形ABE，且點(diǎn)E在格點(diǎn)上；(3)在圖3中畫出直角三角形ABF，且點(diǎn)F在格點(diǎn)上．【變式3-3】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）在4×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，分別按要求畫出圖形（僅用無刻度直尺，并保留畫圖痕跡）．(1)在圖1中，已知線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，畫出一個(gè)以AB為腰的等腰△ABC，且C(2)在圖2中，已知△ABC為格點(diǎn)三角形，作出△ABC的內(nèi)心點(diǎn)【題型4根據(jù)等角對等邊證明或求解】【例4】（2023·山西大同·校聯(lián)考一模）如圖，AB=CD=3，∠A=15°，∠C=15°

【變式4-1】（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，∠B=∠C，BD=CE，求證：△ABD≌△ACE【變式4-2】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，D，E是△ABC邊上的點(diǎn)，ED∥BC，BE

(1)求證：BD=(2)若BD:BC=2:3【變式4-3】（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動(dòng)．【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，MD'與BC交于點(diǎn)

【猜想】】【驗(yàn)證】請將下列證明過程補(bǔ)充完整：∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊∴∠CMD=∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥∴∠CMD=（∴=（等量代換）∴MN=CN（【應(yīng)用】如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD'上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B（1）猜想MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若CD=2，MD=4，求【題型5確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)】【例5】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．【變式5-1】（2023·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，2），B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在直線y=x上．若以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【變式5-2】（2023·江蘇·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點(diǎn)P是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，若滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則AB的長為．【變式5-3】（2023·江西南昌·三模）如圖，點(diǎn)A是直線y=-2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB垂直x軸于點(diǎn)B，y軸上存在點(diǎn)C，能使以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．請寫出所有符合條件的點(diǎn)C【題型6等腰三角形性質(zhì)與判定綜合】【例6】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)P，Q分別在AB和AC上，PQ∥BC，M為PQ上一點(diǎn)，且滿足PM=2MQ．連接AM、DM，若

【變式6-1】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=4，以A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于12DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF，交DE于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥AB

【變式6-2】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE所在的直線折疊，C，D的對應(yīng)點(diǎn)分別為C'，D'，連接AD

(1)若∠DED'(2)連接EF，試判斷四邊形C'【變式6-3】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AD上一點(diǎn)，將四邊形ABEF沿EF折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，過點(diǎn)B'作B'H⊥

【題型7利用等邊三角形的性質(zhì)求解】【例7】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A3,0，B0,4，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

【變式7-1】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，△BPC是等邊三角形，則陰影部分的面積為

【變式7-2】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是射線BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AE，在AE的左側(cè)作等邊三角形AED，將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段EF,連接BF．交DE于點(diǎn)M

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)時(shí)，請直接寫出線段DM與EM的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2．當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(3)當(dāng)BC=6，CE=2時(shí)，請直接寫出【變式7-3】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖1，點(diǎn)G為等邊△ABC的重心，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，連接GD并延長至點(diǎn)O，使得DO=DG，連接GB，GC，

(1)求證：四邊形BOCG為菱形．(2)如圖2，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OG為半徑作⊙①判斷直線AB與⊙O②點(diǎn)M為劣弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），連接BM并延長交AC于點(diǎn)E，連接CM并延長交AB于點(diǎn)F，求證：AE+【題型8等邊三角形的判定】【例8】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊BC關(guān)于BE對稱的線段為BF，連接AF．

(1)若∠ABE=15°，求證：(2)延長FA，交射線BE于點(diǎn)G；①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)∠②若AB=3+6，求【變式8-1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線分別交AB

(1)求證：AE=2(2)連接CD，請判斷△BCD【變式8-2】（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，(1)請用尺規(guī)作圖法，在AB邊上求作一點(diǎn)P，使得PC=(2)連接CP，若∠ABC=30°，證明【變式8-3】（2023·河北承德·校聯(lián)考一模）如圖，已知在⊙O中，弦AB垂直平分半徑ON，NO的延長線交⊙O于P，連接AP，過點(diǎn)A，

(1)求證：△ABM(2)若⊙O的半徑為2，求AP【題型9等腰/等邊三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題】【例9】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=8，點(diǎn)C是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD，連接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90°,∠E=30°，點(diǎn)

【變式9-1】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，E為AB邊上一點(diǎn)，以AE為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)D，連接AD，BE=3,BD=35．P是

【變式9-2】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高BD上的動(dòng)點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接AF，EF，DF，則△CDF周長的最小值是

【變式9-3】（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為-8，6，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線y=-2x-6與AB交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)M在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)N在直線y=-2

【題型10探究等腰/等邊三角形中線段間存在的關(guān)系】【例10】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問題．(1)如圖一，在等腰△ABC中，AB=AC，BC邊上有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過點(diǎn)C作(2)如圖二，將矩形ABCD沿著EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在B'處，點(diǎn)G為折痕EF上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N.若BC(3)如圖三，在四邊形ABCD中，E為線段BC上的一點(diǎn)，EA⊥AB，ED⊥CD，連接BD，且ABCD=AEDE，【變式10-1】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對邊，a>b．記△ABC的面積為(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為S1，正方形BGFC的面積為S①若S1=9，S2②延長EA交GB的延長線于點(diǎn)N，連結(jié)FN，交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：S2(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為S1，等邊三角形CBE的面積為S2．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點(diǎn)C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索S2【變式10-2】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），將線段

(1)如圖1，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是_________，位置關(guān)系是________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，連接EC，寫出此時(shí)線段AD,(3)如圖3，在四邊形ABCF中，∠ABC=∠ACB=∠AFC【變式10-3】（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA=OB，OC=OD，連接(1)如圖1．若∠AOB=∠COD=40°，則AC與BD的數(shù)量關(guān)系為___________(2)如圖2，若∠AOB=∠COD=90°，判斷(3)在（2）的條件下，當(dāng)∠ABC=60°，且點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，請直接寫出OD與【題型11等腰/等邊三角形有關(guān)的新定義問題】【例11】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）定義：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P在BC邊上，連接AP，若AP的長恰好為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為BC邊上的“整點(diǎn)”如圖2，已知等腰三角形的腰長為10，底邊長為6，則底邊上的“整點(diǎn)”個(gè)數(shù)為；如圖3，在△ABC中，AB=25，AC=29，且BC邊上有6個(gè)“整點(diǎn)”【變式11-1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的3倍，這樣的三角形叫做“3倍長三角形”．若等腰△ABC是“3倍長三角形”，底邊BC的長為3，則等腰△ABC的周長為【變式11-2】（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）定義：如果四邊形的一條對角線把該四邊形分割成兩個(gè)等腰三角形，且這條對角線是這兩個(gè)等腰三角形的腰，那么我們稱這個(gè)四邊形為雙等腰四邊形．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，連結(jié)BD，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連結(jié)①試判斷四邊形ABCE是否是雙等腰四邊形，并說明理由；②若∠AEC=90°，求(2)如圖2，點(diǎn)E是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上一點(diǎn)，四邊形AEFD是雙等腰四邊形，且AD=DE．延長AE交BC于點(diǎn)G，連結(jié)FG．若AD=5，∠EFG=90°【變式11-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形”．

(1)如圖①，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（異于B點(diǎn)），AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=m°，連接CE，則CE______BD（填“<”(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，M、(3)如圖③，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，BC=6，過D點(diǎn)作DF⊥AD，交直線【題型12等腰/等邊三角形有關(guān)的折疊問題】【例12】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE,AC分別與DF,EF相交于G,H

【變式12-1】（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．

探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在△ABC中，∠A=36°

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，折痕交AC于點(diǎn)D，連接DE，DB，則∠BDE=_______°，設(shè)AC=1，BC=x（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：底BC腰AC=5-拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°

【變式12-2】（2023·安徽蚌埠·一模）如圖，△ABC中，CA=CB，∠ACB=50°，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，沿DE折疊得△PDE，點(diǎn)P落在∠ACB的平分線上，PF垂直平分AC，F(xiàn)為垂足，則【變式12-3】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC邊上的中線．如圖2，將△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別沿EF,GH折疊后均與點(diǎn)D重合，折痕分別交

猜想證明：(1)如圖2，試判斷四邊形AEDG的形狀，并說明理由．問題解決；(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿MN折疊，使得頂點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，折痕分別交AB,BC于點(diǎn)M，N，BM的對應(yīng)線段交DG于點(diǎn)K，求四邊形【題型13等腰/等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題】【例13】（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）已知，△OA1A2,△A3A4A5,△

【變式13-1】（2023·山東棗莊·?？家荒＃┤鐖D△OA1B1、△A1A2B2、△A2A3B3都是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)B1、B2【變式13-2】（2023·湖南婁底·校聯(lián)考一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圖形先向右平移a個(gè)單位，再繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫作圖形的γa,θ變換．如圖，等邊△ABC的邊長為1，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，△A1B1C1就是△ABC經(jīng)γ1,180°變換后所得的圖形，若△ABC經(jīng)γ1,180°變換后得到△A1B1C1，△A1B

【變式13-3】（2023·湖北黃岡·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC為等腰三角形，AC=AB=5，BC=8，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)C在x軸正半軸上，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到△A1B1C，使得點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)B1在x軸上，記為第一次旋轉(zhuǎn)，再將△A1B【題型14利用等腰/等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題】【例14】（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以點(diǎn)B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于12FG的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于12BD的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①∠AED=∠ABC；

A．1 B．2 C．3 D．4【變式14-1】（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，BE>AE，連接DF交AE于點(diǎn)G,DE交AB于點(diǎn)H，連接CF【變式14-2】（2023·四川·中考真題）如圖，點(diǎn)D為ΔABC的AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)前E為AD的中點(diǎn)，ΔADC為正三角形，給出下列結(jié)論，①CB=2CE,②tan∠B=34，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到AC、BC【變式14-3】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊ΔABC的邊長為3，點(diǎn)D在邊AC上，AD=12，線段PQ在邊BA①CP與QD可能相等；②ΔAQD與ΔBCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為31316；④四邊形PCDQ周長的最小值為3+37A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【題型15利用垂直平分線的性質(zhì)求解】【例15】（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，為制作角度尺，將長為10，寬為4的矩形OABC分割成4×10的小正方形網(wǎng)格．在該矩形邊上取點(diǎn)P，來表示∠POA

（答題卷用）作法（如圖）結(jié)論

①在CB上取點(diǎn)P1，使C∠P1OA=45°，點(diǎn)