2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第四章 三角形真題測(cè)試（基礎(chǔ)卷）（解析版）

第三章三角形章節(jié)測(cè)試(時(shí)間：90分鐘滿分：120分)一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，于點(diǎn)E．若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延長，與交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出的度數(shù)，再直角三角形的兩銳角互余即可求出．【詳解】解：延長，與交于點(diǎn)，

∵，，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線和正確利用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為、的中點(diǎn)，只要量出的長度，就可以道該零件內(nèi)徑的長度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（

）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等C．兩余直線被一組平行線所截，所的對(duì)應(yīng)線段成比例 D．兩點(diǎn)之間線段最短【答案】A【分析】根據(jù)題意易證，根據(jù)證明方法即可求解．【詳解】解：O為、的中點(diǎn)，，，（對(duì)頂角相等），在與中，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，正確使用全等三角形的證明方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)．若點(diǎn)在邊上，且，則的長為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，①當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，如圖，

∴，②當(dāng)點(diǎn)E為的四等分點(diǎn)時(shí)，如圖所示：

∴，綜上所述：或2；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．4．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，，若的長度為6，則的長度為（

）

A．4 B．9 C．12 D．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形的邊長比等于相似比是解決此題的關(guān)鍵.5．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，重合），連接，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求得，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，兩點(diǎn)被池塘隔開，三點(diǎn)不共線．設(shè)的中點(diǎn)分別為．若米，則（

）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米【答案】B【分析】根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解∶∵的中點(diǎn)分別為，∴是的中位線，∴米，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點(diǎn)恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，，再判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上，連接，根據(jù)圓周角定理可得，，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：是以為腰的等腰直角三角形，，，，，，，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上，如圖，連接，

由圓周角定理得：，，，，，在和中，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確判斷出點(diǎn)四點(diǎn)共圓，在以為直徑的圓上是解題關(guān)鍵．8．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，則旗桿高度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出，再利用垂直求，最后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可求出答案.【詳解】解：如圖所示，

由圖可知，，，.根據(jù)鏡面的反射性質(zhì)，∴，∴，，，.小菲的眼睛離地面高度為，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，，，...故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì).9．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)D、E為邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G在邊上，，點(diǎn)H為與的交點(diǎn)．若，則的長為（）

A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】由三等分點(diǎn)的定義與平行線的性質(zhì)得出，，，是的中位線，易證，得，解得，則．【詳解】解：、為邊的三等分點(diǎn)，，，，，，是的中位線，，，，，即，解得：，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三等分點(diǎn)的定義、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀以下作圖步驟：①在和上分別截取，使；②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，連接，如圖所示．根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（

）

A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】由作圖過程可得：，再結(jié)合可得，由全等三角形的性質(zhì)可得即可解答．【詳解】解：由作圖過程可得：，∵，∴．∴．∴A選項(xiàng)符合題意；不能確定,則不一定成立，故B選項(xiàng)不符合題意；不能確定,故C選項(xiàng)不符合題意，不一定成立，則不一定成立，故D選項(xiàng)不符合題意．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解尺規(guī)作圖過程是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）11．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)三角形的兩邊長分別是3和5，則第三邊長可以是__________．（只填一個(gè)即可）【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得，再解即可．【詳解】解：設(shè)第三邊長為x，由題意得：，則，故答案可為：4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系：第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．12．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤交于點(diǎn)D，作直線交于點(diǎn)E．若，則的大小為__________度．

【答案】55【分析】首先根據(jù)題意得到是的角平分線，進(jìn)而得到．【詳解】∵由作圖可得，是的角平分線∴．故答案為：55．【點(diǎn)睛】此題考查了作角平分線，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．13．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為__________．

【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點(diǎn)，求得的長，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

依題意，，∴圖中陰影部分的面積為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與位似，原點(diǎn)O是位似中心，且．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．

【答案】【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出相似比進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段的長．【詳解】解∶設(shè)∵與位似，原點(diǎn)是位似中心，且．若，∴位似比為，∴，解得，，∴故答案為：.【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關(guān)鍵．15．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)F．若，則__________．

【答案】【分析】四邊形是平行四邊形，則，可證明，得到，由進(jìn)一步即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．16．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若，則∠2的度數(shù)為________．

【答案】【分析】如圖，先標(biāo)注點(diǎn)與角，由對(duì)折可得：，求解，利用，從而可得答案．【詳解】解：如圖，先標(biāo)注點(diǎn)與角，

由對(duì)折可得：，∴，∵，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，同位角相等是解本題的關(guān)鍵．17．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）矩形中，M為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊上，且．當(dāng)以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，的長為______．【答案】2或【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，

∵四邊形矩形，∴，則，由平行線分線段成比例可得：，又∵M(jìn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∴，即：，∴，當(dāng)時(shí)，

∵M(jìn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴為的垂直平分線，∴，∵四邊形矩形，∴，則，∴∴，綜上，的長為2或，故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，垂直平分線的判定及性質(zhì)等，畫出草圖進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．18．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，延長至，使，連接，平分交于，連接，則的長為_______________．【答案】【分析】如圖，過作于，于，由平分，可知，可得四邊形是正方形，，設(shè)，則，證明，則，即，解得，，由勾股定理得，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，過作于，于，則四邊形是矩形，，∵平分，∴，∴，∴四邊形是正方形，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，解得，∴，由勾股定理得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．19．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，若，，則_________．

【答案】【分析】過點(diǎn)A作于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，再根據(jù)，可得，從而可得，利用銳角三角函數(shù)求得，再由，求得，即可求得結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)A作于H，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．20．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．若，則的長是__________．

【答案】4【分析】由可得，由是的垂直平分線可得，從而可得．【詳解】解：∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）21．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，，平分．求證：．

【答案】見解析【分析】先由角平分線的定義得到，再利用證明即可．【詳解】解∵平分，∴，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，角平分線的定義等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，，，．求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，然后證明，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴即在與中，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．23．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．

(1)證明：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義得出，根據(jù)等角的余角相等，得出，結(jié)合公共角，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵是斜邊上的高．∴，∴，∴又∵∴，（2）∵∴，又∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．24．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)，滿足，交于點(diǎn)H，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，證明，推出，即可解答；（2）通過平行四邊形的性質(zhì)證明，再通過（1）中的結(jié)論得到，最后證明，利用對(duì)應(yīng)線段比相等，列方程即可解答．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，是的中點(diǎn)，，，，∴，；（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，設(shè),則，可得方程，解得，即的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用上述性質(zhì)證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．25．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹高，測(cè)高儀為正方形，，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M．如圖是測(cè)量樹高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點(diǎn)H．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面，到樹的距離，．求樹的高度（結(jié)果精確到）．【答案】樹的高度為【分析】由題意可知，，，易知，可得，進(jìn)而求得，利用即可求解．【詳解】解：由題意可知，，，則，∴，∵，，則，∴，∵，則，∴，∴，答：樹的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，得到是解決問題的關(guān)鍵．26．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達(dá)處，再由處乘坐登山纜車到達(dá)山頂處．已知點(diǎn)A，B．D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）

(1)求登山纜車上升的高度；(2)若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達(dá)山頂處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)登山纜車上升的高度(2)從山底A處到達(dá)山頂處大約需要【分析】（1）過B點(diǎn)作于C，于E，則四邊形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求得的長，據(jù)此求解即可；（2）在中，求得的長，再計(jì)算得出答案．【詳解】（1）解：如圖，過B點(diǎn)作于C，于E，則四邊形是矩形，在中，，，∴，∴，答：登山纜車上升的高度；（2）解：在中，，，∴，∴從山底A處到達(dá)山頂處大約需要：，答：從山底A處到達(dá)山頂處大約需要.【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．27．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航