2024年初中升學考試真題模擬卷山西省中考數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2023年山西省中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．（3分）（2023?山西）計算（﹣1）×（﹣3）的結果為（）A．3 B．13 C．﹣3 2．（3分）（2023?山西）全民閱讀有助于提升一個國家、一個民族的精神力量．圖書館是開展全民閱讀的重要場所．以下是我省四個地市的圖書館標志，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2023?山西）下列計算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a64．（3分）（2023?山西）山西是全國電力外送基地，2022年山西省全年外送電量達到1464億千瓦時，同比增長18.55%．數(shù)據(jù)1464億千瓦時用科學記數(shù)法表示為（）A．1.464×108千瓦時 B．1464×108千瓦時 C．1.464×1011千瓦時 D．1.464×1012千瓦時5．（3分）（2023?山西）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC，BD為對角線，BD經過圓心O．若∠BAC＝40°，則∠DBC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°6．（3分）（2023?山西）一種彈簧秤最大能稱不超過10kg的物體，不掛物體時彈簧的長為12cm，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，在彈性限度內，掛重后彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x（kg）之間的函數(shù)關系式為（）A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x7．（3分）（2023?山西）如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若∠1＝155°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°8．（3分）（2023?山西）若點A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函數(shù)y=kx(k＜0)的圖象上，則a，bA．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b9．（3分）（2023?山西）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設的重要標志．如圖是高鐵線路在轉向處所設計的圓曲線（即圓?。?，高鐵列車在轉彎時的曲線起點為A，曲線終點為B，過點A，B的兩條切線相交于點C，列車在從A到B行駛的過程中轉角α為60°．若圓曲線的半徑OA＝1.5km，則這段圓曲線AB的長為（）A．π4km B．π2km C．10．（3分）（2023?山西）蜂巢結構精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標系中，點P，Q，M均為正六邊形的頂點．若點P，Q的坐標分別為(?23，3)，（0，﹣3），則點A．（33，﹣2） B．（33，2） C．（2，﹣33） D．（﹣2，﹣33）二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．（3分）（2023?山西）計算：(6+312．（3分）（2023?山西）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成．第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，…依此規(guī)律，第n個圖案中有個白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）．??13．（3分）（2023?山西）如圖，在?ABCD中，∠D＝60°．以點B為圓心，以BA的長為半徑作弧交邊BC于點E，連接AE．分別以點A，E為圓心，以大于12AE的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線BP交AE于點O，交邊AD于點F，則OFOE的值為14．（3分）（2023?山西）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分．若從這四部著作中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本），則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的概率是．15．（3分）（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長為．三、解答題（本大題共8個小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（10分）（2023?山西）（1）計算：|?8|×(?1（2）計算：x（x+2）+（x+1）2﹣4x．17．（7分）（2023?山西）解方程：1x?118．（9分）（2023?山西）為增強學生的社會實踐能力，促進學生全面發(fā)展，某校計劃建立小記者站，有20名學生報名參加選拔．報名的學生需參加采訪、寫作、攝影三項測試，每項測試均由七位評委打分（滿分100分），取平均分作為該項的測試成績，再將采訪、寫作、攝影三項的測試成績按4：4：2的比例計算出每人的總評成績．小悅、小涵的三項測試成績和總評成績如表，這20名學生的總評成績頻數(shù)分布直方圖（每組含最小值，不含最大值）如圖．選手測試成績/分總評成績/分采訪寫作攝影小悅83728078小涵8684▲▲（1）在攝影測試中，七位評委給小涵打出的分數(shù)如下：67，72，68，69，74，69，71．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是分，眾數(shù)是分，平均數(shù)是分；（2）請你計算小涵的總評成績；（3）學校決定根據(jù)總評成績擇優(yōu)選拔12名小記者．試分析小悅、小涵能否入選，并說明理由．19．（9分）（2023?山西）風陵渡黃河公路大橋是連接山西、陜西、河南三省的交通要塞．該大橋限重標志牌顯示，載重后總質量超過30噸的車輛禁止通行．現(xiàn)有一輛自重8噸的卡車，要運輸若干套某種設備，每套設備由1個A部件和3個B部件組成，這種設備必須成套運輸．已知1個A部件和2個B部件的總質量為2.8噸，2個A部件和3個B部件的質量相等．（1）求1個A部件和1個B部件的質量各是多少；（2）該卡車要運輸這種成套設備通過此大橋，一次最多可運輸多少套這種設備．20．（8分）（2023?山西）2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復蘇行動河湖名單（2022﹣2025年）》，我省境內有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選，在推進實施母親河復蘇行動中，需要砌筑各種駁岸（也叫護坡）．某校“綜合與實踐”小組的同學把“母親河駁岸的調研與計算”作為一項課題活動，利用課余時間完成了實踐調查，并形成了如下活動報告．請根據(jù)活動報告計算BC和AB的長度（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，2課題母親河駁岸的調研與計算調查方式資料查閱、水利部門走訪、實地查看了解調查內容功能駁岸是用來保護河岸，阻止河岸崩塌成沖刷的構筑物材料所需材料為石料、混凝土等駁岸時剖面圖相關數(shù)據(jù)及說明：圖中，點A，B，C，D，E在同一豎直平面內，AE和CD均與地面平行，岸墻AB⊥AE于點A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．計算結果…交通展示…21．（7分）（2023?山西）閱讀與思考下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，順次連接E，F(xiàn)，G，H，得到的四邊形EFGH是平行四邊形．我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654﹣1722）是法國數(shù)學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切．①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接AC，分別交EH，F(xiàn)G于點P，Q，過點D作DM⊥AC于點M，交HG于點N．∵H，G分別為AD，CD的中點，∴HG∥AC，HG=12∴DNNM=DGGC．∵DG＝GC，∴DN＝∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四邊形HPQG是平行四邊形，（依據(jù)2）∴S?HPQG＝HG?MN=1∵S△ADC=12AC?DM＝HG?DM，∴S?HPQG=12任務：（1）填空：材料中的依據(jù)1是指：．依據(jù)2是指：．（2）請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH、使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）（3）在圖1中，分別連接AC，BD得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC，BD長度的關系，并證明你的結論．22．（12分）（2023?山西）綜合與實踐問題情境：“綜與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，將△ABC和△DFE按圖2所示方式擺放，其中點B與點F重合（標記為點B）．當∠ABE＝∠A時，延長DE交AC于點G，試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由．數(shù)學思考：（1）請你解答老師提出的問題；深入探究：（2）老師將圖2中的△DBE繞點B逆時針方向旋轉，使點E落在△ABC內部，并讓同學們提出新的問題．①“善思小組”提出問題：如圖3，當∠ABE＝∠BAC時，過點A作AM⊥BE交BE的延長線于點M，BM與AC交于點N．試猜想線段AM和BE的數(shù)量關系，并加以證明．請你解答此問題；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當∠CBE＝∠BAC時，過點A作AH⊥DE于點H，若BC＝9，AC＝12，求AH的長．請你思考此問題，直接寫出結果．23．（13分）（2023?山西）綜合與探究如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+4x的圖象與x軸的正半軸交于點A，經過點A的直線與該函數(shù)圖象交于點B（1，3），與y軸交于點C．（1）求直線AB的函數(shù)表達式及點C的坐標；（2）點P是第一象限內二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點P作直線PE⊥x軸于點E，與直線AB交于點D，設點P的橫坐標為m．①當PD=12OC②當點P在直線AB上方時，連接OP，過點B作BQ⊥x軸于點Q，BQ與OP交于點F，連接DF．設四邊形FQED的面積為S，求S關于m的函數(shù)表達式，并求出S的最大值．

2023年山西省中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．（3分）（2023?山西）計算（﹣1）×（﹣3）的結果為（）A．3 B．13 C．﹣3 【分析】根據(jù)有理數(shù)乘法的計算得出結論即可．【解答】解：（﹣1）×（﹣3）＝1×3＝3，故選：A．【點評】本題主要考查有理數(shù)乘法的計算，熟練掌握有理數(shù)乘法的計算方法是解題的關鍵．2．（3分）（2023?山西）全民閱讀有助于提升一個國家、一個民族的精神力量．圖書館是開展全民閱讀的重要場所．以下是我省四個地市的圖書館標志，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A、B，D選項中的圖書館標志都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項中的圖書館標志能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（3分）（2023?山西）下列計算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．（﹣a3b）2＝﹣a6b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6【分析】選項A根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則判斷即可；選項B根據(jù)積的乘方運算法則判斷即可；選項C根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則判斷即可；選項D根據(jù)冪的乘方運算法則判斷即可．【解答】解：A．a2?a3＝a5，故選項不符合題意；B．（﹣a3b）2＝a6b2，故選項不符合題意；C．a6÷a3＝a3，故選項不符合題意；D．（a2）3＝a6，故選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方與積的乘方，掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．4．（3分）（2023?山西）山西是全國電力外送基地，2022年山西省全年外送電量達到1464億千瓦時，同比增長18.55%．數(shù)據(jù)1464億千瓦時用科學記數(shù)法表示為（）A．1.464×108千瓦時 B．1464×108千瓦時 C．1.464×1011千瓦時 D．1.464×1012千瓦時【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．【解答】解：1464億千瓦時＝146400000000千瓦時＝1.464×1011千瓦時，故選：C．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．5．（3分）（2023?山西）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC，BD為對角線，BD經過圓心O．若∠BAC＝40°，則∠DBC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由圓周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝40°，再利用直角三角形的性質可求解．【解答】解：∵BD經過圓心O，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，故選：B．【點評】本題主要考查圓周角定理，直角三角形的性質，掌握圓周角定理是解題的關鍵．6．（3分）（2023?山西）一種彈簧秤最大能稱不超過10kg的物體，不掛物體時彈簧的長為12cm，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，在彈性限度內，掛重后彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x（kg）之間的函數(shù)關系式為（）A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x【分析】根據(jù)不掛物體時彈簧的長為12cm，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，可得在彈性限度內，y與x的函數(shù)關系式．【解答】解：根據(jù)題意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），故選：B．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應用，理解題意并根據(jù)題意建立函數(shù)關系式是解題的關鍵．7．（3分）（2023?山西）如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若∠1＝155°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【分析】由平行線的性質求出∠OFB＝25°，由對頂角的性質得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性質即可求出∠3的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠2＝30°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．故選：C．【點評】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質，對頂角的性質，關鍵是由平行線的性質求出∠OFB的度數(shù)，由對頂角的性質得到∠POF的度數(shù)，由三角形外角的性質即可解決問題．8．（3分）（2023?山西）若點A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函數(shù)y=kx(k＜0)的圖象上，則a，bA．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【分析】反比例函數(shù)y=kx（k≠0，k為常數(shù)）中，當k＜0時，雙曲線在第二，四象限，在每個象限內，y隨【解答】解：∵k＜0，點A，B同象限，y隨x的增大而增大，∵﹣3＜﹣1，∴0＜a＜b，又∵C（2，c）都在反比例函數(shù)y=k∴c＜0，∴c＜a＜b．故選：D．【點評】本題考查了由反比例函數(shù)圖象的性質判斷函數(shù)圖象上點的坐標特征，同學們應重點掌握．9．（3分）（2023?山西）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設的重要標志．如圖是高鐵線路在轉向處所設計的圓曲線（即圓?。?，高鐵列車在轉彎時的曲線起點為A，曲線終點為B，過點A，B的兩條切線相交于點C，列車在從A到B行駛的過程中轉角α為60°．若圓曲線的半徑OA＝1.5km，則這段圓曲線AB的長為（）A．π4km B．π2km C．【分析】由圓的切線可得∠OAC＝∠OBC＝90°，進而可證明A、O、B、C四點共圓，利用圓內接四邊形的性質可求得∠AOB＝60°，再根據(jù)弧長公式計算可求解．【解答】解：∵過點A，B的兩條切線相交于點C，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴A、O、B、C四點共圓，∴∠AOB＝α＝60°，∴圓曲線AB的長為：60π?1.5180=1故選：B．【點評】本題主要考查圓的切線的性質，點與圓的位置關系，圓內接四邊形的性質，弧長的計算，證明A、O、B、C四點共圓求解∠AOB的度數(shù)是解題的關鍵．10．（3分）（2023?山西）蜂巢結構精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標系中，點P，Q，M均為正六邊形的頂點．若點P，Q的坐標分別為(?23，3)，（0，﹣3），則點A．（33，﹣2） B．（33，2） C．（2，﹣33） D．（﹣2，﹣33）【分析】設中間正六邊形的中心為D，連接DB．判斷出OC，CM的長，可得結論．【解答】解：設中間正六邊形的中心為D，連接DB．∵點P，Q的坐標分別為(?23∴AB＝BC＝23，OQ＝3，∴OA＝OB=3∴OC＝33，∵DQ＝DB＝2OD，∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，∴M（33，﹣2），故選：A．【點評】本題考查正多邊形與圓，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．（3分）（2023?山西）計算：(6+3【分析】直接利用平方差公式計算得出答案．【解答】解：原式＝（6）2﹣（3）2＝6﹣3＝3．故答案為：3．【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確運用平方差公式是解題關鍵．12．（3分）（2023?山西）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成．第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，…依此規(guī)律，第n個圖案中有（2+2n）個白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）．??【分析】每增加一個圖案增加2個白色圓片，據(jù)此解答．【解答】解：第1個圖形中有2+2×1＝4個白色圓片；第2個圖形中有2+2×2＝6個白色圓片；第3個圖形中有2+2×3＝8個白色圓片；?????第n個圖形中有（2+2n）個白色圓片；故答案為：（2+2n）．【點評】本題考查了圖形的變化類問題，找到圖形變化的規(guī)律是解答本題的關鍵．13．（3分）（2023?山西）如圖，在?ABCD中，∠D＝60°．以點B為圓心，以BA的長為半徑作弧交邊BC于點E，連接AE．分別以點A，E為圓心，以大于12AE的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線BP交AE于點O，交邊AD于點F，則OFOE的值為3【分析】證明△ABE是等邊三角形，推出BO⊥AE，AE＝OE，可得結論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，∵BA＝BE，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝60°，∵BF平分∠ABE，∴AO＝OE，BO⊥AE，∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，∴tan∠OAF=OF∴OFOE故答案為：3．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．14．（3分）（2023?山西）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分．若從這四部著作中隨機抽取兩本（先隨機抽取一本，不放回，再隨機抽取另一本），則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的概率是16【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的情況，其中抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的結果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把《論語》《孟子》《大學》《中庸》分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的情況，其中抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的結果有2種，即AC、CA，∴抽取的兩本恰好是《論語》和《大學》的概率是212故答案為：16【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15．（3分）（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長為973【分析】過A作AH⊥BC于H，延長AD，BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質得出BH＝HC=12BC＝3，根據(jù)勾股定理求出AH=AC2?CH2=4，證明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根據(jù)等腰三角形的性質得出CE＝BC＝6，證明CD∥AH，得到CDAH=CEHE，求出CD【解答】解：過A作AH⊥BC于H，延長AD，BC于E，如圖所示：則∠AHC＝∠AHB＝90°，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝HC=12∴AH=A∵∠ADB＝∠CBD+∠CEH，∠ADB＝2∠CBD，∴∠CBD＝∠CED，∴DB＝DE，∵∠BCD＝90°，∴DC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∴EH＝CE+CH＝9，∵DC⊥BE，AH⊥BC，∴CD∥AH，∴△ECD∽△EHA，∴CDAH即CD4∴CD=8∴DE=C∵CD∥AH，∴DEAD即297解得AD=97故答案為：973【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質，勾股定理，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（10分）（2023?山西）（1）計算：|?8|×(?1（2）計算：x（x+2）+（x+1）2﹣4x．【分析】（1）根據(jù)絕對值，指數(shù)冪及單項式乘多項式的計算得出結論即可；（2）根據(jù)指數(shù)冪及單項式乘多項式的計算得出結論即可．【解答】解：（1）|?8|×(?＝8×14＝2﹣1＝1；（2）x（x+2）+（x+1）2﹣4x＝x2+2x+x2+2x+1﹣4x＝2x2+1．【點評】本題主要考查絕對值，指數(shù)冪及單項式乘多項式的計算，熟練掌握絕對值，指數(shù)冪及單項式乘多項式的計算方法是解題的關鍵．17．（7分）（2023?山西）解方程：1x?1【分析】由題意，根據(jù)分式方程的解題步驟先找出最簡公分母，化為整式方程，解方程后檢驗即可得結果．【解答】解：由題意得最簡公分母為2（x﹣1），∴原方程可化為：2+2x﹣2＝3．∴x=3檢驗：把x=32代入2（∴原方程的解為x=3【點評】本題主要考查了分式方程的解法，解題時要能找準最簡公分母進行變形化為整式方程是關鍵，同時注意檢驗．18．（9分）（2023?山西）為增強學生的社會實踐能力，促進學生全面發(fā)展，某校計劃建立小記者站，有20名學生報名參加選拔．報名的學生需參加采訪、寫作、攝影三項測試，每項測試均由七位評委打分（滿分100分），取平均分作為該項的測試成績，再將采訪、寫作、攝影三項的測試成績按4：4：2的比例計算出每人的總評成績．小悅、小涵的三項測試成績和總評成績如表，這20名學生的總評成績頻數(shù)分布直方圖（每組含最小值，不含最大值）如圖．選手測試成績/分總評成績/分采訪寫作攝影小悅83728078小涵8684▲▲（1）在攝影測試中，七位評委給小涵打出的分數(shù)如下：67，72，68，69，74，69，71．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是69分，眾數(shù)是69分，平均數(shù)是70分；（2）請你計算小涵的總評成績；（3）學校決定根據(jù)總評成績擇優(yōu)選拔12名小記者．試分析小悅、小涵能否入選，并說明理由．【分析】（1）分別根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的定義即可求出答案；（2）根據(jù)加權平均數(shù)公式計算即可；（3）根據(jù)20名學生的總評成績頻數(shù)分布直方圖即可得出答案．【解答】解：（1）七位評委給小涵打出的分數(shù)從小到大排列為：67，68，69，69，71，72，74，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是69（分），眾數(shù)是69（分），平均數(shù)是67+68+69+69+71+72+747故答案為：69，69，70；（2）86×4+84×4+70×24+4+2答：小涵的總評成績?yōu)?2分；（3）不能判斷小悅能否入選，但是小涵能入選，理由：由20名學生的總評成績頻數(shù)分布直方圖可知，小于80分的有10人，因為小悅78分、小涵82分，所以不能判斷小悅能否入選，但是小涵能入選．【點評】本題考查了頻數(shù)（率）分布直方圖，加權平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，解題的關鍵在于熟練掌握加權平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的計算方法．19．（9分）（2023?山西）風陵渡黃河公路大橋是連接山西、陜西、河南三省的交通要塞．該大橋限重標志牌顯示，載重后總質量超過30噸的車輛禁止通行．現(xiàn)有一輛自重8噸的卡車，要運輸若干套某種設備，每套設備由1個A部件和3個B部件組成，這種設備必須成套運輸．已知1個A部件和2個B部件的總質量為2.8噸，2個A部件和3個B部件的質量相等．（1）求1個A部件和1個B部件的質量各是多少；（2）該卡車要運輸這種成套設備通過此大橋，一次最多可運輸多少套這種設備．【分析】設1個A部件的質量為x噸，1個B部件的質量為y噸，根據(jù)1個A部件和2個B部件的總質量為2.8噸，2個A部件和3個B部件的質量相等．列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：（1）設1個A部件的質量為x噸，1個B部件的質量為y噸，由題意得：x+2y=2.82x=3y解得：x=1.2y=0.8答：1個A部件的質量為1.2噸，1個B部件的質量為0.8噸．（2）解：設該卡車一次可運輸m套這種設備通過此大橋．根據(jù)題意得：（1.2+0.8×3）?m+8≤30，解得：m≤55∵m為整數(shù)，∴m取最大值，∴m＝6．答：該卡車一次最多可運輸6套這種設備通過此大橋．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．20．（8分）（2023?山西）2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復蘇行動河湖名單（2022﹣2025年）》，我省境內有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選，在推進實施母親河復蘇行動中，需要砌筑各種駁岸（也叫護坡）．某?！熬C合與實踐”小組的同學把“母親河駁岸的調研與計算”作為一項課題活動，利用課余時間完成了實踐調查，并形成了如下活動報告．請根據(jù)活動報告計算BC和AB的長度（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，2課題母親河駁岸的調研與計算調查方式資料查閱、水利部門走訪、實地查看了解調查內容功能駁岸是用來保護河岸，阻止河岸崩塌成沖刷的構筑物材料所需材料為石料、混凝土等駁岸時剖面圖相關數(shù)據(jù)及說明：圖中，點A，B，C，D，E在同一豎直平面內，AE和CD均與地面平行，岸墻AB⊥AE于點A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．計算結果…交通展示…【分析】過E作EF⊥CD于F，延長AB，CD交于H，得到∠EFD＝90°，解直角三角形即可得到結論．【解答】解：過E作EF⊥CD于F，延長AB，CD交于H，∴∠EFD＝90°，由題意得，在Rt△EFD中，∠EDF=60°，ED=6，sin∠EDF=EFED，cos∴EF=ED?sin∠EDF=6×sin60°=6×32=3∴FD＝ED?cos∠EDF＝6×cos60°＝6×12=由題意得，∠H＝90°，四邊形AEFH是矩形，∴AH=EF=33，HF＝AE＝1.5m∵CF＝CD﹣FD＝3.5﹣3＝0.5（m），∴CH＝HF﹣CF＝1.5﹣0.5＝1（m），在Rt△BCH中，∠H＝90°，∠BCH＝180°﹣∠BCD＝180°﹣135°＝45°，∵cos∠BCH=CH∴BC=CHcos∠BCH=∴BH＝CH?tan∠BCH＝1×tan45°＝1（m），∴AB＝AH﹣BH＝33?1≈4.2(m)答：BC的長度約為1.4m，AB的長度約為4.2m．【點評】本題考查解直角三角形的應用，矩形的判定和性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．21．（7分）（2023?山西）閱讀與思考下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，順次連接E，F(xiàn)，G，H，得到的四邊形EFGH是平行四邊形．我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654﹣1722）是法國數(shù)學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切．①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接AC，分別交EH，F(xiàn)G于點P，Q，過點D作DM⊥AC于點M，交HG于點N．∵H，G分別為AD，CD的中點，∴HG∥AC，HG=12∴DNNM=DGGC．∵DG＝GC，∴DN＝∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四邊形HPQG是平行四邊形，（依據(jù)2）∴S?HPQG＝HG?MN=1∵S△ADC=12AC?DM＝HG?DM，∴S?HPQG=12任務：（1）填空：材料中的依據(jù)1是指：三角形中位線定理．依據(jù)2是指：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH、使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）（3）在圖1中，分別連接AC，BD得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC，BD長度的關系，并證明你的結論．【分析】（1）由三角形中位線定理和平行四邊形的判定可求解；（2）畫四邊形ABCD，且AC⊥BD于O，點E，H，G，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，順次連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，則四邊形EFGH為所求；（3）由三角形中位線定理可得EF=12BD，GH=12BD，EH=12【解答】解：（1）證明：如圖2，連接AC，分別交EH，F(xiàn)G于點P，Q，過點D作DM⊥AC于點M，交HG于點N．∵H，G分別為AD，CD的中點，∴HG∥AC，HG=12∴DNMN∵DG＝GC，∴DN＝NM=12∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四邊形HPQG是平行四邊形，（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），∴S?HPQG＝HG?MN=12HG?∵S△ADC=12AC?DM＝HG?∴S?HPQG=12S△同理可得，S?EFQP=12S△∴S?HEFG=12S四邊形故答案為：三角形中位線定理，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）如圖，畫四邊形ABCD，且AC⊥BD于O，點E，H，G，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，順次連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，則四邊形EFGH為所求；理由如下：∵點E，H，G，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，∴EF∥BD，HG∥BD，EH∥AC，F(xiàn)G∥AC，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，EF∥BD，∴AC⊥EF，∵FG∥AC，∴EF⊥FG，∴平行四邊形EFGH是矩形；（3）瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長等于AC+BD，理由如下：∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴點E，H，G，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，∴EF=12BD，GH=12BD，EH=12∴瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長＝EF+GF+GH+EH=12BD+12BD+12AC+【點評】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質，三角形中位線定理，矩形的判定等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．22．（12分）（2023?山西）綜合與實踐問題情境：“綜與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，將△ABC和△DFE按圖2所示方式擺放，其中點B與點F重合（標記為點B）．當∠ABE＝∠A時，延長DE交AC于點G，試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由．數(shù)學思考：（1）請你解答老師提出的問題；深入探究：（2）老師將圖2中的△DBE繞點B逆時針方向旋轉，使點E落在△ABC內部，并讓同學們提出新的問題．①“善思小組”提出問題：如圖3，當∠ABE＝∠BAC時，過點A作AM⊥BE交BE的延長線于點M，BM與AC交于點N．試猜想線段AM和BE的數(shù)量關系，并加以證明．請你解答此問題；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當∠CBE＝∠BAC時，過點A作AH⊥DE于點H，若BC＝9，AC＝12，求AH的長．請你思考此問題，直接寫出結果．【分析】（1）先證明四邊形BCGE是矩形，再由△ACB＝△DEB可得BC＝BE，從而得四邊形BCGE是正方形；（2）①由已知∠ABE＝∠BAC可得AN＝BN，再由等積方法S△ABF②設AB，DE的交點為M，過M作MG⊥BD于G，則易得MD＝MB，點G是BD的中點；利用三角函數(shù)知識可求得DM的長，進而求得AM的長，利用相似三角形的性質即可求得結果．【解答】解：（1）結論：四邊形BCGE為正方形．理由如下：∵∠BED＝90°，∴∠BEG＝180°﹣BED＝90°，∵∠ABE＝∠A，∴AC∥BE，∴∠CGE＝∠BED＝90°，∵∠C＝90°，∴四邊形BCGE為矩形．∵△ACB≌△DEB，∴BC＝BE．∴矩形BCGE為正方形；（2）①結論：AM＝BE．理由：∵∠ABE＝∠BAC，∴AN＝BN，∵∠C＝90°，∴BC⊥AN，∵AM⊥BE，即AM⊥BN，∴S△ABF∵AN＝BN，∴BC＝AM．由（1）得BE＝BC，∴AM＝BE．②解：如圖：設AB，DE的交點為M，過M作MG⊥BD于G，∵△A