2024一輪數(shù)學(xué)講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題14 函數(shù)的應(yīng)用（一）-2024一輪數(shù)學(xué)講義+題型細分與精練（解析版）

專題14函數(shù)的應(yīng)用（一）題型一一次函數(shù)模型的實際應(yīng)用題1．某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是（）A．310元 B．300元C．390元 D．280元【答案】B【解析】依題意，解得.故選：B2．甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點出發(fā)，路程與時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是_______.(填序號)①甲比乙先出發(fā)；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙兩人的速度相同；④甲比乙先到達終點.【答案】④.【解析】對①，由圖知，甲、乙兩人同時出發(fā)，故①錯誤；對②，甲、乙的路程取值范圍相同，故②錯誤；對③，速度，其幾何意義是直線的斜率，顯然甲的速度快，故②錯誤；對④，由圖知，甲到達終點時用時較少，故④正確；故答案為：④.題型二二次函數(shù)模型的實際應(yīng)用題1．某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營．據(jù)市場分析，每輛客車營運的利潤與營運年數(shù)為二次函數(shù)關(guān)系（如圖），則客車有營運利潤的時間不超過________年．【答案】7【解析】設(shè)二次函數(shù)y=a(x-6)2+11，又過點(4，7)，所以a=-1，即y=-(x-6)2+11.解y≥0，得6-≤x≤6+，所以有營運利潤的時間為2.又6<2<7，所以有營運利潤的時間不超過7年.故答案為：72．如圖，有一長米，寬米的矩形地塊，物業(yè)計劃將其中的矩形建為倉庫，要求頂點在地塊對角線上，分別在邊上，其他地方建停車場和路，設(shè)米.則矩形的面積關(guān)于的函數(shù)解析式為_________.【答案】【解析】解：在直角中，所以，∴，∴，所以矩形的面積關(guān)于的函數(shù)解析式為.3．某種商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P(元)和時間t(天)的函數(shù)關(guān)系為：P＝(t∈N*)設(shè)該商品的日銷售量Q(件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系為Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大是第幾天？【答案】銷售額的最大值為1125元，且在第25天時日銷售金額達到最大．【解析】設(shè)日銷售金額為元，則，即，當(dāng)時，，時有最大值900；當(dāng)時，是減函數(shù)，時有最大值1125.綜上所述，時有最大值1125，所以，第25天日銷售金額最大，最大值為1125元.4．某水廠的蓄水池中有噸水，每天零點開始由池中放水向居民供水，同時以每小時噸的速度向池中注水，若小時內(nèi)向居民供水總量為，則每天何時蓄水池中的存水量最少.【答案】時，蓄水池中的存水量最少.【解析】設(shè)小時后，蓄水池中的存水量為噸，則，其中，令，則，所以，當(dāng)時，取最小值，此時，（時）.因此，當(dāng)時，蓄水池中的存水量最少.5．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資0.25萬元，經(jīng)預(yù)測可知，市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件，當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位：百件)時，銷售所得的收入約為(萬元)．（1）若該公司的年產(chǎn)量為x(單位：百件)，試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）當(dāng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，當(dāng)年所得利潤最大？【答案】（1）f(x)＝；（2）475件．【解析】（1）當(dāng)0<x≤5時，產(chǎn)品全部售出，當(dāng)x>5時，產(chǎn)品只能售出500件．所以,即f(x)＝.（2）當(dāng)0<x≤5時，f(x)＝－x2＋4.75x－0.5，所以當(dāng)x＝4.75(百件)時，f(x)有最大值，f(x)max＝10.78125(萬元)．當(dāng)x>5時，f(x)<12－0.25×5＝10.75(萬元)．故當(dāng)年產(chǎn)量為475件時，當(dāng)年所得利潤最大．題型三冪函數(shù)模型的實際應(yīng)用題1．若成立，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】如圖所示，分別畫出函數(shù)與的圖象，由于兩函數(shù)的圖象都過點（1，1），由圖象可知不等式的解集為.2．用清水洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，用水越多，洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上現(xiàn)作如下假定：用單位的水清洗次后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù).（1）（?。┰嚱忉屌c的實際意義；（ⅱ）寫出函數(shù)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì)；（2）現(xiàn)有單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次.哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少？請說明理由.【答案】（1）（?。┰斠娊馕觯áⅲ┰斠娊馕觯?）答案不唯一，具體見解析【解析】解：（1）（?。?，表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農(nóng)藥量為1.，表示用1個單位的水清洗時，可清除蔬菜上殘留的農(nóng)藥的.（ⅱ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，并且有.（2）設(shè)清洗前蔬菜上的農(nóng)藥量為1，用單位量的水清洗1次后，殘留的農(nóng)藥量為，則.如果用單位的水清洗1次，則殘留的農(nóng)藥量為，然后再用單位的水清1次后，殘留的農(nóng)藥量為.由于，所以，的符號由決定.當(dāng)時，.此時，把單位的水平均分成2份后，清洗兩次，殘留的農(nóng)藥量較少；當(dāng)時，.此時，兩種清洗方法效果相同；當(dāng)時，.此時，用單位的水清洗一次，殘留的農(nóng)藥量較少.3．某人開汽車以的速度從地到遠處的地，在地停留后，再以的速度返回地，把汽車離開地的路程表示為時間（從地出發(fā)是開始）的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象；再把車速表示為時間的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象．【答案】見解析【解析】由題意得：路程表示為時間的函數(shù)：圖像如圖：車速v()表示為時間的函數(shù)：圖像如圖4．為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”.計費方法如下表，若某戶居民本月交納的水費為48元，求此戶居民本月用水量.每戶每月用水量水價不超過的部分3元/超過但不超過的部分6元/超過的部分9元/【答案】【解析】解：設(shè)用水量為，水費為元，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，由知.∴此戶居民本月用水量為.題型四分段函數(shù)模型的實際應(yīng)用題1．某廠借嫦娥奔月的東風(fēng)，推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測算，總收益滿足函數(shù)，其中x是“玉兔”的月產(chǎn)量．（1）將利潤f（x）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？（總收益=總成本+利潤）【答案】（1）（2）當(dāng)時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為25000元．【解析】（1）由題意，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，（元當(dāng)時，（元，當(dāng)時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為25000元．2．為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”．計費方法如下表：每戶每月用水量水價不超過元超過但不超過的部分元超過的部分元若某戶居民本月交納的水費為元，求此戶居民本月用水量．【答案】【解析】設(shè)此戶居民本月用水量為，當(dāng)時，，解得，不滿足題意；當(dāng)時，，解得，滿足題意；當(dāng)時，，解得，不滿足題意，綜上所述，此戶居民本月用水量為.3．李莊村電費收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇：方案一：每戶每月收管理費2元，月用電不超過30度每度0.5元，超過30度時，超過部分按每度0.6元.方案二：不收管理費，每度0.58元.（1）求方案一收費元與用電量（度）間的函數(shù)關(guān)系（2）李剛家月用電量在什么范圍時，選擇方案一比選擇方案二更好？【答案】（1）；（2）25度到50度范圍內(nèi)（不含25、50度）時，選擇方案一比方案二更好.【解析】（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，.∴（2）設(shè)按第二方案收費為元，則.當(dāng)時，由，得∴∴.當(dāng)時，由，得∴∴.綜上，.故李剛家月用電量在25度到50度范圍內(nèi)（不含25、50度）時，選擇方案一比方案二更好.4．經(jīng)市場調(diào)查，新街口某新開業(yè)的商場在過去一個月內(nèi)（以30天計），顧客人數(shù)（千人）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（），人均消費（元）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（1）求該商場的日收益（千元）與時間（天）（，）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該商場日收益的最小值（千元）．【答案】（1）；（2）千元【解析】（1）根據(jù)該商場的日收益=顧客