第二章邏輯代數(shù)二

2024/4/171第二章邏輯代數(shù)2.1邏輯代數(shù)基本規(guī)則2.2邏輯函數(shù)的化簡2.3卡諾圖2024/4/1722.3卡諾圖2024/4/173最小項(xiàng)在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個(gè)因子的乘積項(xiàng)，n變量均以原變量或反變量形式在m中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項(xiàng)n個(gè)變量的邏輯函數(shù)，其最小項(xiàng)共有2n個(gè)最小項(xiàng)只有一種取值情況使得它的邏輯值為12024/4/174最小項(xiàng)舉例由A,B,C三個(gè)變量組成的最小項(xiàng)有8個(gè)：AB，AC，BC等雖然更簡單，但卻不是最小項(xiàng)，因?yàn)椴皇撬械捻?xiàng)都出現(xiàn)了。同樣也不是最小項(xiàng)。2024/4/1753變量最小項(xiàng)真值表ACBABCABCABCABCABCABCABCABC00000101001110010111011100100000010000001000000000001000000100000000001000000100000000012024/4/176最小項(xiàng)的性質(zhì)對于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使得它的值為1，而在變量取其它各組值時(shí)，該最小項(xiàng)的值都是0不同的最小項(xiàng)，使它的值為1的那一組變量取值也不同對于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0對于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)之和為1若兩個(gè)最小項(xiàng)有且僅有一個(gè)因子不同，則稱此兩個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性：例：具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和，可以合并成一項(xiàng)并消去一個(gè)因子ACBABCABCABCABCABCABCABCABC00000101001110010111011100100000010000001000000000001000000100000000001000000100000000012024/4/177最小項(xiàng)的編號(hào)用mi表示最小項(xiàng)，i為最小項(xiàng)編號(hào)，i采用十進(jìn)制使最小項(xiàng)為1的變量取值所代表的數(shù)即為編號(hào)i2024/4/178邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式任何一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項(xiàng)之和，稱為最小項(xiàng)表達(dá)式利用A+A=1的基本運(yùn)算關(guān)系，將邏輯函數(shù)中的每一項(xiàng)都化成包含所有變量的項(xiàng) 例：

=m7+m6+m3+m1

=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）

2024/4/179卡諾圖卡諾（MauriceKarnaugh）：Bell實(shí)驗(yàn)室通訊工程師“TheMapMethodforSynthesisofCombinationalLogicCircuits”,TransactionsoftheAmericanInstituteofElectricalEngineers,1953，vol.72partI:593–598卡諾圖：

將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中的各最小項(xiàng)相應(yīng)地填入一個(gè)特定的方格圖內(nèi)，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰排列，此方格圖稱為卡諾圖。2024/4/1710二變量卡諾圖兩側(cè)標(biāo)注的0和1表示使對應(yīng)方格內(nèi)最小項(xiàng)為1的變量取值，即最小項(xiàng)編號(hào)2024/4/1711三變量卡諾圖為保證邏輯相鄰的最小項(xiàng)在幾何位置上相鄰，每邊的數(shù)字排列需要按格雷碼順序2024/4/1712四變量卡諾圖用0表示反變量，1表示原變量，即可對應(yīng)填入圖中如ABCD對應(yīng)0000，即m0，ABCD對應(yīng)1111，即m152024/4/1713卡諾圖的特點(diǎn)循環(huán)相鄰性直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項(xiàng)在邏輯上一定是相鄰的。對邊相鄰性，即與中心軸對稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。

四角相鄰性,卡諾圖的四角也具有相鄰性四個(gè)最小項(xiàng)有且僅有兩個(gè)因子不同，稱此四個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性；八個(gè)最小項(xiàng)有且僅有三個(gè)因子不同，稱此八個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性2024/4/1714用卡諾圖表示邏輯函數(shù)卡諾圖：將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中的各最小項(xiàng)相應(yīng)地填入一個(gè)特定的方格圖內(nèi)，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰排列，此方格圖稱為卡諾圖邏輯相鄰性：邏輯相鄰：ABCD與ABCD邏輯不相鄰：ABCD與ABCD幾何位置相鄰：上下左右?guī)缀挝恢孟噜?，以及對邊相?024/4/1715用卡諾圖表示邏輯函數(shù)把邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式，在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對應(yīng)的位置上填1，其余位置填0任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中填入1的那些最小項(xiàng)之和例：表達(dá)式不是最小項(xiàng)表達(dá)式，但是“與—或表達(dá)式”，可直接填入卡諾圖=二維真值表2024/4/1716用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)卡諾圖的化簡原理最小項(xiàng)的性質(zhì)⑤A+A=A例：2024/4/1717卡諾圖化簡的步驟將邏輯函數(shù)寫成最小項(xiàng)表達(dá)式按最小項(xiàng)表達(dá)式填卡諾圖合并最小項(xiàng)，即將相鄰的方格圈成一組，每組含2n個(gè)方格，對應(yīng)每個(gè)包圍圈寫成一個(gè)新的乘積項(xiàng)2個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去1個(gè)取值不同的變量而合并為1項(xiàng)4個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去2個(gè)取值不同的變量而合并為1項(xiàng)8個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去3個(gè)取值不同的變量而合并為1項(xiàng)2n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，可以消去n個(gè)取值不同的變量而合并為1項(xiàng)，僅含公共因子將所有包圍圈對應(yīng)的乘積項(xiàng)相加2024/4/1718用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)L=AC+AB+BC2024/4/1719卡諾圖化簡的原則包圍圈內(nèi)的方格數(shù)必須是2n個(gè)包圍圈內(nèi)不能有0，必須全為1相鄰方格包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰?fù)环礁窨梢员徊煌陌鼑χ貜?fù)包圍，但新增包圍圈中一定要有新的方格，否則該包圍圈多余包圍圈內(nèi)的方格數(shù)要盡可能多，包圍圈的數(shù)目要盡可能少，不夠多則不夠簡2024/4/1720用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)2024/4/1721用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)與-或表達(dá)式：與非-與非表達(dá)式：2024/4/1722用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)當(dāng)卡諾圖中小方格被1占去了大部分，可以采用包圍0的方法化簡，即求出非函數(shù)L，再對L求非例：或：2024/4/1723卡諾圖包0法原理(1)依據(jù)：包1法化簡成立反演法則2024/4/1724卡諾圖包0法原理(2)L的卡諾圖反演法（摩根定律）2024/4/1725卡諾圖的多種拓?fù)?1111111BCDAP56

例2.4.2 L=M0+M2+M5+M7+M8+M10+M13+M15化簡后注意：非對稱結(jié)構(gòu)卡諾圖，不能完全使相鄰項(xiàng)具有空間相鄰特性00000101101011011110110001具有無關(guān)項(xiàng)的卡諾圖化簡

（任意項(xiàng)和約束項(xiàng)）2024/4/1727無關(guān)項(xiàng)（任意項(xiàng)、約束項(xiàng)）定義任意項(xiàng)：函數(shù)的變量取一些特定的值時(shí)（不應(yīng)該出現(xiàn)的值），函數(shù)值可以是任意的，不影響電路的功能約束項(xiàng)：輸入變量的取值不是任意的，限制某些輸入變量的取值不能出現(xiàn)把約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱為邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項(xiàng)，無關(guān)項(xiàng)常用d0,d1,d2……表示，無關(guān)項(xiàng)對應(yīng)的最小項(xiàng)之和恒等于02024/4/1728任意項(xiàng)例：設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯電路，能夠判斷一個(gè)十進(jìn)制數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，當(dāng)十進(jìn)制為奇數(shù)時(shí)，電路輸出為1，當(dāng)十進(jìn)制為偶數(shù)時(shí)，輸出為02024/4/1729約束項(xiàng)例：有三個(gè)變量A、B、C，它們分別表示一臺(tái)電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止命令，A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止。因?yàn)殡妱?dòng)機(jī)任何時(shí)候只能執(zhí)行其中的一個(gè)命令，所以不允許兩個(gè)以上變量同時(shí)為1，即A、B、C的取值只能是001、010或100的一種，通?？蓪懗桑?024/4/1730無關(guān)項(xiàng)在化簡邏輯函數(shù)中的應(yīng)用因?yàn)檩斎胱兞渴谷我忭?xiàng)為1時(shí)，函數(shù)的輸出值是0還是1無所謂，所以可以把任意項(xiàng)寫入邏輯函數(shù)式，也可以不寫。因此卡諾圖中任意項(xiàng)處的L既可為1也可為0。同樣，既可把約束項(xiàng)寫進(jìn)函數(shù)式，也可以把它從函數(shù)式中刪掉，因?yàn)锳+0＝A無關(guān)項(xiàng)在卡諾圖中對應(yīng)位置既可填1，也可填0。因此在圖中填X，表示1，0均可，究竟為1為0，應(yīng)以得到的相鄰最小項(xiàng)矩形組合最大，而矩形組合數(shù)目最少為原則2024/4/1731任意項(xiàng)在化簡邏輯函數(shù)中的應(yīng)用2024/4/1732約束項(xiàng)在化簡邏輯函數(shù)中的應(yīng)用化簡具有約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)給定約束條件為：2024/4/1733約束項(xiàng)在化簡邏輯函數(shù)中的應(yīng)用化簡邏輯函數(shù)給定約束條件為：2024/