高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)課件（新高考新教材）素養(yǎng)提升微專題（六）非線性經(jīng)驗(yàn)回歸問題

素養(yǎng)提升微專題(六)非線性經(jīng)驗(yàn)回歸問題第一編問題提出經(jīng)驗(yàn)回歸方程不一定總是線性的,也可能是非線性的,此類問題具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.解決此類問題,應(yīng)先選擇合適的函數(shù)模型,進(jìn)行變量代換,求出代換后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,再轉(zhuǎn)化為非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.典例分析[例]我國(guó)在1980年9月10日,第五屆全國(guó)人民代表大會(huì)第三次會(huì)議通過(guò)并公布了《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》,公民依法誠(chéng)信納稅是義務(wù),更是責(zé)任.現(xiàn)將自2013年至2017年的個(gè)人所得稅收入統(tǒng)計(jì)如下.年份20132014201520162017時(shí)間代號(hào)x12345個(gè)稅收入y/千億元6.537.388.6210.0911.97制作時(shí)間代號(hào)x與個(gè)人所得稅收入的散點(diǎn)圖如圖所示.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,可用①y=menx與②y=px2+q作為年個(gè)人所得稅收入y關(guān)于時(shí)間代號(hào)x的回歸方程,經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)運(yùn)算和處理,得到如下數(shù)據(jù).以下計(jì)算過(guò)程中四舍五入保留兩位小數(shù).(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),分別求出①②中y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.(2)已知2018年個(gè)人所得稅收入為13.87千億元,用2018年的數(shù)據(jù)驗(yàn)證(1)中所得兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程,哪個(gè)更適宜作為y關(guān)于時(shí)間代號(hào)x的回歸方程?(3)你還能從統(tǒng)計(jì)學(xué)哪些角度來(lái)進(jìn)一步確認(rèn)哪個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程更適宜?(只需敘述,不必計(jì)算)解

(1)對(duì)于①,由y=menx,等式兩邊取自然對(duì)數(shù)得ln

y=nx+ln

m,設(shè)z=ln

y,r=ln

m,(3)從統(tǒng)計(jì)學(xué)分析,這里從5組數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程,數(shù)據(jù)較少,故應(yīng)增加數(shù)據(jù)建立方程,再分析變換后的線性方程,根據(jù)殘差及決定系數(shù)R2來(lái)檢驗(yàn)擬合效果.規(guī)律方法非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖(或題目中已知散點(diǎn)圖).(2)根據(jù)散點(diǎn)圖,選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù).(3)作恰當(dāng)變換,將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù),求經(jīng)驗(yàn)回歸方程.(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過(guò)相應(yīng)變換,即可得非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.對(duì)點(diǎn)演練x1234567y611213466101196某公交公司近期推出支付方式A和支付方式B掃碼支付乘車活動(dòng),活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來(lái)越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,x表示活動(dòng)推出的天數(shù),y表示每天使用掃碼支付的人次(計(jì)十人次為1個(gè)單位,例如y=6表示60人次),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示.根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,在推廣期內(nèi),y=a+bx與y=c·dx(c,d均為大于零的常數(shù)),哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù),建立y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次.(3)推廣期結(jié)束后,車隊(duì)對(duì)乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表所示支付方式現(xiàn)金乘車卡掃碼比例10%60%30%某公交公司車隊(duì)為緩解周邊居民出行壓力,以90萬(wàn)元的單價(jià)購(gòu)進(jìn)了一批新車,根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)可知,每輛車每個(gè)月的運(yùn)營(yíng)成本約為0.66萬(wàn)元.已知該線路公交車票價(jià)為2元,使用現(xiàn)金支付的乘客無(wú)優(yōu)惠,使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠,掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠.根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知,使用掃碼支付9折優(yōu)惠.預(yù)計(jì)該車隊(duì)每輛車每個(gè)月有2萬(wàn)人次乘車,根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,在不考慮其他因素的條件下,按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn),請(qǐng)你估計(jì)這批車輛需要幾年(結(jié)果取整數(shù)年)才能盈利?參考數(shù)據(jù):解

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,在推廣期內(nèi),y=c·dx(c,d均為大于零的常數(shù)),適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型.(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果y=c·dx,兩邊取對(duì)數(shù)得:lg

y=lg

c+x·lg

d,其中l(wèi)gy=0.54+0.25x,y=100.54+0.25x=3.47×100.25x.當(dāng)x=8時(shí),y=100.54+0.25×8=3.47×102=347,活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為3470.(3)設(shè)一名乘客一次乘車的費(fèi)用為ξ元,由題意知ξ所有的可能取值為1.4,1.6,1.8,2,E(ξ)=1.4×0.05+1.6×0.7+1.8×0.15+2×0.