安徽省安慶市桐城二中2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

安徽省安慶市桐城二中2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.如圖，。。的弦A8=16,丄A8于M,且OM=6,則。。的半徑等于

?

A.8B.6C.10D.20

2.某天的體育課上，老師測量了班級(jí)同學(xué)的身高，恰巧小明今日請(qǐng)假?zèng)]來，經(jīng)過計(jì)算得知，除了小明外，該班其他同

學(xué)身高的平均數(shù)為172cm,方差為攵CT",第二天，小明來到學(xué)校，老師幫他補(bǔ)測了身高，發(fā)現(xiàn)他的身高也是172cm,

此時(shí)全班同學(xué)身高的方差為kcm2，那么k'與人的大小關(guān)系是（）

A.k>kB.k<kC.k'=kD.無法判斷

3.在一個(gè)不透明的布袋中，有紅色、黑色、白色球共40個(gè)，它們除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗(yàn)后

發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%,則布袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是（）

6.某商場將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出60（）個(gè).這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就將

減少10個(gè).為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，臺(tái)燈的售價(jià)是多少？若設(shè)每個(gè)臺(tái)燈漲價(jià)為X元，則可列方程為（）

A.（40+X-30）（600—10x）=10000B.（40+x-30）（600+10%）=10000

C.（x-30）［600-10（x-40）］=10000D.（x-30）［600+10（x-40）］=10000

7.拋物線y=3/向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線是（）

A.y=3(x-1>—2B.y=3(x+1產(chǎn)一2C.y=3(x+l)2+2D.y=3(x-l)2+2

8.tan30°的值等于（）

A.-B.—C.—D.y/3

232

9.下列銀行標(biāo)志圖片中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

10.AABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則cosB的值為（）

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.已知以線段AC為對(duì)角線的四邊形48。（它的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,。按順時(shí)針方向排列）中,

AB=BC=CD,ZABC=100°,ZCAD=40°,則N3C。的度數(shù)為

12.已知反比例函數(shù)y=K的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,-3）,則此函數(shù)的關(guān)系式是

X

13.將拋物線y=V向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式是.

14.把函數(shù)y=2,的圖象先向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度得到新函數(shù)的圖象，則新函數(shù)的表達(dá)式

是.

BE

15.將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則工二的值是.

16.若m是關(guān)于x的方程f+3x-2=（）的一個(gè)根，貝II//+3〃?的值為.

17.若正多邊形的一個(gè)外角是45。，則該正多邊形的邊數(shù)是.

18.如圖，AABC是不等邊三角形，DE=BC,以D,E為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的三角形，使所作的三角形與AABC

全等，這樣的三角形最多可以畫出_____個(gè).

三、解答題（共66分）

19.（10分）解方程：x2-x-12=1.

20.（6分）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫

做等對(duì)邊四邊形.如圖，在AABC中，AB>AC,點(diǎn)D,E分別在AB,AC上，設(shè)CD,BE相交于點(diǎn)O,如果NA是

銳角，ZDCB=ZEBC=-ZA.探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論.

2

A

21.（6分）解方程：2/=41一1

22.（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，己知。4=10cm,OB=5cm.點(diǎn)P從點(diǎn)。開始沿Q4邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度

移動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)B開始沿80邊內(nèi)點(diǎn)。以lcm/s的速度移動(dòng).如果P、。同時(shí)出發(fā)，用r（s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0<r<5）.

（2）當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形PA8Q的面積為19cm2.

（3）當(dāng)AP。。與A4O8相似時(shí)，求出f的值.

23.（8分）一個(gè)四邊形被一條對(duì)角線分割成兩個(gè)三角形，如果被分割的兩個(gè)三角形相似，我們被稱為該對(duì)角線為相似

對(duì)角線.

(圖】)(圖2)(備用圖)

(D如圖1,正方形ABCO的邊長為4,E為A。的中點(diǎn)，A產(chǎn)=1，連結(jié)CE.CP,求證：EE為四邊形AECR的

相似對(duì)角線.

(2)在四邊形ABCD中，ZBAD=\2(f，AB=3,AC=&，AC平分44。，且AC是四邊形ABC。的相似

對(duì)角線，求8。的長.

(3)如圖2,在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,點(diǎn)E是線段AB(不取端點(diǎn)A.B)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線

AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若EF是四邊形AEC戶的相似對(duì)角線，求BE的長.(直接寫出答案)

24.(8分)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?/p>

(1)4(x-1)2=9

⑵X2-6%-4=0

25.(10分)閱讀理解:

如圖，在紙面上畫出了直線1與OO,直線1與。O相離，P為直線1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作。O的切線PM,切點(diǎn)為M,

連接OM、OP,當(dāng)AOPM的面積最小時(shí)，稱AOPM為直線1與。O的“最美三角形”.

解決問題：

(1)如圖1,0A的半徑為1,A(0,2),分別過x軸上B、O、C三點(diǎn)作OA的切線BM、OP、CQ,切點(diǎn)分別是M、

P、Q,下列三角形中，是x軸與。A的“最美三角形”的是.(填序號(hào))

①.ABM；②AOP；③.ACQ

(2)如圖2,OA的半徑為1,A(0,2),直線y=kx(?0)與OA的“最美三角形”的面積為求k的值.

(3)點(diǎn)B在x軸上，以B為圓心，出為半徑畫。B,若直線y=J^x+3與。B的“最美三角形”的面積小于走，

2

請(qǐng)直接寫出圓心B的橫坐標(biāo)4的取值范圍.

26.(10分)如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=-的圖象在第一象限交于A,B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2),

X

連接OA,OB,過B作BD丄y軸，垂足為D,交OA于C,若OC=CA.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1、C

【分析】連接OA,即可證得AOMA是直角三角形，根據(jù)垂徑定理即可求得AM,根據(jù)勾股定理即可求得OA的長,

即。。的半徑.

【詳解】連接OA,

?；M是AB的中點(diǎn)，

，OM丄AB,且AM=8,

在RtAOAM中，OA=^AM~+OM2=褥+6?=1-

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考査了垂徑定理，以及勾股定理，根據(jù)垂徑定理求得AM的長，證明AOAM是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2、B

【分析】設(shè)該班的人數(shù)有n人，除小明外，其他人的身高為xi,X2……xn.i,根據(jù)平均數(shù)的定義可知：算上小明后，平

均身高仍為172cm,然后根據(jù)方差公式比較大小即可.

【詳解】解：設(shè)該班的人數(shù)有n人，除小明外，其他人的身高為xi,X2……x?...

根據(jù)平均數(shù)的定義可知：算上小明后，平均身高仍為172cm

根據(jù)方差公式:2=止](%—172)2+(%-172『++(九一172)1

匯=丄[(玉-172)2+d-172)2++(41—172)2+(172—172)2]

=l[(x)-172)2+(%-17以++(%—172月

11

???-<----

nn-\

22

...1[(西一172)2+(%-172)2++Qi_172)1<-172)+(x2-172)++(七一一172)1即

k<k

故選B.

【點(diǎn)睛】

此題考査的是比較方差的大小，掌握方差公式是解決此題的關(guān)鍵.

3、C

【分析】先由頻率之和為1計(jì)算出白球的頻率，再由數(shù)據(jù)總數(shù)義頻率=頻數(shù)計(jì)算白球的個(gè)數(shù).

【詳解】???摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%,

,摸到白球的頻率為1-15%-45%=40%,

故口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是40義40%=16個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.關(guān)鍵是算出摸到白球的頻率.

4、D

【解析】由題意根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)即圖形旋轉(zhuǎn)180。與原圖形能夠完全重合的圖形是中心對(duì)稱圖形，依次對(duì)選

項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.旋轉(zhuǎn)180。，不能與原圖形能夠完全重合不是中心對(duì)稱圖形；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.旋轉(zhuǎn)180°,不能與原圖形能夠完全重合不是中心對(duì)稱圖形；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.旋轉(zhuǎn)180°,不能與原圖形能夠完全重合不是中心對(duì)稱圖形；故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.旋轉(zhuǎn)180°,能與原圖形能夠完全重合是中心對(duì)稱圖形；故此選項(xiàng)正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義判斷圖形是解決問題的關(guān)鍵.

5、D

【解析】試題分析：已知NBIC=130。，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知NIBC+NICB=50。，則得到NABC+NACB=100

度，則本題易解.

解：VZBIC=130°,

.??ZIBC+ZICB=5O°,

又..T是內(nèi)心即I是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，

.,.ZABC+ZACB=100°,

.,.ZA=80°.

故選D.

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理；角平分線的定義.

6、A

【分析】設(shè)這種臺(tái)燈上漲了x元，臺(tái)燈將少售出10x,根據(jù)“利潤=(售價(jià)-成本)X銷量”列方程即可.

【詳解】解：設(shè)這種臺(tái)燈上漲了x元，則根據(jù)題意得，

(40+X-30)(600-lOx)=10000.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程.

7、B

【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的平移規(guī)律即可解答.

【詳解】解：拋物線y=3/向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線是y=3(x+l)2-2,

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】

本題考査了拋物線的平移，解題的關(guān)鍵是熟知“左加右減、上加下減”的平移規(guī)律.

8、B

【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解.

【詳解】tan30。=走.

3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是熟記幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值.

9、B

【解析】由題意根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行依次判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考査中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合,

中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

10、A

【解析】解：在直角A4BO中，BD=2,AD=4,則48=飛BD2+AD?=物+4?=26，

n?BD2加

貝!|cos5==——==

AB2V55

故選A.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、80?；?00。

［解析］作出圖形，證明RtaACE纟Rtz^ACF,RtABCE^RtADCF,分類討論可得解.

【詳解】VAB=BC,ZABC=100°,

.?.Nl=N2=NCAD=40。，

.?.AD〃BC.點(diǎn)D的位置有兩種情況：

如圖①，過點(diǎn)C分別作CE丄AB于E,CF丄AD于F,

VZ1=ZCAD,

.*.CE=CF,

AC=AC

在RtAACE與RtAACF中，1,

CE=CF

/.RtAACE^RtAACF,

.\ZACE=ZACF.

CB=CD

在RtZkBCE與RtZ\DCF中，J

CE—CF

：.RtABCE^RtADCF,

AZBCE=ZDCF,

AZACD=Z2=40°,

如圖②，

VADr/7BC,AB=CDr,

???四邊形ABC"是等腰梯形,

:.ZBCDr=ZABC=100°,

綜上所述，NBCD=80。或100。，

故答案為80?；?00°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的判定與性質(zhì)，本題關(guān)鍵是證明RtZ^ACEgRtaACF,

RtABCE^RtADCF,同時(shí)注意分類思想的應(yīng)用.

6

12、y=——

X

【解析】試題分析：利用待定系數(shù)法，直接把已知點(diǎn)代入函數(shù)的解析式即可求得k=-6,所以函數(shù)的解析式為：y=--.

X

13、y=(x-2)2+l

【分析】先得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),再利用點(diǎn)的平移規(guī)律得到點(diǎn)(0,0)平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),然后根據(jù)

頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線解析式.

【詳解】解：拋物線y=/的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),再利用點(diǎn)的平移規(guī)律得到點(diǎn)(0,0)平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),所以

平移后的拋物線解析式為：＞=(x-2)2+1.

故答案為：y=*—2)2+1.

【點(diǎn)睛】

本題考査的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象與幾何變化，熟記點(diǎn)的平移規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

14、y=l(x-3)1-1.

【分析】利用二次函數(shù)平移規(guī)律即可求出結(jié)論.

【詳解】解：由函數(shù)的圖象先向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度得到新函數(shù)的圖象，得

新函數(shù)的表達(dá)式是y=l(x-3)'-1,

故答案為y=l(x-3)]-1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知”上加下減，左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

15、—

3

【解析】試題分析：VZBAC=ZACD=90°,；.AB〃CD.

BEAB

.,.△AABE^ADCE.，一=—.

ECCD

?.?在RtAACB中NB=45。，.\AB=AC.

ACr

.在RtACD中，ND=3()。，/.CD=----------=J3AC.

tan30°

.BEAB_AC_G

,,EC-CD-V3AC-3'

16、2

【分析】將x代入方程，進(jìn)行化簡即可得出答案.

【詳解】由題意得：加2+3加一2=0

貝！Im2+3m=2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的根的定義，理解題意得到一個(gè)關(guān)于m的等式是解題關(guān)鍵.

17、1；

【分析】根據(jù)多邊形外角和是360度，正多邊形的各個(gè)內(nèi)角相等，各個(gè)外角也相等，直接用360。+45。可求得邊數(shù).

【詳解】???多邊形外角和是360度，正多邊形的一個(gè)外角是45。，

.,.360°v45°=l

即該正多邊形的邊數(shù)是1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考査了多邊形外角和是360度和正多邊形的性質(zhì)（正多邊形的各個(gè)內(nèi)角相等，各個(gè)外角也相等）.

18、4

【解析】試題分析：如圖，能畫4個(gè)，分別是:以D為圓心,AB為半徑畫圓;以C為圓心,CA為半徑畫圓.兩圓相交于兩

點(diǎn)（DE上下各一個(gè)），分別于D、E連接后，可得到兩個(gè)三角形；以D為圓心,AC為半徑畫圓;以E為圓心,AB為半徑畫

圓.兩圓相交于兩點(diǎn)（DE上下各一個(gè)），分別于D、E連接后，可得到兩個(gè)三角形.因此最多能畫出4個(gè)

考點(diǎn)：作圖題.

三、解答題（共66分）

19、Xi=-3,X2=2.

【解析】試題分析：方程左邊利用十字相乘法分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為L兩因式中至少有一個(gè)為1轉(zhuǎn)化為兩

個(gè)一元一次方程來求解.

試題解析：解：分解因式得：(x+3)(x-2)=1,可得x+3=l或x-2=l,解得：xi=-3,X2=2.

20、存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形DBCE,見解析

【分析】作CG丄BE于G點(diǎn)，作BF丄CD交CD延長線于F點(diǎn)，證明4BCF纟ZkCBG,得到BF=CG,再證NBDF

=NBEC,得到△BDFgaCEG,故而BD=CE,即四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形.

【詳解】解：此時(shí)存在等對(duì)邊四邊形，是四邊形DBCE.

如圖，作CG丄BE于G點(diǎn)，作BF丄CD交CD延長線于F點(diǎn).

VZDCB=ZEBC=-ZA,BC為公共邊，

2

.?.△BCF纟△CBG,

.".BF=CG,

■:ZBDF=ZABE+ZEBC+ZDCB,NBEC=NABE+NA,

.,.ZBDF=ZBEC,

/.△BDF^ACEG,

.,.BD=CE

???四邊形DBCE是等對(duì)邊四邊形.

【點(diǎn)睛】

此題考査新定義形式下三角形全等的判定，由題意及圖形分析得到等對(duì)邊四邊形是四邊形DBCE,應(yīng)證明線段BD=

CE,只能作輔助線通過證明三角形全等得到結(jié)論，繼而得解此題.

91亠&V2

21、％=1H------X,=1--------

'29-2

【分析】找出a,b,c的值，計(jì)算出根的判別式的值大于0,代入求根公式即可求出解.

【詳解】解：整理得2/_4X+1=0

△=(-4)2—4x2x1=8

4±通2+V2

x=---=----

2x22

解得：x,=\-\------?x=1--------

'2-72

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元二次方程-公式法，熟練掌握一元二次方程的幾種常用解法是解題關(guān)鍵.

22、(1)26(5-/)；(2)U2或3；(3)或1.

2

【分析】(1)根據(jù)路程=速度X時(shí)間可求解；

(2)根據(jù)S四邊形PABQ=SAABO-SMQ。列出方程求解；

(3)分"=組或上=維兩種情形列出方程即可解決問題?

OAOBOBOA

【詳解】(1)OP=2tcm,0Q=(5-t)cm.

故答案為：It,(5-t).

(2)VS四邊形PABd=S^ABO-SAPQO,

I1

.\19=-X10X5—x2fX(5-t),

22

解得：U2或3,

...當(dāng)U2或3時(shí)，四邊形P4〃。的面積為19c”產(chǎn).

(3)..,△尸02與厶408相似，ZPOQ=ZAOB=90°,

.OP_OQ或OPOQ

'OA~OB^OB^OA'

OPOQ2t5-t

①當(dāng)——=—,則nl一=——

OAOB105

5

-9

2

②嚐嘰札則江為

綜上所述：當(dāng)，=1?或1時(shí)，△POQ與△A08相似.

【點(diǎn)睛】

本題是相似綜合題，考查相似三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是靈

活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

23、(1)見解析(2)3G或M；(1)|或當(dāng)或1

【分析】(1)根據(jù)已知中相似對(duì)角線的定義，只要證明AAEFsaECF即可；

(2)AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線，分兩種情形：AACB~AACD或AACB~AADC,分另U求解即可；

(1)分三種情況①當(dāng)AAEF和ACEF關(guān)于EF對(duì)稱時(shí)，EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線.②取AD中點(diǎn)F,連接CF,

將ACFD沿CF翻折得到ACFD，，延長CD，交AB于E,則可得出EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線.③取AB的中點(diǎn)

E,連接CE,作EF±AD于F,延長CB交FE的延長線于M,則可證出EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線.此時(shí)BE=1；

【詳解】解：(1)???四邊形ABCD是正方形，

.?.AB=BC=CD=AD=4,

為的中點(diǎn)，AF=\,

AE=DE=2,

.AF-1

,DE-CD-2

VZA=ZD=90°>

.,.△AEF^ADCE,

EF_AF_I

:.ZAEF=ZDCE,

C￡-DE-2

VZDCE+ZCED=90°,

:.NAEF+NCED=90。，

.,.ZFEC=ZA=90°,

AF_EF1

~AE~~EC~2

/.△AEF^AECF,

.?.EF為四邊形AECF的相似對(duì)角線.

(2)AC平分NS4D,

.,.ZBAC=ZDAC=60°

VAC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線，

AACB~AACD或AACB~AADC

①如圖2,當(dāng)AACB~AACD時(shí)，此時(shí)，AACB^AACD

圖2

.,.AB=AD=1,BC=CD,

...AC垂直平分DB,

在RtAAOB中，VAB=1,ZABO=10°,

BO-AB?cos30=-----

BD=2OB=3百

②當(dāng)AACB~AADC時(shí)，如圖1

B

:.ZABC=ZACD

.,.AC2=AB?AD,

VAC=46,AB=3

A6=1AD,

...AD=2,

過點(diǎn)D作DHAB于H

在RtAADH中，VZHAD=60°,AD=2,

在RtABDH中，BD=J。”?+B“2=也2+(揚(yáng)2=曬

綜上所述，的長為：3百或M

(1)①如圖4,當(dāng)AAEF和4CEF關(guān)于EF對(duì)稱時(shí)，EF是四邊形AECF的相似對(duì)角線,

BC

設(shè)AE=EC=x,

在RtABCE中，VEC2=BE2+BC2,

.*.x2=(6-x)2+42,

解得X=—,

3

.135

??BE=AB-AE=6--=—.

33

②如圖5中，如圖取AD中點(diǎn)F,連接CF,將ACFD沿CF翻折得到ACFD。延長CD，交AB于E,則EF是四邊形

AECF的相似對(duì)角線.

AFD

BC

圖5

VAAEF^ADFC,

.AE_AF

"~DF~~DC

AE_2

~T~6

：.BE=AB-AE=—

3

③如圖6,取AB的中點(diǎn)E,連接CE,作EF丄AD于F,延長CB交FE的延長線于M,則EF是四邊形AECF的相

似對(duì)角線.則BE=1.

圖6

綜上所述，滿足條件的BE的值為』或3或1.

33

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似形的綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用

所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題.

24、(1)x1=——,x2=—；(2)X)=3+>/13>Xj=3—V13

【分析】(1)先在方程的兩邊同時(shí)除以4,再直接開方即可；

(2)將常數(shù)項(xiàng)移到等式的右邊，再兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)的一半可得.

，9

【詳解】(1)解：(X—l)2=：

4

15

.?.玉=-5，x2=->

(2)解：3>=13

x—3=±A/13

%=3+V13,X2-3—V13.

【點(diǎn)睛】

本題主要考査配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的基本步驟是解題的關(guān)鍵.

25、(1)②；(2)+1；(3)2-73<^B<—<^<-2->/3

33

【分析】(1)本題先利用切線的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理以及三角形面積公式將面積最值轉(zhuǎn)化為線段最值，了解最美三角

形的定義，根據(jù)圓心到直線距離最短原則解答本題.

(2)本題根據(jù)k的正負(fù)分類討論，作圖后根據(jù)最美三角形的定義求解EF,利用勾股定理求解AF,進(jìn)一步確定NAOF

度數(shù)，最后利用勾股定理確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求k.

(3)本題根據(jù)。B在直線兩側(cè)不同位置分類討論，利用直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定NNDB的度數(shù)，繼而按照最美

三角形的定義，分別以aiiND,ZkBMN為媒介計(jì)算BD長度，最后與OD相減求解點(diǎn)B的橫坐標(biāo)范圍.

【詳解】(1)如下圖所示：

?；PM是。O的切線,

.?.ZPMO=90°,

當(dāng)。O的半徑OM是定值時(shí)，PM=y!OP2-OM2>

■:SPMO=；?PM?OM,

要使MMO面積最小，則PM最小，即OP最小即可，當(dāng)OP丄/時(shí)，OP最小，符合最美三角形定義.

故在圖1三個(gè)三角形中，因?yàn)锳O丄x軸，故△AOP為。A與x軸的最美三角形.

故選：②.

(2)①當(dāng)k<0時(shí)，按題意要求作圖并在此基礎(chǔ)作FM丄x軸，如下所示：

按題意可得：4AEF是直線y=kx與。A的最美三角形，故4AEF為直角三角形且AF丄OF.

則由已知可得：SAEF=^AE?EF=^X1XEF=^,故EF=L

在4AEF中，根據(jù)勾股定理得：AF=gAE=叵.

VA(0,2),即OA=2,

...在直角△AFO中，OF=do代-AF2=&=AF，

：.ZAOF=45°,即NFOM=45°,

故根據(jù)勾股定理可得：MF=MO=1,故F(-l,l),

將F點(diǎn)代入y=kx可得：攵=—1.

②當(dāng)k>0時(shí)，同理可得k=L

故綜上：k=±\.

(3)記直線曠=瓜+3與x、y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D、C,則。(一6,0),C(0,3),

①當(dāng)。B在直線CD右側(cè)時(shí)，如下圖所示：

在直角△COD中，有OC=3,OD=5故tanNO0C=—=6，即NODC=60。.

OD

VABMN是直線y=&+3與OB的最美三角形，

.?.MN丄BM,BN丄CD,即NBND=90°,

BN

在直角aiiDN中，sinNBDN=—

BD

I，ccBN

故BD=-------

sinZBDNsin60?3

???◎B的半徑為G，

二BM=6

當(dāng)直線CD與。B