拋物型方程的差分方法

關(guān)于拋物型方程的差分方法

其中,為平面上某一區(qū)域。眾所周知，一維線性拋物型方程的一般形式為第2頁,共33頁，2024年2月25日，星期天通常考慮的定解問題有：(1)初值問題

在區(qū)域上求函數(shù)，使?jié)M足

為給定的初始函數(shù)。第3頁,共33頁，2024年2月25日，星期天(2)初邊值問題(或稱混合問題)

在區(qū)域上求函數(shù)，使?jié)M足第4頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

為了構(gòu)造微分方程的有限差分逼近，首先將求解區(qū)域用二組平行于軸和軸的直線構(gòu)成的網(wǎng)格覆蓋，網(wǎng)格邊長在方向?yàn)?，在方向?yàn)?。分別稱為空間方向和時(shí)間方向的步長，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)。差分格式的建立第5頁,共33頁，2024年2月25日，星期天由Taylor展開，有

則在處對(duì)的一階偏導(dǎo)數(shù)有三個(gè)可能的近似:向后差商向前差商中心差商第6頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

顯然，用差商近似導(dǎo)數(shù)存在誤差，令則截?cái)嗾`差第7頁,共33頁，2024年2月25日，星期天現(xiàn)記前差算子:,后差算子:,中心差算子:,為方向偏導(dǎo)數(shù)算子為方向位移算子，為方向平均算子，其中:,第8頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

建立差分算子和導(dǎo)數(shù)算子之間的關(guān)系由得或者同理有第9頁,共33頁，2024年2月25日，星期天因?yàn)楣释硪驗(yàn)?/p>

則第10頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

利用這些關(guān)系式就可給出偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式第11頁,共33頁，2024年2月25日，星期天又由可得二階偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式第12頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

從以上這些偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式，我們可以得到偏導(dǎo)數(shù)的各種精度的近似表達(dá)式。且

又由二階導(dǎo)數(shù)的前差表達(dá)式，得因此

在的前差表達(dá)式中取第一項(xiàng)，則有即截?cái)嗾`差階為。第13頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

現(xiàn)在研究構(gòu)造微分方程的差分方程的方法，為此記微分方程為

L

是關(guān)于的線性算子，。包括二個(gè)相鄰時(shí)間層的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的差分方程可以從Talor

展開式推出第14頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

現(xiàn)在，對(duì)拋物型方程的幾種特殊情況，從方程出發(fā)，構(gòu)造微分方程的有限差分近似。

首先考慮一維熱傳導(dǎo)方程的差分近似。顯式格式第15頁,共33頁，2024年2月25日，星期天由，方程為代入則其中為步長比。第16頁,共33頁，2024年2月25日，星期天在上式中，如果僅僅保留二階中心差分，且設(shè)為相應(yīng)差分方程解在結(jié)點(diǎn)(mh,nk)上的值，則代入的表達(dá)式，則得差分方程將格式應(yīng)用于解初值問題第17頁,共33頁，2024年2月25日，星期天此差分格式也可簡單地由導(dǎo)數(shù)的差商近似表達(dá)式得到代入微分方程，并令差分方程解為即可。雖然在邊界結(jié)點(diǎn)上，差分方程和微分方程具有相同的初值或者初邊值條件，但是，一般而言，結(jié)點(diǎn)上微分方程的精確解和古典顯式差分格式的精確解不相等。記第18頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

假定具有下面推導(dǎo)中所需要的有界偏導(dǎo)數(shù)，則由展開，有截?cái)嗾`差42第19頁,共33頁，2024年2月25日，星期天則那么得從而有第20頁,共33頁，2024年2月25日，星期天或第21頁,共33頁，2024年2月25日，星期天從而，上式右邊量描寫了古典顯式差分格式在點(diǎn)對(duì)微分方程的近似程度，將其定義為差分格式在點(diǎn)的截?cái)嗾`差，記為，即

假定在所考慮的區(qū)域保持有界，則古典顯式差分格式的截?cái)嗾`差階為。第22頁,共33頁，2024年2月25日，星期天或者相應(yīng)的截?cái)嗾`差階為。通常，格式可用下圖表示。

為了提高截?cái)嗾`差的階，我們也可用在式中保留四階中心差分項(xiàng)的辦法達(dá)到，這時(shí)有差分格式第23頁,共33頁，2024年2月25日，星期天m,n+1m-2,nm-1,nm,nm+1,nm+2,nm,n+1m-1,nm,nm+1,n第24頁,共33頁，2024年2月25日，星期天隱式格式隱式差分格式特點(diǎn)：1.具有二個(gè)或二個(gè)以上結(jié)點(diǎn)處的值未知；2.計(jì)算工作量較大；3.穩(wěn)定性較好。第25頁,共33頁，2024年2月25日，星期天得由推導(dǎo)其最簡單的隱式差分逼近─古典隱式格式。

現(xiàn)在對(duì)熱傳導(dǎo)方程第26頁,共33頁，2024年2月25日，星期天格式用下圖表示，其截?cái)嗾`差階為，與古典顯式差分格式相同。或者保留二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且以替代，則得差分格式

我們也可通過直接用差分算子代替的方法，即代入微分方程，得到此格式。第27頁,共33頁，2024年2月25日，星期天m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n第28頁,共33頁，2024年2月25日，星期天圖方法第29頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

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